資源簡介

(共35張PPT)
6.2 向量基本定理與向量的坐標
6.2.3 平面向量的坐標及其運算
第1課時 平面向量的坐標表示和運算
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
1.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；
2.會用坐標表示平面向量的加、減與數乘向量運算.
知識點一 平面向量的坐標
1.平面上的兩個非零向量與 ，如果它們所在的直線互相______，我們就稱向
量與 垂直，記作______.規定，零向量與任意向量都垂直.
2.如果平面向量的基底{,中， ，就稱這組基底為__________，在正
交基底下向量的分解稱為向量的__________.
3.一般地，給定平面內兩個相互垂直的單位向量,，對于平面內的向量 ，
如果，則稱為向量 的坐標，記作__________.
4.若,其中為坐標原點,則向量的坐標______就是終點 的坐
標;反過來,終點的______也就是向量 的坐標.
垂直
正交基底
正交分解
坐標
知識點二 平面上向量的運算與坐標的關系
1.向量相等的坐標表示
已知, ，平面上兩個向量相等的充要條件是它們的坐標對
應相等，即 _________________.
且
2.向量的線性運算的坐標表示
已知, ，
（1）________________, ________________,即兩個向量和（差）
的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的__________.
和（差）
（2）__________ ,即實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原
來向量的相應坐標.
（3）若，是兩個實數，則 ______________________，
______________________.
3.向量模的坐標運算
已知,則 __________.
知識點三 平面直角坐標系內兩點之間的距離公式與中點坐標公式
已知,, .
（1）________,________, ________________,即一
個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的______的坐標減去______的坐標.
（2） _______________________，這是平面直角坐標系內兩點之
間的距離公式.
（3）設線段的中點為 ，則__________________，這是平面直角坐
標系內的中點坐標公式.
終點
始點
,
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）兩個向量的終點不同，則這兩個向量的坐標一定不同. ( )
×
（2）當向量的始點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標. ( )
√
（3）兩個向量的差的坐標與兩個向量的順序無關. ( )
×
（4）點的坐標與向量的坐標相同. ( )
×
探究點一 平面向量的正交分解與坐標表示
例1（1） 已知,分別是方向與軸正方向、軸正方向相同的單位向量， 為
原點，設（其中），則點 位于( )
D
A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 由已知得 .因為
， ，所以點A
位于第四象限.故選D.
（2）已知{,}是一組正交基底,且,均為單位向量，向量 的坐標為
_______；坐標為 的向量的正交分解為_____.
[解析] 根據向量的坐標表示，可得向量的坐標為.坐標為
的向量為，即坐標為的向量的正交分解為 .
變式 在直角坐標系中，向量，， 的方向如圖
所示，且，， ，分別計算出它們
的坐標.
解：設，則 ，
，， .
設，則 ，
， .
設，則， ，
.
［素養小結］
向量的正交分解就是把一個向量分解成兩個互相垂直的向量的和.對向量進行有
效的正交分解有助于向量間的運算.
探究點二 平面上向量的運算與坐標的關系
例2（1） 已知，，則 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因為，，所以 .故選C.
（2）已知和是兩個正交單位向量，，且 ，
則 ( )
B
A.2或3 B.2或4 C.3或5 D.3或4
[解析] 由和是正交單位向量，得， ，則
，所以，解得或 .故選
B.
變式（1） 已知向量，，，則可用與 表示
為( )
A
A. B. C. D.
[解析] 設，，，則 ，即
解得 .故選A.
（2）已知，，若點滿足，則點 的坐標為
____________.
[解析] 設，由，得 ，所以
解得故點的坐標為 .
［素養小結］
（1）向量的坐標表示法,可以使向量運算完全代數化,將數與形緊密地結合起來,
這樣許多幾何問題就可以轉化為我們熟知的向量運算的問題.
（2）如果兩個向量是相等向量,那么它們的坐標一定對應相等.當平面向量的起
點在原點時,平面向量的坐標與向量終點的坐標相同.
探究點三 兩點間的距離公式及中點坐標公式
例3 已知,為坐標原點，點在直線上，且，若 是線段
的中點，求點的坐標及 的長.
解：設,, , ，
即解得 點的坐標為 .
點是的中點，, ，解得,, 點的坐標為 .
的長為 .
變式 [2023·廣東揭陽高一期中]已知點，向量 ，
，點是線段的三等分點，則點 的坐標是( )
C
A. B.
C.或 D.或
[解析] 因為，，所以 ，又因為
點是線段的三等分點，所以或 ，
所以或，即點 的坐標為
或 .故選C.
