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6.2.2　空間向量的坐標表示
第1課時　空間直角坐標系及其線性運算的坐標表示
一、基礎達標
1.已知i,j,k分別是空間直角坐標系O-xyz中x軸、y軸、z軸的正方向上的單位向量,且=-i+j-k,則點B的坐標是(　　)
A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k)
C.(1,-1,-1) D.不確定
2.如圖,正方體OABC-O1A1B1C1的棱長為2,E∈B1B,且EB=2EB1,則=(　　)
A.(2,2,1) B.(2,2,2)
C.(2,2,) D.(2,2,)
3.若向量a=(2,0,-1),向量b=(0,1,-2),則2a-b=(　　)
A.(-4,1,0) B.(-4,1,-4)
C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4)
4.已知向量a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2),c=(x,2,2),若向量c與向量a,b共面,則實數x的值為(　　)
A.1 B. C.- D.-1
5.(多選題)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直線DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系Dxyz,則下列結論中正確的是(　　)
A.點A關于直線DD1對稱的點為(-4,0,0)
B.點C1關于點B對稱的點為(8,5,-3)
C.點B1的坐標為(3,5,4)
D.點C關于平面ABB1A1對稱的點為(8,5,0)
6.已知向量a=(1,2,-3),b=(-2,λ,6),若a與b共線,則λ=　　　.
7.已知=(1,-1,1),=(2,0,-1),點P在線段AB上,且AP=2PB,則向量的坐標為　　　　　.
8.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別為棱BB1,DC的中點,建立如圖所示的空間直角坐標系.寫出向量的坐標.
二、能力提升
9.已知空間向量a=(1,2,-3),則向量a在坐標平面yOz上的投影向量是(　　)
A.(0,2,3) B.(0,2,-3)
C.(1,2,0) D.(1,2,-3)
10.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(1,3,λ),若a,b,c三個向量不能構成空間的一個基底,則實數λ的值為(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知空間四點A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),D(x,-1,3)共面,則x的值為(　　)
A.4 B.1 C.10 D.11
12.在三棱錐P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=1,M,N分別是PC,AC的中點,建立如圖所示的空間直角坐標系B-xyz,則向量的坐標為　　　　　.
13.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐標為(2,1,-1),則p在基底{2a,b,-c}下的坐標為　　　　,在基底{a+b,a-b,c}下的坐標為　　　　.
14.如圖,在正四棱錐 P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,O是AC與BD的交點,PO=1,M是PC的中點.設=a,=b,=c.
(1)用向量a,b,c表示;
(2)在如圖所示的空間直角坐標系中,求的坐標.
三、拓展探究
15.定義一個集合Ω,集合中的元素是空間內的點集,任取P1,P2,P3∈Ω,存在不全為0的實數λ1,λ2,λ3,使得λ1+λ2+λ3=0.已知(1,0,0)∈Ω,則(0,0,1) Ω的充分條件是(　　)
A.(0,0,0)∈Ω B.(-1,0,0)∈Ω
C.(0,1,0)∈Ω D.(0,0,-1)∈Ω
16.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).
(1)若,求點D的坐標;
(2)請問是否存在實數α,β,使得=α+β成立 若存在,求出α,β的值;若不存在,說明理由.
參考答案
1.A
2.D　依題意,EB=2EB1,所以EB=×2=,所以=(2,2,).故選D.
3.C　因為向量a=(2,0,-1),向量b=(0,1,-2),所以2a-b=2(2,0,-1)-(0,1,-2)=(4,-1,0).故選C.
4.C　若向量c與向量a,b共面,a,b不共線,
則c=λa+μb,
即(x,2,2)=(-2λ-μ,-λ+μ,2λ+2μ),
故解得故選C.
