資源簡介

(共33張PPT)
6.2 向量基本定理與向量的坐標
6.2.3 平面向量的坐標及其運算
第2課時 向量平行的坐標表示
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
會用坐標表示平面向量共線的條件,能用向量共線的條件來解決有關向量共
線、直線平行及點共線等問題.
知識點 向量平行的坐標表示
設, .
（1）當時，
（2） .
（3）當時， （即兩個向量的相應坐標成比例）.
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）若，，且與共線，則 .( )
×
（2）若，，三點共線，則向量，， 都是共線向量.( )
√
（3）若，，且，則與 不共線.( )
√
[解析] 例如a=(1,0),b=(0,0)時,滿足a與b共線,但推不出=,故該說法錯誤.
探究點一 判定向量共線（平行）、三點共線
例1（1） （多選題）下列向量能組成一組基底的是 ( )
BC
A.， B.，
C.， D.，
[解析] ，與 共線，故A中向量不能組成一組基底；
，與 不共線，故B中向量能組成一組基底；
，與 不共線，故C中向量能組成一組基底；
，與共線，故D中向量不能組成一組基底.故選 .
（2）證明下列各組點共線：
①,, ;
證明： ,
.
, ,
又與有公共點，,, 三點共線.
②,, .
證明： ,
.
, ，
又與有公共點,,, 三點共線.
變式（1） 若，，是三個互不相等的實數，則， ，
三點共線的充要條件是______________.
[解析] 因為，，三點共線，所以 ，即
，
所以，所以 ，
所以，所以 .
（2）已知，，，，判斷與 是否共線？如果共
線，它們的方向是相同還是相反？
解：， .
方法一： ，
與共線,通過觀察可知，和 方向相反.
方法二：，與 共線且方向相反.
［素養小結］
（1）向量共線的判定方法：
①利用共線向量基本定理，由推出 ;
②利用向量共線的坐標表達式 直接求解.
（2）三點共線問題的實質是向量共線問題,兩個非零向量共線只需滿足方向相
同或相反,兩個向量共線與兩個向量平行是一致的.
拓展 已知,,,.當向量時,,,, 四點是
否在同一條直線上
解：由已知得, ，
因為,共線,所以,解得 .
①當時,, ,
因為 ,
所以,此時,,三點共線，又,所以當時,,,, 四點在
同一條直線上.
②當時,, ,
因為,所以,, 三點不共線,
所以,,, 四點不在同一條直線上.
探究點二 利用向量共線求參數
例2（1） 已知,,，若,,三點共線，則 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由,,，得, ,
因為A,B,C三點共線，所以，即，解得 .
故選A.
（2）若向量,，且,則 ______.
[解析] 因為,，，所以，解得 ，所以
，所以 .
變式（1） 已知向量,,若，， 三點共線，則
實數 ( )
C
A.2 B. C.2或 D. 或1
[解析] 若A，B，C三點共線，則，即 ，化簡得
，解得或 .故選C.
（2）已知向量，，若向量與向量 共線，
則 ___.
[解析] ， ，
向量與向量 共
線，，解得 .
［素養小結］
共線向量基本定理是等價的、雙向的，而且系數 是唯一的，所以可以利
用系數的唯一性來解決共線中的參數問題.
探究點三 向量共線的應用
例3 已知平面向量，， ，
，，且，， 三點共線.
（1）求 的坐標；
解:因為，，所以與不共線，即與 可以組成平面
向量的一組基底，因為， ，
所以，又，且，， 三點
共線，所以，解得
所以
.
（2）已知，若，，，四點按順時針順序構成平行四邊形，求點
的坐標.
解:由（1）知，因為，所以 ，
又，所以 .
因為，，，四點按順時針順序構成平行四邊形，所以 .
設，則 ，
因為，所以解得所以點的坐標為 .
變式 如圖，已知,,，求與的交點
的坐標.
解:設 ,
則, .
因為,,三點共線，所以 ，
所以,解得 ，
所以，所以點的坐標為 .
［素養小結］
利用向量共線解決三點共線問題的關鍵是選擇具有公共點的兩個向量并寫成
的形式.
1.已知，則與 同向的單位向量的坐標是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由題得，則與同向的單位向量是 ，對應的坐標
是 .故選A.
2.若向量與向量是共線向量,且，則 ( )
C
A. B. C.或 D.或
[解析] 與共線， 存在實數 ，使得，又 ,
，解得，或 .故選C.
3.已知點，，，為坐標原點，若 與
共線，則 ( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 由題得，.因為與 共線，
所以，解得 .故選B.
