資源簡介

(共22張PPT)
6.3 平面向量線性運算的應用
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
1.會用向量法計算或證明平面幾何中的相關問題;
2.會用向量法解決某些簡單的物理學中的問題.
知識點 平面向量線性運算的應用
平面向量的線性運算通常可以解決__________和______中的一些問題.
1.向量在平面幾何中的應用
（1）證明線線平行問題，包括相似問題，常用向量平行（共線）的等價條件：
________ ____________ .
（2）求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運算、向量模的公式：
|__________ .
平面幾何
物理
（3）要證，，三點共線，只要證明存在唯一實數，使 ，或
若為平面上任一點，則只需要證明存在實數 ， ，使
（其中 ）.
2.向量在物理中的應用
（1）力
力包括大小、方向、作用點三個要素.在不考慮作用點的情況下，可利用向量運
算法則進行計算.
（2）速度
一質點在運動中每一時刻都有一個速度，該速度可以用有向線段表示.
（3）將物理量轉化為向量之后，可以按照向量的運算法則進行計算.
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）求力和， 的合力可運用向量加法的平行四邊形法則. ( )
√
（2）若向量，分別表示兩個力， ，則
.( )
√
（3）在四邊形中，若，且，則四邊形 的形狀
為等腰梯形.( )
√
（4）物理學中的功是一個向量.( )
×
[解析] 功是一個標量,沒有方向,不是向量.
探究點一 向量在平面幾何中的應用
例1 [2023·江蘇鎮(zhèn)江高一期中]已知中，點為 所在平面內一點，
則“”是“點為 的重心”的( )
C
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
[解析] 依題得，
則 是的重心，所以充分性成立；
若是的重心，則 ，可得
,所以必要性成立.
故“”是“點為 的重心”的充要條件.故選C.
變式 [2023·江西九江高一期中] 已知的三個頂點，， 及平面內一
點滿足，則點 在( )
D
A.的內部 B.線段上 C.直線上 D. 的外部
[解析] 由題得，如圖所示，則四邊形 是平行四邊形，
所以在 的外部.故選D.
［素養(yǎng)小結］
利用向量解決平面幾何問題，主要是針對向量的加法、減法和數乘向量與平面
幾何的全等、相似、平行等關系的對應，用以解決與平面幾何有關的全等、相
似和平行等問題.
探究點二 向量在物理中的應用
例2 [2024·廣東汕頭高一期末]設表示“向東走”，表示“向南走 ”，
則 所表示的意義為( )
A
A.向東南走 B.向西南走
C.向東南走 D.向西南走
[解析] 因為表示“向東走”，表示“向南走 ”，所以
表示“向東走，向南走 ”，等價于向東南走
.故選A.
變式 一個質點因受到平面上的三個力，， 的作用而處于平衡狀態(tài)，
已知，成 角，且，，則 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因為質點處于平衡狀態(tài)，所以，所以 ，
所以 .如圖，由向量加法的平行四邊形法則及平面幾何知識求解，
得 故選D.
［素養(yǎng)小結］
向量是既有大小又有方向的量，物理中的很多量也是既有大小又有方向的量，如
位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及這些量的運算時可以借助向量來解決.
1.已知作用在點的三個力，，，且 ，
則合力 的終點的坐標為( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由題得.設合力 的終
點為，為坐標原點，則 ，所以
.故選A.
2.以,, 為頂點的三角形是( )
C
A.銳角三角形 B.以 為直角的直角三角形
C.以 為直角的等腰直角三角形 D.鈍角三角形
[解析] 由題得,, ，則
， ，
，因為,且 ，所以
是以A為直角的等腰直角三角形.故選C.
3.在坐標平面內，一只小螞蟻的速度，這只螞蟻從點 處沿直線
移動到點 處所用的時間為( )
B
A.2 B.3 C.4 D.8
[解析] ,,，又 ,
, 所求時間 .故選B.
4.已知為的邊的中點，所在平面內有一點 滿足
，則 的值為( )
A
A.1 B. C. D.2
[解析] ,是以,為鄰邊的平行四邊形的對角線,為
的中點，為的中點， .故選A.
5.一艘船以的速率沿著與水流方向成 角的方向航行，已知河水流速
的大小為，則經過該船實際航程為___ .
