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課后訓—橢圓的幾何性質-
日期：2025. 時長：50-60分鐘/次
【題組一 由橢圓方程求基本量】
1．已知是橢圓：上一點，，是其左右焦點，則（ ）
A．橢圓的焦距為 B．
C．橢圓的離心率 D．的面積的最大值是
2．已知P為橢圓上的動點，，且，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知橢圓的左、右焦點分別為是上在第二象限內的一點，且，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【題組二 橢圓上點到焦點的距離及最值】
4．已知橢圓的方程為，則橢圓上一點到左焦點的距離最小值為（ ）.
A．8 B．5 C．3 D．2
5．已知橢圓的左焦點為，點在上，點在圓上，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．9 D．11
6．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，M為C上任意一點，N為圓E：上任意一點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【題組三 橢圓的離心率】
7．已知橢圓的右頂點與上頂點之間的距離等于焦距，則的離心率為 ．
8．已知橢圓的焦點在圓上，則此橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
9．已知橢圓的左 右焦點為，左 右頂點為，上 下頂點為，若四邊形的面積是四邊形的面積的2倍，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
10．設橢圓的一個焦點為，為內一點，若上存在一點，使得，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題組四 焦點三角形（周長問題）】
11．已知分別是橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，則的周長為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
12．已知點、是橢圓:的左、右焦點，若過焦點的直線交橢圓于A ，B 兩點，則的周長為（ ）
A．4 B．9 C． D．12
13．已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為．過且垂直于的直線與交于，兩點，則的周長為（ ）
A．4 B． C．8 D．
14．直線與橢圓交于A、B兩點，F(xiàn)為橢圓左焦點.則周長最大值是 .
【題組五 焦點三角形（面積問題）】
15．設是橢圓上的一點，，是該橢圓的兩個焦點，且，則的面積為 ，內切圓半徑為 .
16．設，為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
17．設分別為橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，的周長為，且，則的面積為（ ）
A．3 B． C．4 D．
【題組六 焦點三角形（角度問題）】
18．已知橢圓的左、右焦點分別為，點為橢圓上一點，若，則（ ）
A． B． C． D．
19．已知橢圓的左 右焦點分別為，點在上但不在坐標軸上，且是等腰三角形，其中一個內角的余弦值為，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8課后訓—橢圓的幾何性質-
日期：2025. 時長：50-60分鐘/次
【題組一 由橢圓方程求基本量】
1．已知是橢圓：上一點，，是其左右焦點，則（ ）
A．橢圓的焦距為 B．
C．橢圓的離心率 D．的面積的最大值是
【答案】C
【分析】根據(jù)橢圓的標準方程、計算出焦距、離心率、焦點三角形面積并判斷各選項．
【詳解】如圖：
根據(jù)橢圓的標準方程：，得，，所以.
所以：橢圓的焦距為：，故A錯；
根據(jù)橢圓的定義：，故B錯；
橢圓的離心率：，故C正確；
當點為橢圓短軸端點時，的面積最大，為：，故D錯.
故選：C
2．已知P為橢圓上的動點，，且，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)橢圓的定義求解．
【詳解】P為橢圓上的動點，，且，
P的軌跡是以為焦點的橢圓，且，即，，
所以，
故選：C．
3．已知橢圓的左、右焦點分別為是上在第二象限內的一點，且，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓的定義和條件求解焦半徑，再結合幾何關系，即可求解.
【詳解】由條件可知，，得，，且
所以，且，
設直線的傾斜角為，則，
所以直線的斜率為.
故選：B
【題組二 橢圓上點到焦點的距離及最值】
4．已知橢圓的方程為，則橢圓上一點到左焦點的距離最小值為（ ）.
A．8 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)橢圓方程及其性質，即可得點到左焦點的距離最小值.
【詳解】由橢圓方程知，橢圓上點到左焦點的距離最小值為.
故選：D
5．已知橢圓的左焦點為，點在上，點在圓上，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．9 D．11
【答案】A
【分析】根據(jù)“兩點之間，線段最短”可求得的最小值.
【詳解】由橢圓，得，∴，
由得，所以圓心，半徑為.
設分別與橢圓、圓交于點
則，,
所以，
當且僅當四點共線時取等號
的最小值為.
故選：A.
6．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，M為C上任意一點，N為圓E：上任意一點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用橢圓的定義，將轉化為，結合圖形，得最小值.
【詳解】如圖，M為橢圓C上任意一點，則，
又因為N為圓E：上任意一點，
，
當且僅當M、N、E、共線且M、N在E、之間時等號成立．
由題意知，，，則，
所以的最小值為.
故選：B．

