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第三章圓錐曲線的方程6大考點匯總與跟蹤訓練-2025-2026學年高中數學人教A版（2019）選擇性必修第一冊
6大考點匯總
考點一：橢圓及其標準方程
考點二：雙曲線及其標準方程
考點三：拋物線及其標準方程
考點四：橢圓的簡單幾何性質
考點五：雙曲線的簡單幾何性質
考點六：拋物線的簡單幾何性質
跟蹤訓練
考點一：橢圓及其標準方程
1．（2024秋 邢臺期末）已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，且過點，則C的方程為（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 石家莊期末）若橢圓的兩焦點為（﹣2，0）和（2，0），且橢圓過點，則橢圓方程是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 衡水校級期末）與橢圓有相同焦點，且長軸長為的橢圓的方程是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025春 分宜縣期末）中心在原點，焦點在坐標軸上，且過兩點（4，0），（0，2）的橢圓的標準方程是（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
考點二：雙曲線及其標準方程
5．（2024秋 濟寧期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A、B兩點，若，，則雙曲線C的標準方程為（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024秋 南陽期末）已知F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，點O為坐標原點，過F1的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，平分∠F1BC，F1到漸近線的距離為，則雙曲線的方程為（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023秋 大通縣期末）一條漸近線方程為2x+3y＝0，且經過點的雙曲線的標準方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024秋 三門峽期末）已知兩點M（﹣4，0），N（4，0），若直線上存在點P，使|PM|﹣|PN|＝6，同時存在點Q，使|QN|﹣|QM|＝6，則稱該直線為“兩全其美線”，給出下列直線，其中為“兩全其美線”的是（　　）
A． B．x＝4 C． D．y＝2x
考點三：拋物線及其標準方程
9．（2024秋 七里河區校級期末）點M與點F（4，0）的距離比它到直線l：x+5＝0的距離小1，則點M的軌跡方程是　 　 ．
10．（2024秋 昌吉州期末）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0），F為拋物線C的焦點，過點作直線交拋物線于A，B兩點，若|AF|＝6，|BF|＝3，則拋物線C的準線方程為 　 　 ．
11．（2024春 臺江區校級期中）已知拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且拋物線上有一點P（4，m）到焦點的距離為6．則拋物線C的方程為 　 　 ．
12．（2024秋 虹口區校級期中）如圖，已知拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點，線段AB的中點為M，其垂直平分線交x軸于點C，MN⊥y軸于點N．若四邊形CMNF的面積等于28，則E的方程為 　 　 ．
考點四：橢圓的簡單幾何性質
13．（2025 豐臺區開學）已知橢圓．
（1）求E的離心率和短軸長；
（2）設O為原點，直線l：y＝m，動點P在橢圓E上，過點O作OP的垂線交直線l于點Q，點O到直線PQ的距離為1，求m的值．
14．（2025春 醴陵市校級期中）設橢圓經過點，其離心率．
（1）求橢圓M的方程；
（2）直線與橢圓M交于A、B兩點，求△PAB的面積S△PAB．
15．（2024秋 諸暨市期末）已知橢圓1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），為橢圓上一點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l（不經過B點）交C于P，Q兩點，且直線BP和直線BQ的斜率之和為0．
①證明：直線l的斜率為定值，并求出這個定值；
②若，求△PBQ的面積．
16．（2025 豐城市校級開學）已知橢圓過點，短軸長為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點H（m，0），若橢圓C上的點到H的距離的最小值是，求正實數m的值；
（3）橢圓C與y軸的交點為A、B（點A位于點B的上方），直線l：y＝kx+4與橢圓C交于不同的兩點M、N．設直線AN與直線BM相交于點G，求|GA|+|GP|的最小值．