6
[解析] 根據題意， 畫出示意圖，如圖所示， 表示水流速度，表示船在靜
水中的速度，則 表示船的實際速度，
因為，， ，所以
，所以，所以實際速度的大小為 ，故實際航
程為
1.用向量法解決幾何問題時，要結合幾何體本身具有的性質進行求解
例1 （多選題）瑞士數學家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中有
這樣一個定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心
的距離是垂心和重心距離之半”，這就是著名的歐拉線定理.設中，點 ，
， 分別是外心、垂心、重心，則下列結論錯誤的是( )
CD
A. B.
C.設邊的中點為，則 D.
[解析] 如圖.
對于A，由歐拉線定理可知，，且，，
三點共線，所以 ,故選項A中結論正確；
對于B， ,所以
，故選項B中結論正確；
對于C，由題得,,所以,因為D為的中點，為 的
重心，所以，又， ，所以，
所以 ，則 ，故選項C中結論錯誤；
對于D，向量，， 的模相等，方向不同，故選項D中結論錯誤.故選 .
2.用向量法解決物理問題的一般步驟:
①問題的轉化:把物理問題轉化成數學問題.
②模型的建立:建立以向量為主體的數學模型.
③參數的獲取:求出數學模型的相關解.
④問題的答案:利用建立起來的數學模型,解釋和回答相關的物理現象.
解:如圖，設表示飛機從地按北偏東 的方向飛行
，表示從地按南偏東 的方向飛行 ，
則飛機飛行的路程指的是 ，兩次飛行的位移的
和指的是 .
例2 在某地抗震救災中，一架飛機從地按北偏東 的方向飛行 到達
地接到受傷人員，然后又從地按南偏東 的方向飛行送往 地醫(yī)院，
求這架飛機飛行的路程及兩次位移的和.
依題意得， .
因為 ， ，所以 ，
所以 ，
其中 ，所以的方向為北偏東 .
故飛機飛行的路程是，兩次飛行的位移和的大小為 ，方向為北
偏東 .6.3　平面向量線性運算的應用
【課前預習】
知識點
平面幾何　物理
1.(1)b=λa　x1y2=x2y1　(2)
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　[解析] (4)功是一個標量,沒有方向,不是向量.
【課中探究】
例1　C　[解析] 依題得+-3=+++-3=++=0,則G是△ABC的重心,所以充分性成立;若G是△ABC的重心,則++=0,可得++=+++-3=+-3=0,所以必要性成立.故“+-3=0”是“點G為△ABC的重心”的充要條件.故選C.
變式　D　[解析] 由題得=-=,如圖所示,則四邊形PACB是平行四邊形,所以P在△ABC的外部.故選D.
例2　A　[解析] 因為a表示“向東走10 km”,b表示“向南走5 km”,所以b+a+b=a+2b表示“向東走10 km,向南走10 km”,等價于向東南走10 km.故選A.
變式　D　[解析] 因為質點處于平衡狀態(tài),所以F1+F2+F3=0,所以F3=-(F1+F2),所以|F3|=|F1+F2|.如圖,由向量加法的平行四邊形法則及平面幾何知識求解,得|F3|=|F1+F2|=2(N).故選D.
【課堂評價】
1.A　[解析] 由題得f=f1+f2+f3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0).設合力f的終點為P(x,y),O為坐標原點,則=+f=(1,1)+(8,0)=(9,1),所以P(9,1).故選A.
2.C　[解析] 　由題得=(1,4),=(4,-1),=(3,-5),則||==,||==,||==,因為+=,且||=||,所以△ABC是以A為直角的等腰直角三角形.故選C.
3.B　[解析] ∵v=(1,2),=(3,6),∴v∥,又|v|==,||==3,∴所求時間t==3.故選B.
4.A　[解析] ∵=+,∴PA是以PB,PC為鄰邊的平行四邊形的對角線,∵D為BC的中點,∴D為PA的中點,∴=1.故選A.
5.6　[解析] 根據題意, 畫出示意圖,如圖所示,表示水流速度,表示船在靜水中的速度,則表示船的實際速度,因為||=2,||=4,∠AOB=120°,所以∠CBO=60°,所以||=2,所以實際速度的大小為2 km/h,故實際航程為2×=6(km).6.3　平面向量線性運算的應用
【學習目標】
1.會用向量法計算或證明平面幾何中的相關問題;
2.會用向量法解決某些簡單的物理學中的問題.
