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集合新定義問題、容斥原理、集合含參問題專項訓(xùn)練
考點目錄
集合新定義問題 容斥原理
集合含參問題
1．（24-25高一下·湖南長沙·期末）設(shè)集合，若集合滿足，，稱為集合的一個“三分劃”（不考慮的順序，即與視作同一種情況）．對于集合，在的所有“三分劃”中，滿足集合中元素之和相等的“三分劃”的個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（24-25高一下·湖北隨州·階段練習(xí)）對于非空集合（，），其所有元素的幾何平均數(shù)記為，即．若非空數(shù)集滿足下列兩個條件：① ；②，則稱為的一個“保均值真子集”，則集合的“保均值真子集”的個數(shù)為（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
3．（24-25高一上·北京·階段練習(xí)）設(shè)是整數(shù)集的一個非空子集，對于，如果且，那么是的一個“孤立元”，給定，由的3個元素構(gòu)成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）個．
A．14 B．16 C．18 D．20
4．（24-25高一下·北京·階段練習(xí)）向量集合，對于任意，，以及任意，都有，則稱集合是“凸集”，現(xiàn)有四個命題：
①集合是“凸集”；
②若為“凸集”，則集合也是“凸集”；
③若，都是“凸集”，則也是“凸集”；
④若，都是“凸集”，且交集非空，則也是“凸集”．
其中，所有正確的命題的序號是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5．（24-25高一上·湖南衡陽·開學(xué)考試·多選）集合 ， 是實數(shù)集 的子集，定義且，若集合，，則以下說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)·多選）已知非空數(shù)集S滿足：對任意給定的（x、y可以相同），有且．則下列選項正確的是（ ）
A． B．若，且，則
C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正數(shù)為5，則
7．（24-25高一上·浙江溫州·期末·多選）已知整數(shù)集，或，若存在，使得，，，則稱集合具有性質(zhì)，則（ ）
A．若，則具有性質(zhì) B．若，則具有性質(zhì)
C．若，則一定具有性質(zhì) D．若，則一定具有性質(zhì)
8．（24-25高一上·吉林長春·階段練習(xí)·多選）非空集合A，B滿足，且中元素個數(shù)不大于1.定義集合，，則（ ）
A．集合A，B中元素個數(shù)之和為10或11 B．集合中元素個數(shù)最多為17
C．集合中元素個數(shù)最多為18 D．集合中元素個數(shù)最多為9
9．（24-25高一上·云南昭通·階段練習(xí)）在中學(xué)階段，對許多特定集合（如實數(shù)集等）的學(xué)習(xí)常常是以定義運算（如四則運算）和研究運算律為主要內(nèi)容.現(xiàn)設(shè)集合由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成，在上定義一個運算，記為，對于中的任意兩個元素，規(guī)定：.則 .
10．（24-25高一下·廣東汕頭·階段練習(xí)）集合是實數(shù)集的子集，定義，叫做集合的對稱差．若集合，，則 ， ．
11．（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）對于任意兩集合A，B，定義且，記，則 ．
12．（24-25高一上·上海浦東新·期中）若規(guī)定由整數(shù)組成的集合，，的子集為的第個子集，其中，則的第2024個子集是 ．
13．（24-25高一下·北京延慶·期中）已知數(shù)集具有性質(zhì)：對任意的，，使得成立.
(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；
(2)求證：.
14．（24-25高一上·陜西咸陽·階段練習(xí)）高一的珍珍閱讀課外書籍時，發(fā)現(xiàn)笛卡爾積是代數(shù)和圖論中一個很重要的課題．對于非空數(shù)集，，定義且，將稱為“與的笛卡爾積”
(1)若，，求和；
(2)試證明：“”是“”的充要條件．
15．（25-26高一上·湖南邵陽·階段練習(xí)）給定數(shù)集A，若對于任意，有，，則稱集合A為閉集合．
(1)判斷集合，是否為閉集合，并給出證明；
(2)若集合為閉集合，則是否一定為閉集合？請說明理由；
(3)若集合為閉集合，且 ， ，證明： ．
16．（25-26高三上·北京平谷·開學(xué)考試）已知集合，x、，其中．定義，若，則稱x與y正交．
(1)若，寫出 中與x正交的所有元素；
(2)令，若，證明：為偶數(shù)；
(3)若，且A 中任意兩個元素均正交，當(dāng)時，A中最多可以有多少個元素.
