資源簡介

(共25張PPT)
6.2 向量基本定理與向量的坐標
6.2.2 直線上向量的坐標及其運算
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
1.了解直線上向量的坐標的概念,能夠表示直線上向量的坐標；
2.理解直線上向量的運算與坐標的關系,并能進行正確的運算.
知識點一 直線上向量的坐標
1.給定一條直線以及這條直線上一個單位向量，對于直線上任意一個向量 ，
一定存在唯一的實數，使得，則稱為向量 的______.
2.若直線上向量的坐標為，則____，而且：當時，的方向與 的
方向______；當時，是零向量；當時，的方向與 的方向______.
坐標
相同
相反
知識點二 直線上向量的運算與坐標的關系
文字語言 符號語言
直線上兩個 向量相等 直線上兩個向量相等的充要 條件是它們的坐標______ 設， ，
則
直線上求兩 個向量的和 直線上兩個向量和的坐標等 于兩個向量的坐標的____ 設， ，
則 ___________
數軸上兩點 間的距離 設, ，則
數軸上的中 點坐標公式 設，，是線段
的中點，則 ______
相等
和
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）直線上向量的坐標是,則 . ( )
√
（2）已知數軸上點的坐標為3,向量的坐標為5,則點的坐標為 .
( )
×
[解析] 設點的坐標為，為坐標原點，則的坐標為，又點 的坐標為3,
所以的坐標為3，因為，所以的坐標為 ，所以
.
（3）,,,是數軸上任意四點，則 的坐標為0. ( )
√
探究點一 直線上向量的坐標
例1（1） 如圖，求出直線上向量， 的坐標.
解：因為的始點在原點，所以由的終點坐標可知 的坐標為3.
因為，所以的坐標為 .
（2）已知是直線上的一個單位向量，向量與都是直線 上的向量，分別在
下列條件下寫出與 的坐標：
解：由直線上向量的坐標的定義可得：
①， ;
向量的坐標為2，向量的坐標為 .
②， .
解： 向量的坐標為0，向量的坐標為 .
變式 如圖所示，點，，，，均在直線上，向量 為單位向量，則
向量， 的坐標分別是( )
D
A.3,2 B.2,4 C.4, D.2,
[解析] 由題意可得，的坐標為，的坐標為 .故選D.
［素養小結］
直線（數軸）上向量的坐標等于終點的坐標減去始點的坐標，如果向量的始點
在原點，那么向量的終點對應的數就是該向量的坐標.
探究點二 直線上向量的坐標運算
例2 （多選題）在數軸上有，，三點，其中點， 的坐標分別是2和
，且滿足，則點 的坐標可以是( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 設點的坐標為.若點在線段上，則， ，因
為，所以，解得.
若點在點 左側，則，，因為，所以
，解得.易知點不可能在點右側.
綜上，點的坐標為或.故選 .
［素養小結］
直線上向量的運算的關鍵是搞清楚直線上每個點的坐標及表達向量的有向線段
的始點和終點.
探究點三 數軸上兩點間的距離、中點坐標
例3 設數軸上兩點，的坐標分別為 ，3，求：
（1）向量的坐標以及與 的距離；
解：，的坐標分別為，3，的坐標為,,即 ，
兩點之間的距離為4.
（2）線段 中點的坐標.
解：設線段中點的坐標為,則,即線段 中點的坐標為1.
變式 已知數軸上的點，， .
（1）若點是線段的一個三等分點，求 的值；
解:因為點是線段 的一個三等分點，
所以或 .
因為，， ，
所以或 ，
所以或 .
（2）求 的最小值.
解:因為，當且僅當與 同向時取等號，
所以當時， 取得最小值5.
［素養小結］
數軸上向量的坐標的求法：先求出（或尋找已知）相應點的坐標，再計算向量
的坐標.求數軸上向量長度的方法：先求數軸上向量的坐標，再根據距離公式求
長度.
注意：首先利用數軸上點的坐標，計算出兩點所對應向量的坐標，特別要注意
向量坐標運算公式的順序.
1.如圖所示，向量， 的坐標分別是( )
C
A.，2 B.，4 C.2， D.2，2
[解析] 由題可知，，,,所以向量， 的坐標分別是2，
.故選C.
2.已知數軸上兩點，，則的坐標與 分別是( )
B
A.,3 B.3,3 C.3， D. ,6
[解析] 的坐標為， .故選B.
3.（多選題）已知數軸上三點，，，若點的坐標為2， 的坐標為5，
，則 的中點坐標可能為( )
AD
A.1 B.2 C. D.
[解析] 由，的坐標為5，可得點A的坐標為，由 ，可得點C的
坐標為5或，所以的中點坐標為或.故選 .
