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第二章直線和圓的方程5大考點匯總與跟蹤訓練-2025-2026學年高中數學人教A版（2019）選擇性必修第一冊
5大考點匯總
考點一：直線的傾斜角與斜率
考點二：直線的方程
考點三：直線的交點坐標與距離公式
考點四：圓的方程
考點五：直線與圓、圓與圓的位置關系
跟蹤訓練
考點一：直線的傾斜角與斜率
1．（2024秋 新疆期末）直線的傾斜角量（　?。?br/>A．60° B．120° C．150° D．30°
2．（2025春 長沙期末）經過兩點A（2，m），B（﹣m，4）的直線l的傾斜角為135°，則m的值為（　?。?br/>A．﹣2 B．1 C．3 D．4
3．（2024秋 合肥期末）已知直線l：，則直線l的斜率為（　?。?br/>A． B． C． D．
4．（2025春 南京校級期末）已知直線l的方程為xsinαy﹣1＝0，α∈R，則直線l的傾斜角范圍是（　?。?br/>A． B．
C． D．
考點二：直線的方程
5．（2024秋 寧城縣期末）已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（2，0），B（4，2），C（1，3）．
（1）求過點C且與直線AB平行的直線的方程；
（2）求BC邊上的高所在直線的方程．
6．（2025 昭通校級開學）已知△ABC的三個頂點是A（2，3），B（1，2），C（4，﹣4）．
（1）若直線l1過點C，且點A，B到直線l1的距離相等，求直線l1的方程；
（2）若直線l2過點A，且與x軸、y軸的正半軸分別交于P、Q兩點，O為坐標原點，求三角形OPQ面積取最小值時直線l2的方程．
7．（2025 芝罘區校級開學）已知△ABC的頂點C（5，1），邊AC上的中線BM所在直線的方程為2x﹣y﹣5＝0，邊BC上的高AH所在直線的方程為x﹣2y﹣5＝0．求：
（1）頂點B的坐標；
（2）直線AB的方程．
8．（2024秋 石嘴山校級期末）已知直線l：y＝kx﹣2k+1（k∈R）．
（1）若直線l不經過第二象限，求k的取值范圍．
（2）若直線l與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點，當△AOB的面積為時（O為坐標原點），求此時相應的直線l的方程．
考點三：直線的交點坐標與距離公式
9．（2025春 楊浦區校級月考）已知直線l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．
（1）若直線l不經過第四象限，求k的取值范圍；
（2）已知P（1，5），若點P到直線l的距離為d，求d最大時直線l的一般式方程．
10．（2024秋 邛崍市校級期末）已知A（1，3），B（5，7）．
（1）求線段AB垂直平分線所在直線方程；
（2）若直線l過（﹣1，0），且A、B到直線l距離相等，求l方程．
11．（2024秋 海門區期末）已知點A（4，0），B（0，4），直線l：mx﹣y+1﹣m＝0（m∈R）．
（1）若l與線段AB有交點，直接寫出m的取值范圍；
（2）若m＞0，設l與直線AB及x軸分別交于C，D兩點，求△ACD面積的最小值．
12．（2024秋 東莞市校級月考）已知點P（﹣2，﹣1），直線l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ為任意實數）過定點A．
（1）求定點A的坐標．
（2）直線m經過點P，且點A到直線m的距離為3，求直線m的方程．
（3）點B在直線x﹣2y+3＝0上運動，求|BP|﹣|BA|的最大值．
考點四：圓的方程
13．（2024秋 潁州區校級期末）已知△ABC的三個頂點分別為A（0，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）求邊BC所在直線的方程；
（2）若AC的中點為D，求邊AC的垂直平分線l的方程；
