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滾動習題(六)
1.B　[解析]　++=+=.故選B.
2.C　[解析] 易知=,故A不正確;+=+=,故B不正確;-=,故C正確;+=2,故D不正確.故選C.
3.B　[解析] 因為=+=5a+4b+a+2b=6a+6b,
且A,B,D三點共線,
所以存在實數(shù)λ,使得=λ,即a+mb=λ,
則得m=1.故選B.
4.A　[解析] 因為2=+,所以-=-,即=,所以點M是AB的中點.故選A.
5.B　[解析] ∵+-2=(-)+(-)=+,-==-,∴以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的對角線長度相等,∴此四邊形為矩形,∴AB⊥AC.故選B.
6.A　[解析] 連接BO,易知B,O,D三點共線,設OD與AC的交點為E,
則===×(+)=(++)=+.故選A.
7.BC　[解析] 因為+2+3=0,所以++2(+)=2+4=0,即=-2,所以點P為線段EF上靠近點F的三等分點,故A不正確,B正確,C正確;設AB邊上的高為h,因為E,F分別為AC,BC的中點,所以S△PAB=S△ABC,S△PAC+S△PBC=S△ABC,又點P為線段EF上靠近點F的三等分點,S△PAC=·PE·h,S△PBC=·PF·h,所以S△PAC=2S△PBC,所以S△PAC=S△ABC,S△PBC=S△ABC,所以S△PAB∶S△PAC∶S△PBC=∶∶=3∶2∶1,故D不正確.故選BC.
8.AC　[解析] 由=t+(1-t),可得-=t(-),即=t.
當t=時,=,即點C為線段AB的中點,故A正確;當點C為線段AB的三等分點時,C可能是靠近點B的三等分點也可能是靠近點A的三等分點,故t=或t=,故B錯誤;因為t∈(0,1)且,同向,所以點C在線段AB上,故C正確;當點C在線段AB的延長線上時,與反向,所以t<0,故D錯誤.故選AC.
9.a　[解析] 2(a+b)-(a+2b)=2a+2b-a-2b=a.
10.　[解析] 由=可知四邊形ABCD為平行四邊形.由||=||=||可知四邊形ABCD為菱形,則△ABD為等邊三角形,故∠ABC=120°.
菱形的內(nèi)切圓圓心O在對角線BD的中點處,設內(nèi)切圓的半徑為r,
則r=||sin 60°=,所以內(nèi)切圓的面積S=πr2=π.
11.3∶4　[解析] 根據(jù)題意,
延長MA至點D,延長MB至點E,延長MC至點F,使MD=2MA,ME=3MB,MF=4MC,如圖所示.由2+3+4=0,得++=0,所以點M是△DEF的重心,所以S△MDE=S△MEF=S△MFD.設S△MDE=1,則S△MAB=×=,S△MAC=×=,所以S△MAC∶S△MAB=∶=3∶4.
12.證明:　+++-4=(-)+(-)+(-)+(-)=+++,
又因為四邊形ABCD為平行四邊形,E為AC,BD的中點,所以=-,=-,
所以+++-4=+++=(+)+(+)=0,
所以+++=4.
13.解:(1)=+=+=+(-)=+-=+.
(2)=+=+=+(-)=+-=+=+=++.
14.解:(1)=-=b-a,
=-=+=(b-a)+a=b+a.
(2)證明:因為+=++=+-=a+b-(b-a)=a+b,
=a+b,所以=+,所以M,P,N三點共線.(時間:45分鐘　分值:100分)
一、單項選擇題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
1.++= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
2.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,則下列結(jié)論正確的是(　 )
A.=
B.+=
C.-=
D.+=0
3.[2023·山東濱州高一期末] 已知a和b是兩個不共線的向量,若=a+mb,=5a+4b,=-a-2b,且A,B,D三點共線,則實數(shù)m的值為(　 )
A. B.1 C.- D.-1
4.[2023·河南焦作高一期中] 已知向量,(O,A,B三點不共線),若2=+,則點M是 (　 )
A.AB的中點 B.AC的中點
C.BC的中點 D.△ABC的重心
5.若O是△ABC所在平面內(nèi)一點,且滿足|-|=|+-2|,則△ABC的形狀是(　 )
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.等邊三角形
6.如圖,圓O是等邊三角形ABC的外接圓,點D為劣弧AC的中點,則= (　 )
A.+
B.-
C.+
D.+
二、多項選擇題:本大題共2小題,每小題6分,共12分.
7.已知點P為△ABC所在平面內(nèi)一點,且+2+3=0,若E為AC的中點,F為BC的中點,則下列結(jié)論正確的是 (　 )
A.向量與可能平行
B.點P在線段EF上
C.||∶||=2∶1
D.S△PAB∶S△PAC∶S△PBC=1∶2∶3
8.[2023·山東臨沂高一期末] 已知平面上點O是直線l外一點,A,B是直線l上兩定點,點C是直線l上的動點,且滿足=t+(1-t),則下列說法正確的是 (　 )
A.當t=時,點C為線段AB的中點
B.當點C為線段AB的三等分點時,t=
C.當t∈(0,1)時,點C在線段AB上
D.當點C在線段AB的延長線上時,t>1
三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.
9.2(a+b)-(a+2b)=　　　　.
10.已知在四邊形ABCD中,=且||=||=||=2,則該四邊形內(nèi)切圓的面積是　　　　.
11.點M在△ABC內(nèi)部,滿足2+3+4=0,則S△MAC∶S△MAB=　　　.
四、解答題:本大題共3小題,共43分.
12.(13分)已知平行四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD交于點E,O是任意一點,求證:+++=4.
13.(15分)如圖,△ABC的重心為G,AB邊的中點為P.在△ABC外任取一點O,作向量,,,,.
(1)試用,表示;
(2)試用,,表示.
14.(15分)[2023·成都七中高一月考] 如圖,在△ABC中,=,=.設=a,=b.
(1)用a,b表示,;
(2)若P為△ABC內(nèi)部一點,且=a+b,求證:M,P,N三點共線.

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