4.已知是直線上的一個單位向量，則直線上的向量， 的坐標分別是
_______.
，
[解析] 由直線上向量的坐標的定義知，，的坐標分別是， .
5.已知數軸上，兩點的坐標分別為，，則 對應的坐標為
_____，___；若點也在該數軸上，且對應的坐標為，則點 對應的
坐標是____.
7
[解析] 由數軸上，兩點的坐標分別為， ，
得對應的坐標為 ，
.
設點對應的坐標是 ，
因為對應的坐標為，所以 ，
故點對應的坐標是 .
1.直線上向量的坐標的兩種求法
（1）將向量用單位向量表示出來.
（2）將向量的始點平移到原點，讀出終點的坐標.
2.直線上向量的坐標運算
（1）應用數軸上向量的坐標公式時，要特別注意用終點坐標減去始點坐標，
不要記混.
（2）將向量知識與解析幾何知識結合在一起，將數軸上向量的坐標與數軸
上點的坐標、數軸上向量的坐標公式與解析幾何中的公式進行類比，以達到系
統記憶和運用的目的.
例（1） 在數軸上，，，若，則 ______.
3或1
[解析] 由題意得，即 ，或 .
（2）設數軸上兩點，的坐標分別為2， ，求：
①向量的坐標，以及點與點 間的距離；
解：設為坐標原點，由題意得的坐標為2，的坐標為 ，又因為
，所以的坐標為，則 .
②線段 的中點的坐標.
解：設線段的中點的坐標為，則 .6.2.2　直線上向量的坐標及其運算
【課前預習】
知識點一
1.坐標　2.|x|　相同　相反
知識點二
相等　和　(x1+x2)e　
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (2)設點B的坐標為x0,O為坐標原點,則的坐標為x0,又點A的坐標為3,所以的坐標為3,因為=-,所以的坐標為x0-3=5,所以x0=8.
【課中探究】
例1　解:(1)因為a的始點在原點,所以由a的終點坐標可知a的坐標為3.
因為b=-a,所以b的坐標為-2.
(2)由直線上向量的坐標的定義可得:
①向量a的坐標為2,向量b的坐標為-3.
②向量a的坐標為0,向量b的坐標為.
變式　D　[解析] 由題意可得,的坐標為4-2=2,的坐標為-2-2=-4.故選D.
例2　BD　[解析] 設點N的坐標為x.若點N在線段MP上,則MN=2-x,NP=x+3,因為MN=3NP,所以2-x=3(x+3),解得x=-.若點N在點P左側,則MN=2-x,NP=-3-x,因為MN=3NP,所以2-x=3(-3-x),解得x=-.易知點N不可能在點M右側.綜上,點N的坐標為-或-.故選BD.
例3　解:(1)∵A,B的坐標分別為-1,3,∴的坐標為3-(-1)=4,∴||=4,即A,B兩點之間的距離為4.
(2)設線段AB中點的坐標為x,則x==1,即線段AB中點的坐標為1.
變式　解:(1)因為點A是線段BC的一個三等分點,
所以=3或=.
因為A(-2),B(x),C(3),
所以3-x=3×[3-(-2)]或3-x=×[3-(-2)],
所以x=-12或x=-.
(2)因為||+||≥|+|=||=5,當且僅當與同向時取等號,
所以當x∈[-2,3]時,||+||取得最小值5.
【課堂評價】
1.C　[解析] 由題可知A(-2),O(0),B(4),C(2),所以向量,的坐標分別是2,-2.故選C.
2.B　[解析] 的坐標為-1-(-4)=3,||=3.故選B.
3.AD　[解析] 由B(2),的坐標為5,可得點A的坐標為-3,由BC=3,可得點C的坐標為5或-1,所以AC的中點坐標為=1或=-2.故選AD.
4.-,　[解析] 由直線上向量的坐標的定義知,-e,e的坐標分別是-,.
5.-7　7　-3　[解析] 由數軸上A,B兩點的坐標分別為x1=-2,x2=5,
得對應的坐標為x1-x2=-2-5=-7,
AB=|x2-x1|=|5-(-2)|=7.
設點P對應的坐標是x,
因為對應的坐標為x-x2=x-5=-8,所以x=-3,
故點P對應的坐標是-3.6.2.2　直線上向量的坐標及其運算
【學習目標】
1.了解直線上向量的坐標的概念,能夠表示直線上向量的坐標;
2.理解直線上向量的運算與坐標的關系,并能進行正確的運算.
◆ 知識點一　直線上向量的坐標
1.給定一條直線l以及這條直線上一個單位向量e,對于直線l上任意一個向量a,一定存在唯一的實數x,使得a=xe,則x稱為向量a的　　　　.
2.若直線上向量a的坐標為x,則|a|=　　　　,而且:當x>0時,a的方向與e的方向　　　　;當x=0時,a是零向量;當x<0時,a的方向與e的方向　　　　.
