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專題：集合有關的含參問題
【類型一 元素與集合的歸屬關系的含參問題】
【題型一 根據元素與集合的歸屬關系求參】
1．已知集合 ，若 ，則 中所有元素之和為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知集合，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型二 根據集合相等求參】
3．已知集合，則 .
【變式】設三元集合，則 .
【類型一 集合中元素個數的含參問題】
【題型一 根據集合中元素的個數求參】
4．已知集合．
(1)若中只有一個元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一個元素，求的取值范圍．
【變式】已知集合，，若中有且僅有兩個元素，則實數的范圍為（ ）
A． B． C． D．
5．“實數”是“集合恰有一個元素”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【題型二 根據集合（真）子集個數求參】
6．已知集合有且僅有兩個子集，則實數 .
【變式】已知集合至多有1個真子集，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
【類型三 集合間關系、集合運算的含參問題】
【題型一 根據集合運算結果求參（已有集合）】
7．已知集合 ，若 ，則實數 的取值范圍是
8．已知集合．
(1)當時，求； (2)若，求實數的取值范圍．
【變式】集合．
若，求實數的值；
(2)已知，求實數的取值范圍．
（方程型）
9．設集合，，，則實數的取值集合為 .
10．已知集合，集合.
(1)若，求實數的值.
(2)若，求實數的取值范圍.
(3)若，，求實數的取值范圍.
【題型二 根據集合運算結果求參（新集合）】
（端點對等型）
11．已知集合，集合．若，則實數的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
12．已知集合，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式】已知集合，，若，，則的值等于 ．
（新集合）
13．已知集合或，，若，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
14．已知集合．
(1)當時，求； (2)若，求的取值范圍．
【變式】已知集合.若，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C．或 D．
15．已知集合．
(1)若，求的值； (2)若，求的取值集合．
【類型四 涉及充分必要條件關系的含參問題】
【題型 根據充分必要條件關系求參】
16．已知全集為，集合，，若是的必要條件，則實數的取值范圍是 .
17．已知集合，，其中．
(1)若，求；
(2)若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍．
【變式】已知集合，.
(1)若集合，求此時實數的值；
(2)已知命題：，命題：，若是的充分條件，求實數的取值范圍.專題：集合有關的含參問題
【類型一 元素與集合的歸屬關系的含參問題】
【題型一 根據元素與集合的歸屬關系求參】
1．已知集合 ，若 ，則 中所有元素之和為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根據可求參數的值，從而可求的元素之和.
【詳解】因為，故或，
若，則，與元素的互異性矛盾；
若，則（舍）或，故，故，
所以 中所有元素之和為，
故選：B.
2．已知集合，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意可得，運算求解即可.
【詳解】由題意可知：，解得，
所以實數的取值范圍是.
故選：A.
【題型二 根據集合相等求參】
3．已知集合，則 .
【答案】1
【分析】根據集合相等結合集合的互異性可得，，即可得結果.
【詳解】因為，可知，
可得，則，解得，
若，則，不合題意；
若，則，符合題意；
綜上所述：，.
所以.
故答案為：1.
【變式】設三元集合，則 .
【答案】
【分析】利用相等的集合求出a，b，再代入求值作答.
【詳解】由集合，得，由集合，得，
而，因此，且，則，
此時兩個集合均為，符合題意，
所以.
故答案為：
【類型一 集合中元素個數的含參問題】
【題型一 根據集合中元素的個數求參】
4．已知集合．
(1)若中只有一個元素，求的值，并求集合；
(2)若中至少有一個元素，求的取值范圍．
【答案】(1)的值為或者，當時，；當時，
(2)
【分析】（1）分和兩種情況討論，當時，解出即可；
（2）方程無解時，且，解出不等式，結合（1）中的結論，即可求得.
【詳解】（1）當，集合，
當時，，解得，此時，
綜上可知，的值為或者，當時，；當時，.
（2）當集合中有兩個元素時，方程有兩個不相等的實數根，
則且，解得且，
又當中只有一個元素時，或，
故中至少有一個元素時，的范圍為，
所以的取值范圍為.
【變式】已知集合，，若中有且僅有兩個元素，則實數的范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合中元素，代入集合即可.
【詳解】因為中有且僅有兩個元素，
則，，
所以，解得，且.
故選：D.
5．“實數”是“集合恰有一個元素”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】討論集合恰有一個元素所需條件，分別判斷充分性和必要性即可.
【詳解】依題意方程只有一個實數根，
方程，等價于且且，
對于方程，
當，即時，解得，符合題意；
當，即時，
若其中一個根為，由韋達定理可知另一根為，有，
符合方程只有一個實數根；
若其中一個根為，由韋達定理可知另一根為，有，
符合方程只有一個實數根；
所以實數時，集合恰有一個元素，充分性成立；
集合恰有一個元素時，不一定有，必要性不成立.
“實數”是“集合恰有一個元素”的充分不必要條件.
故選：A.
【題型二 根據集合（真）子集個數求參】
6．已知集合有且僅有兩個子集，則實數 .
【答案】1或
【分析】結合已知條件，求出的解的個數，然后對參數分類討論，并結合一元二次方程的根的個數與判別式之間的關系求解即可.
【詳解】若A恰有兩個子集，所以關于x的方程恰有一個實數解，
①當時，，滿足題意；
②當時，，所以，
綜上所述，或.
故答案為：1或.
【變式】已知集合至多有1個真子集，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根據真子集的個數可得或者為單元素集，進而根據方程的根可求解.
【詳解】由于集合至多有1個真子集，則集合中的元素個數至多一個，故或者為單元素集，
當時，則且，解得，
當為單元素集，則中只有一個元素，當時，符合題意，當時，則，解得 ，
綜上，或，
故選：D
【類型三 集合間關系、集合運算的含參問題】
【題型一 根據集合運算結果求參（已有集合）】
7．已知集合 ，若 ，則實數 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式求得，由已知可得，進而可求實數 的取值范圍.
