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模塊素養測評卷(二)
1.C　[解析] 設函數f(x)=x2+ln x-5,易知f(x)=x2+ln x-5在(0,+∞)上為增函數.f(2)=4+ln 2-5=-1+ln 2<0,f(3)=9+ln 3-5=4+ln 3>0,所以f(2)·f(3)<0,則方程x2+ln x-5=0的解所在的區間為(2,3).故選C.
2.C　[解析] 由題知選出的3人中最多有2名女生,因此任選3人的情況為1名男生2名女生,2名男生1名女生,3名男生,則與事件M互斥但不對立的是恰有2名男生參加演講.故選C.
3.C　[解析] 作出函數y=x3和y=x5的圖象,如圖所示.
由圖可知,當y<-1時,a1時,14.A　[解析] 因為a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),所以c=ma+nb=(2m+n,-3m+2n)=(9,4),所以解得所以+=+=.故選A.
5.A　[解析] 10×40%=4,故40%分位數為第4個數和第5個數的平均數,不妨設1≤x6.C　[解析] 由題知B,E,N三點共線,所以存在λ∈R,使得=λ+(1-λ)=λ+.因為C,E,M三點共線,所以存在μ∈R,使得=μ+(1-μ)=μ+,則解得所以=a+b.故選C.
7.C　[解析] 由表中數據可知該企業年產值y(萬元)隨著新政策實施年數x(年)的增加而增加.由2014年比2013年增加31萬元,2023年比2022年增加82萬元,可知越往后的年份比上一年增加的產值越多,即y的增長速度越來越快,結合三種函數模型y=kx+b,y=kax(a>0且a≠1),y=klogax+b(a>0且a≠1),可知y=kax(a>0且a≠1)為最符合實際的函數模型,則729=ka10,811=ka11,故a=≈1.11,故預測該企業2026年的年產值約為y=ka14,則y=811×a3≈811×1.113≈1109.45(萬元),即預測該企業2026年的年產值約為1109萬元.故選C.
8.A　[解析] 如圖,設AB的中點為M.因為++=0,所以=2(+),所以=4,所以=,所以==5,所以△ABC的面積是△ABD的面積的5倍.故選A.
9.ACD　[解析] 對于選項A,由已知條件可知=2,故A正確;
對于選項B,=-,故B錯誤;
對于選項C,如圖,連接AC,因為E是線段CD的中點,
所以=+=(+)+=++=+,故C正確;
對于選項D,設=λ,因為點B,F,D三點共線,所以存在m,使得=m,
=+=+=+(-)=+,
又=λ=λ=λ+λ,
所以消去m得1-λ=λ,解得λ=,
所以=,故D正確.故選ACD.
10.AD　[解析] 有三個小孩的家庭的樣本空間為Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},事件A={(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)},事件B={(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},事件C={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)}.對于A,B∩C= ,且B∪C=Ω,則事件B與事件C相互對立,故A正確;對于B,A∩B={(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)},則事件A與事件B不相互對立,故B錯誤;對于C,事件B有4個樣本點,事件C有4個樣本點,事件BC有0個樣本點,則P(B)==,P(C)==,P(BC)=0,顯然P(B)·P(C)≠P(BC),則事件B與事件C不相互獨立,故C錯誤;對于D,事件A有6個樣本點,事件B有4個樣本點,事件AB有3個樣本點,則P(A)==,P(B)==,P(AB)=,顯然P(A)·P(B)=P(AB),則事件A與事件B相互獨立,故D正確.故選AD.
11.AC　[解析] 由f(x)是單調函數可得解得2≤a≤4,故當a∈[2,4]時,f(x)是單調函數,故A正確,B錯誤;當a∈[4,8)時,函數f(x)在(-∞,1]和(1,+∞)上單調遞減,而f(1)=8-a,
此時0<8-a≤a,則f(x)的值域為(0,+∞),故C正確;當a=9時,f(1)=8-a<0,故f(x)的值域不為(0,+∞),故D錯誤.故選AC.
12.　[解析] 小王在比賽中獲勝的情況有小王在前2局都勝,小王在前2局一勝一負且第3局勝,所以小王在比賽中獲勝的概率為×+2×××=.
13.2　[解析] 作出f(x)=y=t的圖象,如圖所示.
由于方程f(x)=t存在三個不同的實數解,所以0由圖知0所以log2(x2-1)+log2(x3-1)=log2[(x2-1)(x3-1)]=0,
即(x2-1)(x3-1)=x2x3-(x2+x3)+1=1,則x2x3=x2+x3,
所以T=x1++=x1+=x1+1≤2,
所以T的最大值為2.