（3）求△ABC的外接圓的方程．
14．（2024秋 湖南期末）已知△ABC的三個頂點分別為A（0，1），B（1，2），C（4，3）．
（1）求△ABC的面積；
（2）求△ABC的外接圓M的方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑．
15．（2024秋 樂山期末）已知圓C的方程為x2+y2﹣6x﹣2y+9＝0．
（1）求圓C關于直線l：x﹣y＝0對稱的圓的方程；
（2）若點P（x，y）在圓C上運動，求x2+y2的最大值和最小值．
16．（2024秋 榆林期末）設，圓Q的圓心在x軸的正半軸上，且過A，B，C，D中的三個點．
（1）求圓Q的方程；
（2）若圓Q上存在兩個不同的點P，使得PA2+PC2＝2λ成立，求實數λ的取值范圍．
考點五：直線與圓、圓與圓的位置關系
17．（2024秋 新邵縣期末）已知圓C的方程為x2+y2＝1．
（1）求過點P（1，2）且與圓C相切的直線l的方程；
（2）直線m過點P（1，2），且與圓C交于A，B兩點，當△AOB是等腰直角三角形時，求直線m的方程．
18．（2024秋 深圳校級期末）已知圓C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4．
（1）過點P（3，2）向圓C作切線l，求切線l的方程；
（2）若Q為直線m：3x﹣4y+8＝0上的動點，過Q向圓C作切線，切點為M，求|QM|的最小值．
19．（2025春 鎮海區校級期末）在平面直角坐標系中．點A（2，4），B（6，2），直線l1：x+y﹣4＝0，l2：（m﹣1）x+y+2m+2＝0，m∈R．圓C經過A，B兩點，且圓心C在直線l1上．
（1）求圓C的方程；
（2）當直線l2與圓C相切時，求實數m的值．
（3）若直線l2與圓C相交于D，E兩點，當m變化時，是否存在一個定點P，使得|DP| |EP|為定值？若存在，求出一個P的坐標；若不存在，請說明理由．
20．（2025春 普陀區校級期末）已知過點A（﹣1，0）的直線l與圓C：x2+（y﹣3）2＝4相交于P、Q兩點，直線m：x+3y+6＝0．
（1）當時，求直線l的方程；
（2）設T為直線m上的動點，過T作圓C的兩條切線TG、TH，切點分別為G、H，求四邊形TGCH面積的最小值；
（3）是否存在直線l，使得向量與共線？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．
第二章直線和圓的方程5大考點匯總與跟蹤訓練-2025-2026學年高中數學人教A版（2019）選擇性必修第一冊
1．（2024秋 新疆期末）直線的傾斜角量（　?。?br/>A．60° B．120° C．150° D．30°
【解答】解：直線的斜率為，設直線的傾斜角為θ，且0°≤θ＜180°，
可得tanθ，可得θ＝60°．
所以直線的傾斜角是60°．
故選：A．
2．（2025春 長沙期末）經過兩點A（2，m），B（﹣m，4）的直線l的傾斜角為135°，則m的值為（　?。?br/>A．﹣2 B．1 C．3 D．4
【解答】解：經過兩點A（2，m），B（﹣m，4）的直線l的斜率為，
又直線l的傾斜角為135°，
所以，解得m＝1．
故選：B．
3．（2024秋 合肥期末）已知直線l：，則直線l的斜率為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由題設，直線可化為，
故其斜率為．
故選：C．
4．（2025春 南京校級期末）已知直線l的方程為xsinαy﹣1＝0，α∈R，則直線l的傾斜角范圍是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【解答】解：由直線l的方程為xsinαy﹣1＝0，α∈R，
化為yxsinα，
由﹣1≤sinα≤1，
設直線l的傾斜角為φ，
則tanφsinα∈[，]，且0≤φ＜π，
所以0≤φ或φ＜π；
即直線l的傾斜角范圍是[0，]∪[，π）．
