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課后訓—專題：集合有關的含參問題-
日期：2025. 時長： 45-60分鐘/次
【題組一 根據元素與集合的歸屬關系求參】
1．已知數集，，若，則 .
【答案】1
【分析】根據題意分兩種情況討論即可.
【詳解】易知，所以或，
若，即，此時，，符合題意；
若，此時，，，舍；
綜上，.
故答案為：1
2．設全集，集合．
(1)若集合A恰有一個元素，求實數a的值；
(2)若，求．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）根據方程只有一個解，由求解；
（2）由，求得集合A，B，再由集合的補集交集運算求解.
【詳解】（1）解：因為集合，且集合A恰有一個元素，
所以，解得；
（2）因為集合，且 ，
所以，，
解得，，
所以，
則．
【題組二 根據集合中元素的個數求參】
3．已知集合
(1)若集合A中至多有一個元素，求實數k的取值范圍；
(2)若集合A最少有一個真子集，求實數k的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分兩種情況進行分類討論，列出不等式即可求得結果.
（2）將問題轉化為方程至少有一個根，分兩種情況進行分類討論，求得結果.
【詳解】（1）當時，，即，符合題意；
當時，，解得：.
綜上所述，實數k的取值范圍為.
（2）集合A最少有一個真子集，則集合中至少有一個元素，
當時，，即，符合題意；
當時，，解得：且.
綜上所述，實數k的取值范圍為.
4．已知集合恰有兩個子集，則實數取值集合為 .
【答案】
【分析】分析可知有一個不等于3的實數解，分類討論最高項系數以及根的個數，運算求解即可.
【詳解】由題意可知：方程有且僅有一解，
等價于有一個不等于3的實數解，
1.當時，解為，滿足題意；
2.當時，只有一解時，
則，解得，
若，則，解得，符合題意；
3.當時，且有兩解但3是方程的解，
故，解得；
綜上所述，實數取值集合為.
故答案為：.
【題組三 根據集合關系、運算結果求參】
（結果為已有集合）
5．，，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知， ，分、兩種情況討論，在第一種情況下，可得出關于實數的不等式；在第二種情況下，可得出關于實數的不等式組，綜合可得出實數的取值范圍.
【詳解】因為，，，則，
若，則，解得；
若且，則，解得.
綜上所述，實數的取值范圍是.
故選：A.
6．設集合，集合．
(1)若，求實數的值；
(2)若，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根據交集先將元素2代入集合，求出的值再逐一驗證；
（2）對進行分類討論，分成空集，單元素集和雙元素集.
【詳解】（1）由題意得．
，
即，化簡得：，
即，解得：，
經檢驗當，滿足
當，滿足
（2），故
①當為空集，則，即，得或；
②當為單元素集，則，即，得或，
當，舍去；當符合；
③當為雙元素集，則，則有，無解，
綜上：實數的取值范圍為.
（結果為新集合）
7．已知集合，且，則（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【分析】根據交集的結果直接求解即可.
【詳解】因為，
且，所以，解得．
故選：D．
8．已知集合，，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化簡集合，根據集合的并運算求解.
【詳解】由得或，故．
由得，故．
因為，所以，得.
故選：A．
9．已知集合．
(1)求的子集；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，再根據交集的定義即可求出答案.
（2）根據題干分兩種情況分類討論并列式計算.
【詳解】（1）由題意得，則，的子集為．
（2）當時，，得；
當時，，得或．
故的取值范圍為．
10．設全集為R，集合．
(1)若，求；
(2)若，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)或；或.
(2)或.
【分析】（1）分別求兩個集合的解集，再求并集和混合運算；
（2）首先求，再根據條件，討論和兩種情況，列不等式求參數的取值范圍.
【詳解】（1）不等式，
即，解得：或，
所以或，
當時，，所以或，
或，所以或.
（2），若
當，即，得滿足條件，
當，則或，解得：或，
綜上可知，或.
【題組四 根據充分必要條件求參】
11．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若存在正實數m，使得“”是“”成立的必要不充分條件，求正實數m的取值范圍．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）解不等式化簡集合，再利用補集、交集的定義求解.
（2）求出集合，再利用必要不充分條件定義列式求解.
【詳解】（1）當時，，則或，
而，
所以.
（2）當時，，
由（1）知，由“”是“”成立的必要不充分條件，
得集合是集合的真子集，則或，解得或，
所以正實數m的取值范圍中.
12．已知集合，集合．
(1)若存在，使得，求的取值范圍
(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先解不等式求得集合A，問題轉化為集合在內有解，由函數的單調性確定最值，即可求的取值范圍；
（2）由（1）可得，，由題意，可得是的真子集，分情況討論求解即可.
【詳解】（1）集合，
若存在，使得，只需集合在內有解，
即大于在內的最小值，
因為在上單調遞減，在上單調遞增，
所以在內的最小值為，
所以，解得，
所以的范圍為；
（2）由得，，，
因為“”是“”的充分不必要條件，
所以是的真子集，
分類討論如下：
當，即時，，不符題意；
當，即時，，
此時(等號不同時成立)，解得，時，滿足是的真子集；
當，即時，，
此時(等號不同時成立)，解得，時，滿足是的真子集，
綜上，或時，滿足“”是“”的充分不必要條件．課后訓—專題：集合有關的含參問題-
日期：2025. 時長： 45-60分鐘/次
【題組一 根據元素與集合的歸屬關系求參】
1．已知數集，，若，則 .
2．設全集，集合．
(1)若集合A恰有一個元素，求實數a的值；
(2)若，求．
【題組二 根據集合中元素的個數求參】
3．已知集合
(1)若集合A中至多有一個元素，求實數k的取值范圍；
(2)若集合A最少有一個真子集，求實數k的取值范圍.
4．已知集合恰有兩個子集，則實數取值集合為 .
【題組三 根據集合關系、運算結果求參】
（結果為已有集合）
5．，，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．設集合，集合．
(1)若，求實數的值； (2)若，求實數的取值范圍．
（結果為新集合）
7．已知集合，且，則（ ）
A． B．0 C． D．1
8．已知集合，，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
9．已知集合．
(1)求的子集； (2)若，求的取值范圍．
10．設全集為R，集合．
(1)若，求； (2)若，求實數a的取值范圍．
【題組四 根據充分必要條件求參】
11．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若存在正實數m，使得“”是“”成立的必要不充分條件，求正實數m的取值范圍．
12．已知集合，集合．
(1)若存在，使得，求的取值范圍
(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍．

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