【詳解】由，可得，解得，
所以，由，可得，
又，所以，
所以實數 的取值范圍是.
故選：A.
8．已知集合．
(1)當時，求；
(2)若，求實數的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）當時，求出，再根據交并補概念計算；（2）由，可得，分類討論計算即可.
【詳解】（1）當時，可得集合，
所以.
，．
（2）由，可得，
①當時，可得，解得；
②當時，則滿足，解得，
綜上，實數的取值范圍是．
【變式】集合．
(1)若，求實數的值；
(2)已知，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，得，從而解出的值，分別代入集合檢驗是否滿足，從而確定的值；
（2）由得，從而求得的取值范圍.
【詳解】（1）因為，所以，所以，解得或．
當時，，，不合題意；
當時，，滿足題設．
所以，實數的值為1．
（2）集合，
集合，
因為，所以，從而，解得，
所以實數的取值范圍為.
（方程型）
9．設集合，，，則實數的取值集合為 .
【答案】
【分析】解方程求集合，再由并集結果，討論、分別求出對應參數值，即可得.
【詳解】由題設，又，則.
所以，顯然不可能有，
當時，若，此時，
若，此時，
當時，有，
綜上， .
故答案為：
10．已知集合，集合.
(1)若，求實數的值.
(2)若，求實數的取值范圍.
(3)若，，求實數的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）根據題意可知，將代入方程求出a，再求出集合，根據集合的運算結果驗證a的值即可；
（2）根據題意可得，討論或，利用判別式與韋達定理即可得解；
（3）根據題意可得，從而可得，解不等式組即可得解.
【詳解】（1）因為，所以，
又，則，
整理得，解得或，
因為，
當時，，滿足；
當時，，滿足；
故a的值為或.
（2）因為，所以，又，
當時，關于x的方程沒有實數根，
所以，即，解得，滿足題意；
當時，若集合B中只有一個元素，則，
整理得，解得，
此時，符合題意；
若集合B中有兩個元素，則，
即是方程的兩根，
所以，無解，
綜上，可知實數a的取值范圍為.
（3）因為，所以，則，
所以，即，所以.
綜上，實數a的取值范圍為.
【題型二 根據集合運算結果求參（新集合）】
（端點對等型）
11．已知集合，集合．若，則實數的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】解方程求得集合A，根據并集結果從而求得.
【詳解】集合，集合．由，可知集合必須包含元素2，即.
故選：D
12．已知集合，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題可得1是方程的根，據此可得答案.
【詳解】因為，,
所以1是方程的根，3不一定是方程的根，
則，解得，
故，符合題意，
故 ．
故選：B．
【變式】已知集合，，若，，則的值等于 ．
【答案】
【分析】由兩集合的并集和交集確定，進而可求解；
【詳解】：因為，
而,,
所以，即是方程的根，
因此，
即
所以，
故答案為：
（新集合）
13．已知集合或，，若，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依題意可得，解得即可.
【詳解】因為，且，
所以，解得，即.
故選：D
14．已知集合．
(1)當時，求；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當時，，即可解決；（2）分，兩種情況解決即可.
【詳解】（1）由題知，，
當時，，
所以.
（2）由題知，
因為，
所以
當時，解得，滿足題意；
當時，或，
解得，或，
綜上所述，的取值范圍為，
【變式】已知集合.若，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】由已知得，結合數軸列式求解，注意要討論是否是空集.
【詳解】 由得，優先考慮為空集的情況：
當，即時，，符合題意；
當，即時，需解得.
綜上得，則的取值范圍為.
故選：A.
15．已知集合．
(1)若，求的值；
(2)若，求的取值集合．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根據題意化簡集合，再結合集合相等的概念計算即可；
（2）根據已知條件得到元素和集合的關系，再分類討論求解答案即可.
【詳解】（1）由題意可得．
因為，所以，則，解得
（2）因為，所以或或．
若，則，由（1）知，；
若，，即，解得或（舍去）；
若，，即，解得或（舍去）
綜上，的取值集合為
【類型四 涉及充分必要條件關系的含參問題】
【題型 根據充分必要條件關系求參】
16．已知全集為，集合，，若是的必要條件，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據分式不等式的求解化簡求解,即可將必要條件轉化為，進而列不等式可求解.
【詳解】由可得，
由于是的必要條件，故,
因此，解得，
故答案為：
17．已知集合，，其中．
(1)若，求；
(2)若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍．
【答案】(1)或，
(2)
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法和交集、補集的定義求解；
（2）根據必要不充分條件的定義可得真包含于，從而根據集合的關系可求解.
【詳解】（1）由，解得，即，故，
因為，所以，
由，解得，故，則或，
或.
（2）由可得，
因為，所以，
所以不等式的解為，即，
因為是的必要不充分條件，所以是的真子集，
所以或，解得或,
又因為，所以，
經檢驗，當時，是的真子集，
故實數的取值范圍為.
【變式】已知集合，.
(1)若集合，求此時實數的值；
(2)已知命題：，命題：，若是的充分條件，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次不等式解集與方程之間的關系和韋達定理，即可求出的值；
（2）把利用充分條件關系求參數的范圍，轉化為集合的包含關系，通過分類討論思想，列出關于實數的不等式組，解出即可.
【詳解】（1）因為，
所以方程的兩根分別為和，
由韋達定理得，解得；
（2）因為，
由于是的充分條件，則，
當時，，
此時不成立；
當時，，
因為，則有，解得；
當時，，
因為，則有，解得.
綜上所述，實數的取值范圍是.

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