考點五：雙曲線的簡單幾何性質
17．（2025秋 江西月考）已知雙曲線的左焦點為F（﹣2，0），離心率為2．
（1）求C的方程；
（2）過點F的直線l與C交于A，B兩點，與y軸交于點P，且P是BF的中點，求|AB|．
18．（2025秋 長沙月考）已知雙曲線的實軸長為2，且焦點到漸近線的距離為．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l過雙曲線C的焦點，且與雙曲線左、右兩支分別交于M，N兩點，證明：直線l與圓O：x2+y2＝a2相切的充要條件是|MN|＝3．
19．（2025秋 江西月考）已知雙曲線C：的右焦點為F，右頂點為A，O為坐標原點，且|OA|＝|AF|＝1．
（1）求C的方程；
（2）過點F的直線l與C的右支交于M，N兩點，記C的左頂點為B，證明：BM⊥BN．
20．（2025春 上城區校級期末）已知雙曲線C：的右焦點為F（，0），且C的一條漸近線經過點D（，1）．
（1）求C的標準方程；
（2）是否存在過點P（2，1）的直線l與C交于不同的A，B兩點，且線段AB的中點為P．若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
考點六：拋物線的簡單幾何性質
21．（2025 雁塔區校級開學）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F（0，1），過點P（﹣2，2）的直線l與拋物線交于A，B兩點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）當點P為弦AB的中點時，求直線AB的方程；
（3）求|AF| |BF|的最小值．
22．（2025 衡水校級開學）已知F是拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點，P（x0，2）為拋物線E上一點，且|PF|＝2．
（1）求拋物線E的方程；
（2）設A，B為拋物線E上的兩點（不同于點P），直線AP，BP分別與y軸交于M，N兩點，且原點O恰為MN的中點．
（i）證明：直線AB過定點；
（ii）若直線AB的斜率大于0，且△OAB的面積為，求直線AB的方程．
23．（2024秋 浉河區校級期末）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點P（4，y0）（y0＞0）在拋物線C上，且|PF|＝5．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點Q（1，﹣4）的直線與拋物線C交于A，B兩點（均與點P不重合），設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，試問k1k2是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
24．（2024秋 秦州區校級期末）已知O為坐標原點，拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點F到準線的距離為1．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）M，N為拋物線C上的兩點，若直線MN與y軸垂直，且△OMN為等腰直角三角形，求△OMN的面積．
第三章圓錐曲線的方程6大考點匯總與跟蹤訓練-2025-2026學年高中數學人教A版（2019）選擇性必修第一冊
參考答案與試題解析
1．（2024秋 邢臺期末）已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，且過點，則C的方程為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由題意得b，a＞b＞0，
又離心率e，
解得a＝2，
所以橢圓C的方程為．
故選：A．
2．（2024秋 石家莊期末）若橢圓的兩焦點為（﹣2，0）和（2，0），且橢圓過點，則橢圓方程是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由題意知，c＝2，焦點在 x 軸上，∴a2＝b2+4，故可設橢圓的方程為 1，
把點代入橢圓的方程可求得 b2＝6，故橢圓的方程為 1，
故選：D．
3．（2024秋 衡水校級期末）與橢圓有相同焦點，且長軸長為的橢圓的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：橢圓的焦點坐標為，
則所求橢圓的焦點在x軸上，設其方程為，
可得a2﹣b2＝5．
又所求橢圓的長軸長為，即，得a＝2，
∴a2＝20，則b2＝20﹣5＝15，
∴所求橢圓的方程是．
故選：C．
4．（2025春 分宜縣期末）中心在原點，焦點在坐標軸上，且過兩點（4，0），（0，2）的橢圓的標準方程是（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【解答】解：設橢圓方程為Ax2+By2＝1，A＞0．B＞0且A≠B，
（4，0），（0，2）代入可得16A＝1，4B＝1，
∴A，B，
∴橢圓的標準方程是1．
故選：D．