【點睛】求最值時，可以利用定點，和E，當M、N、E、共線且M、N在E、之間時最短，等于.
【題組三 橢圓的離心率】
7．已知橢圓的右頂點與上頂點之間的距離等于焦距，則的離心率為 ．
【答案】
【分析】由題可得，結合離心率公式化簡即可求解.
【詳解】設橢圓的半焦距為，
由題可得：，即，化簡得：，
所以橢圓的離心率為：，
故答案為：
8．已知橢圓的焦點在圓上，則此橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓的性質求出焦點坐標，再結合焦點在圓上求出的值，最后根據(jù)橢圓離心率公式求出離心率.
【詳解】已知橢圓方程，則.
根據(jù)橢圓的性質，可得，那么橢圓的焦點坐標為.
因為橢圓的焦點在圓上，將焦點坐標代入圓的方程可得：
即，移項可得.
因為，所以.
由，.
根據(jù)橢圓離心率公式，可得.
此橢圓的離心率為.
故選： B.
9．已知橢圓的左 右焦點為，左 右頂點為，上 下頂點為，若四邊形的面積是四邊形的面積的2倍，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意可得，計算即可.
【詳解】由題意可得，整理得，所以，
所以橢圓的離心率為.
故選：B.
10．設橢圓的一個焦點為，為內一點，若上存在一點，使得，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意可知，橢圓的左焦點為，利用三角形三邊關系求出的取值范圍，即可得出橢圓的離心率的取值范圍.
【詳解】由題意可知，橢圓的左焦點為，由橢圓的定義可得，
，即，解得，
當且僅當為射線與橢圓的交點時，等號成立（此時點與圖中的點重合），
又因為，
當且僅當為射線與橢圓的交點時，等號成立（此時點與圖中的點重合），
所以，解得，所以，
因此，.
故選：C.
【題組四 焦點三角形（周長問題）】
11．已知分別是橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，則的周長為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】由橢圓的定義求解的周長.
【詳解】由題意知：橢圓中，則，
的周長
故選：C
12．已知點、是橢圓:的左、右焦點，若過焦點的直線交橢圓于A ，B 兩點，則的周長為（ ）
A．4 B．9 C． D．12
【答案】D
【分析】根據(jù)橢圓的定義求解.
【詳解】根據(jù)橢圓方程可得，則，
由橢圓的定義得，，，
所以的周長為.
故選：D.
13．已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為．過且垂直于的直線與交于，兩點，則的周長為（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】結合垂直平分線性質可得的周長與的周長相等，再結合橢圓的定義求的周長即可.
【詳解】因為為線段的垂直平分線，
根據(jù)對稱性，，，
所以的周長等于的周長，
利用橢圓的定義得到的周長為 ．
故選：C.
14．直線與橢圓交于A、B兩點，F(xiàn)為橢圓左焦點.則周長最大值是 .
【答案】
【分析】根據(jù)橢圓定義即可結合三點共線求解.
【詳解】由題意可得，
記橢圓右焦點為，則周長
當且僅當直線經過右焦點（不經過左焦點）時取得等號.，
故答案為：
【題組五 焦點三角形（面積問題）】
15．設是橢圓上的一點，，是該橢圓的兩個焦點，且，則的面積為 ，內切圓半徑為 .
【答案】 /
【分析】利用橢圓的定義及余弦定理求出，即可求出的面積，再由等面積法求出內切圓的半徑．
【詳解】由橢圓方程可得，，則，
，，
在中，，
即，解得，
，
設內切圓半徑為，的周長為，
所以，解得.
故答案為：；.
【點睛】
16．設，為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由橢圓標準方程可得，，，根據(jù)題意得或，結合圖形，利用橢圓的定義求出的三邊長，即可求得其面積
【詳解】由橢圓：可得，， ，
因為上一點且在第一象限，則
由為等腰三角形，則可得或，
當時，，
此時的面積為：；
當時，，不合題意，舍去.
綜上，可得的面積為.
故選：C．

17．設分別為橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，的周長為，且，則的面積為（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)橢圓的性質得到，結合求得，由余弦定理求的值，得到三角形面積.
【詳解】由橢圓的性質可得，
又∵，∴，又，所以，，由余弦定理可得，即，
∴，C選項正確；
故選：C
【題組六 焦點三角形（角度問題）】
18．已知橢圓的左、右焦點分別為，點為橢圓上一點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)橢圓的定義及余弦定理可求得結果.
【詳解】由橢圓方程知，，，，則，
由橢圓的定義知，，又，
所以
，
故選：A.
19．已知橢圓的左 右焦點分別為，點在上但不在坐標軸上，且是等腰三角形，其中一個內角的余弦值為，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】，設，由是等腰三角形，利用余弦定理求出，可求的值.
【詳解】依題意得，設，
不妨設點在第一象限，若，有，
故或，
解得或，又9，所以.
若，有，同理可得.
此時，，不符合點在第一象限，
所以.
故選：B.

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