故選：B．
5．（2024秋 寧城縣期末）已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（2，0），B（4，2），C（1，3）．
（1）求過點C且與直線AB平行的直線的方程；
（2）求BC邊上的高所在直線的方程．
【解答】（1）由A（2，0），B（4，2）可知，
故所求直線的方程為y﹣3＝x﹣1，
即x﹣y+2＝0．
（2）B（4，2），C（1，3），
則，
則所求直線的斜率為3，
所求直線過點A（2，0），
故所求直線的方程為y＝3（x﹣2），
即3x﹣y﹣6＝0．
6．（2025 昭通校級開學）已知△ABC的三個頂點是A（2，3），B（1，2），C（4，﹣4）．
（1）若直線l1過點C，且點A，B到直線l1的距離相等，求直線l1的方程；
（2）若直線l2過點A，且與x軸、y軸的正半軸分別交于P、Q兩點，O為坐標原點，求三角形OPQ面積取最小值時直線l2的方程．
【解答】解：（1）因為點A，B到直線l1的距離相等，所以直線l1與AB平行或通過AB的中點，
①當直線l1通過AB的中點，
所以，
所以l1的方程為，即13x+5y﹣32＝0．
②當直線l1與AB平行，
因為，且l1過點C，
所以l1方程為y+4＝x﹣4，即x﹣y﹣8＝0；
綜上：直線l1的方程為x﹣y﹣8＝0或13x+5y﹣32＝0．
（2）由題意設P（a，0），Q（0，b），其中a，b為正數，可設直線l2的方程為，
因為直線l2過點A（2，3），所以，
由基本不等式可得，
所以，
當且僅當即時，ab取得最小值24，
所以△OPQ面積，
所以當a＝4，b＝6時，△OPQ面積最小，
此時直線l2的方程為，即3x+2y﹣12＝0．
7．（2025 芝罘區校級開學）已知△ABC的頂點C（5，1），邊AC上的中線BM所在直線的方程為2x﹣y﹣5＝0，邊BC上的高AH所在直線的方程為x﹣2y﹣5＝0．求：
（1）頂點B的坐標；
（2）直線AB的方程．
【解答】解：（1）根據點B在直線BM：2x﹣y﹣5＝0上，設B（m，2m﹣5），
可得BC的斜率k2，
解得m＝4，所以點B的坐標為（4，3）；
（2）根據點A在直線AH：x﹣2y﹣5＝0上，設A（2n+5，n），
可得AC中點M的坐標為（n+5，），
由M在直線BM上，得2（n+5）5＝0，解得n＝﹣3，所以A點的坐標為（﹣1，﹣3）．
因此，直線AB的方程為，
即6x﹣5y﹣9＝0．
8．（2024秋 石嘴山校級期末）已知直線l：y＝kx﹣2k+1（k∈R）．
（1）若直線l不經過第二象限，求k的取值范圍．
（2）若直線l與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點，當△AOB的面積為時（O為坐標原點），求此時相應的直線l的方程．
【解答】解：（1）由題意可知直線l：y＝kx﹣2k+1（k∈R），即y＝k（x﹣2）+1，可知直線l過定點（2，1），
當直線l過原點時，得，結合直線l不經過第二象限，可知當，即k的取值范圍是；
（2）由（1）知直線l過定點（2，1），若l交兩坐標軸于正半軸，則k＜0，
∵直線l：y＝kx﹣2k+1與x軸、y軸正半軸的交點分別是，
∴，
當k＜0時，S△AOB，即：4k2+5k+1＝0，
∴k＝﹣1或，可得直線l的方程為y＝﹣x+3或．
9．（2025春 楊浦區校級月考）已知直線l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．
（1）若直線l不經過第四象限，求k的取值范圍；
（2）已知P（1，5），若點P到直線l的距離為d，求d最大時直線l的一般式方程．
【解答】解：（1）直線l：kx﹣y+1+2k＝0化為k（x+2）﹣y+1＝0，因此直線l恒過定點M（﹣2，1），
若直線l不經過第四象限，則k≥0．即k∈[0，+∞）．
（2）由（1）知直線l恒過定點M（﹣2，1），
當且僅當PM⊥l時，d取得最大值，此時直線PM的斜率，