5．（2024秋 濟寧期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A、B兩點，若，，則雙曲線C的標準方程為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：已知雙曲線，
則，，其漸近線方程為，
又過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A、B兩點，且，，
不妨設，
因為，
所以F2B⊥F1B，
可得，
即，
所以x0＝a，，
又因為，
所以A點是F1B的中點，
可得，
又A點在上，
所以，
解得a2＝4，
則雙曲線C的標準方程為．
故選：A．
6．（2024秋 南陽期末）已知F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，點O為坐標原點，過F1的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，平分∠F1BC，F1到漸近線的距離為，則雙曲線的方程為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：已知F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，點O為坐標原點，過F1的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，平分∠F1BC，F1到漸近線的距離為，
易知△F1AF2 △F1BC，|F1F2|＝2c，|CF2|＝4c，
設|AF1|＝t，則|BF1|＝3t，|AB|＝2t，
由BF2平分，則，
由雙曲線定義知|AF2|﹣|AF1|＝t＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a，
所以|BF2|＝|AF2|＝|AB|＝4a，即∠ABF2＝60°，
在△F1BF2中，化簡得，
由a2+b2＝c2得，F1到漸近線的距離為，則，
所以，故雙曲線的方程為：．
故選：D．
7．（2023秋 大通縣期末）一條漸近線方程為2x+3y＝0，且經過點的雙曲線的標準方程是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：漸近線方程為2x+3y＝0，
則可設雙曲線的方程為4x2﹣9y2＝λ，
雙曲線過點，
則，
故所求雙曲線的標準方程是：．
故選：A．
8．（2024秋 三門峽期末）已知兩點M（﹣4，0），N（4，0），若直線上存在點P，使|PM|﹣|PN|＝6，同時存在點Q，使|QN|﹣|QM|＝6，則稱該直線為“兩全其美線”，給出下列直線，其中為“兩全其美線”的是（　　）
A． B．x＝4 C． D．y＝2x
【解答】解：已知兩點M（﹣4，0），N（4，0），
得|MN|＝8＞6，
若直線上存在點P，使|PM|﹣|PN|＝6，同時存在點Q，使|QN|﹣|QM|＝6，
得點P的軌跡是以點M，N為焦點，實軸長為6的雙曲線右支，方程為，
由|QN|﹣|QM|＝6，得點Q的軌跡是以點M，N為焦點，實軸長為6的雙曲線左支，方程為，
直線PQ為“兩全其美線”，當且僅當直線PQ與雙曲線的兩支相交，
對于A，雙曲線的漸近線為，直線與雙曲線無公共點，A不是；
對于B，直線x＝4與雙曲線左支無公共點，B不是；
對于C，由，知直線過雙曲線的中心，
且在兩條漸近線所夾含焦點的區域，直線與雙曲線兩支相交，C是；
對于D，由，知直線y＝2x過雙曲線的中心，且在兩條漸近線所夾含虛軸的區域，
直線y＝2x與雙曲線無公共點，D不是．
故選：C．
二．填空題（共4小題）
9．（2024秋 七里河區校級期末）點M與點F（4，0）的距離比它到直線l：x+5＝0的距離小1，則點M的軌跡方程是　y2＝16x　 ．
【解答】解：依題意可知：點M與點F（4，0）的距離比它到直線l：x+5＝0的距離小1，
轉化為點M與點F（4，0）的距離與它到直線l：x+4＝0的距離相等，
滿足拋物線的定義，所以P＝8，點M的軌跡方程是y2＝16x
故答案為：y2＝16x
10．（2024秋 昌吉州期末）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0），F為拋物線C的焦點，過點作直線交拋物線于A，B兩點，若|AF|＝6，|BF|＝3，則拋物線C的準線方程為 　x＝﹣2　 ．
【解答】解：由過點作直線交拋物線于A，B兩點，
可設直線方程為，
聯立，消去x可得y2﹣2pmy+p2＝0，Δ＝4p2m2﹣4p2＞0，
則，①
設A（x1，y1），B（x2，y2），
由拋物線的焦半徑公式可得，
即my1＝6，my2＝3，
代入①可得，
由兩式相除解得p＝4，
所以拋物線C的準線方程為．
故答案為：x＝﹣2．
11．（2024春 臺江區校級期中）已知拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且拋物線上有一點P（4，m）到焦點的距離為6．則拋物線C的方程為 　y2＝8x　 ．
【解答】解：由題意可設拋物線方程為y2＝2px．
其準線方程為x，根據定義可得46，解得p＝4，
所以拋物線C的方程為y2＝8x．
故答案為：y2＝8x．