［素養小結］
由中點坐標公式的計算方法可得三等分點的坐標計算方法：設， ,
設,之間靠近點的三等分點為,靠近點的三等分點為，則 ,
.
探究點四 平面向量坐標運算的應用
例4 如圖，在邊長為2的正方形中，,分別是, 的中點.
（1）若，求 的值；
解：如圖，以為坐標原點，分別以,的方向為,
軸的正方向建立平面直角坐標系，
則,,,, ，
則,, .
由 可得
，
則解得所以 .
（2）若為的中點，與交于點，求證： .
證明：，設 ，
易知,,三點共線，則 ，
即 ，
可得,，即 ，
又,,三點共線，且, ，
所以，解得 ，則 ，
所以，，又，所以 .
變式 已知，，，，且點滿足 ，
其中 ， .
（1）若，點在直線上，求實數 ；
解：由題意可知，， ，
若，則 ，
所以，即
則
因為點在直線上，所以 ，解得 .
（2）若，求點的坐標， 滿足的關系式.
解：因為，所以 ，即
代入，得消去 得 .
［素養小結］
利用向量便于研究平面和空間里涉及直線和圖形的各種問題，平面向量的坐標
運算為用“數”的運算處理“形”的問題搭建了橋梁.
1.已知,，則向量 的坐標是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因為,，所以 .故選D.
2.如圖所示，， 是平面內兩個相互垂直的單位向量，則
向量 的坐標為( )
A
A. B.
C.或 D.或
[解析] 因為，所以.又 ，所以
，所以的坐標為 .
3.[2024·陜西西安高一期末]已知向量，，若 ，
則 的取值范圍為( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由題意知，，所以 ，得
，解得，故實數的取值范圍為 .故選B.
4.已知向量，滿足，， ，
則 ___.
0
[解析] 設，，則由，得 由
，得解得所以， .
因為，所以
解得所以 .
5.若，且是線段的一個三等分點，則點 的坐標為________
_____.
或
[解析] 由題意知，或，.設 ，則
.
當時，,可得 , ，即；
當時，,可得 , ，即.
綜上，點的坐標為或 .
1.平面向量的坐標表示
（1）向量的坐標表示實質上是向量的代數表示，引入向量的坐標表示后，可使
向量運算代數化，將數和形緊密結合起來，從而使許多幾何問題的證明轉化為
數量運算.
（2）向量 的坐標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置沒有關系，
只與其相對位置有關系.若是表示的有向線段，，的坐標分別為 ，
，則向量的坐標為 .
解：設點，的坐標分別為， ，
由題可得，， ，
.
， ，
和 解得和
點，的坐標分別為和 .
.
例1 已知，，，.求點，和 的坐標.
2.平面向量的坐標運算
準確、熟練掌握向量的加法、減法、數乘的坐標運算公式.牢記公式、細心計算.
例2 設向量，的坐標分別是，，求，, ,
的坐標.
解：
.
.
.6.2.3　平面向量的坐標及其運算
第1課時　平面向量的坐標表示和運算
【課前預習】
知識點一
1.垂直　a⊥b　2.正交基底　正交分解
3.a=(x,y)　4.(x,y)　坐標
知識點二
1.x1=x2且y1=y2
2.(1)(x1+x2,y1+y2)　(x1-x2,y1-y2)　和(差)　(2)(λx1,λy1)　(3)(ux1 +vx2,uy1 +vy2)　(ux1 -vx2,uy1 -vy2)
3.
知識點三
(1)(x1,y1)　(x2,y2)　(x2-x1,y2-y1)　終點　始點
(2)　(3)x=,y=
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
【課中探究】
例1　(1)D　(2)(-3,6)　-2j　[解析] (1)由已知得=(x2+x+1,-(x2-x+1)).因為x2+x+1=+>0,-(x2-x+1)=--<0,所以點A位于第四象限.故選D.
(2)根據向量的坐標表示,可得向量-3i+6j的坐標為(-3,6).坐標為(0,-2)的向量為0i-2j=-2j,即坐標為(0,-2)的向量的正交分解為-2j.
變式　解:設a=(x1,y1),則x1=2×cos 45°=,y1=2×sin 45°=,∴a=(,).
設b=(x2,y2),則x2=-3×cos 60°=-,y2=3×sin 60°=,∴b=.
設c=(x3,y3),則x3=4×cos 30°=2,y3=-4×sin 30°=-2,∴c=(2,-2).