◆ 知識點　平面向量線性運算的應用
平面向量的線性運算通常可以解決　　　　　和　　　　中的一些問題.
1.向量在平面幾何中的應用
(1)證明線線平行問題,包括相似問題,常用向量平行(共線)的等價條件:a∥b(a≠0) 　　　 　　　　　(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
(2)求線段的長度或證明線段相等,可以利用向量的線性運算、向量模的公式:|a|=　　　　(a=(x,y)).
(3)要證A,B,C三點共線,只要證明存在唯一實數λ≠0,使=λ,或若O為平面上任一點,則只需要證明存在實數λ,μ,使=λ+μ(其中λ+μ=1).
2.向量在物理中的應用
(1)力
力包括大小、方向、作用點三個要素.在不考慮作用點的情況下,可利用向量運算法則進行計算.
(2)速度
一質點在運動中每一時刻都有一個速度,該速度可以用有向線段表示.
(3)將物理量轉化為向量之后,可以按照向量的運算法則進行計算.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)求力F1和F2(F1≠0,F2≠0)的合力可運用向量加法的平行四邊形法則. (　 )
(2)若向量=(2,2),=(-2,3)分別表示兩個力F1,F2,則|F1+F2|=5. (　 )
(3)在四邊形ABCD中,若=,且||=||,則四邊形ABCD的形狀為等腰梯形.(　 )
(4)物理學中的功是一個向量. (　 )
◆ 探究點一　向量在平面幾何中的應用
例1 [2023·江蘇鎮(zhèn)江高一期中] 已知△ABC中,點G為△ABC所在平面內一點,則“+-3=0”是“點G為△ABC的重心”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
變式 [2023·江西九江高一期中] 已知△ABC的三個頂點A,B,C及平面內一點P滿足+=,則點P在 (　 )
A.△ABC的內部 B.線段AB上
C.直線BC上 D.△ABC的外部
[素養(yǎng)小結]
利用向量解決平面幾何問題,主要是針對向量的加法、減法和數乘向量與平面幾何的全等、相似、平行等關系的對應,用以解決與平面幾何有關的全等、相似和平行等問題.
◆ 探究點二　向量在物理中的應用
例2 [2024·廣東汕頭高一期末] 設a表示“向東走10 km”,b表示“向南走5 km”,則b+a+b所表示的意義為 (　 )
A.向東南走10 km
B.向西南走10 km
C.向東南走5 km
D.向西南走5 km
變式 一個質點因受到平面上的三個力F1,F2,F3的作用而處于平衡狀態(tài),已知F1,F2成60°角,且|F1|=2 N,|F2|=4 N,則|F3|= (　 )
A.6 N B.2 N
C.2 N D.2 N
[素養(yǎng)小結]
向量是既有大小又有方向的量,物理中的很多量也是既有大小又有方向的量,如位移、力、速度、加速度等,因此,在涉及這些量的運算時可以借助向量來解決.
1.已知作用在點A的三個力f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(3,1),且A(1,1),則合力f=f1+f2+f3的終點的坐標為 (　 )
A.(9,1) B.(1,9)
C.(9,0) D.(0,9)
2.以A(0,1),B(1,5),C(4,0)為頂點的三角形是 (　 )
A.銳角三角形
B.以B為直角的直角三角形
C.以A為直角的等腰直角三角形
D.鈍角三角形
3.在坐標平面內,一只小螞蟻的速度v=(1,2),這只螞蟻從點A(4,6)處沿直線移動到點B(7,12)處所用的時間為 (　 )
A.2 B.3 C.4 D.8
4.已知D為△ABC的邊BC的中點,△ABC所在平面內有一點P滿足=+,則的值為 (　 )
A.1 B. C. D.2
5.一艘船以4 km/h的速率沿著與水流方向成120°角的方向航行,已知河水流速的大小為2 km/h,則經過 h該船實際航程為　　　　km. 6.3　平面向量線性運算的應用
1.C　[解析] 因為速度是既有大小又有方向的量,且v1和v2方向相反,所以由向量的加法法則可知,逆風騎行的速度為v1+v2.故選C.
2.B　[解析] 如圖,設=F1,=F2,合力F=,則∠AOC=60°,∠OAC=90°,||=10.
在Rt△OAC中,||=||cos∠AOC=5,
所以F1的大小為5 N.故選B.