1．（24-25高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）某班共40人，其中24人喜歡籃球運動，16人喜歡乒乓球運動，這兩項運動都不喜歡的有6人，則喜歡籃球運動但不喜歡乒乓球運動的人數(shù)為（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
2．（24-25高一上·四川瀘州·期中）某學(xué)校舉辦了多個課余活動，高一（1）班有40名同學(xué)，其中25名同學(xué)參加了體育活動，15名同學(xué)參加了科學(xué)活動，有10名同學(xué)這兩個課余活動均沒參加，則這個班既參加了體育活動，又參加了科學(xué)活動的同學(xué)有（ ）
A．4名 B．6名 C．8名 D．10名
3．（24-25高一上·新疆·期中）自年起，江西新高考采用“”模式，其中，“”為全國統(tǒng)考科目，即語文、數(shù)學(xué)、外語；“”為首選科目，考生要在物理、歷史科目中選擇門；“”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)個科目中選擇門.已知某校首選科目為物理的考生有人，其中再選科目選了化學(xué)的有人，再選科目沒有選生物學(xué)的有人，再選科目同時選了化學(xué)和生物學(xué)的有人，則該校首選科目為物理的考生中，再選科目同時選了思想政治和地理的人數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·江蘇·階段練習(xí)）為提升學(xué)生學(xué)習(xí)雙語的熱情“G11 四市十一?！苯虒W(xué)聯(lián)盟計劃在2025年4月舉行“語文情境默寫” “英語讀后續(xù)寫”兩項競賽，我校計劃派出20人的代表隊，據(jù)了解其中擅長語文的有10名同學(xué)，擅長英語的有12名同學(xué)，兩項都擅長的有5名同學(xué)，請問該代表隊誤選了幾名均不擅長的同學(xué)？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
5．（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）某單位為豐富職工的業(yè)余生活，舉辦了一屆職工運動會．已知該單位共有245名職工，參加乒乓球、籃球、羽毛球比賽的人數(shù)分別為140，120，108，同時參加乒乓球、籃球比賽的人數(shù)為72，同時參加籃球、羽毛球比賽的人數(shù)為50，同時參加乒乓球、籃球、羽毛球三項比賽的人數(shù)為30．三項比賽都不參加的人數(shù)為36，則只參加羽毛球比賽的人數(shù)為（ ）
A．21 B．26 C．31 D．37
6．（25-26高三上·陜西·階段練習(xí)）有人參加籃球 乒乓球 羽毛球訓(xùn)練，參加籃球訓(xùn)練的有人，參加乒乓球訓(xùn)練的有人，參加羽毛球訓(xùn)練的有人，其中只參加種球類訓(xùn)練的有人，則種球類訓(xùn)練都參加的人數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河北石家莊·三模·多選）某?！拔逡惶飶竭\動會”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個項目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則下列說法正確的是（ ）
A．三項比賽都參加的有2人 B．只參加100米比賽的有3人
C．只參加400米比賽的有3人 D．只參加1500米比賽的有1人
8．（24-25高一上·浙江杭州·期中·多選）某?！拔逡惶飶竭\動會”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個項目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則下列說法正確的是（ ）
A．三項比賽都參加的有2人 B．只參加100米比賽的有3人
C．只參加400米比賽的有3人 D．只參加1500米比賽的有3人
9．（24-25高一上·云南昆明·期中·多選）某高中為了迎接國慶的到來，在國慶前一周舉辦了“迎國慶，向未來”的趣味運動會，其中共有12名同學(xué)參加拔河、4人足球、羽毛球三個項目，其中有8人參加“拔河”，有7人參加“4人足球”，有5人參加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都參加的有4人，“拔河和羽毛球”都參加的有3人，“4人足球和羽毛球”都參加的有3人，則（ ）
A．三項都參加的有1人 B．只參加拔河的有3人
C．只參加4人足球的有2人 D．只參加羽毛球的有4人
10．（24-25高二下·北京·期末）有A、B、C三個城市，至少去過其中一個城市的有18人，去過A、B、C三個城市的分別有9人，8人，11人，同時去過A、B的有5人，同時去過B、C的有3人，同時去過A、C的有4人，則同時去過A、B、C三個城市的有 人．
11．（25-26高一上·上?！ら_學(xué)考試）向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成；贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A，B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A，B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人，問對A，B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有 人．
12．（24-25高一上·天津濱海新·期末）1學(xué)校舉辦運動會時，高一（1）班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加趣味益智類比賽．有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加趣味益智類比賽和田徑比賽的有3人，同時參加趣味益智類比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽．則只參加趣味益智類一項比賽的人數(shù)為 ；同時參加田徑和球類比賽的人數(shù)為
13．（24-25高一上·江西上饒·開學(xué)考試）某校舉行運動會，集合是該校參加運動會的學(xué)生，是參加跳遠(yuǎn)項目的學(xué)生}，是參加短跑項目的學(xué)生，是既參加跳遠(yuǎn)項目又參加短跑項目的學(xué)生．
(1)試用Venn圖表示這些集合之間的關(guān)系．
(2)若參加跳遠(yuǎn)項目的學(xué)生數(shù)為20人，參加短跑項目的學(xué)生數(shù)為15人，兩個項目都參加學(xué)生數(shù)為5人．求至少參加了其中一個項目的學(xué)生人數(shù)．
(3)有限集中元素的個數(shù)可以一一數(shù)出來，若M是有限集，常用來表示M中元素的個數(shù)．如，則．用表示出．
14．（24-25高一上·浙江·階段練習(xí)）為積極響應(yīng)國家對于網(wǎng)絡(luò)游戲的防沉迷政策，某中學(xué)學(xué)生會對同學(xué)假期游戲時長進行調(diào)查.
