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橢圓、雙曲線的標準方程和幾何性質基礎練
一、單選題：本大題共9小題，共45分。
1.橢圓C：的長軸長、短軸長、焦點坐標依次為
A. 8，4， B. 8，4，
C. 4，2， D. 4，2，
2.若雙曲線方程為，則它的右焦點坐標為( )
A. B. C. D.
3.下列四個橢圓中，形狀最扁的是
A. B. C. D.
4.直線與橢圓的位置關系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相離 D. 無法判斷
5.“直線與雙曲線有唯一公共點”是“直線與雙曲線相切”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
6.已知定點，，則在平面內滿足下列條件的動點P的軌跡中為雙曲線的是( )
A. B.
C. D.
7.橢圓且與直線交于M，N兩點，原點與線段MN中點所在直線的斜率為，則的值是
A. B. C. D.
8.已知雙曲線的左、右焦點分別是，，過的直線l與雙曲線相交于A，B兩點，則滿足的直線l有
A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條
9.設，是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且，則的面積等于
A. B. C. 24 D. 48
二、多選題：本大題共3小題，共18分。
10.已知點M，N是雙曲線C：上不同的兩點，則
A. 當M，N分別位于雙曲線的兩支時，直線MN的斜率
B. 當M，N均位于雙曲線的右支上時，直線MN的斜率
C. 線段MN的中點可能是
D. 線段MN的中點可能是
11.已知，兩點，若直線上存在點P，使，同時存在點Q，使，則稱該直線為“一箭雙雕線”，給出下列直線，其中為“一箭雙雕線”的是
A. B. C. D.
12.多選已知曲線C：，下列說法正確的是( )
A. 若，則C為雙曲線
B. 若且，則C為焦點在x軸上的橢圓
C. 若，，則C不可能表示圓
D. 若，，則C為兩條直線
三、填空題：本大題共2小題，共10分。
13.已知點P在橢圓方程上，點A坐標為，則的取值范圍為 .
14.已知P為橢圓上一點，M，N分別為圓和圓上的點，則的最小值為 ，最大值為 .
四、解答題：本大題共1小題，共12分。
15.設，分別是橢圓E：的左、右焦點，過點的直線交橢圓E于A，B兩點，
若，的周長為16，求；
若，求橢圓E的離心率．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】橢圓C：，即，所以橢圓的長軸長為8，短軸長為4，焦點坐標為
2.【答案】B
【解析】略
3.【答案】A
【解析】已知，根據選項中的橢圓的方程，可得的值滿足， 因為橢圓的離心率越大，橢圓的形狀越扁， 所以這四個橢圓中，橢圓的離心率最大，故其形狀最扁．
4.【答案】A
【解析】略
5.【答案】B
【解析】略
6.【答案】A
【解析】略
7.【答案】A
【解析】聯立得，直線與橢圓交于兩點，設，，MN的中點，則，所以
8.【答案】C
【解析】略
9.【答案】C
【解析】根據題意和雙曲線的定義知，，， 所以，， 所以，所以， 所以
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本題考查了雙曲線的幾何性質、直線與雙曲線的位置關系及其應用，是難題.
結合雙曲線的幾何性質、直線與雙曲線的位置關系及其應用逐一分析各選項可得答案.
【解答】
解：雙曲線漸近線為，當M，N分別位于雙曲線的兩支時，直線MN較漸近線更平緩，故kMN，
當M，N均位于雙曲線的右支上時，直線MN較漸近線更陡，故kMN，
所以A對B錯;
記，，中點，由M，N是雙曲線C上的點，有兩式
相減可得，
當時，有MNMN，
對于C，MN，與雙曲線方程聯立可知直線MN與方程無交點，故C錯;
對于D，，MN，故此時M，N分別位于雙曲線的左右兩支，故D正確.
故選：
11.【答案】AB
【解析】，，，Q在以A，B為焦點的雙曲線上，且點P在雙曲線的右半支上，點Q在雙曲線的左半支上，的漸近線方程為的斜率且恒過點，與交于兩點，且兩點分別位于左右兩支，符合題意，A正確． 當時，，符合題意，B正確． 若為雙曲線的漸近線，則其與雙曲線無交點，不符合題意，C錯誤．的斜率且恒過坐標原點，與無交點，不符合題意，D錯誤．
12.【答案】AB
【解析】略
13.【答案】
【解析】【分析】
本題考查橢圓的標準方程，考查距離的計算，解題的關鍵是轉化為二次函數，利用配方法求解．
設出點P的坐標，求出，利用橢圓的方程，轉化為二次函數，利用配方法，即可求得結論．
【解答】
解：設，則，
又在橢圓 ，
，其中，
關于x的二次函數，開口向上，它的對稱軸是，
根據二次函數的性質，
可知：當時，取得最小值；當時，取得最大值
所以，的取值范圍是，
故答案為：
14.【答案】7 ； 13
【解析】【分析】
本題考查了橢圓的定義及標準方程，圓的標準方程，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
由題意可得橢圓的左右焦點分別為圓的圓心與圓的圓心，利用圓的性質及橢圓的定義即可得出結果．
【解答】
解：由橢圓可得，，，
所以橢圓的左、右焦點分別為，
所以，
圓的圓心與半徑分別為：，；
圓的圓心與半徑分別為：，
，
故答案為：7；
15.【答案】解由，，
得，
因為的周長為16，所以由橢圓定義可得，
，故
設，，則，
由橢圓定義可得，
在中，由余弦定理可得，
即，
化簡可得，而，
故
于是有，
因此，可得，
故為等腰直角三角形．
從而，所以橢圓E的離心率

【解析】略

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