3.B　[解析] 由=,可知AD∥BC,且||<||,所以四邊形ABCD是梯形.故選B.
4.B　[解析] 若船的航程最短,則船的實際速度v=v1+v2與水流速度v2垂直.作=v1,=v2,以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OACB,如圖所示.
由題意可知,OC⊥OB,且||=||=|v1|=13,||=|v2|=5,由勾股定理可得|v|=||==12,因此,若船的航程最短,則行駛完全程需要的時間t==0.13(h),故t=0.13×60=7.8(min).故選B.
5.A　[解析] 如圖所示,
因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AB∥CD,所以△ANB∽△MND,則==,所以MN=AM,=-=-(+)=-=-,
故λ=,μ=-,所以λ-μ=+=.
6.A　[解析] 延長AM交BC于點G,因為B,G,C三點共線,所以設=λ+(1-λ),因為A,M,G三點共線,所以設=t,則λ+(1-λ)=t,
所以解得又=λ,所以=,所以=,=,所以S△BCM=S△BGM=×S△ABM=S△ABM,所以=3.故選A.
【點睛】 通過構造三點共線求得,,再借助△BCM和△ABM分別與兩三角形重疊部分的比從而確定答案.
7.A　[解析] 由+2+3=0可得+=-2(+),又因為D,E分別是邊AC,BC的中點,所以+=2,+=2,所以2=-4,即=-2,所以O,D,E三點共線,且=,所以E到AC的距離與O到AC的距離的比值為,所以△AEC的面積與△AOC的面積的比值為.故選A.
8.ABC　[解析] 根據題意得,=(5,-2),=(8,2),=(3,4),要使四個點能構成平行四邊形,則=±或=±或=±.對于A,=(5,-2)=,滿足題意;對于B,=(3,4)=,滿足題意;對于C,=(-8,-2)=-,滿足題意;經過驗證可得(6,-1)不滿足題意.故選ABC.
9.ABD　[解析] A中,由題知AB⊥AD,所以{,}為平面上向量的一組基底,故可以表示平面內任意一個向量,故A正確;
B中,由x+y=1可知O,B,D三點共線,則O在直線BD上,故B正確;
C中,由題得=(+),則=+=(+),
所以=-,故C錯誤;
D中,由+2+3=0,得3(+)=-=,
設E為BC的中點,所以+=2,則6=,即∥且||=||,如圖所示,
所以S△ABC=6S△BOC,故D正確.故選ABD.
10.　[解析] 如圖,在BC上取點H,使=,連接FH交AC于點M,連接BD交AC于點O,則BD∥FH.在三角形CFH中,G是CM,FE兩條中線的交點,則G是三角形CFH的重心,由==,得=,因為O是AC的中點,所以=,所以=,所以λ=.
11.(2-2,2+4)　[解析] 由題圖可知F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3),所以合力F=F1+F2+F3=(2-2,2+4).
12.　[解析] 如圖所示,以A為坐標原點,建立平面直角坐標系,則=(1,0),=(0,1).設E(1,m),F(n,1),m,n∈[0,1].∵+=x+y,∴(1,m)+(n,1)=x(1,0)+y(0,1),∴1+n=x,m+1=y,
∵x+y=3,∴m+n=1,則||==≥,當且僅當m=n=時取等號.故||的最小值為.
13.解:設=λ,則=-=λ-.∵與共線,∴設=μ,
又=-=-=(+)-=-,
∴λ-=μ=-.
∵,不共線,∴解得
∴=,∴AF∶FB=1∶2.
14.解:由題意可得|a|=|b|=|c|,由于合力作用后做勻速運動,因此a+b+c=0,所以a+c=-b.
作=-b,則平行四邊形APCD為菱形,因為||=||=||,所以△PAD為等邊三角形,則∠APD=60°,因為||=||,所以∠PAB=∠PBA=30°,同理可得∠PAC=∠PCA=∠PBC=∠PCB=30°,所以∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,因此△ABC為等邊三角形.
15.3　[解析] 由|a1-a2|=|a2-a3|=|a3-a1|=2,可將向量a1,a2,a3分別看作是以O為起點,以A,B,C為終點的向量,且△ABC是邊長為2的正三角形,O為△ABC的中心.