(1)小丁同學(xué)某天玩游戲的時長取值范圍為非空集合，合理游戲時長為，若小丁游戲時長在合理游戲時長范圍之內(nèi)，求的取值范圍；
(2)某班共50人，其中10人玩游戲，12人玩游戲，7人玩游戲，已知玩游戲的均不玩游戲，只玩游戲的人數(shù)與游戲和游戲都玩的人數(shù)相同，只玩游戲的人數(shù)與和都玩的人數(shù)相同，求班上這三種游戲都不玩的同學(xué)人數(shù).
1．（24-25高二下·云南昆明·階段練習(xí)）設(shè)集合.若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·廣西·開學(xué)考試）已知集合，，且的元素個數(shù)為2，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）已知，若，則的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高三上·廣東·開學(xué)考試）設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一上·河南安陽·階段練習(xí)）設(shè)集合，.若，則a的范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）集合，若．則實數(shù)a的范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（24-25高一下·四川廣元·階段練習(xí)·多選）設(shè)集合，則下列選項中，滿足的實數(shù)a的取值范圍可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高一上·河南省直轄縣級單位·階段練習(xí)·多選）已知，集合，集合，則下列正確的是（ ）
A．若，則實數(shù)的取值范圍是
B．若，則實數(shù)的取值范圍是
C．若，則實數(shù)的取值范圍是
D．若，則實數(shù)的取值范圍是
9．（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）已知集合若，則實數(shù)的取值范圍是 .
10．（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）已知集合若，則實數(shù)a的取值范圍是
11．（24-25高一上·吉林·階段練習(xí)）已知集合，，若，則的取值范圍是 ．
12．（25-26高三上·湖北孝感·階段練習(xí)）已知集合，集合.若，則實數(shù)的取值范圍為 .
13．（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）已知全集，集合．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
14．（25-26高三上·江蘇鹽城·開學(xué)考試）設(shè)全集U=R,已知集合，集合．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
15．（24-25高一上·廣東江門·階段練習(xí)）已知集合，．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，且，求實數(shù)的取值范圍．
16．（24-25高一上·福建泉州·階段練習(xí)）已知集合．
(1)當(dāng)時，求，；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
17．（25-26高一上·河南南陽·開學(xué)考試）已知集合，．
(1)若且，求實數(shù)的取值范圍；
(2)設(shè)，，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．集合新定義問題、容斥原理、集合含參問題專項訓(xùn)練
考點目錄
集合新定義問題 容斥原理
集合含參問題
1．（24-25高一下·湖南長沙·期末）設(shè)集合，若集合滿足，，稱為集合的一個“三分劃”（不考慮的順序，即與視作同一種情況）．對于集合，在的所有“三分劃”中，滿足集合中元素之和相等的“三分劃”的個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【詳解】集合的總和為：
每個子集的和應(yīng)為：
列舉所有和為且滿足三分劃條件的子集組合：
組合一：
組合二：
組合三：
共種不同的分法.
故選：D.
2．（24-25高一下·湖北隨州·階段練習(xí)）對于非空集合（，），其所有元素的幾何平均數(shù)記為，即．若非空數(shù)集滿足下列兩個條件：① ；②，則稱為的一個“保均值真子集”，則集合的“保均值真子集”的個數(shù)為（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】C
【詳解】因為集合，則，
所以集合的“保均值真子集”有：,,,,,，共6個．
故選：C
3．（24-25高一上·北京·階段練習(xí)）設(shè)是整數(shù)集的一個非空子集，對于，如果且，那么是的一個“孤立元”，給定，由的3個元素構(gòu)成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）個．
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【詳解】由題意，要使集合含有“孤立元”，則集合中的元素不是3個一致連續(xù)的整數(shù)即可，
故滿足條件的集合有：，，，，，，
，，，，，，，，
，.
故選：B.
