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單元素養(yǎng)測評卷(三)
1.A　[解析] 由題意得,a=(cos 45°)i+(sin 45°)j=i+j=(1,1).故選A.
2.C　[解析] 由題意得=+=+=+(-)=+.故選C.
3.A　[解析] 易知=-=-e1+2e2=-(e1-2e2),因為A,B,D三點共線,所以∥,所以k=2.故選A.
4.C　[解析] 由=-2得+2=0,即+=0,即=,則-=-,故=2-=2(2,-1)-(1,2)=(3,-4),||==5,所以與同向的單位向量為=,反向的單位向量為.故選C.
5.A　[解析] 　=m+(m-2)=m(-)+(m-2),則=-+,因為A,B,P是直線l上不同的三點,所以-+=1,解得m=3.故選A.
6. D　[解析] 以A為原點,正東方向為x軸正方向,正北方向為y軸正方向,建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,0),B(-1000cos 30°,1000sin 30°)=(-500,500),C(-2000cos 30°,-2000sin 30°)=(-1000,-1000),∴=(-500,-1500),∴||==1000.故選D.
7.D　[解析] 連接AD.因為M,D,N三點共線,所以=λ+(1-λ)=λm+(1-λ)n.因為=,所以=,所以=+=+=+-=+,所以可得+=3.故選D.
8.C　[解析] 用m表示以B為起點,終點在直線BA上的一個向量,設為,則-m=.∵||≥||恒成立,即點C與直線BA上的點的連線中CA最短,∴CA⊥AB,∴△ABC是直角三角形.故選C.
9.ABC　[解析] 對于A,e1-e2=-(e2-e1),則e1-e2與e2-e1共線,不能作為平面向量的一組基底;對于B,2e1-e2=2,則2e1-e2與e1-e2共線,不能作為平面向量的一組基底;對于C,-2(2e2-3e1)=6e1-4e2,則2e2-3e1與6e1-4e2共線,不能作為平面向量的一組基底;對于D,明顯不存在實數(shù)λ使e1+e2=λ(e1+3e2),則e1+e2與e1+3e2不共線,可以作為平面向量的一組基底.故選ABC.
10.AD　[解析] 對于A,若x=y=,則=+ -=- =,即點P是BC邊上的中點,故A正確;對于B,當x=,y=時,=+ -=2(-),即=2,所以點P是邊BC上靠近點C的三等分點,故B錯誤;對于C,若點P在BC邊的中線上且x+y=,則點P為BC邊的中線的中點,不是重心,故C錯誤;對于D,設=2,=2,則=+,+=1,故點P在直線MN上,點P與點A到BC的距離相等,故△PBC與△ABC的面積相等,故D正確.故選AD.
11.BD　[解析] =+=-.因為=(+),所以=+=++,所以=,所以=+++=-.故選BD.
12.或(1,0)　[解析] 由點P在直線AB上,且||=2||,可得=2或=-2.當=2時,設P(a,b),則(a+3,b-4)=2(-1-a,2-b),解得a=-,b=,此時點P的坐標為;當=-2時,設P(m,n),則(m+3,n-4)=-2(-1-m,2-n),解得m=1,n=0,此時點P的坐標為(1,0).
13.-　[解析] 由題可知,λa+b=k[a+(2λ-1)b],k<0,所以解得λ=1(舍)或λ=-.
14.　[解析] 當點P在點O處時,=+,此時λ+μ=1.當點P在線段BO上運動時,=λ+μ,因為P,N,B三點共線,所以λ+μ=1.當點P在線段BC上運動時,=λ+,因為P,B,C三點共線,所以λ+=1,可得λ+μ=λ+(1-λ)=-,易知λ∈[0,1],所以λ+μ∈.當點P在線段OC上運動時,=2λ+,因為P,M,C三點共線,所以2λ+=1,可得λ+μ=λ+(1-2λ)=-2λ,易知λ∈,所以λ+μ∈.綜上λ+μ∈.
15.解:(1)∵a-2b=(5,-2),∴|a-2b|==.
(2)∵3a-b=(10,4),a+kb=(3-k,2+2k),且3a-b與a+kb共線,
∴10×(2+2k)-4×(3-k)=0,解得k=-.
16.解:(1)設E(x,y),則=(x+1,y),又=(2,2),且=,
所以解得
所以E.同理可得F,所以=.
(2)證明:因為=(4,-1),=,
所以=,所以∥.
17.解:(1)證明:因為E是邊BC上的動點,
所以存在m∈[0,1]使=m=m(-)=m-m,
所以=+=(1-m)+m.
令1-m=λ,則m=1-λ,因為m∈[0,1],所以λ∈[0,1],
所以=λ+(1-λ),λ∈[0,1].
(2)因為E,F分別是邊BC,AC的中點,
所以EF=AB,EF∥AB,又=,所以AD=EF,
所以==,所以=,即-=(-),
所以=+=+=×+×=+.
18.解:(1)由向量的線性運算法則,可得=+①,
=++②,
因為M為邊BC的中點,所以=-,
由①+②得2=++=+,
所以=+.
(2)設=t(0因為B,D,N三點共線,所以+=1,解得t=,
所以=,所以=4.
(3)設=m,
則=x+y=x(-)+y(+)=(x+ym)+(y-x),
因為=+=+,所以x+ym=,y-x=1,可得x=y-1,y=.
