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函數性質的綜合應用
一、單項選擇題（每小題5分）
1．已知函數f (x)是定義在R上的奇函數，且f (x＋1)＝f (－x＋1)，當0A．－　　　B．　　　C．－　　　D．
2．若函數f (x)的定義域為R，其圖象關于點(2，2)對稱，且f (x＋1)是偶函數，則f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 024)＝(　　)
A．2 023 B．－2 023 C．4 050 D．－4 050
3．已知函數f (x)的定義域為R，且f 是偶函數，f (x－1)是奇函數，則(　　)
A．f (0)＝0 B．f ＝0 C．f (1)＝0 D．f (3)＝0
4．已知f (x)是定義在R上的奇函數，且對任意x1，x2∈R，當x1＜x2時，都有f (x1)－f (x2)＜x1－x2，則關于x的不等式f (x2－1)＋f (－2x－2)＜x2－2x－3的解集為
A．(－3，1) B．(－1，3)C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
5．已知定義在R上的函數f (x)滿足：f (x)＋f (2－x)＝2，f (x)－f (4－x)＝0，且f (0)＝2．若i∈N*，則＝(　　)
A．506 B．1 012 C．2 025 D．4 048
6． x∈R，f (x)＋f (x＋3)＝1－f (x)f (x＋3)，f (－1)＝0，則f (2 024)的值為(　　)
A．2 B．1 C．0 D．－1
7.已知函數f (x)＝若f (a＋1)－f (2a－1)0，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[2，6] D．
8.已知函數f (x)＝在R上單調遞增，則a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞)
二、多項選擇題（每小題6分）
9．已知函數f (x)的定義域為R，f (x＋1)為奇函數，f (x＋2)為偶函數，且對任意的x1，x2∈(1，2)，x1≠x2，都有>0，則(　　)
A．f (x)是奇函數 B．f (2 025)＝0
C．f (x)的圖象關于(1，0)對稱 D．f (π)>f (e)
10．已知定義在R上的函數f (x)滿足f (x＋2)＋f (x)＝0，且y＝f (2－x)為偶函數，則下列說法一定正確的是(　　)
A．函數f (x)的周期為2
B．函數f (x)的圖象關于點(1，0)對稱
C．函數f (x)為偶函數
D．函數f (x)的圖象關于直線x＝3對稱
11.已知定義域為R的函數f (x)滿足： x，y∈R，f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，且f (1)＝1，則下列結論正確的是(　　)
A．f (0)＝2 B．f (x)為偶函數
C．f (x)為奇函數 D．f (2)＝－1
三、填空題（每小題5分）
12．定義在R上的函數f (x)滿足f (2＋x)＝f (2－x)，且f (x)在(－∞，2]上單調遞減，則不等式f (2x＋3)f (1)的解集為________．
13．設f (x)是定義在R上的函數，且f (x＋2)＝，f (3)＝3，則f (5)f (2 023)＝________．
14若定義在R上的偶函數f (x)滿足f (－1)＝f (x)＋f (x＋1)＝2，則f ＝_________，f (2 023)＋f (2 024)＋f (2 025)＝________．
解答題
15.（13分）已知a，b∈R，記max{a，b}＝函數f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)．
(1)寫出f (x)的解析式，并求出f (x)的最小值；
(2)若函數g(x)＝x2－kf (x)在(－∞，－1]上具有單調性，求實數k的取值范圍．
16.（15分）已知定義在R上的函數f (x)滿足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1，且當x>0時，f (x)>－1．
(1)求f (0)的值，并證明f (x)在R上是增函數；
(2)若f (1)＝1，解關于x的不等式f (x2＋2x)＋f (1－x)>4．
17.（15分）已知函數f (x)＝．
(1)求證：函數f (x)的圖象關于點對稱；
(2)求S＝f (－2 022)＋f (－2 021)＋…＋f (0)＋…＋f (2 022)＋f (2 023)的值．
18，（17分）設f (x)是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f (x＋2)＝－f (x)．當x∈[0，2]時，f (x)＝2x－x2．
(1)f (x)的最小正周期；
(2)當x∈[2，4]時，求f (x)；
(3)計算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 025)。
19.(17分)我們知道函數y＝f (x)的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y＝f (x)為偶函數，有同學發現可以將其推廣為：函數y＝f (x)的圖象關于x＝a成軸對稱圖形的充要條件是函數y＝f (x＋a)為偶函數．
(1)已知函數φ(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，求該函數圖象的對稱軸方程；