4.已知向量與的方向相反,且,若點的坐標為 ,則
點 的坐標為( )
A
A. B. C. D.
[解析] 與的方向相反,, .設
,則,解得 故點B的坐標為
.
5.已知向量，，若與共線，則實數 的值為____.
[解析] 因為與共線，所以，解得 .
1.兩個向量平行的表示方法
已知， ，
（1）存在實數 ，使得.這是幾何運算，體現了向量與 的長度及方向
之間的關系.
（2） .這是代數運算，用它解決向量共線問題的優點在于不需要
引入參數“ ”，從而減少未知數個數，而且使問題的解決具有代數化的特點，
程序化的特征.對于該形式極易寫錯，如寫成或
都是不對的，因此要理解、記熟這一公式，可簡記為：縱橫交錯積相減.
（3）當時， ，即兩個向量的相應坐標成比例.通過這種形式較易
記憶向量共線的坐標表示，而且不易出現搭配錯誤.
2.向量平行的坐標表示的應用
兩個向量平行的坐標表示的應用，可分為兩個方面.
（1）已知兩個向量的坐標判定兩個向量共線.聯系平面幾何平行、共線的知識，
可以證明三點共線、直線平行等幾何問題.要注意區分向量的共線、平行與幾何
中的共線、平行.
（2）已知兩個向量共線，求點或向量的坐標，求參數的值.要注意方程思想的
應用，向量共線的條件，向量相等的條件等都可作為列方程的依據.
3.若，，三點共線，則 ，從而
，即
，顯然由 ，也可得到
，或由 ，得到
.當這些條件中有一個成立時，即可得出
，， 三點共線.
例1 已知,,,那么與是否共線 線段與線段 是
否共線
解：, ，
且,，與 共線.
又 線段與線段有公共點 ,
線段與線段 共線.
4.利用向量共線求直線的交點坐標
解：, ，, .
, ，, .
設，則，, .
，，即 .
,,,， ，
，即 .
聯立①②，解得，，故點的坐標為, .
例2 在中，，，，，，
與相交于點，求點 的坐標.第2課時　向量平行的坐標表示
【課前預習】
知識點
診斷分析
(1)×　 (2)√　(3)√　[解析] (1)例如a=(1,0),b=(0,0)時,滿足a與b共線,但推不出=,故該說法錯誤.
【課中探究】
例1　(1)BC　[解析] ∵0×(-2)=0×1,∴e1與e2共線,故A中向量不能組成一組基底;∵0×0≠2×,∴e1與e2不共線,故B中向量能組成一組基底;∵3×3≠5×5,∴e1與e2不共線,故C中向量能組成一組基底;∵1×(-6)=3×(-2),∴e1與e2共線,故D中向量不能組成一組基底.故選BC.
(2)證明:①=(-3,-4)-(1,2)=(-3-1,-4-2)=(-4,-6),=(2,3.5)-(-3,-4)=(2+3,3.5+4)=(5,7.5).
∵-4×7.5-(-6)×5=0,∴∥,
又與有公共點B,∴A,B,C三點共線.
②=(0.5,0)-(-1,2)=(0.5+1,0-2)=(1.5,-2),
=(5,-6)-(0.5,0)=(5-0.5,-6-0)=(4.5,-6).
∵1.5×(-6)-(-2)×4.5=0,∴∥,
又與有公共點Q,∴P,Q,R三點共線.
變式　(1)a+b+c=0　[解析] 因為P1(a,a3),P2(b,b3),P3(c,c3)三點共線,所以=λ,即(b-a,b3-a3)=λ(c-a,c3-a3),
所以=,所以b2+ab+a2=c2+ac+a2,
所以b+c=-a,所以a+b+c=0.
(2)解:=(0,4)-(2,1)=(-2,3),=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).
方法一:∵(-2)×(-6)-3×4=0,
∴與共線,通過觀察可知,和方向相反.
方法二:∵=-2,∴與共線且方向相反.
拓展　解:由已知得=(x,1),=(4,x),
因為,共線,所以x2-4=0,解得x=±2.
①當x=-2時,=(6,-3),=(-2,1),
因為6×1-(-3)×(-2)=0,
所以∥,此時A,B,C三點共線,又∥,所以當x=-2時,A,B,C,D四點在同一條直線上.
②當x=2時,=(-2,1),=(2,1),
因為(-2)×1-1×2=-4≠0,所以A,B,C三點不共線,
所以A,B,C,D四點不在同一條直線上.