因此直線l的斜率，直線l的方程為，即3x+4y+2＝0，
∴直線l的一般式方程為3x+4y+2＝0．
10．（2024秋 邛崍市校級期末）已知A（1，3），B（5，7）．
（1）求線段AB垂直平分線所在直線方程；
（2）若直線l過（﹣1，0），且A、B到直線l距離相等，求l方程．
【解答】解：（1）∵A（1，3），B（5，7），故線段AB的中點為C（3，5），直線AB的斜率為1，
故線段AB垂直平分線所在直線方程為y﹣5＝﹣1（x﹣3），即x+y﹣8＝0．
（2）由于直線l過（﹣1，0），且A、B到直線l距離相等，
故有直線l和線段AB平行或經過線段AB的中點為C（3，5）．
當直線l和線段AB平行時，方程為y﹣0＝1×（x+1），即x﹣y+1＝0．
當直線l經過線段AB的中點為C（3，5）時，方程為，即5x﹣4y+5＝0．
11．（2024秋 海門區期末）已知點A（4，0），B（0，4），直線l：mx﹣y+1﹣m＝0（m∈R）．
（1）若l與線段AB有交點，直接寫出m的取值范圍；
（2）若m＞0，設l與直線AB及x軸分別交于C，D兩點，求△ACD面積的最小值．
【解答】解：（1）直線l：mx﹣y+1﹣m＝0可化為m（x﹣1）+（﹣y+1）＝0，
可知直線l經過直線x﹣1＝0與﹣y+1＝0的交點M（1，1）．
由A（4，0）、B（0，4），可得kAM，kBM3，
直線l與線段AB有公共點，且在線段AB上存在點N（1，3）使直線l⊥x軸，
可知直線l的斜率m滿足：m≤﹣3或m，即m的取值范圍為（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）．
（2）求得直線AB：x+y﹣4＝0，聯立，可得交點．
直線l：mx﹣y+1﹣m＝0交x軸于點，
因為m＞0，所以點C在第一象限且在x＝1右側，點D在x＝1左側，
所以△ACD的面積，
設t＝3m+1，t＞1，可得，
當t＝4，即m＝1時，△ACD的面積S的最小值為4．
12．（2024秋 東莞市校級月考）已知點P（﹣2，﹣1），直線l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ為任意實數）過定點A．
（1）求定點A的坐標．
（2）直線m經過點P，且點A到直線m的距離為3，求直線m的方程．
（3）點B在直線x﹣2y+3＝0上運動，求|BP|﹣|BA|的最大值．
【解答】解：（1）由l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0得（x+y﹣2）+（3x+y﹣4）λ＝0，
令，解得x＝y＝1，故A（1，1）；
（2）若直線m無斜率，則m方程為x＝﹣2，此時A（1，1）到x＝﹣2的距離為3，符合題意，
若直線m有斜率，設m方程為y＝k（x+2）﹣1，此時A（1，1）到m的距離為，解得，
故直線方程為，
綜上，直線方程為和x＝﹣2，
（3）由于A，P在直線x﹣2y+3＝0的同一側，
故|BP|﹣|BA|≤|AP|，當且僅當P，A，B三點共線時取到等號，
故，
故|BP|﹣|BA|最大值為．
13．（2024秋 潁州區校級期末）已知△ABC的三個頂點分別為A（0，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）求邊BC所在直線的方程；
（2）若AC的中點為D，求邊AC的垂直平分線l的方程；
（3）求△ABC的外接圓的方程．
【解答】解：△ABC的三個頂點分別為A（0，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）由兩點式可得BC邊所在直線的方程為，
即BC邊所在直線的方程x﹣3y+2＝0；
（2）AC的中點為D（2，1），
又，所以AC邊的垂直平分線l的斜率為﹣2，
所以l的方程為y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0．