5.ABD　由圖可得A(4,0,0),則點A關于直線DD1對稱的點為(-4,0,0),故A正確;由于C1(0,5,3),B(4,5,0),所以點C1關于點B對稱的點為(8,5,-3),故B正確;點B1的坐標為(4,5,3),故C不正確;由于點C(0,5,0),則點C關于平面ABB1A1對稱的點為(8,5,0),故D正確.故選ABD.
6.-4　向量a=(1,2,-3),b=(-2,λ,6),若a與b共線,則有,解得λ=-4.故答案為-4.
7.(,-)　因為點P在線段AB上,且AP=2PB,所以=2,所以=2(),得.因為=(1,-1,1),=(2,0,-1),所以(1,-1,1)+(2,0,-1)=(,-,-),所以=(,-,-)-(1,-1,1)=(,-).故答案為(,-).
8.解 根據題意可得D(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),A1(2,0,2),又E,F分別為棱BB1,DC的中點,可得E(2,2,1),F(0,1,0),利用向量坐標運算法則可得=(0,1,0)-(2,2,1)=(-2,-1,-1),即=(-2,-1,-1);=(0,1,0)-(2,2,2)=(-2,-1,-2),即=(-2,-1,-2);=(2,2,1)-(2,0,2)=(0,2,-1),即=(0,2,-1).所以=(-2,-1,-1),=(-2,-1,-2),=(0,2,-1).
9.B　根據空間中點的坐標確定方法知,空間向量a=(1,2,-3)在坐標平面yOz上的投影坐標的橫坐標為0,縱坐標與豎坐標不變.所以空間向量a=(1,2,-3)在坐標平面yOz上的投影向量是(0,2,-3).故選B.
10.A　若a,b,c三個向量不能構成空間向量的一個基底,則a,b,c共面,則存在x,y∈R,使得c=xa+yb (1,3,λ)=(2x-y,4y-x,3x-2y),則解得所以實數λ的值為1.故選A.
11.D　=(-2,2,-2),=(-1,6,-8),=(x-4,-2,0).
因為A,B,C,D四點共面,所以共面.
所以存在實數λ,μ,使=λ+μ,
即(x-4,-2,0)=(-2λ-μ,2λ+6μ,-2λ-8μ),
所以解得故選D.
12.(,0,-)　由圖可知,P(0,0,1),A(1,0,0),則=(1,0,-1),又M,N分別是PC,AC的中點,則MN是△CAP的中位線,故MN∥PA,且MN=PA,于是=(,0,-).故答案為(,0,-).
13.(1,1,1)　　由題意知,p=2a+b-c,
則向量p在基底{2a,b,-c}下的坐標為(1,1,1).
設向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標為(x,y,z),則
p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,
又∵p=2a+b-c,
∴解得x=,y=,z=-1,
∴p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標為.
14.解 (1))=)==-a+b+c.
(2)a==(1,0,0),b==(0,1,0).
∵A(0,0,0),O,P,
∴c=,
∴=-a+b+c=-(1,0,0)+(0,1,0)+.
15.C　由題意知這三個向量共面,即這三個向量不能構成空間的一個基底,對于A,由空間直角坐標系易知(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三個向量共面,則當(0,0,0),(1,0,0)∈Ω無法推出(0,0,1) Ω,故A錯誤;對于B,由空間直角坐標系易知(-1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三個向量共面,則當(-1,0,0),(1,0,0)∈Ω無法推出(0,0,1) Ω,故B錯誤;對于C,由空間直角坐標系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)三個向量不共面,可構成空間的一個基底,則由(1,0,0),(0,1,0)∈Ω能推出(0,0,1) Ω,故C正確;對于D,由空間直角坐標系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,0,-1)三個向量共面,則當(0,0,-1),(1,0,0)∈Ω無法推出(0,0,1) Ω,故D錯誤.故選C.
16.解 (1)設D(x,y,z),則=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0).
因為,
所以存在實數m,n,有
解得即D(-1,1,2).
(2)存在.依題意得=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).假設存在實數α,β,使得=α+β成立,則有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),
所以
故存在α=β=1,使得=α+β成立.

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