因為0≤m≤,所以1≤y≤,
因為xy=(y-1)y=y2-y=-在y∈上單調遞增,
所以xy的取值范圍為.
19.解:(1)當λ=時,=,
則=+=+=+(++)=+=+=a+b.
(2)連接AE,AF,AC,
=+=b+×a=a+b,
=+=b+×a=a+b.
設=x,=y ,
因為E,M,G三點共線,F,N,H三點共線,
所以=x+(1-x)=xb+a,
=y+(1-y)=yb+a,
因為∥,所以=,得=2x-y.
因為=λ,所以-=λ(-),
所以=λ+(1-λ)=λb+a,
=-=(y-x)b+a,
因為=μ,
所以即代入=2x-y得
(λ-3)(λ-6)μ2+(3λ-6)μ=0,
因為μ≠0,所以μ==,因為λ∈[0,1],令t=λ-2,則t∈[-2,-1],因為y=t+在[-2,-1]上單調遞減,所以y=t+∈[-5,-4],所以μ∈,所以μ的取值范圍為.單元素養(yǎng)測評卷(三)
第六章
時間:120分鐘　分值:150分
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.[2024·貴州遵義高一期末] 如圖,分別取與x軸、y軸的正方向相同的兩個單位向量i,j作為一組基底,若|a|=,θ=45°,則向量a的坐標為 (　　)
A.(1,1) B.(-1,-1)
C.(,) D.(-,-)
2.[2024·廣西柳州高一期末] 在三角形ABC中,若點D滿足=2,則= (　　)
A.+ B.+
C.+ D.-
3.設{e1,e2}為平面向量的一組基底,已知向量=e1-ke2,=2e1-e2,=3e1-3e2,若A,B,D三點共線,則實數(shù)k的值是(　　)
A.2 B.-3 C.-2 D.3
4.已知O為坐標原點,=-2,若P1(1,2),P2(2,-1),則與共線的單位向量的坐標為(　　)
A.(3,-4)
B.(3,-4)或(-3,4)
C.或
D.或
5.已知A,B,P是直線l上不同的三點,點O在直線l外,若=m+(m-2)(m∈R),則m=(　　)
A.3 B.2 C. D.
6.一架飛機從A地向北偏西60°的方向飛行1000 km到達B地,然后向C地飛行.設C地恰好在A地的南偏西60°方向上,并且A,C兩地相距2000 km,則飛機從B地到C地的距離為 (　　)
A.500 km B.500 km
C.1000 km D.1000 km
7.如圖所示,在△ABC中,點D在線段BC上,且滿足BD=DC,過點D作直線,分別交直線AB,AC于M,N.若=m,=n,則 (　　)
A.m+n=2 B.2m+n=3
C.+=2 D.+=3
8.在△ABC中,若對任意m∈R,|-m|≥||恒成立,則△ABC的形狀為 (　　)
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.不確定
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.[2024·廣西桂林高一期末] 若{e1,e2}是平面內的一組基底,則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是(　　)
A.e1-e2,e2-e1 B.2e1-e2,e1-e2
C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1+3e2
10.已知點P是△ABC所在平面內一點,且=x+y,則下列說法正確的是 (　　)
A.若x=y=,則點P是BC邊上的中點
B.若點P是邊BC上靠近點B的三等分點,則x=,y=
C.若點P在BC邊的中線上且x+y=,則點P是△ABC的重心
D.若x+y=2,則△PBC與△ABC的面積相等
11.如圖所示,在△ABC中,點D在邊BC上,且CD=2DB,點E在AD上,且AD=3AE,則 (　　)
A.=+ B.=-
C.=+ D.=-
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.已知A(-3,4)與B(-1,2),點P在直線AB上,且||=2||,則點P的坐標為　　　　　　.
13.已知向量a,b不共線,且向量λa+b與a+(2λ-1)b的方向相反,則實數(shù)λ的值為　　　　.
14.在△ABC中,點M是AB的中點,=,CM與BN交于點O,動點P在△BOC的邊上運動,且=λ+μ,其中λ,μ∈R,則λ+μ的取值范圍是　　　　.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)已知向量a=(3,2),b=(-1,2).
(1)求|a-2b|的值;
(2)若3a-b與a+kb共線,求實數(shù)k的值.
16.(15分)已知A(-1,0),B(3,-1),C(1,2),且=,=.
(1)求點E,F及向量的坐標;
(2)求證:∥.
17.(15分)[2023·安徽蚌埠固鎮(zhèn)二中高一月考] 如圖,在△ABC中,D,E,F分別是邊AB,BC,AC上的動點,O為AE與DF的交點.
(1)證明:=λ+(1-λ),λ∈[0,1];
(2)當=,E,F分別是邊BC,AC的中點時,用,表示.
18.(17分)[2024·遼寧葫蘆島高一期末] 如圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2BC=2CD=2DA,M為邊BC的中點,AM與BD交于點N,點P為邊CD上的一個動點.
(1)用和表示;
(2)求;
(3)設=x+y,求xy的取值范圍.
19.(17分)如圖,在梯形ABCD中,=2,E,F是DC的兩個三等分點,G,H是AB的兩個三等分點,線段BC上一動點P滿足=λ(0≤λ≤1).AP分別交EG,FH于M,N兩點,記=a,=b.
(1)當λ=時,用a,b表示;
(2)若=μ,求μ的取值范圍.

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