例2　(1)C　(2)B　[解析] (1)因為A(1,2),B(4,-2), 所以=(3,-4).故選C.
(2)由i和j是正交單位向量,得a=2i+3j=(2,3),b=i+kj=(1,k),則a-b=(1,3-k),所以|a-b|==,解得k=2或k=4.故選B.
變式　(1)A　(2)(-1,-12)　[解析] (1)設c=xa+yb,x,y∈R,則(7,3)=(2x+y,-x+6y),即解得∴c=3a+b.故選A.
(2)設P(x,y),由=-2,得(x-1,y+2)=-2(1,5),所以解得故點P的坐標為(-1,-12).
例3　解:設P(x1,y1),B(x,y),∵=,
∴(x1,y1)=(6-x1,3-y1),
即解得
∴點P的坐標為(2,1).
∵點P是OB的中點,∴2=,1=,
解得x=4,y=2,∴點B的坐標為(4,2).
∴PB的長為=.
變式　C　[解析] 因為=(2,3),=(6,-3),所以=-=(4,-6),又因為點P是線段AB的三等分點,所以==或==,所以=+=或=+=,即點P的坐標為或.故選C.
例4　解:(1)如圖,以A為坐標原點,分別以,的方向為x,y軸的正方向建立平面直角坐標系,
則A(0,0),B(2,0),C(2,2),M(2,1),N(1,2),
則=(2,2),=(2,1),=(-1,2).
由=λ+μ可得(2,2)=λ(2,1)+μ(-1,2)=(2λ-μ,λ+2μ),
則解得所以λ+μ=.
(2)證明:F(0,1),設P(x,y),
易知B,P,N三點共線,則=m,即(x-2,y)=m(-1,2),
可得x=2-m,y=2m,即P(2-m,2m),
又C,P,F三點共線,且=(2,1),=(2-m,2m-1),
所以2×(2m-1)-1×(2-m)=0,解得m=,則P,
所以=,||==2,又AB=2,所以AP=AB.
變式　解: (1)由題意可知=(x-2,y-3),=(3,1),=(5,7),
若α=1,則=+β,
所以(x-2,y-3)=(3,1)+β(5,7),即則
因為點P在直線y=x上,所以5+5β=4+7β,解得β=.
(2)因為=α+β,所以(x-2,y-3)=α(3,1)+β(5,7),即
代入α+β=1,得消去β得3x-y=11.
【課堂評價】
1.D　[解析] 因為A(3,1),B(2,-1),所以=(-1,-2).故選D.
2.A　[解析] 因為a=e1+e2,所以2a=2e1+e2.又b=e1+3e2,所以2a+b=(2e1+e2)+(e1+3e2)=3e1+4e2,所以2a+b的坐標為(3,4).
3.B　[解析] 由題意知,2a-b=(-2,-m),所以|2a-b|=≤3,得m2≤5,解得-≤m≤,故實數m的取值范圍為[-,].故選B.
4.0　[解析] 設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則由2a-b=(0,3),得由a-2b=(-3,0),得解得所以a=(1,2),b=(2,1).因為λa+μb=λ(1,2)+μ(2,1)=(λ+2μ,2λ+μ)=(-1,1),所以解得所以λ+μ=0.
5.(2,2)或 (3,1)　[解析] 由題意知,=或=,=(3,-3).設P(x,y),則=(x-1,y-3).當=時,(x-1,y-3)=(3,-3),可得x=2,y=2,即P(2,2);當=時,(x-1,y-3)=(3,-3),可得x=3,y=1,即P(3,1).綜上,點P的坐標為(2,2)或(3,1).6.2.3　平面向量的坐標及其運算
第1課時　平面向量的坐標表示和運算
【學習目標】
1.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示;
2.會用坐標表示平面向量的加、減與數乘向量運算.
◆ 知識點一　平面向量的坐標
1.平面上的兩個非零向量a與b,如果它們所在的直線互相　　　　,我們就稱向量a與b垂直,記作　　　　.規定,零向量與任意向量都垂直.
2.如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就稱這組基底為　　　　　　,在正交基底下向量的分解稱為向量的　　　　　　.
3.一般地,給定平面內兩個相互垂直的單位向量e1,e2,對于平面內的向量a,如果a=xe1+ye2,則稱(x,y)為向量a的坐標,記作　　　　　　.
4.若=xe1+ye2,其中O為坐標原點,則向量的坐標　　　　就是終點A的坐標;反過來,終點A的　　　　也就是向量的坐標.