(2)若函數g(x)的圖象關于直線x＝1對稱，且當x1時，g(x)＝x2－．
①求g(x)的解析式；
②求不等式g(x)>g(3x－1)的解集．
參考答案
1.C 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.D 8. B 9. BC 10.BC 11. ABD 12.[－1，0] 13. 14. 1　4　
15解：(1)因為|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3，
當x時，|x＋1|2－|x－2|2＝6x－30，
則f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝|x＋1|＝x＋1；
當x＜時，|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3＜0，
則f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝|x－2|＝2－x．
所以f (x)＝故函數f (x)在上單調遞減，在上單調遞增，
所以函數f (x)的最小值為f ＝＋1＝．
(2)當x－1時，f (x)＝2－x，則g(x)＝x2－kf (x)＝x2＋kx－2k，因為函數g(x)在(－∞，－1]上具有單調性，且二次函數g(x)的圖象開口向上，故函數g(x)在(－∞，－1]上只能單調遞減，所以－－1，解得k2，因此，實數k的取值范圍是(－∞，2]．
16.解：　(1)令x＝y＝0，得f (0)＝－1．
在R上任取x1，x2且x1>x2，則x1－x2>0，
所以f (x1－x2)>－1．
又f (x1)＝f ((x1－x2)＋x2)＝f (x1－x2)＋f (x2)＋1>f (x2)，所以函數f (x)在R上是增函數．
(2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5．
由f (x2＋2x)＋f (1－x)>4得f (x2＋x＋1)>f (3)，
因為函數f (x)在R上是增函數，
所以x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集為{x|x<－2或x>1}．
17.解：(1)證明：因為f (x)＝，所以f (1－x)＝＝＝，
所以f (x)＋f (1－x)＝1，即函數f (x)的圖象關于點對稱．
(2)由(1)知f (x)＋f (1－x)＝1，
因為S＝f (－2 022)＋f (－2 021)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 022)＋f (2 023)，
則S＝f (2 023)＋f (2 022)＋…＋f (1)＋f (0)＋…＋f (－2 021)＋f (－2 022)，
所以2S＝4 046，即S＝2 023．
18，解：(1)∵f (x＋2)＝－f (x)，∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)．
∴f (x)是周期為4的周期函數，且f (x)的最小正周期是4．
(2)當x∈[－2，0]時，－x∈[0，2]，由已知得
f (－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．
又f (x)是奇函數，∴f (－x)＝－f (x)＝－2x－x2．
∴f (x)＝x2＋2x．
又當x∈[2，4]時，x－4∈[－2，0]，
∴f (x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f (x)是周期為4的周期函數，∴f (x)＝f (x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．
即當x∈[2，4]時，f (x)＝x2－6x＋8．
(3)∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1，
且f (x)是周期為4的周期函數，
∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)＋f (2 023)＝0．
∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 025)＝f (0)＋f (1)＝1
　19.解：(1)因為φ(x)＝(x－1)2－1＋a[ex-1＋e－(x-1)]，
所以φ(1＋x)＝x2－1＋a(ex＋e－x)，
令h(x)＝φ(x＋1)，則該函數的定義域為R，
h(－x)＝(－x)2－1＋a(e－x＋ex)＝x2－1＋a(e－x＋ex)＝h(x)，
所以，函數h(x)＝φ(x＋1)為偶函數，
因此，函數φ(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)圖象的對稱軸方程為x＝1．
(2)①因為函數g(x)的圖象關于直線x＝1對稱，且當x1時，g(x)＝x2－，
當x<1時，2－x>1，則g(x)＝g(2－x)＝(2－x)2－＝(x－2)2＋，
所以，g(x)＝
②當x1時，g(x)＝x2－，因為函數y＝x2，y＝－在[1，＋∞)上單調遞增，
所以，函數g(x)＝x2－在[1，＋∞)上單調遞增，
因為g(x)>g(3x－1)，則|x－1|>|3x－2|，
不等式兩邊平方可得(3x－2)2<(x－1)2，即(2x－1)(4x－3)<0，解得因此，不等式g(x)>g(3x－1)的解集為．

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