4．（24-25高一下·北京·階段練習(xí)）向量集合，對于任意，，以及任意，都有，則稱集合是“凸集”，現(xiàn)有四個命題：
①集合是“凸集”；
②若為“凸集”，則集合也是“凸集”；
③若，都是“凸集”，則也是“凸集”；
④若，都是“凸集”，且交集非空，則也是“凸集”．
其中，所有正確的命題的序號是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【詳解】由題意得，若對于任意，線段上任意一點，都有，
則集合是“凸集”，由此對結(jié)論逐一分析
對于①，，若對于任意滿足，則，
由函數(shù)的圖象知，對線段上任意一點，都有，
即，故為“凸集”，①正確
對于②，若為“凸集”，則對于任意，
此時，其中，
對于任意，，故為“凸集”，②正確
對于③，可舉反例，若，，
任取，，
則對于任意任意，，
所以集合是“凸集”，
任取，，
則對于任意任意，，
所以集合是“凸集”，
取，，
但，
所以不是“凸集”，故③錯誤，
對于④，若都是“凸集”， 則對于任意，
任意，則，且，
故，故也是“凸集”，④正確；
故選：B.
5．（24-25高一上·湖南衡陽·開學(xué)考試·多選）集合 ， 是實數(shù)集 的子集，定義且，若集合，，則以下說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【詳解】，
，
，.
故選：BCD
6．（24-25高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)·多選）已知非空數(shù)集S滿足：對任意給定的（x、y可以相同），有且．則下列選項正確的是（ ）
A． B．若，且，則
C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正數(shù)為5，則
【答案】ABD
【詳解】對于A，令是非空數(shù)集S的元素，則，A正確；
對于B，由，得，可推得，即，
又，則，從而，則，因此，B正確；
對于C，符合要求，此集合為有限集，C錯誤；
對于D，由S中最小的正數(shù)為5，，可推得，
假設(shè)里有形如，那么，
與5是集合中的最小正整數(shù)矛盾，因此，D正確.
故選：ABD
7．（24-25高一上·浙江溫州·期末·多選）已知整數(shù)集，或，若存在，使得，，，則稱集合具有性質(zhì)，則（ ）
A．若，則具有性質(zhì) B．若，則具有性質(zhì)
C．若，則一定具有性質(zhì) D．若，則一定具有性質(zhì)
【答案】BCD
【詳解】對A選項，若，則 , 因為，故不可能存在滿足題意，A錯誤；
對B選項，若 ，則， 則當(dāng) 時， A 具有性質(zhì), B正確；
對C選項，將整數(shù)分成這五類， 依次記為集合 C、D 、 E 、 F 、 G ,
當(dāng) 時，肯定是這5類中的一類， 如果四個屬于的集合各不相同，
比如 ，那么肯定是5的倍數(shù)，且，滿足 的定義，
如果四個中有兩個或者以上元素屬于同一個集合，
比如 ，則也是5的倍數(shù)，故C正確；
對 D 選項，
將整數(shù)分成這10類，
依次記為集合，當(dāng)時，分別是這10類中的一類，
分兩類情況，如果七個屬于的集合各不相同，
比如，
那么肯定是10的倍數(shù)，且，滿足的定義，
如果七個屬于的集合中有兩個或者以上元素屬于同一個集合，
比如 ，則也是10的倍數(shù)，且，滿足的定義，
故D正確．
故選：BCD.
8．（24-25高一上·吉林長春·階段練習(xí)·多選）非空集合A，B滿足，且中元素個數(shù)不大于1.定義集合，，則（ ）
A．集合A，B中元素個數(shù)之和為10或11 B．集合中元素個數(shù)最多為17
C．集合中元素個數(shù)最多為18 D．集合中元素個數(shù)最多為9
【答案】ACD
【詳解】用表示有限集的元素個數(shù),由題意，知非空集合滿足,,
對于A，由，得或，因為，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，故A正確；
對于B，當(dāng)，，此時，則，故B不正確；
對于C，∵中元素最大為，最小為，∴，，當(dāng)取等號時，必有，而2只能為，只能為，故，這與矛盾.所以，即的最大值為18，故C正確；
對于D，∵非空，且，∴且中至少有1個元素不在中，∴，當(dāng)，時取等號，所以D正確.
故選：ACD.
9．（24-25高一上·云南昭通·階段練習(xí)）在中學(xué)階段，對許多特定集合（如實數(shù)集等）的學(xué)習(xí)常常是以定義運算（如四則運算）和研究運算律為主要內(nèi)容.現(xiàn)設(shè)集合由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成，在上定義一個運算，記為，對于中的任意兩個元素，規(guī)定：.則 .
【答案】
【詳解】由題設(shè)定義知，
故答案為：.
10．（24-25高一下·廣東汕頭·階段練習(xí)）集合是實數(shù)集的子集，定義，叫做集合的對稱差．若集合，，則 ， ．
【答案】
【詳解】，
，
則，，
.
故答案為：；.
11．（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）對于任意兩集合A，B，定義且，記，則 ．
【答案】或
【詳解】，，．
故答案為：或
12．（24-25高一上·上海浦東新·期中）若規(guī)定由整數(shù)組成的集合，，的子集為的第個子集，其中，則的第2024個子集是 ．
【答案】
【詳解】因為，
所以的第2024個子集是.