◆ 知識點二　平面上向量的運算與坐標的關系
1.向量相等的坐標表示
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),平面上兩個向量相等的充要條件是它們的坐標對應相等,即a=b 　　　　　　　　　　.
2.向量的線性運算的坐標表示
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),
(1)a+b=　　　　　　　　,a-b=　　　　　　　　,即兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的　　　　.
(2)λa=　　　　(λ∈R),即實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.
(3)若u,v是兩個實數,則ua+vb=　　　　　　　　,ua-vb=　　　　　　　　.
3.向量模的坐標運算
已知a=(x,y),則|a|=　　　　.
◆ 知識點三　平面直角坐標系內兩點之間的距離公式與中點坐標公式
已知A(x1,y1),B(x2,y2),O(0,0).
(1)=　　　　　,=　　　　,=-=　　　　　　　　　,即一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的　　　　的坐標減去　　　　的坐標.
(2)AB=||=　　　　　　　　　　,這是平面直角坐標系內兩點之間的距離公式.
(3)設線段AB的中點為M(x,y),則　　　　　　　　　　,這是平面直角坐標系內的中點坐標公式.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩個向量的終點不同,則這兩個向量的坐標一定不同. (　 )
(2)當向量的始點在坐標原點時,向量的坐標就是向量終點的坐標. (　 )
(3)兩個向量的差的坐標與兩個向量的順序無關.(　 )
(4)點的坐標與向量的坐標相同. (　 )
◆ 探究點一　平面向量的正交分解與坐標表示
例1 (1)已知i,j分別是方向與x軸正方向、y軸正方向相同的單位向量,O為原點,設=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),則點A位于 (　 )
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)已知{i,j}是一組正交基底,且i,j均為單位向量,向量-3i+6j的坐標為　　　　;坐標為(0,-2)的向量的正交分解為　　　　.
變式 在直角坐標系xOy中,向量a,b,c的方向如圖所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分別計算出它們的坐標.
[素養小結]
向量的正交分解就是把一個向量分解成兩個互相垂直的向量的和.對向量進行有效的正交分解有助于向量間的運算.
◆ 探究點二　平面上向量的運算與坐標的關系
例2 (1)已知A(1,2),B(4,-2), 則=(　 )
A.(5,0) B.(5,-4)
C.(3,-4) D.(-3,4)
(2)已知i和j是兩個正交單位向量,a=2i+3j,b=i+kj且|a-b|=,則k= (　 )
A.2或3 B.2或4
C.3或5 D.3或4
變式 (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,6),c=(7,3),則c可用a與b表示為 (　 )
A.3a+b B.a+3b
C.3a+2b D.3a-b
(2)已知M(1,-2),N(2,3),若點P滿足=-2,則點P的坐標為　　　　.
[素養小結]
(1)向量的坐標表示法,可以使向量運算完全代數化,將數與形緊密地結合起來,這樣許多幾何問題就可以轉化為我們熟知的向量運算的問題.
(2)如果兩個向量是相等向量,那么它們的坐標一定對應相等.當平面向量的起點在原點時,平面向量的坐標與向量終點的坐標相同.
◆ 探究點三　兩點間的距離公式及中點坐標公式
例3 已知A(6,3),O為坐標原點,點P在直線OA上,且=,若P是線段OB的中點,求點B的坐標及PB的長.
變式 [2023·廣東揭陽高一期中] 已知點O(0,0),向量=(2,3),=(6,-3),點P是線段AB的三等分點,則點P的坐標是 (　 )
A.
B.
C.或
D.或
[素養小結]
由中點坐標公式的計算方法可得三等分點的坐標計算方法:設A(a,b),D(m,k),設A,D之間靠近點A的三等分點為B,靠近點D的三等分點為C,則B,C.
◆ 探究點四　平面向量坐標運算的應用
例4 如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,M,N分別是BC,CD的中點.
(1)若=λ+μ,求λ+μ的值;
(2)若F為AD的中點,CF與BN交于點P,求證:AP=AB.
變式 已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),P(x,y),且點P滿足=α+β,其中α,β∈R.
(1)若α=1,點P在直線y=x上,求實數β;
(2)若α+β=1,求點P的坐標x,y滿足的關系式.
[素養小結]
利用向量便于研究平面和空間里涉及直線和圖形的各種問題,平面向量的坐標運算為用“數”的運算處理“形”的問題搭建了橋梁.