◆ 知識點二　直線上向量的運算與坐標的關系
文字語言 符號語言
直線上兩個向量相等 直線上兩個向量相等的充要條件是它們的坐標　　　 設a=x1e,b=x2e, 則a=b x1=x2
直線上求兩個向量的和 直線上兩個向量和的坐標等于兩個向量的坐標的　　　 設a=x1e,b=x2e, 則a+b=　　　　
數軸上兩點間的距離 設A(x1),B(x2),則AB=||=|x2-x1|
數軸上的中點坐標公式 設A(x1),B(x2),M(x)是線段AB的中點,則x=　　　
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)直線l上向量a的坐標是x,則|a|=|x|.(　 )
(2)已知數軸上點A的坐標為3,向量的坐標為5,則點B的坐標為-2. (　 )
(3)A,B,C,D是數軸上任意四點,則+++的坐標為0. (　 )
◆ 探究點一　直線上向量的坐標
例1 (1)如圖,求出直線上向量a,b的坐標.
(2)已知e是直線l上的一個單位向量,向量a與b都是直線l上的向量,分別在下列條件下寫出a與b的坐標:
①a=2e,b=-3e;②a=0,b=e.
變式 如圖所示,點O,A,B,C,D均在直線l上,向量為單位向量,則向量,的坐標分別是 (　 )
A.3,2 B.2,4
C.4,-2 D.2,-4
[素養小結]
直線(數軸)上向量的坐標等于終點的坐標減去始點的坐標,如果向量的始點在原點,那么向量的終點對應的數就是該向量的坐標.
◆ 探究點二　直線上向量的坐標運算
例2 (多選題)在數軸上有M,N,P三點,其中點M,P的坐標分別是2和-3,且滿足MN=3NP,則點N的坐標可以是 (　 )
A. B.- C.- D.-
[素養小結]
直線上向量的運算的關鍵是搞清楚直線上每個點的坐標及表達向量的有向線段的始點和終點.
◆ 探究點三　數軸上兩點間的距離、中點坐標
例3 設數軸上兩點A,B的坐標分別為-1,3,求:
(1)向量的坐標以及A與B的距離;
(2)線段AB中點的坐標.
變式 已知數軸上的點A(-2),B(x),C(3).
(1)若點A是線段BC的一個三等分點,求x的值;
(2)求||+||的最小值.
[素養小結]
數軸上向量的坐標的求法:先求出(或尋找已知)相應點的坐標,再計算向量的坐標.求數軸上向量長度的方法:先求數軸上向量的坐標,再根據距離公式求長度.
注意:首先利用數軸上點的坐標,計算出兩點所對應向量的坐標,特別要注意向量坐標運算公式的順序.
1.如圖所示,向量,的坐標分別是(　 )
A.-3,2 B.-3,4
C.2,-2 D.2,2
2.已知數軸上兩點A(-4),B(-1),則的坐標與||分別是 (　 )
A.-3,3 B.3,3
C.3,-3 D.-6,6
3.(多選題)已知數軸上三點A,B,C,若點B的坐標為2,的坐標為5,BC=3,則AC的中點坐標可能為 (　 )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
4.已知e是直線l上的一個單位向量,則直線l上的向量-e,e的坐標分別是　　　　.
5.已知數軸上A,B兩點的坐標分別為x1=-2,x2=5,則對應的坐標為　　　　,AB=　　　　;若點P也在該數軸上,且對應的坐標為-8,則點P對應的坐標是　　　　. 6.2.2　直線上向量的坐標及其運算
1.C　[解析] 由題可知4a-5b的坐標為4×(-5)-5×2=-30,此向量的模為|-30|=30.故選C.
2.D　[解析] 2a+3b的坐標為2×5+3×(-3)=1.故選D.
3.A　[解析] 設M(x1),N(x2),因為P(5),的坐標為2,的坐標為8,所以解得故點N的坐標為11.故選A.
4.C　[解析] 因為2a+3b的坐標為2×3+3×(-6)=-12,所以|2a+3b|=12.故選C.
5.D　[解析] ∵||=|xN-(-3)|=4,∴xN-(-3)=±4,解得xN=1或xN=-7.故選D.
6.A　[解析] 由=-2e,得點A的坐標為-2,又點B的坐標為6,所以線段AB的中點坐標為=2.
7.D　[解析] 因為4a+3b=-a,所以a=-b,又向量b的坐標為6,所以向量a的坐標為-×6=-,所以a-b的坐標是×-×6=-.故選D.
8.BCD　[解析] 由題意知,|e|=1,|a|=|x|,b=ye,a+b=xe+ye=(x+y)e,所以a+b的坐標為x+y.故選BCD.