故答案為：
13．（24-25高一下·北京延慶·期中）已知數(shù)集具有性質(zhì)：對任意的，，使得成立.
(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；
(2)求證：.
【答案】(1)具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)，理由見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）對于數(shù)集，若具有性質(zhì)，則，，
因為，即，
，即，
，即，
所以具有性質(zhì)；
對于數(shù)集，若具有性質(zhì)，則，，
因為，即，，即，
，即，，即，
，即，，即，
，即，，即，
，即，，即，
所以不具有性質(zhì).
（2）因為集合具有性質(zhì)：
即對任意的，使得成立，
又因為，，所以，，
所以，
即，
將上述不等式相加得：，
所以，
因為，所以，
故．
14．（24-25高一上·陜西咸陽·階段練習(xí)）高一的珍珍閱讀課外書籍時，發(fā)現(xiàn)笛卡爾積是代數(shù)和圖論中一個很重要的課題．對于非空數(shù)集，，定義且，將稱為“與的笛卡爾積”
(1)若，，求和；
(2)試證明：“”是“”的充要條件．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【詳解】（1）由題意可得：，
．
（2）若，設(shè)，
由定義可知：且，
所以“”是“”的必要條件；
若，對任意，均有，
即對任意，，均有，，
由任意性可知，，則，
所以“”是“”的充分條件；
綜上所述：“”是“”的充要條件．
15．（25-26高一上·湖南邵陽·階段練習(xí)）給定數(shù)集A，若對于任意，有，，則稱集合A為閉集合．
(1)判斷集合，是否為閉集合，并給出證明；
(2)若集合為閉集合，則是否一定為閉集合？請說明理由；
(3)若集合為閉集合，且 ， ，證明： ．
【答案】(1)A不是閉集合，B是閉集合，證明見解析
(2)不一定，理由見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1）A不是閉集合，B是閉集合．
∵，，，∴A不是閉集合；
任取，設(shè)，，，則且，∴，同理，，故B為閉集合；
（2）結(jié)論：不一定；
不妨令，，
則由（1）可知，為閉集合，同理可證為閉集合，
∵，，
因此，不是閉集合，
∴若集合為閉集合，則不一定為閉集合；
（3）假設(shè)，
由 ，可得存在且，故；
同理，存在且，故，
∵，∴或．
若，則由為閉集合且，得，與矛盾，
若，則由為閉集合且，得，與矛盾，
綜上，不成立，故 ．
16．（25-26高三上·北京平谷·開學(xué)考試）已知集合，x、，其中．定義，若，則稱x與y正交．
(1)若，寫出 中與x正交的所有元素；
(2)令，若，證明：為偶數(shù)；
(3)若，且A 中任意兩個元素均正交，當(dāng)時，A中最多可以有多少個元素.
【答案】(1)答案見詳解
(2)證明見解析
(3)2個
【詳解】（1）設(shè)，且，
若與正交，則，
可得或或或或或；
中所有與x正交的元素為．
（2）對于，存在，，使得．
令，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，．
那么．
所以為偶數(shù)．
（3）若時，不妨設(shè)
則與正交．
假設(shè)且它們互相正交．
設(shè)a，b，c相應(yīng)位置數(shù)字都相同的共有k個，除去這k列外．
a，b相應(yīng)位置數(shù)字都相同的共有m個，
b，c相應(yīng)位置數(shù)字都相同的共有n個，
則．
所以，同理．
可得．
由于，
可得矛盾．
所以除外任意三個元素都不互相正交．
綜上，時，A中最多可以有2個元素．
1．（24-25高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）某班共40人，其中24人喜歡籃球運動，16人喜歡乒乓球運動，這兩項運動都不喜歡的有6人，則喜歡籃球運動但不喜歡乒乓球運動的人數(shù)為（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】B
【詳解】人這兩項運動都不喜歡，喜歡一項或兩項運動的人數(shù)為人；
喜歡兩項運動的人數(shù)為：人，
喜歡籃球運動但不喜歡乒乓球運動的人數(shù)為人.
故選：B
2．（24-25高一上·四川瀘州·期中）某學(xué)校舉辦了多個課余活動，高一（1）班有40名同學(xué)，其中25名同學(xué)參加了體育活動，15名同學(xué)參加了科學(xué)活動，有10名同學(xué)這兩個課余活動均沒參加，則這個班既參加了體育活動，又參加了科學(xué)活動的同學(xué)有（ ）
A．4名 B．6名 C．8名 D．10名
【答案】D
【詳解】因為高一（1）班有40名同學(xué)，其中25名同學(xué)參加了體育活動，15名同學(xué)參加了科學(xué)活動，有10名同學(xué)這兩個課余活動均沒參加，
所以這個班既參加了體育活動，又參加了科學(xué)活動的同學(xué)有名．
故選：D.