1.已知A(3,1),B(2,-1),則向量的坐標是 (　 )
A.(-2,-1) B.(2,1)
C.(1,2) D.(-1,-2)
2.如圖所示,e1,e2是平面內兩個相互垂直的單位向量,則向量2a+b的坐標為 (　 )
A.(3,4)
B.(2,4)
C.(3,4)或(4,3)
D.(4,2)或(2,4)
3.[2024·陜西西安高一期末] 已知向量a=(1,0),b=(4,m),若|2a-b|≤3,則m的取值范圍為(　 )
A.[-,] B.[-,]
C.[-3,3] D.[-5,5]
4.已知向量a,b滿足2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),λa+μb=(-1,1),則λ+μ=　　　　.
5.若P1(1,3),P2(4,0)且P是線段P1P2的一個三等分點,則點P的坐標為　. 6.2.3　平面向量的坐標及其運算
第1課時　平面向量的坐標表示和運算
1.D　[解析]　由題得=(1,4),所以=-=(-1,-6).故選D.
2.A　[解析] 因為a=(1,-3),b=(-2,0),所以a+2b=(-3,-3),所以|a+2b|==3.故選A.
3.B　[解析] 因為點P是線段AB的中點,所以+=2,設P(x,y),則解得所以點P的坐標是(3,1).故選B.
4.C　[解析] ∵向量a=(2,1),b=(x,-2),∴a+b=(2+x,-1),2a-b=(4-x,4).∵|a+b|=|2a-b|,
∴=,解得x=.故選C.
5.A　[解析] 令(1,2)+λ(3,4)=(-2,-2)+μ(4,5),得(1+3λ,2+4λ)=(-2+4μ,-2+5μ),所以解得所以M∩N={(-2,-2)}.
6.A　[解析] 因為||=2,∠AOC=,所以C(,),又=λ+μ,所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=,所以λ+μ=2.故選A.
7.C　[解析] 方法一:設P(x,y),則=(x-2,y-3).由題得=(3,1),=(5,7),因為=+λ=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ),所以(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),所以即因為點P在第四象限,所以解得-1<λ<-,故實數λ的取值范圍是.
方法二:由題得=+=++λ=+λ=(5,4)+λ(5,7)=(5+5λ,4+7λ)(O為坐標原點),所以P(5+5λ,4+7λ).因為點P在第四象限,所以解得-1<λ<-,故實數λ的取值范圍是.故選C.
8.ACD　[解析] 因為A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),所以=(2,-1),=(-2,1),所以=-,故A正確.+=≠,故B不正確.+=(0,2)=,故C正確.=(-4,0),-2=(0,2)-(4,2)=(-4,0),故D正確.故選ACD.
9.ABC　[解析] 設點D的坐標為(x,y).若=,則(5-3,4-2)=(6-x,7-y),解得x=4,y=5,故D(4,5),所以A正確;若=,則(5-3,4-2)=(x-6,y-7),解得x=8,y=9,故D(8,9),所以B正確;若=,則(6-3,7-2)=(5-x,4-y),解得x=2,y=-1,故D(2,-1),所以C正確.故選ABC.
【易錯】 點D的位置不確定,需分情況討論,此題容易討論不全而漏解.
10.　[解析] 由題可知=3,設P(x,y),則=(3,-5),=(x+1,y-10),所以(3,-5)=3(x+1,y-10),即解得故點P的坐標為.
11.(-6,21)　[解析] -==(1,5)-(4,3)=(-3,2),因為點Q是AC的中點,所以=,所以=+=(1,5)+(-3,2)=(-2,7).因為=2,所以=+=3=3(-2,7)=(-6,21).
12.(10,-21)　[解析] 因為點P在線段AB的延長線上,所以與的方向相反.由||=||,得=-.
設P(x,y),則(x-2,y-3)=-(4-x,-3-y),所以解得故點P的坐標為(10,-21).
13.解:(1)因為四邊形ABCD是平行四邊形,BD,AC相交于點O,
所以==(+)=(a+b).
因為M為BO的中點,所以=(+)==a+b.
(2)如圖,以A為坐標原點,AD所在的直線為x軸,建立平面直角坐標系,由AB=1,AD=2,∠BAD=60°,可求得點C的坐標為,
所以D(2,0),B,因為O為BD的中點,所以O,
又M為BO的中點,所以點M的坐標為.
14.解:(1)由=-=(1,1-x),得||=,
當x=1時,||取得最小值,此時P(1,2),Q(2,2),所以=(1,0).