例2　(1)A　(2)2　[解析] (1)由A(m,0),B(0,1),C(3,-1),得=(-m,1),=(3,-2),
因為A,B,C三點共線,所以∥,即(-m)×(-2)-1×3=0,解得m=.故選A.
(2)因為a=(k,1),b=(3,2),a∥b,所以2k-3=0,解得k=,所以2a+b=(6,4),所以|2a+b|==2.
變式　(1)C　(2)2　[解析] (1)若A,B,C三點共線,則∥,即-2×1-x(1-x)=0,化簡得x2-x-2=0,解得x=-1或x=2.故選C.
(2)∵a=(1,2),b=(2,3),∴λa+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3).∵向量λa+b與向量c=(-4,-7)共線,∴-7(λ+2)+4(2λ+3)=0,解得λ=2.
例3　解:(1)因為e1=(2,-1),e2=(3,-3),所以e1與e2不共線,即e1與e2可以組成平面向量的一組基底,因為=-e1+3e2,=λe1+2e2,
所以=+=(λ-1)e1+5e2,又=-4e1+2e2,且A,C,D三點共線,所以(λ-1)×2=5×(-4),解得λ=-9.
所以=+=-9e1+2e2+(-4e1+2e2)=-13e1+4e2=-13(2,-1)+4(3,-3)=(-14,1).
(2)由(1)知=(-14,1),因為D(2,-1),所以B(16,-2),
又=-e1+3e2=(7,-8),所以A(9,6).
因為A,B,D,E四點按順時針順序構成平行四邊形,所以=.
設E(x,y),則=(x-9,y-6),
因為=(-14,1),所以解得所以點E的坐標為(-5,7).
變式　解:設=λ=(4λ,4λ),
則=(4λ-4,4λ),=(-2,6).
因為A,P,C三點共線,所以∥,
所以6×(4λ-4)-(-2)×4λ=0,解得λ=,
所以=(3,3),所以點P的坐標為(3,3).
【課堂評價】
1.A　[解析] 由題得|a|==2,則與a同向的單位向量是,對應的坐標是.故選A.
2.C　[解析] ∵b與a共線,∴存在實數λ,使得b=λ(2,-1),又|b|=3,∴|λ|=3,解得λ=±3,∴b=(6,-3)或(-6,3).故選C.
3.B　[解析] 由題得+=(-6,-2),=(,m).因為+與共線,所以-6m-(-2)×=0,解得m=1.故選B.
4.A　[解析] ∵與a的方向相反,||=2|a|,∴=-2a=-2(3,-4)=(-6,8).設B(x,y),則=(x+1,y-2),∴解得故點B的坐標為(-7,10).
5.-2　[解析] 因為a與b共線,所以-2(λ+1)-2×1=0,解得λ=-2.第2課時　向量平行的坐標表示
【學習目標】
會用坐標表示平面向量共線的條件,能用向量共線的條件來解決有關向量共線、直線平行及點共線等問題.
◆ 知識點　向量平行的坐標表示
設a=(x1,y1),b=(x2,y2).
(1)當a≠0時,a∥b b=λa
(2)a∥b x2y1=x1y2.
(3)當x1y1≠0時,a∥b =(即兩個向量的相應坐標成比例).
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a與b共線,則=. (　 )
(2)若A,B,C三點共線,則向量,,都是共線向量. (　 )
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y2≠x2y1,則a與b不共線. (　 )
◆ 探究點一　判定向量共線(平行)、三點共線
例1 (1)(多選題)下列向量能組成一組基底的是　 (　 )
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)
B.e1=(0,2),e2=
C.e1=(3,5),e2=(5,3)
D.e1=(1,3),e2=(-2,-6)
(2)證明下列各組點共線:
①A(1,2),B(-3,-4),C(2,3.5);
②P(-1,2),Q(0.5,0),R(5,-6).
變式 (1)若a,b,c是三個互不相等的實數,則P1(a,a3),P2(b,b3),P3(c,c3)三點共線的充要條件是　　　　　　.
(2)已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),判斷與是否共線 如果共線,它們的方向是相同還是相反
[素養小結]
(1)向量共線的判定方法:
①利用共線向量基本定理,由a=λb(b≠0)推出a∥b;
②利用向量共線的坐標表達式x2y1=x1y2直接求解.
(2)三點共線問題的實質是向量共線問題,兩個非零向量共線只需滿足方向相同或相反,兩個向量共線與兩個向量平行是一致的.