3．（24-25高一上·新疆·期中）自年起，江西新高考采用“”模式，其中，“”為全國統(tǒng)考科目，即語文、數(shù)學(xué)、外語；“”為首選科目，考生要在物理、歷史科目中選擇門；“”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)個科目中選擇門.已知某校首選科目為物理的考生有人，其中再選科目選了化學(xué)的有人，再選科目沒有選生物學(xué)的有人，再選科目同時選了化學(xué)和生物學(xué)的有人，則該校首選科目為物理的考生中，再選科目同時選了思想政治和地理的人數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】再選科目同時選了化學(xué)和生物學(xué)的有人，
再選科目選了化學(xué)，沒有選生物學(xué)的有人；
再選科目沒有選生物學(xué)，也沒有選化學(xué)的有人，
即再選科目同時選了思想政治和地理的人數(shù)為人.
故選：C.
4．（24-25高一上·江蘇·階段練習(xí)）為提升學(xué)生學(xué)習(xí)雙語的熱情“G11 四市十一?！苯虒W(xué)聯(lián)盟計劃在2025年4月舉行“語文情境默寫” “英語讀后續(xù)寫”兩項競賽，我校計劃派出20人的代表隊，據(jù)了解其中擅長語文的有10名同學(xué)，擅長英語的有12名同學(xué)，兩項都擅長的有5名同學(xué)，請問該代表隊誤選了幾名均不擅長的同學(xué)？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【詳解】設(shè)擅長語文的同學(xué)構(gòu)成集合，擅長英語的同學(xué)構(gòu)成集合，20人代表隊構(gòu)成全集，
則，，，，
，
，
所以語文和英語均不擅長的同學(xué)人數(shù)為人.
故選：C.
5．（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）某單位為豐富職工的業(yè)余生活，舉辦了一屆職工運動會．已知該單位共有245名職工，參加乒乓球、籃球、羽毛球比賽的人數(shù)分別為140，120，108，同時參加乒乓球、籃球比賽的人數(shù)為72，同時參加籃球、羽毛球比賽的人數(shù)為50，同時參加乒乓球、籃球、羽毛球三項比賽的人數(shù)為30．三項比賽都不參加的人數(shù)為36，則只參加羽毛球比賽的人數(shù)為（ ）
A．21 B．26 C．31 D．37
【答案】A
【詳解】設(shè)該單位共有職工人數(shù)為，，
參加比賽的人數(shù)為，
設(shè)參加乒乓球的人數(shù)為，參加籃球的人數(shù)為，參加羽毛球的人數(shù)為，
則，，，
設(shè)同時參加乒乓球、籃球比賽的人數(shù)為，同時參加籃球、羽毛球比賽的人數(shù)，
同時參加乒乓球、羽毛球比賽的人數(shù)，
則，，
設(shè)同時參加乒乓球、籃球、羽毛球三項比賽的人數(shù)，三項比賽都不參加的人數(shù)為，
則，，
則由容斥原理得，
代入相應(yīng)數(shù)值得，
解得，
設(shè)只參加羽毛球比賽的人數(shù)為，
則由容斥原理得.
故選：A
6．（25-26高三上·陜西·階段練習(xí)）有人參加籃球 乒乓球 羽毛球訓(xùn)練，參加籃球訓(xùn)練的有人，參加乒乓球訓(xùn)練的有人，參加羽毛球訓(xùn)練的有人，其中只參加種球類訓(xùn)練的有人，則種球類訓(xùn)練都參加的人數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)參加種、種、種球類訓(xùn)練的人數(shù)分別為、、.
由題意得總?cè)藬?shù)，且，
則.
參加各項目的人數(shù)總和為，
該總和中，參加種、種、種訓(xùn)練的人數(shù)分別被計算了次、次、次，
故，
將代入可得，即，
聯(lián)立方程組，
解得，即種球類訓(xùn)練都參加的人數(shù)為人，
故選：A.
7．（2024·河北石家莊·三?！ざ噙x）某?！拔逡惶飶竭\動會”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個項目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則下列說法正確的是（ ）
A．三項比賽都參加的有2人 B．只參加100米比賽的有3人
C．只參加400米比賽的有3人 D．只參加1500米比賽的有1人
【答案】ABD
【詳解】根據(jù)題意，設(shè){是參加100米的同學(xué)}，
{是參加400米的同學(xué)}，
{是參加1500米的同學(xué)}，
則
且
則，
所以三項比賽都參加的有2人，只參加100米比賽的有3人，
只參加400米比賽的有2人，只參加1500米比賽的有1人.
