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滾動習題(七)
1.A　[解析] ∵A,B,∴a==-=.又λ=,∴λa==.
2.D　[解析] 易知||=|2-(-1)|=3,故選D.
3.B　[解析] 因為=a,=b,所以=a-b,=a+b,所以=-=-=-=a-b.故選B.
4.D　[解析] 由題意知F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2).故選D.
5.A　[解析] 因為a=與b=(-1,2)共線,所以2+y=0,即2x+y=1,則=x+y=x+(1-2x),即-=x(-2),所以=x(-)=x(+),如圖,取AC的中點E,則=2x,所以動點M的軌跡必經過△ABC的重心.
6.B　[解析] 由2-+3=0,得2(+)=-=.取AC邊的中點E,連接OE,則+=2,所以=4,又△OAC與△ABC有相同的底邊AC,所以它們的高的比值即為OE與BC的比值,為,所以=.故選B.
7.BC　[解析] 對于A,由|a|=|b|不能得出a∥b,故A錯誤;對于B,由零向量與任意向量平行,可知當|a|=0或|b|=0時,a∥b,故B正確;對于C,因為a=-2b,所以a∥b,故C正確;對于D,單位向量a與b不一定平行,故D錯誤.故選BC.
8.BD　[解析] 因為=,所以=,所以=m+n=m+3n,因為B,P,D三點共線,所以m+3n=1,故A錯誤;3mn≤=,即mn≤,當且僅當m=3n,即m=,n=時取等號,故mn的最大值為,故B正確;+=(m+3n)=++7≥4+7,當且僅當=時取等號,故+的最小值為4+7,故C錯誤;m2+9n2=(m+3n)2-6mn=1-6mn≥1-6×=,當且僅當m=,n=時取等號,故m2+9n2的最小值為,故D正確.故選BD.
9.±　[解析] 因為3a-λb與λa-2b共線,所以存在唯一實數μ,使得3a-λb=μ(λa-2b),即3a-λb=μλa-2μb,所以可得λ=±.
10.　[解析] 由題知+=+,可整理為(-)=(-),即= ,即=,所以=.
11.　[解析] 設=γ(0≤γ≤1),
則==(+)=(+γ)=+(-)=+,
所以則λ+μ=,即λ=-μ.由0≤γ≤1,可得0≤≤,則μ∈,
故λ2+μ2=+μ2=2μ2-μ+=2+,當μ=時,λ2+μ2取得最小值.
12.解:(1)因為a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),
所以a+2b-3c=(3,2)+(-2,4)-(12,3)=(-11,3).
(2)由a=xb+yc,得(3,2)=(-x,2x)+(4y,y),
即解得
(3)由題得a+kc=(3,2)+(4k,k)=(4k+3,k+2),2b-a=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),
因為(a+kc)∥(2b-a),所以2(4k+3)=-5(k+2),解得k=-,
故實數k的值為-.
13.證明:因為四邊形ABCD為平行四邊形,所以=+.
設=λ,因為E是AD的中點,所以=2,
故=λ=λ(+)=λ(2+)=2λ+λ.
設=m,即-=m(-),
則=m+(1-m),
所以解得λ=,故=,
同理可得=.
綜上可知,R,T為AC的三等分點.
14.解:(1)設=ma+nb,則=-=(m-1)a+nb,
=-=-a+b.
∵A,M,D三點共線,∴與共線,
∴×(m-1)=(-1)×n,即m+2n=1①.
=-=a+nb,=-=-a+b,
∵C,M,B三點共線,∴與共線,
∴×1=×n,∴4m+n=1②.
由①②可得∴=a+b.
(2)證明:易知=-=a+b,=-=-pa+qb.
∵與共線,∴×q-×(-p)=0,即q+p=pq,
又pq≠0,∴+=1.(時間:45分鐘　分值:100分)
一、單項選擇題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
1.已知=a,且A,B,λ=,則λa= (　 )
A. B.
C. D.
2.數軸上的兩點A,B的坐標分別為-1,2,則A與B之間的距離是 (　 )
A.-1 B.2
C.1 D.3
3.在平行四邊形ABCD中,設=a,=b,=,=,則= (　 )
A.a-b B.a-b
C.a+b D.-a+b
4.已知三個力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同時作用于某物體上一點,為使物體保持平衡,現在該點處加上一個力F4,則F4=(　 )
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
5.[2023·河北邢臺高一期末] 已知△ABC所在平面內的動點M滿足=x+y,且向量a=與向量b=(-1,2)共線,則動點M的軌跡必經過△ABC的 (　 )
A.重心 B.內心
C.外心 D.垂心
6.已知O為△ABC所在平面內一點,若2-+3=0,則S△AOC∶S△ABC= (　 )
A.1∶3 B.1∶4
C.1∶5 D.1∶6
二、多項選擇題:本大題共2小題,每小題6分,共12分.
7.(多選題)以下選項中,能使a∥b成立的有 (　 )
A.|a|=|b|
B.|a|=0或|b|=0
C.a=-2b
D.a與b都是單位向量
8.在△ABC中,D為邊AC上的一點,且滿足=,若P為線段BD上的一點,且滿足=m+n(m>0,n>0),則下列結論正確的是 (　 )
A.m+2n=1
B.mn的最大值為
C.+的最小值為6+4
D.m2+9n2的最小值為
三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.
9.已知向量a與b不共線,且3a-λb與λa-2b共線,則實數λ的值為　　　　.
10.若點M是△ABC所在平面內的一點,且滿足=+,則線段BM與MC的長度的比值為　　　　.
11.在△ABC中,M為邊BC上任意一點,N為AM的中點,且滿足=λ+μ,則λ2+μ2的最小值為　　　　.
四、解答題:本大題共3小題,共43分.
12.(13分)已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求a+2b-3c的值;
(2)若a=xb+yc,求x和y的值;
(3)若(a+kc)∥(2b-a),求實數k的值.
13.(15分)在 ABCD中,點E,F分別是邊AD,DC的中點,BE,BF分別交AC于點R,T.用向量的方法證明:R,T為AC的三等分點,
14.(15分)在△OAB中,=,=,AD與BC交于點M,設=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)過點M的直線交AC于點E,交BD于點F,設=p,=q,求證:+=1.

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