拓展 已知A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).當向量∥時,A,B,C,D四點是否在同一條直線上
◆ 探究點二　利用向量共線求參數
例2 (1)已知A(m,0),B(0,1),C(3,-1),若A,B,C三點共線,則m= (　 )
A. B. C.- D.-
(2)若向量a=(k,1),b=(3,2),且a∥b,則|2a+b|=　　　　.
變式 (1)已知向量=(-2,1-x),=(x,1),若A,B,C三點共線,則實數x= (　 )
A.2 B.-1
C.2或-1 D.-2或1
(2)已知向量a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b與向量c=(-4,-7)共線,則λ=　　　　.
[素養小結]
共線向量基本定理是等價的、雙向的,而且系數λ是唯一的,所以可以利用系數的唯一性來解決共線中的參數問題.
◆ 探究點三　向量共線的應用
例3 已知平面向量e1=(2,-1),e2=(3,-3),=-e1+3e2,=λe1+2e2,=-4e1+2e2,且A,C,D三點共線.
(1)求的坐標;
(2)已知D(2,-1),若A,B,D,E四點按順時針順序構成平行四邊形,求點E的坐標.
變式 如圖,已知A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC與OB的交點P的坐標.
[素養小結]
利用向量共線解決三點共線問題的關鍵是選擇具有公共點的兩個向量并寫成a=λb的形式.
1.已知a=(1,),則與a同向的單位向量的坐標是 (　 )
A. B.
C. D.
2.若向量b與向量a=(2,-1)是共線向量,且|b|=3,則b= (　 )
A.(6,-3) B.(-6,3)
C.(6,-3)或(-6,3) D.(3,-6)或(-3,6)
3.已知點A(-4,-2),B(-2,0),C(,m),O為坐標原點,若+與共線,則m=(　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.已知向量與a=(3,-4)的方向相反,且||=2|a|,若點A的坐標為(-1,2),則點B的坐標為 (　 )
A.(-7,10) B.(7,10)
C.(5,-6) D.(-5,6)
5.已知向量a=(λ+1,2),b=(1,-2),若a與b共線,則實數λ的值為　　　　. 第2課時　向量平行的坐標表示
1.D　[解析] 因為∥,所以2x2-3x=0,解得x=0或x=.故選D.
2.C　[解析] 由題知=(1,a-3),=(2,b-3),
∵A,B,C三點共線,∴∥,∴b-3=2(a-3),即2a-b=3.故選C.
3.D　[解析] 由已知得a=-3i+4j=(-3,4),b=-8i-6j=(-8,-6),顯然a,b不共線.又|a|==5,|b|==10,所以|a|<|b|.故選D.
4.C　[解析] 當k=0時,b=c=0,此時b,c與a平行;若a∥d,則-(k2+1)=k2+1,即k2+1=0,顯然k不存在,故a與d不可能平行;當k=±1時,e=0,此時e與a平行.故選C.
5.C　[解析] 由已知得AB∥CD,CD=AB,所以=-=(-1,-2).故選C.
6.A　[解析] ∵向量=(1,2),=(2,-1),=(1,t),t∈R,∴=(1,2)+(2,-1)=(3,1),=(2,-1)-(1,t)=(1,-1-t),又∥,∴=,解得t=-.故選A.
7.A　[解析] 設頂點D的坐標為(x,y).由題意知,=,即(x+2,y-1)=(4,1),則解得故頂點D的坐標為(2,2).故選A.
8.AD　[解析] 由題意可得=(3,1)-(2,-1)=(1,2).在A中,a=(-1,-2)=-,滿足題意;在D中,a=(-4,-8)=-4,滿足題意.B,C中的a與不平行.故選AD.
9.ACD　[解析] 對于A,∵=(-1,3),∴||=,
∴與同向的單位向量為,即,故A正確;對于B,設P(x,y),則(x-2,y+1)=2(1-x,2-y),∴解得∴P,故B錯誤;對于C,∵a=(1,-3)=-,∴a∥,故C正確;對于D,∵=(1,2),=(1,2),∴=,∴OB∥CA且OB=CA,∴四邊形OBAC為平行四邊形,故D正確.故選ACD.
10.-1或-　[解析] 因為m=(-1,3λ+2),n=(-λ,-1-2λ),m∥n,所以2λ+1+λ(3λ+2)=0,即3λ2+4λ+1=0,解得λ=-1或λ=-.
11.-　[解析] 由已知得a+b=(-1,x+3),3a+2b=(-1,3x+6).因為a+b與3a+2b共線,所以3+x=3x+6,解得x=-.