14.　[解析] 設E,F分別為BC,AB的中點,連接EF,CF,AE,如圖,
則EF∥AC,則△BEF∽△BCA,故S△BEF=S△ABC,
則S四邊形ACEF=S△ABC,故S△ABC=S四邊形ACEF.
因為|+|=1,|+|=2,所以|+|=|2|=1,|+|=|2|=2,
故||=,||=1.
當AE⊥CF時,四邊形ACEF的面積最大,最大值為××1=,
故△ABC的面積的最大值為×=.
15.解:(1)∵OA=2BC,∴=,
又M為AB上靠近B的三等分點,∴=,
∴=(-)=(+)-=+-=-,
故=+=+=+.
(2)證明:設=t,t>0.
由(1)知=+,
則=t=t=+.
∵A,D,C三點共線,∴+=1,解得t=,∴=,故=3.
16.解:(1)因為f(x)是定義域為R的奇函數,所以f(0)=0,解得a=1,則f(x)=.
因為f(-x)====-f(x),所以a=1符合題意.
(2)f(x)===-+,因為函數y=2x+1>0且在R上單調遞增,
所以y=在R上單調遞減,從而f(x)在R上單調遞減.
由f(x2-kx)+f(2-x)>0可得f(x2-kx)>f(x-2).
因為f(x)在R上單調遞減,所以x2-kxx+-1(0設函數g(x)=x+-1,則k大于g(x)在(0,3]上的最小值.
易知g(x)在(0,)上單調遞減,在(,3]上單調遞增,所以g(x)在(0,3]上的最小值為g()=2-1,所以實數k的取值范圍為(2-1,+∞).
17.解:(1)可以用方差來度量每一組評委打分的相似性,方差越小,相似程度越高,專業性更強.
==48,
==59,
所以A組數據的方差是
=×[(42-48)2+(45-48)2+(48-48)2+(53-48)2+(52-48)2+(47-48)2+(49-48)2]=,
B組數據的方差是
=×[(48-59)2+(52-59)2+(70-59)2+(66-59)2+(77-59)2+(49-59)2+(51-59)2]=,
因為專業評委給分更符合專業規則,所以相似程度更高,因此A組分數更可能是專業評委打的分數.
(2)記(a,b)為一個樣本點.
從A組分數中抽取1個分數,B組分數中抽取1個分數的樣本空間中共有49個樣本點.
事件M包含的樣本點有(48,48),(48,52),(48,70),(48,66),(48,77),(48,49),(48,51),(42,48),(45,48),(53,48),(52,48),(47,48),(49,48),共13個,則P(M)=.
事件N包含的樣本點有(48,52),(52,48),(49,51),共3個,所以P(N)=,
事件MN包含的樣本點有(48,52),(52,48),共2個,所以P(MN)=,
因為P(M)P(N)≠P(MN),所以事件M與事件N不相互獨立.
18.解:(1)因為f(x)是偶函數,所以f(-x)=f(x),
即log2(4-x+1)+mx=log2(4x+1)-mx對任意x∈R恒成立,
所以2mx=log2,則2mx=log24x,所以2mx=2x,故m=1.
(2)由(1)得f(x)=log2(4x+1)-x,x∈R.
函數y=f(x)-x-a有且只有一個零點,即方程log2(4x+1)=2x+a有且只有一個實數根.
由log2(4x+1)=2x+a,得22x+a=4x+1,則2a=,即2a=1+,
因為y=4x>0恒成立,所以1+>1,
又y=1+在R上單調遞減,所以2a>1,則a>0,
故實數a的取值范圍是(0,+∞).
19.解:由D,P,C三點共線得=λ+(1-λ)=λ+(1-λ)(+)=(1-λ)+,λ∈R.
由M,N,P三點共線得=μ+(1-μ)=
μ[(1-λ)+]+(1-μ)·(+)=
μ[(1-λ)+]+(1-μ)(2+)=
[μ(1-λ)+(1-μ)]+,μ∈R,
由題知==+,
則解得
所以=+.