12．（2024秋 虹口區校級期中）如圖，已知拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點，線段AB的中點為M，其垂直平分線交x軸于點C，MN⊥y軸于點N．若四邊形CMNF的面積等于28，則E的方程為 　y2＝8x　 ．
【解答】解：已知拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，
則，
又直線過F且斜率為1，
則直線AB的方程為，
由題意可得：四邊形CMNF為梯形，且FC∥NM，
設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
則，
所以y1+y2＝2p，
所以y0＝p．
作MK⊥x軸于點K，
則|MK|＝p，
因為直線AB的斜率為1，
所以△FMC為等腰直角三角形，
故|FK|＝|MK|＝|KC|＝p，
所以，|FC|＝2p，
所以四邊形CMN的面積為，
解得p＝4，
即拋物線的方程為y2＝8x．
故答案為：y2＝8x．
三．解答題（共12小題）
13．（2025 豐臺區開學）已知橢圓．
（1）求E的離心率和短軸長；
（2）設O為原點，直線l：y＝m，動點P在橢圓E上，過點O作OP的垂線交直線l于點Q，點O到直線PQ的距離為1，求m的值．
【解答】解：（1）因為橢圓，
所以，b＝1，，
則橢圓E的離心率，短軸長2b＝2；
（2）設P（x0，y0），Q（t，m），
因為點P在橢圓E上，
所以；
因為OP⊥OQ，
所以x0t+y0m＝0，
即，
，，
，
因為點O到直線PQ的距離為1，
所以PQ×1＝OP OQ，
即，
整理得，
因為，
所以，
又，
所以m2＝2．
解得．
14．（2025春 醴陵市校級期中）設橢圓經過點，其離心率．
（1）求橢圓M的方程；
（2）直線與橢圓M交于A、B兩點，求△PAB的面積S△PAB．
【解答】解：（1）由題意得，
解得a2＝4，b2＝2，
所以橢圓M的方程為．
（2）由，
得，
Δ＝8+4×4×3＝56＞0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則，
所以．
因為點到AB的距離為，
所以．
15．（2024秋 諸暨市期末）已知橢圓1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），為橢圓上一點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l（不經過B點）交C于P，Q兩點，且直線BP和直線BQ的斜率之和為0．
①證明：直線l的斜率為定值，并求出這個定值；
②若，求△PBQ的面積．
【解答】解：（1）設橢圓C的半焦距為c，
因為橢圓C的右焦點為F（1，0），所以c＝1，因為為橢圓C上一點，
由橢圓定義得，，
所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝3，
所以橢圓C的方程為；
（2）①證明：由題意可知直線l的斜率存在，設直線l：y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
聯立方程組，
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
Δ＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，
則，，①
由題意知，kBP+kBQ＝0，
則有，
即，
化簡得，
由①可得，，
化簡得（2k﹣1）（2k﹣3+2m）＝0，
當2k﹣3+2m＝0時，，
直線l的方程為，此時直線過點，矛盾，
所以，所以直線l的斜率為定值；
②連接BF，因為F（1，0），，所以BF⊥x軸，
由直線BP和直線BQ的斜率之和為0，可得BF平分∠PBQ，
不妨設x1＜x2，
由已知，解得或舍），
所以直線PB的斜率為，直線PB的方程為，即，
所以點P，B關于原點對稱，
所以點，
所以直線l的方程為，即，
由①得，所以x2＝2，
所以點Q（2，0），又，
所以，
所以△PBQ的面積為3．
16．（2025 豐城市校級開學）已知橢圓過點，短軸長為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點H（m，0），若橢圓C上的點到H的距離的最小值是，求正實數m的值；
（3）橢圓C與y軸的交點為A、B（點A位于點B的上方），直線l：y＝kx+4與橢圓C交于不同的兩點M、N．設直線AN與直線BM相交于點G，求|GA|+|GP|的最小值．
【解答】解：（1）因為橢圓C過點，短軸長為4，
所以，
解得，
則橢圓C的方程為；
（2）設橢圓上任一點為Q（x0，y0），
此時，
則點Q到H的距離為，
因為m＞0，
所以當時，，
解得m＝1，
當時，，
解得，
綜上所述，m＝1或；
（3）設N（x1，y1）、M（x2，y2）（y1≠±2，y2≠±2），
聯立，消去y并整理得（1+2k2）x2+16kx+24＝0，
此時Δ＞0，
解得，
由韋達定理得，
所以，
因為點N（x1，y1）在橢圓上，
所以，
所以，
即，
易知A（0，2）、B（0，﹣2），
所以，直線AN的方程為，
直線BM的方程為，
兩式作商得
，