9.BD　[解析] 因為a=-e,b=e,所以|a|=,|b|=,|a||b|=1,故D正確;b=-×=-a,故A錯誤,B正確;a+b=e=-e,則a+b的坐標為-,故C錯誤.故選BD.
10.-3或3　[解析] 若a與e同向,則a的坐標為3;若a與e反向,則a的坐標為-3.
11.2a-b-2　[解析] 設點C的坐標為x,則x-a=a-2,可得x=2a-2,所以的坐標為2a-2-b,即2a-b-2.
12.0　4　[解析] 因為a=2e,b=-2e,所以a+b=0,|a|+|b|=2+2=4.
13.解:由題意得,a,b的坐標分別為,-,
則|a|=,|b|=,a+b的坐標為+=-,
2a-3b的坐標為2×-3×=,故|a+b|=,|2a-3b|=.
14.解:設a,b,c的坐標分別是x,y,z.
因為向量4a-3b,3a+c的坐標分別為1,-3,且|a+c|=1,
所以解得或
所以a,b,c的坐標分別是-2,-3,3或-1,-,0.
15.D　[解析] 由題意知||=4,故點P在點A的左邊或點B的右邊,設點P的坐標為xP.當點P在點A的左邊時,-1-xP+3-xP=6,解得xP=-2;當點P在點B的右邊時,xP-3+xP-(-1)=6,解得xP=4.綜上所述,點P的坐標為-2或4.故選D.
16.解:(1)因為||=6,所以|d-(-2)|=6,解得d=4或d=-8.
(2)證明:因為的坐標為c+4,的坐標為d+4,
所以c+4=-3(d+4),即c=-3d-16.
因為3的坐標為3(d-c)=3d-3c=3d-3(-3d-16)=12d+48,
-4的坐標為-4(c+4)=-4c-16=-4(-3d-16)-16=12d+48,
所以3=-4.6.2.2　直線上向量的坐標及其運算
一、選擇題
1.直線上向量a,b的坐標分別是-5,2,則向量4a-5b的坐標和模分別是 (　 )
A.30,-30 B.-1,1
C.-30,30 D.-9,9
2.已知直線上向量a的坐標為5,向量b的坐標為-3,則2a+3b的坐標為 (　 )
A.19 B.17
C.9 D.1
3.已知M,P,N都是數軸上的點,P(5),且的坐標為2,的坐標為8,則點N的坐標為(　 )
A.11 B.-11
C.3 D.-3
4.已知直線上向量a的坐標為3,向量b的坐標為-6,則|2a+3b|為 (　 )
A.3 B.6
C.12 D.24
5.已知數軸上兩點M,N,且||=4.若點M的坐標為-3,則點N的坐標為 (　 )
A.1 B.2
C.-7 D.1或-7
6.在數軸上,已知=-2e(e為與數軸正方向同向的單位向量,O為坐標原點),且點B的坐標為6,則線段AB的中點坐標為 (　 )
A.2 B.4
C.-3 D.-2
7.已知a,b是直線l上的兩個向量,4a+3b=-a,且向量b的坐標為6,則向量a-b的坐標為　(　 )
A. - B. C. D.-
8.(多選題)若e是直線l上的一個單位向量,這條直線上的向量a,b的坐標分別為x,y,則下列說法正確的是 (　 )
A.|a|=x
B.b=ye
C.a+b的坐標為x+y
D.|e|=1
9.(多選題)已知e是直線l上的一個單位向量,a與b都是直線l上的向量,且a=-e,b=e,則下列說法正確的是 (　 )
A.a=-b
B.b=-a
C.a+b的坐標為0
D.|a||b|=1
二、填空題
10.已知e是直線l上的一個單位向量,直線l上的向量a滿足|a|=3,則向量a的坐標為　　　　.
11.在數軸上,點A,B的坐標分別為a,b,的坐標為a-2,則的坐標為　　　　.
12.已知e是直線l上的一個單位向量,a與b都是直線l上的向量,且a=2e,b=-2e,則a+b=　　　　,|a|+|b|=　　　　.
三、解答題
13.已知e是直線l上的一個單位向量,a與b都是直線l上的向量,且a=e,b=-e,求|a|,|b|,|a+b|,|2a-3b|.
14.已知a,b,c是直線l上的向量,向量4a-3b,3a+c的坐標分別為1,-3,且|a+c|=1,求a,b,c的坐標.
15.數軸上點A,B的坐標分別為-1,3,若P是數軸上一點,且||+||=6,則點P的坐標為(　 )
A.-3 B.-3或5
C.-2 D.-2或4
16.已知數軸上點A,B,C,D的坐標分別是-4,-2,c,d.
(1)若||=6,求d的值;
(2)若=-3,求證:3=-4.

展開更多......

收起↑