（3）設△ABC的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
則，解得，
所以△ABC的外接圓的方程為x2+y2﹣8x+6y＝0．
14．（2024秋 湖南期末）已知△ABC的三個頂點分別為A（0，1），B（1，2），C（4，3）．
（1）求△ABC的面積；
（2）求△ABC的外接圓M的方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑．
【解答】解：（1）由題意△ABC的三個頂點分別為A（0，1），B（1，2），C（4，3），
可得，
邊AB所在直線l的方程為，即x﹣y+1＝0，
點C（4，3）到直線l：x﹣y+1＝0的距離為，
所以．
（2）設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
由題意得∴D＝﹣8，E＝4，F＝﹣5，
∴所求圓的方程為x2+y2﹣8x+4y﹣5＝0，
即（x﹣4）2+（y+2）2＝25，
∴所求圓的圓心坐標是（4，﹣2），半徑r＝5．
15．（2024秋 樂山期末）已知圓C的方程為x2+y2﹣6x﹣2y+9＝0．
（1）求圓C關于直線l：x﹣y＝0對稱的圓的方程；
（2）若點P（x，y）在圓C上運動，求x2+y2的最大值和最小值．
【解答】解：（1）圓C的標準方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，所以其圓心為（3，1），半徑為1，
因為圓心（3，1）關于x﹣y＝0對稱的點為（1，3），
所以圓C關于直線l：x﹣y＝0對稱的圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1；
（2）x2+y2表示圓上的點P到原點的距離的平方．
因為圓心到原點的距離為，
所以x2+y2的最大值為，最小值為．
16．（2024秋 榆林期末）設，圓Q的圓心在x軸的正半軸上，且過A，B，C，D中的三個點．
（1）求圓Q的方程；
（2）若圓Q上存在兩個不同的點P，使得PA2+PC2＝2λ成立，求實數λ的取值范圍．
【解答】解：（1）若圓Q經過A，C，則圓心必在AC的垂直平分線x＝﹣1上，不合題意；
根據題意得圓Q只能過點A，B，D三點，
線段AB的垂直平分線的方程為，
線段AD的垂直平分線的方程為y＝0，
聯立方程組，
解得，
所以圓心為（2，0），半徑為2，圓Q的方程為（x﹣2）2+y2＝4．
（2）設P（x，y），因為PA2+PC2＝2λ，
所以，
化簡得，所以λ＞4，
根據題意有，
解得；
故實數λ的取值范圍為（）．
17．（2024秋 新邵縣期末）已知圓C的方程為x2+y2＝1．
（1）求過點P（1，2）且與圓C相切的直線l的方程；
（2）直線m過點P（1，2），且與圓C交于A，B兩點，當△AOB是等腰直角三角形時，求直線m的方程．
【解答】解：（1）當直線斜率不存在時，x＝1顯然與x2+y2＝1相切；
當直線斜率存在時，可設l：y＝k（x﹣1）+2，由幾何關系可得，
解得，
故，即3x﹣4y+5＝0，
故過點P（1，2）且與圓C相切的直線l的方程為x＝1或3x﹣4y+5＝0；
（2）設m：y＝k1（x﹣1）+2，可設AB中點為D，
因為△AOB是等腰直角三角形，
所以，
即圓心到直線距離，
解得k1＝1或7，
故直線m：y＝（x﹣1）+2或y＝7（x﹣1）+2，
即x﹣y+1＝0或7x﹣y﹣5＝0．
18．（2024秋 深圳校級期末）已知圓C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4．
（1）過點P（3，2）向圓C作切線l，求切線l的方程；
（2）若Q為直線m：3x﹣4y+8＝0上的動點，過Q向圓C作切線，切點為M，求|QM|的最小值．
【解答】解：（1）切線l的斜率不存在時，x＝3滿足條件．
切線l的斜率存在時，設方程為y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k＝0，