故選：ABD
8．（24-25高一上·浙江杭州·期中·多選）某?！拔逡惶飶竭\動會”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個項目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則下列說法正確的是（ ）
A．三項比賽都參加的有2人 B．只參加100米比賽的有3人
C．只參加400米比賽的有3人 D．只參加1500米比賽的有3人
【答案】AB
【詳解】根據(jù)題意，設(shè){是參加100米的同學(xué)}，
{是參加400米的同學(xué)}，{是參加1500米的同學(xué)}，
則
且
則，
所以三項比賽都參加的有2人，
只參加100米比賽的有人，
只參加400米比賽的有人，
只參加1500米比賽的有人.
故選：AB
9．（24-25高一上·云南昆明·期中·多選）某高中為了迎接國慶的到來，在國慶前一周舉辦了“迎國慶，向未來”的趣味運動會，其中共有12名同學(xué)參加拔河、4人足球、羽毛球三個項目，其中有8人參加“拔河”，有7人參加“4人足球”，有5人參加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都參加的有4人，“拔河和羽毛球”都參加的有3人，“4人足球和羽毛球”都參加的有3人，則（ ）
A．三項都參加的有1人 B．只參加拔河的有3人
C．只參加4人足球的有2人 D．只參加羽毛球的有4人
【答案】BC
【分析】應(yīng)用容斥原理求出三項都參加的同學(xué)人數(shù)，即可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)是參加拔河的同學(xué)，是參加4人足球的同學(xué)，是參加羽毛球的同學(xué)，
則，，，
又，，
所以，
所以三項比賽都參加的有2人，只參加拔河的有3人，只參加4人足球的有2人，只參加羽毛球的有1人．
故選：BC
10．（24-25高二下·北京·期末）有A、B、C三個城市，至少去過其中一個城市的有18人，去過A、B、C三個城市的分別有9人，8人，11人，同時去過A、B的有5人，同時去過B、C的有3人，同時去過A、C的有4人，則同時去過A、B、C三個城市的有 人．
【答案】2
【詳解】若同時去過的有人，則，可得.
故答案為：2
11．（25-26高一上·上海·開學(xué)考試）向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成；贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A，B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A，B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人，問對A，B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有 人．
【答案】21和8
【詳解】贊成A的人數(shù)為，贊成B的人數(shù)為，
記50名學(xué)生組成的集合為，贊成事件的學(xué)生全體為集合，贊成事件的學(xué)生全體為集合，
設(shè)對事件、都贊成的學(xué)生人數(shù)為，則對、都不贊成的人數(shù)為，贊成而不贊成的人數(shù)為，贊成而不贊成的人數(shù)為，作出Venn圖如下所示，
依題意可得，解得，
所以對、都贊成的學(xué)生有21人，都不贊成的有人．
故答案為：21和8
12．（24-25高一上·天津濱海新·期末）1學(xué)校舉辦運動會時，高一（1）班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加趣味益智類比賽．有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加趣味益智類比賽和田徑比賽的有3人，同時參加趣味益智類比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽．則只參加趣味益智類一項比賽的人數(shù)為 ；同時參加田徑和球類比賽的人數(shù)為
【答案】 9 3
【詳解】因為參加趣味益智類比賽的總?cè)藬?shù)為15，
且：同時參加趣味益智類比賽和田徑比賽的有3人；
同時參加趣味益智類比賽和球類比賽的有3人．
又因為沒有人同時參加三項比賽，
所以只參加趣味益智類一項比賽的人數(shù)為：人．
設(shè)同時參加田徑和球類比賽的人數(shù)為，由題意得：
，
解得：，
故同時參加田徑和球類比賽的人數(shù)為，
故答案為：9；3．
13．（24-25高一上·江西上饒·開學(xué)考試）某校舉行運動會，集合是該校參加運動會的學(xué)生，是參加跳遠(yuǎn)項目的學(xué)生}，是參加短跑項目的學(xué)生，是既參加跳遠(yuǎn)項目又參加短跑項目的學(xué)生．
(1)試用Venn圖表示這些集合之間的關(guān)系．
(2)若參加跳遠(yuǎn)項目的學(xué)生數(shù)為20人，參加短跑項目的學(xué)生數(shù)為15人，兩個項目都參加學(xué)生數(shù)為5人．求至少參加了其中一個項目的學(xué)生人數(shù)．
(3)有限集中元素的個數(shù)可以一一數(shù)出來，若M是有限集，常用來表示M中元素的個數(shù)．如，則．用表示出．
【答案】(1)答案見解析
(2)30人
(3)
【詳解】（1）由題意可得：

（2）如圖可知，

“至少參加了其中一個項目的學(xué)生人數(shù)”即為“參加跳遠(yuǎn)或參加短跑項目的人數(shù)”，
所以該人數(shù)為人.
（3）由題意可得：.
14．（24-25高一上·浙江·階段練習(xí)）為積極響應(yīng)國家對于網(wǎng)絡(luò)游戲的防沉迷政策，某中學(xué)學(xué)生會對同學(xué)假期游戲時長進行調(diào)查.