解得y＝1，
則G在定直線y＝1上，
由圖可知，點A、P都在直線y＝1的上方，點A關于直線y＝1的對稱點為原點O，
由對稱性知|GA|＝|GO|，
所以，
當且僅當G為線段OP與直線y＝1的交點時，即點G的坐標為時等號成立．
故|GA|+|GP|的最小值為．
17．（2025秋 江西月考）已知雙曲線的左焦點為F（﹣2，0），離心率為2．
（1）求C的方程；
（2）過點F的直線l與C交于A，B兩點，與y軸交于點P，且P是BF的中點，求|AB|．
【解答】解：（1）由已知可得，所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3，
所以C的方程為．
（2）因為P是BF中點，所以點B的橫坐標為2，所以B（2，±3），
所以直線l的斜率，方程為l：y＝±（x+2），
由，得39x2﹣36x﹣84＝0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），則，，
所以|AB|．
18．（2025秋 長沙月考）已知雙曲線的實軸長為2，且焦點到漸近線的距離為．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l過雙曲線C的焦點，且與雙曲線左、右兩支分別交于M，N兩點，證明：直線l與圓O：x2+y2＝a2相切的充要條件是|MN|＝3．
【解答】解：（1）該雙曲線的漸近線為，即bx±ay＝0，設焦點為（±c，0），
可得方程組解得
那么雙曲線C為．
（2）證明：根據雙曲線的對稱性，可設直線l為y＝k（x+2），且．
聯立雙曲線方程可得化簡得（3﹣k2）x2﹣4k2x﹣4k2﹣3＝0，
那么根據韋達定理可得，，
從而．
必要性：由|MN|＝3，即，解得，
則直線l的方程為，即．
所以圓心O（0，0）到直線l的距離，則直線l與圓O相切．
充分性：由直線l與圓相切，可得圓心O（0，0）到直線l的距離，則，
故．
所以直線l與圓O：x2+y2＝a2相切的充要條件是|MN|＝3．
19．（2025秋 江西月考）已知雙曲線C：的右焦點為F，右頂點為A，O為坐標原點，且|OA|＝|AF|＝1．
（1）求C的方程；
（2）過點F的直線l與C的右支交于M，N兩點，記C的左頂點為B，證明：BM⊥BN．
【解答】解：（1）由|OA|＝|AF|，可得a＝c﹣a＝1，即c＝2a＝2，
則b2＝c2﹣a2＝3，
所以C的方程為．
（2）證明：如圖：
方法1：由題意知，l的斜率不為0，
可設l的方程為x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2）．
由x＝ty+2，x2﹣y23＝1，可得（3t2﹣1）y2+12ty+9＝0，
則3t2﹣1≠0，，．
由題意知B（﹣1，0），則，，
（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（ty1+3）（ty2+3）+y1y2
，
所以BM⊥BN．
方法2：若l的斜率不存在，可得M（2，3），N（2，﹣3）．由題意知B（﹣1，0），
則（3，3），（3，﹣3），，則BM⊥BN．
若l的斜率存在，可設l的方程為y＝k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2）．
由可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，
則3﹣k2≠0，，．
，
則 （x1+1）（x2+1）+y1y2＝（x1+1）（x2+1）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）
，
所以BM⊥BN．
20．（2025春 上城區校級期末）已知雙曲線C：的右焦點為F（，0），且C的一條漸近線經過點D（，1）．
（1）求C的標準方程；
（2）是否存在過點P（2，1）的直線l與C交于不同的A，B兩點，且線段AB的中點為P．若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）已知雙曲線C的右焦點為，
所以a2+b2＝6，①
又雙曲線C的一條漸近線經過點，
所以，
整理得a2＝2b2，②
聯立①②，解得a2＝4，b2＝2，
所以C的標準方程為；
（2）假設存在符合條件的直線l，
此時直線l的斜率存在，
不妨設直線l的斜率為k，A（x1，y1），B（x2，y2），
此時，，
兩式相減得，
因為x1≠x2，x1≠﹣x2，
所以，
又線段AB的中點為P（2，1），
所以x1+x2＝4，y1+y2＝2，
此時，
解得k＝1，
則直線l的方程為y﹣1＝x﹣2，
即y＝x﹣1，
聯立，消去y并整理得x2﹣4x+6＝0，
因為Δ＝（﹣4）2﹣4×1×6＜0，
所以方程沒有實根，
則假設不成立，
故不存在過點P（2，1）的直線l與C交于A，B兩點，使得線段AB的中點為P．
21．（2025 雁塔區校級開學）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F（0，1），過點P（﹣2，2）的直線l與拋物線交于A，B兩點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）當點P為弦AB的中點時，求直線AB的方程；