由對任意的i,j∈{1,2,3},均有|ai-bj|∈{1,},得向量b1,b2,b3是以O為起點,△ABC各邊中點E,F,G為終點的向量,則|b1-b2|=|b2-b3|=|b3-b1|=1,所以|b1-b2|+|b2-b3|+|b3-b1|=3.
16.解:如圖, 以A為坐標原點,建立平面直角坐標系,
顯然EF是AM的中垂線,設AM與EF交于點N,則N是AM的中點,又正方形ABCD的面積為64,所以正方形的邊長為8,所以M(8,4),N(4,2).
設E(e,0),則=(8,4),=(4,2),=(e,0),=(4-e,2),由AM⊥EN,得||2+||2=||2,
即(42+22)+[(4-e)2+22]=e2,解得e=5,即||=5.
所以S△AEM=||||=×5×4=10.6.3　平面向量線性運算的應用
一、選擇題
1.人騎自行車的速度是v1,風速為v2,則逆風騎行的速度為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.v1-v2 B.v2-v1
C.v1+v2 D.|v1|-|v2|
2.已知兩個力F1,F2的夾角為90°,它們的合力大小為10 N,合力與F1的夾角為60°,那么F1的大小為 (　 )
A.5 N B.5 N
C.10 N D.5 N
3.在四邊形ABCD中,若=,則四邊形ABCD是 (　 )
A.平行四邊形 B.梯形
C.矩形 D.菱形
4.[2023·黑龍江哈爾濱三中高一月考] 一條河兩岸平行,河的寬度為1560 m,一艘船從河岸邊的碼頭出發(fā),向河對岸航行.已知船的速度v1的大小為|v1|=13 km/h,水流速度v2的大小為|v2|=5 km/h,若船的航程最短,則行駛完全程需要的時間t(單位:min)為 (　 )
A.7.2 B.7.8
C.120 D.130
5.已知平行四邊形ABCD中,點M為線段CD的中點,AM交BD于點N,若=λ+μ,則λ-μ= (　 )
A. B. C.1 D.2
★6.已知M為△ABC所在平面上一點,若=+,則= (　 )
A.3 B.8 C. D.
7.如圖所示,點O在△ABC內部,D,E分別是邊AC,BC的中點,且+2+3=0,則△AEC的面積與△AOC的面積的比值為 (　 )
A. 　　B.
C. 　　D.
8.(多選題)已知平行四邊形的三個頂點分別為A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),則第四個頂點D的坐標可能是 (　 )
A.(10,0) B.(0,4)
C.(-6,-4) D.(6,-1)
9.(多選題)[2023·遼寧大連高一期末] 已知四邊形ABCD為正方形,O為正方形ABCD所在平面內一點,且=x+y,x,y∈R,則下列說法正確的是 (　 )
A.可以表示平面內任意一個向量
B.若x+y=1,則O在直線BD上
C.若x=y=,=,則=-+
D.若+2+3=0,則S△ABC=6S△BOC
二、填空題
10.如圖, 在平行四邊形ABCD中,點E,F滿足=2,=2,EF與AC交于點G,設=λ,則λ=　　　　.
11.若一個質點同時受到同一平面內三個力F1,F2,F3的作用,其中|F1|=2 N,方向為北偏東30°;|F2|=4 N,方向為北偏東60°;|F3|=6 N,方向為北偏西30°. 建立如圖所示的平面直角坐標系,則合力F=　　　　　　　.
12.在邊長為1的正方形ABCD中,E,F分別是邊BC,DC上的兩個動點,+=x+y,若x+y=3,則||的最小值為　　　　.
三、解答題
13.如圖,在平行四邊形ABCD中,E為對角線BD上一點,且BE∶ED=2∶3,連接CE并延長交AB于點F,求AF∶FB.
14.如圖,三個大小相同的力a,b,c作用在同一物體P上,使物體P沿a方向做勻速運動,設=a,=b,=c,試判斷△ABC的形狀.
15.[2023·上海閔行區(qū)高一期末] a1,a2,a3,b1,b2,b3是平面上兩兩不相等的向量,若|a1-a2|=|a2-a3|=|a3-a1|=2,且對任意的i,j∈{1,2,3},均有|ai-bj|∈{1,},則|bi-b2|+|b2-b3|+|b3-b1|=　　　　.
16.如圖,四邊形ABCD是正方形,M是BC的中點,將正方形折起,使點A與M重合,設折痕為EF,若正方形ABCD的面積為64,求△AEM的面積.

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