(1)小丁同學(xué)某天玩游戲的時長取值范圍為非空集合，合理游戲時長為，若小丁游戲時長在合理游戲時長范圍之內(nèi)，求的取值范圍；
(2)某班共50人，其中10人玩游戲，12人玩游戲，7人玩游戲，已知玩游戲的均不玩游戲，只玩游戲的人數(shù)與游戲和游戲都玩的人數(shù)相同，只玩游戲的人數(shù)與和都玩的人數(shù)相同，求班上這三種游戲都不玩的同學(xué)人數(shù).
【答案】(1)
(2)28人
【詳解】（1）由題意得，且，解得，
故的取值范圍為；
（2）設(shè)只玩的人數(shù)為，
由圖得，解得，
則人.
故班上這三種游戲都不玩的同學(xué)有28人.

1．（24-25高二下·云南昆明·階段練習(xí)）設(shè)集合.若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】集合又，所以，即，
故選：D.
2．（25-26高三上·廣西·開學(xué)考試）已知集合，，且的元素個數(shù)為2，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意得，得，則的取值范圍為.
故選：D.
3．（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）已知，若，則的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】，又，
所以.
故選：A
4．（25-26高三上·廣東·開學(xué)考試）設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，，且，
所以，，解得，
因此，實數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
5．（24-25高一上·河南安陽·階段練習(xí)）設(shè)集合，.若，則a的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由已知結(jié)合圖象可得，.
故選：C.
6．（24-25高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）集合，若．則實數(shù)a的范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【詳解】因為，則，
當(dāng)時，不成立，所以，所以滿足，
當(dāng)時，因為，所以，
又因為，所以，所以，
當(dāng)時，因為，所以，
又因為，所以，所以，
綜上可知：.
故選：A.
7．（24-25高一下·四川廣元·階段練習(xí)·多選）設(shè)集合，則下列選項中，滿足的實數(shù)a的取值范圍可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【詳解】因集合，，
滿足，則得或，
解得或．
結(jié)合選項，實數(shù)a的取值范圍可以是或．
故選：CD．
8．（24-25高一上·河南省直轄縣級單位·階段練習(xí)·多選）已知，集合，集合，則下列正確的是（ ）
A．若，則實數(shù)的取值范圍是
B．若，則實數(shù)的取值范圍是
C．若，則實數(shù)的取值范圍是
D．若，則實數(shù)的取值范圍是
【答案】AD
【詳解】，集合，集合，則A，
若，則實數(shù)的取值范圍是；
若，則實數(shù)的取值范圍是，
故選：AD.
9．（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）已知集合若，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】因為，所以
①若，則，
②若，則
綜上
故答案為：
10．（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）已知集合若，則實數(shù)a的取值范圍是
【答案】
【詳解】由題意可得，
，，
當(dāng)時，，可得；
當(dāng)時，，顯然成立；
當(dāng)時，，可得；
綜上所述，.
故答案為：
11．（24-25高一上·吉林·階段練習(xí)）已知集合，，若，則的取值范圍是 ．
【答案】.
【詳解】由題: ,,
因為,所以,
借助數(shù)軸，所以
故答案為: .
12．（25-26高三上·湖北孝感·階段練習(xí)）已知集合，集合.若，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】因為，
所以根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，即.
所以集合.
因為集合，
對于，都成立，當(dāng)時等號成立；
當(dāng)時，，則集合，
當(dāng)時，集合，即.
因為，所以.
當(dāng)時，符合題意，此時；
當(dāng)時，為滿足題意，則，解得.
綜上，的取值范圍為.
故答案為：.
13．（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）已知全集，集合．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為集合 ，
所以 ，
解得 ，
所以集合 ，
可得當(dāng)時，集合 ，
又因為全集 ，
所以 ，
又因為集合 ，
所以.
（2）因為 ，
所以 ，
又因為集合 ，
所以 ，
即實數(shù)的取值范圍為 ．
14．（25-26高三上·江蘇鹽城·開學(xué)考試）設(shè)全集U=R,已知集合，集合．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）或.
或.
（2）由，
則①當(dāng)時，由，解得；
②當(dāng)時，或
解得或．
綜上，實數(shù)的取值范圍為．
15．（24-25高一上·廣東江門·階段練習(xí)）已知集合，．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，且，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)R
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時，，或，
所以R.
（2）集合，或，
由，得，而，所以.
16．（24-25高一上·福建泉州·階段練習(xí)）已知集合．
(1)當(dāng)時，求，；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1),;
(2).
【詳解】（1）,
當(dāng)時,,
所以，
（2）若，則，
又，
所以.
17．（25-26高一上·河南南陽·開學(xué)考試）已知集合，．
(1)若且，求實數(shù)的取值范圍；
(2)設(shè)，，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為且，故，故.
（2），
因為是的必要不充分條件，故為的真子集，
而，故且即.

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