因為=-=+-(+)=-=,
=k,所以k=.模塊素養測評卷(二)
時間:120分鐘　分值:150分
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.[2024·重慶青木關中學高一期末] 方程x2+ln x-5=0的解所在區間可以為 (　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
2.某活動小組有3名男生和2名女生,從中任選3人參加演講.記事件M為“恰有1名男生參加演講”,則下列事件中與事件M互斥但不對立的是 (　　)
A.至少有2名男生參加演講
B.至多有2名男生參加演講
C.恰有2名男生參加演講
D.恰有2名女生參加演講
3.已知實數a,b滿足等式a3=b5,給出下列五個關系式:
①1A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
4.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),若正實數m,n滿足c=ma+nb,則+的值為 (　　)
A. B. C. D.
5.一組數據:1,1,3,3,5,5,7,7,x,y,其中x,y為正整數,且x≠y.若該組數據的40%分位數為2.5,則該組數據的眾數為　 (　　)
A.1 B.3 C.5 D.7
6.在△ABC中,點M是AB的中點,點N在AC上,且AN∶NC=1∶2,BN與CM相交于E.設=a,=b,則向量= （ ）
A.a+b 　　　　B.a+b
C.a+b 　　　　D.a+b
7.某企業從2013年開始實施新政策后,年產值逐年增加,下表給出了該企業2013年至2023年的年產值(萬元).為了描述該企業年產值y(萬元)與新政策實施年數x(年)的關系,現有以下三種函數模型:y=kx+b,y=kax(a>0且a≠1),y=klogax+b(a>0且a≠1).選出你認為最符合實際的函數模型,預測該企業2026年的年產值約為 (　　)
(附:1.113≈1.368)
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年產值 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811
A.924萬元 B.976萬元
C.1109萬元 D.1231萬元
8.[2024·河南焦作高一期末] 已知△ABC所在平面內一點D滿足++=0,則△ABC的面積是△ABD的面積的 (　　)
A.5倍 B.4倍
C.3倍 D.2倍
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.[2024·遼寧沈陽高一期末] 如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2BC,E是線段CD的中點,AE與BD交于F,則(　　)
A.=2
B.=-
C.=+
D.=
10.[2023·陜西咸陽實驗中學高一月考] 某家庭有三個小孩.假定生男孩和生女孩是等可能的,記事件A:該家庭既有男孩又有女孩,事件B:該家庭最多有一個男孩,事件C:該家庭最多有一個女孩.下列說法正確的是 (　　)
A.事件B與事件C相互對立
B.事件A與事件B相互對立
C.事件B與事件C相互獨立
D.事件A與事件B相互獨立
11.下列關于函數f(x)=的說法正確的是 (　　)
A.當a∈[2,4]時,f(x)是單調函數
B.當a∈[4,+∞)時,f(x)是單調函數
C.當a∈[4,8)時,f(x)的值域為(0,+∞)
D.當a∈[4,+∞)時,f(x)的值域為(0,+∞)
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.[2023·浙江寧波高一期末] 小周和小王進行一對一籃球比賽,該比賽采取三局兩勝制(有一方先勝兩局即獲勝,比賽結束,沒有平局).假設小周每一局獲勝的概率為,小王每一局獲勝的概率為,且每一局比賽相互獨立,則小王在比賽中獲勝的概率為　　　　.
13.已知函數f(x)=若方程f(x)=t存在三個不同的實數解,且滿足x114.[2023·湖南永州高一期末] 在△ABC中,若|+|=1,|+|=2,則△ABC的面積的最大值為　　　　.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)[2023·陜西銅川高一期末] 如圖,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M為AB上靠近B的三等分點,OM交AC于D.
(1)用和表示;
(2)求證:=3.
16.(15分)[2024·安徽安慶一中高一期末] 設定義域為R的奇函數f(x)=(其中a為實數).
(1)求a的值.
(2)是否存在實數k,使得當x∈(0,3]時,不等式f(x2-kx)+f(2-x)>0成立 若存在,求出實數k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
17.(15分)[2023·重慶九龍坡高一期末] 在某項比賽中,7位專業評委和7位觀眾評委分別給選手打分.針對某位選手,下面是兩組評委的打分結果:
A組 42 45 48 53 52 47 49
B組 48 52 70 66 77 49 51
(1)根據表格中數據判斷哪一組分數更可能是專業評委打的分數.
(2)現從A組評委所打分數中隨機抽取1個分數,記為a,從B組評委所打分數中隨機抽取1個分數,記為b.記事件M:a,b中有一個數據為48,事件N:a+b=100,判斷事件M與事件N是否相互獨立.
18.(17分)[2024·福建南平高一期末] 已知函數f(x)=log2(4x+1)-mx(m∈R)是偶函數.
(1)求實數m的值;
(2)若函數y=f(x)-x-a有且只有一個零點,求實數a的取值范圍.
19.(17分)在平行四邊形ABCD中,=a,=b,=3,M為BC的中點,延長MN交CD于點P,若=k,求k的值.

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