12.或　[解析] ∵a=(1,-),∴|a|==2,則與a共線的單位向量為=(1,-)=或-=-(1,-)=.
13.解:因為a=(1,-2),b=(x-1,x2-5x+4),且a∥b,
所以x2-5x+4+2(x-1)=0,整理可得x2-3x+2=0,解得x=1或x=2.
當x=1時,b=(0,0)=0,不符合題意;
當x=2時,b=(2-1,22-5×2+4)=(1,-2),符合題意.
故x=2且b的坐標為(1,-2).
14.解:(1)∵a=mb+nc,∴(3,2)=(-m+4n,2m+n),
則解得
(2)∵(a+kc)∥(2b-a),a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∴2(3+4k)+5(2+k)=0,
解得k=-.
(3)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),(d-c)∥(a+b),|d-c|=1,
∴解得或
故d=或d=.
15.B　[解析] 由已知得a與b不共線,若a∥b,則(2m+3)-3(m-1)=0,解得m=6,∴實數m應滿足m≠6.故選B.
16.解:以A為坐標原點,的方向為x軸的正方向,的方向為y軸的正方向,建立平面直角坐標系,如圖所示.則A(0,0),C(6,6),F(6,4),E(3,0).設P(x,y),則=(x,y),=(6,4),=(x-3,y),=(3,6).由A,P,F三點共線和C,P,E三點共線,
得解得
∴S四邊形APCD=S正方形ABCD-S△AEP-S△CEB=36-×3×3-×3×6=.第2課時　向量平行的坐標表示
一、選擇題
1.已知向量=(2,3),=(x,x2),若∥,則x= (　 )
A. B.-
C.-或 D.0或
2.若A(2,3),B(3,a),C(4,b)三點共線,則有(　 )
A.a=3,b=-5 B.a-b+1=0
C.2a-b=3 D.a-2b=0
3.已知i,j是兩個正交單位向量,若向量a=-3i+4j,b=-8i-6j,則 (　 )
A.|a|>|b| B.a,b方向相同
C.a,b方向相反 D.|a|<|b|
4.設k∈R,則下列向量中與向量a=(1,-1)一定不平行的是 (　 )
A.b=(k,k)
B.c=(-k,-k)
C.d=(k2+1,k2+1)
D.e=(k2-1,k2-1)
5.[2023·廣東佛山高一期末] 在梯形ABCD中,AB=2BC=2CD=2AD,已知=(2,4),則=(　 )
A.(2,1) B.(1,2)
C.(-1,-2) D.(-2,-1)
6.已知向量=(1,2),=(2,-1),=(1,t),t∈R,若∥,則實數t的值為 (　 )
A.- B.-4 C.4 D.
7.[2023·河南鄭州高一期中] 已知 ABCD的三個頂點A,B,C的坐標分別是(-2,1),(-1,3),(3,4),則頂點D的坐標是 (　 )
A.(2,2) B.(3,1)
C.(2,-2) D.(3,-1)
8.(多選題)已知兩點A(2,-1),B(3,1),與方向相反的向量a可能是 (　 )
A.a=(-1,-2) B.a=(9,3)
C.a=(-1,2) D.a=(-4,-8)
9.(多選題)已知O為坐標原點,A(2,-1),B(1,2),則下列說法正確的有 (　 )
A.與同向的單位向量為
B.若=2,則點P的坐標為
C.若a=(1,-3),則a∥
D.若C(1,-3),則四邊形OBAC為平行四邊形
二、填空題
10.已知m=(-1,3λ+2),n=(-λ,-1-2λ),若m∥n,則實數λ的值為　　　　.
11.已知a=(1,x),b=(-2,3),若a+b與3a+2b共線,則x= 　　　　.
12.[2023·廣東東莞高一期末] 已知向量a=(1,-),則與a共線的單位向量為　.
三、解答題
13.已知a∥b,a=(1,-2),非零向量b=(x-1,x2-5x+4),求實數x的值及b的坐標.
14.平面內給定三個向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求滿足a=mb+nc的實數m,n;
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求實數k;
(3)設d=(x,y)滿足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.
15.已知向量a=(1,3),b=(m-1,2m+3)在同一平面內,若對于這一平面內的任意向量c,有且只有一對實數λ,μ,使得c=λa+μb,則實數m滿足 (　 )
A.m≠2 B.m≠6
C.m≠- D.m≠-6
16.已知四邊形ABCD是邊長為6的正方形,E為AB的中點,點F在邊BC上,且BF∶FC=2∶1,AF 與EC相交于點P,求四邊形APCD的面積

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