因為O,P,Q,A四點構成平行四邊形,
所以==(1,0)或==(-1,0)或=+=(3,4).
(2)符合題意的點A的坐標為(1,0)或(-1,0)或(3,4),由這三點構成的圖形為三角形,其面積為×|1-(-1)|×4=4,故所求面積為4.
15.　[解析] 設點D的橫坐標為x,則D(x,2).由已知得=(5,-9),=(-1,-11).設=λ=(5λ,-9λ)=(x,-6),=k=(-k,-11k),所以-9λ=-6,解得λ=,則=.由==·=,得=,則k=,所以=.設點E的坐標為(x1,y1),則=(x1,y1-8)=,可得x1=-,y1=-.故點E的坐標為.
16.BC　[解析] 建立如圖所示的平面直角坐標系,設菱形ABCD的邊長為1,P(x,y),則A(0,0),B(1,0),C,D,E,所以=(1,0),=,=(x,y).由=λ+μ,得(x,y)=λ(1,0)+μ=,所以所以λ+μ=x+y.①當點P在AB上時,0≤x≤1,且y=0,所以λ+μ=x+y=x∈[0,1];②當點P在BC(不含點B)上時,設=m,即(x-1,y)=m,化簡得y=(x-1),所以λ+μ=x+y=x+3(x-1)=4x-3,因為1第1課時　平面向量的坐標表示和運算
一、選擇題
1.已知A(1,3),B(2,7),向量=(0,-2),則= (　 )
A.(1,4) B.(-1,-4)
C.(1,6) D.(-1,-6)
2.已知平面向量a=(1,-3),b=(-2,0),則|a+2b|= (　 )
A.3 B.3
C.2 D.5
3.已知O為坐標原點,向量=(2,3),=(4,-1),P是線段AB的中點,則點P的坐標是(　 )
A.(2,-4) B.(3,1)
C.(-2,4 ) D.(6,2)
4.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若|a+b|=|2a-b|,則實數x的值為 (　 )
A. B.
C. D.2
5.已知M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+μ(4,5),μ∈R},則M∩N=(　 )
A.{(-2,-2)} B. {(2,-2)}
C. {(-2,2)} D. {(2,2)}
6.在平面直角坐標系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C為坐標平面內第一象限內的一點,∠AOC=,且||=2,若=λ+μ,則λ+μ等于 (　 )
A.2 B.
C.2 D.4
7.已知點A(2,3),B(5,4),C(7,10),若第四象限內的點P滿足=+λ,則實數λ的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,-1) B.
C. D.
8.(多選題)已知A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),給出下面四個結論,其中正確的有(　 )
A.=-
B.+=
C.+=
D.=-2
★9.(多選題)已知A(3,2),B(5,4),C(6,7),則以A,B,C為頂點的平行四邊形的另一個頂點D的坐標可以為 (　 )
A.(4,5) B.(8,9)
C.(2,-1) D.(3,-1)
二、填空題
10.已知M(2,5),N(-1,10),點P是線段MN上靠近點N的三等分點,則點P的坐標為　　　　.
11.在△ABC中,點P在BC上,且=2,點Q是AC的中點,若=(4,3),=(1,5),則=　　　　.
12.[2023·湖北武漢外國語學校高一期末] 已知A(2,3),B(4,-3),點P在線段AB的延長線上,且||=||,則點P的坐標為　　　　.
三、解答題
13.如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=1,AD=2,∠BAD=60°,BD,AC相交于點O,M為BO的中點,設向量=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)建立適當的坐標系,使得點C的坐標為,求點M的坐標.
14.若=(1,2x),=(2,x+1),其中O為坐標原點.當||取最小值時,O,P,Q,A四點構成平行四邊形.
(1)求的坐標;
(2)求所有符合題意的點A所構成的平面圖形的面積.
15.在△ABC中,A(0,8),B(5,-1),C(-1,-3),在邊AB上有一點D,其縱坐標為2,設點E為邊AC上的點,且△ADE的面積是△ABC面積的一半,則點E的坐標為　　　　.
16.(多選題)[2023·河北唐山高一期末] 如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,延長CD至點E,使得DE=CD.動點P從點A出發,沿菱形的邊按逆時針方向運動一周回到點A,若=λ+μ,則 (　 )
A.滿足λ+μ=1的點P有且只有一個
B.滿足λ+μ=2的點P有兩個
C.λ+μ存在最小值
D.λ+μ不存在最大值

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