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5.7 三角函數的應用
1.聲音是由于物體的振動產生的能引起聽覺的波，每一個聲音都是由純音合成的，純音的數學模型是三角函數，如音叉發出的純音振動可表示為，其中x表示時間，y表示純音振動時音叉的位移，表示純音振動的頻率（對應音高），A表示純音振動的振幅（對應音強）.已知某音叉發出的純音振動可表示為，則該純音振動的頻率為( )
A. B. C. D.
2.將函數圖象上所有的點都向左平移個單位長度后，再將所得函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，得到函數的圖象，則( )
A. B.
C. D.
3.我們平時聽到的樂音不只是一個音在響，而是許多個音的結合，稱為復合音.復合音的產生是因為發聲體在全段振動，產生頻率為f的基音的同時，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振動，產生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數，如2f，3f，4f等.這些音叫諧音，因為其振幅較小，一般不易單獨聽出來，所以我們聽到的聲音的函數為.則函數的周期為( )
A. B. C. D.
4.某個彈簧振子做簡諧運動，已知在完成一次全振動的過程中，時間t（單位：）與位移y（單位：）之間滿足函數關系：，則這個簡諧運動的振幅是( )
A. B. C. D.
5.智能主動降噪耳機的工作原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）.已知噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相位為，則通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為( )
A. B. C. D.
6.某港口一天24h內潮水的高度S(單位：m)隨時間t(單位：，)的變化近似滿足關系式，則下列說法正確的有( )
A.在上的平均變化率為
B.相鄰兩次潮水高度最高的時間間距為24h
C.當時，潮水的高度會達到一天中最低
D.4時潮水起落的速度為
7.健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為和，心臟跳動時，血壓在增加或減小，血壓的最大值、最小值分別為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓，讀數為120/80mmhg為標準值．設某人的血壓滿足函數式，其中為血壓（mmhg），t為時間（min）．給出以下結論：
①此人的血壓在血壓計上的讀數為140/90mmhg ②此人的血壓在健康范圍內
③此人的血壓已超過標準值 ④此人的心跳為80次/分
其中正確結論的個數為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.受潮汐影響，某港口一天的水深（單位：m）與時刻t的部分記錄如下表：
時刻t
水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
若該天從與t的關系可近似的用函數來表示，則下列結論正確的是( )
A. B.
C.時的水深約為 D.一天中水深低于的時間為4小時
9.（多選）如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在時相對于平衡位置的高度h（單位：）由關系式，確定，其中，，.小球從最高點出發，經過后，第一次回到最高點，則( )
A.
B.
C.與時的相對于平衡位置的高度h之比為
D.與時的相對于平衡位置的高度h之比為2
10.（多選）一個質點運動的位移y（單位：m）隨著時間t（單位：s）呈周期性變化，其對應的函數圖象如下，則下列結論正確的是( )
A.該質點的運動周期為 B.該質點的運動振幅為
C.該質點的運動頻率為 D.該質點的運動周期為
11.已知某種交流電電流I（單位：A）隨時間t（單位：s）的變化規律可以用函數，表示，則這種交流電電流在內往復運行__________次.
12.潮汐是發生在沿海地區的一種自然現象，是指海水在天體（主要是月球和太陽）引潮力作用下所產生的周期性運動.習慣上把海面垂直方向漲落稱為潮汐，而海水在水平方向的流動稱為潮流.早先的人們為了表示生潮的時刻，把發生在早晨的高潮叫潮，發生在晚上的高潮叫汐，這是潮汐名稱的由來.下表中給出了某市碼頭某一天水深與時間的關系（夜間零點開始計時）.
時刻（t） 0 2 4 6 8 10 12
水深（y）單位：米 5.0 4.8 4.7 4.6 4.4 4.3 4.2
時刻（t） 14 16 18 20 22 24
水深（y）單位：米 4.3 4.4 4.6 4.7 4.8 5.0
用函數模型（，）來近似地描述這些數據，則________.
13.某游樂場的摩天輪示意圖如圖所示，已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點與地面的距離為2米，沿逆時針方向勻速旋轉，旋轉一周所需時間為分鐘.在圓周上均勻分布12個座艙，標號分別為1~12（可視為點），在旋轉過程中，座艙與地面的距離h（單位：米）與時間t（單位：分）的函數關系基本符合正弦函數模型，現從圖示位置，即1號座艙位于圓周最右端時開始計時，旋轉時間為t分鐘，則1號座艙與地面的距離h與時間t的函數關系h（t）的解析式為___________.
14.如圖某地夏天從時用電量變化曲線近似滿足函數
(1)這一天的最大用電量為__________萬度，最小用電量為__________萬度；
(2)這段曲線的函數解析式為__________.
15.國際油價在某一時間內呈現正弦型波動規律：（單位：美元），t為天數，，.現采集到下列信息：最高油價為80美元，當天時，油價最低，則的最小值為_________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：頻率為，
故選：C.
2.答案：D
解析：將圖象上所有的點都向左平移個單位長度后，
得到函數的圖象，
再將所得函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，
得.
故選：D.
3.答案：B
解析：由，
對A：，故A不正確；
對B：
，故B正確；
對C：，故C不正確；
對D：，故D不正確；
故選：B.
4.答案：C
解析：因為，
所以，這個簡諧運動的振幅是.
故選：C.
5.答案：A
解析：因為噪音的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相位為，
則，，，
所以噪聲的聲波曲線的解析式為，
所以通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為.
故選：A.
6.答案：A
解析:對A，在上的平均變化率為，故A正確；
對B，相鄰兩次潮水高度最高的時間間距為1個周期，故B錯誤；
對C，，沒有達到最低，故C錯誤；
對D，，則，故D錯誤.
故選：A.
7.答案：C
解析：因為某人的血壓滿足函數式，
又因為，所以，即，
即此人的血壓在血壓計上的讀數為140/90mmhg，故①正確；
因為收縮壓為，舒張壓為mmhg，均超過健康范圍，
即此人的血壓不在健康范圍內，故②錯誤，③正確；
對于函數，其最小正周期，
則此人的心跳為次/分，故④正確.
故選：C.
8.答案：C
解析：由數據知，，
所以，A錯誤；，，故B錯誤；
由，得，，，故C正確；
由，得，，或，故水深低于3.75的時間為8小時，故D錯誤.
故選：C.
9.答案：BD
解析：由題可知小球運動的周期，所以，解得.當時，.
又，所以，則，
所以與時的相對于平衡位置的高度之比為.
故選：BD.
10.答案：BCD
解析：由題圖可知，運動周期為，故A錯誤，D正確；該簡諧運動的振幅為，B正確；該簡諧運動的頻率，C正確.
故選：BCD.
11.答案：25
解析：周期，
頻率為每秒50次，
內往復運行25次.
故答案為：25.
12.答案：或
解析：由表中某市碼頭某一天水深與時間的關系近似為函數（，），從表中數據可知，函數的最大值為5.0，最小值為4.2，所以，解得，，故.
故答案為：或寫成.
13.答案：
解析：設函數解析式為：，
因為最小正周期，所以，
h的最大值為62，最小值為2，所以，
摩天輪正中心離地面32米，所以，
當時，，所以，.
所以解析式為：.
故答案為：.
14.答案：(1)
(2)
解析：(1)由圖象得最大用電量為50萬度，最小用電量為30萬度.
(2)觀察圖象可知，從時的圖象是的半個周期的圖象，
∴
∵
∴.將代入上式，解得
∴所求解析式為
故答案為：(1) .
(2) .
15.答案：
解析：由題意得，，又因為，所以時，最小.最小值為.
故答案為：.

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