圓心C（1，﹣1）到切線l的距離2，解得k，可得切線方程為：5x﹣12y+9＝0，
綜上可得切線l的方程為：x＝3，或5x﹣12y+9＝0．
（2）當CQ⊥m時，|QM|取得最小值，此時|CQ|3，
∴|QM|min．
19．（2025春 鎮海區校級期末）在平面直角坐標系中．點A（2，4），B（6，2），直線l1：x+y﹣4＝0，l2：（m﹣1）x+y+2m+2＝0，m∈R．圓C經過A，B兩點，且圓心C在直線l1上．
（1）求圓C的方程；
（2）當直線l2與圓C相切時，求實數m的值．
（3）若直線l2與圓C相交于D，E兩點，當m變化時，是否存在一個定點P，使得|DP| |EP|為定值？若存在，求出一個P的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）點A（2，4），B（6，2），直線l1：x+y﹣4＝0，圓C經過A，B兩點，且圓心C在直線l1上．設圓心坐標為 C（a，b），
∵圓心C在直線l1：x+y﹣4＝0上，
則b＝4﹣a，
∴，
兩邊平方后得（a﹣2）2+（b﹣4）2＝（a﹣6）2+（b﹣2）2，
整理得2a﹣b﹣5＝0，又b＝4﹣a，解得a＝3，b＝1，∴圓心為C（3，1），
圓的半徑，
∴圓的標準方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10；
（2）∵l2：（m﹣1）x+y+2m+2＝0，
由題意可得 的距離為，
∴，
兩邊平方，化簡得3m2+4m﹣4＝0，解得或m＝﹣2；
（3）直線l2的方程為（m﹣1）x+y+2m+2＝0，
即m（x+2）﹣x+y+2＝0，
由，解得x＝﹣2，y＝﹣4，∴直線l2經過定點M（﹣2，﹣4），
又（﹣2﹣3）2+（﹣4﹣1）2＞10，∴點M（﹣2，﹣4）在圓外，
設過M（﹣2，4）的直線與圓的切點為N，
則有|MN|2＝|MD||ME|，又，
∴|MD||ME|＝|MN|2＝40，
∴當P為定點M（﹣2，﹣4）時，|DP| |EP|為定值40．
20．（2025春 普陀區校級期末）已知過點A（﹣1，0）的直線l與圓C：x2+（y﹣3）2＝4相交于P、Q兩點，直線m：x+3y+6＝0．
（1）當時，求直線l的方程；
（2）設T為直線m上的動點，過T作圓C的兩條切線TG、TH，切點分別為G、H，求四邊形TGCH面積的最小值；
（3）是否存在直線l，使得向量與共線？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．
【解答】（1）（解法一）設直線l的方程為x＝my﹣1，
∵，∴，則由，解得m＝0或，
故直線l的方程為x＝﹣1或4x﹣3y+4＝0；
（解法二）設弦PQ的中點為M，
①當直線l的斜率不存在時，易知x＝﹣1符合題意．
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0，
∵，∴，則由，
得，此時直線l的方程為：4x﹣3y+4＝0，
故直線l的方程為x＝﹣1或4x﹣3y+4＝0；
（2）（解法一）由于TG、TH為圓C的兩條切線，
所以，
又，而|CT|的最小值為點C到直線m的距離d，
所以，
故四邊形TGCH面積的最小值為；
（解法二） （前兩步同解法一）
設點T的坐標為（x，y），則，
，
所以當時，，
故四邊形TGCH面積的最小值為；
（3）設直線l的方程為x＝my﹣1，P（x1，y1）、Q（x2，y2），
由，可得（m2+1）y2﹣（2m+6）y+6＝0，
可得Δ＝（2m+6）2﹣4（m2+1）×6，
所以，所以，
則，所以
又A（﹣1，0），C（0，3），所以，
若向量與共線，則，
由，可得2m+6＝18m﹣6，解得，
當時，，
所以存在直線l，使得向量與共線，
直線l的方程為，即4x﹣3y+4＝0．

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