（3）求|AF| |BF|的最小值．
【解答】解：（1）因為拋物線x2＝2py的焦點為F（0，1），所以，即p＝2．
所以拋物線C的方程為x2＝4y．
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），顯然直線l斜率存在．
設l的方程為y＝k（x+2）+2，聯立方程，消去y，整理得x2﹣4kx﹣8k﹣8＝0，
因為點P（﹣2，2）是AB的中點，由x1+x2＝4k＝﹣4，解得k＝﹣1．
所以直線AB的方程為y＝﹣（x+2）+2．即x+y＝0．
（3）由拋物線定義可知|AF|＝y1+1，|BF|＝y2+1．
所以|AF| |BF|＝（y1+1）（y2+1）＝y1y2+（y1+y2）+1，
由（2）知x1+x2＝4k，x1 x2＝﹣8（k+1），
所以y1y24（k+1）2，y1+y2＝k（x1+x2+4）+4＝4k2+4k+4，
所以|AF| |BF|＝4（k+1）2+（42+4k+4）+1＝8k2+12k+9＝8（k+2）2+2，
所以當時，|AF| |BF|取得最小值為．
22．（2025 衡水校級開學）已知F是拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點，P（x0，2）為拋物線E上一點，且|PF|＝2．
（1）求拋物線E的方程；
（2）設A，B為拋物線E上的兩點（不同于點P），直線AP，BP分別與y軸交于M，N兩點，且原點O恰為MN的中點．
（i）證明：直線AB過定點；
（ii）若直線AB的斜率大于0，且△OAB的面積為，求直線AB的方程．
【解答】解：（1）因為拋物線的焦點為，準線方程為，
且P（x0，2）在拋物線E上，|PF|＝2，根據拋物線定義有，，
又因為P在拋物線上，因此22＝2px0，因此，
消去x0，可得，因此（p﹣2）2＝0，解得p＝2，
因此拋物線E的方程為y2＝4x；
（2）（i）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），
直線AB方程為x＝my+n，聯立，得y2﹣4my﹣4n＝0，因此y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，
直線AP：，
令x＝0，得M縱坐標；同理N縱坐標，
因O是MN中點，yM+yN＝0，因此，
化簡得y1y2+y1+y2＝0，將y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n代入，得n＝m，
直線AB方程為x＝m（y+1），當y＝﹣1時，x＝0，故直線AB過定點（0，﹣1）；
（ii）設直線AB：y＝kx﹣1（k＞0），聯立，得k2x2﹣（2k+4）x+1＝0，
，，
弦長，
根據點到直線的距離公式可知，點O到直線AB距離為，
由可得，，因此，化簡得2k4﹣k﹣1＝0，
因式分解得（k﹣1）（2k3+2k2+2k+1）＝0，因k＞0，得k＝1，
因此直線AB方程為x﹣y﹣1＝0．
23．（2024秋 浉河區校級期末）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點P（4，y0）（y0＞0）在拋物線C上，且|PF|＝5．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點Q（1，﹣4）的直線與拋物線C交于A，B兩點（均與點P不重合），設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，試問k1k2是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【解答】解：（1）根據拋物線定義可知，
因此，所以p＝2，
因此C的方程為y2＝4x；
（2）是定值，理由如下，
根據p（4，y0）（y0＞0）在拋物線上，所以y0＝4，所以點P（4，4），
顯然過Q（1，﹣4）的直線斜率不為0，
因此設直線AB方程為x＝m（y+4）+1，B（x2，y2），A（x1，y1），
由，得y2﹣4my﹣16m﹣4＝0，
根的判別式Δ＝16m2﹣4（﹣16m﹣4）＝16（m2+4m+1）＞0，所以或，
根據韋達定理可得y1y2＝﹣16m﹣4，y1+y2＝4m，
所以，
＝16m2+8m+1，
又因為，，
因此
，
所以k1k2為定值．
24．（2024秋 秦州區校級期末）已知O為坐標原點，拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點F到準線的距離為1．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）M，N為拋物線C上的兩點，若直線MN與y軸垂直，且△OMN為等腰直角三角形，求△OMN的面積．
【解答】解：（1）由題意得 p＝1，
∴拋物線C的標準方程為x2＝2y；
（2）不妨設M（m，n）（m＞0，n＞0），
由已知結合對稱性可得N（﹣m，n），
又△OMN為等腰直角三角形，
∴，解得m＝n＝2．
∴△OMN的面積為S2m×n＝mn＝4．

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