資源簡介

2026年高考數學考點專項集訓01 函數的性質之函數單調性與奇偶性
考點一 函數的單調性
【角度1 由函數的單調性求參數取值范圍】
1．（2025·山西·二模）若函數在上單調遞減，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·廣東茂名·一模）已知函數在區間上單調遞增，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河北·模擬預測）已知函數在上單調，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高三·全國·專題練習）若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山東濟寧·二模）若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·新疆喀什·模擬預測）已知，則函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三·全國·專題練習）已知函數，，若函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·江蘇徐州·階段練習）設函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·河北·模擬預測）已知，，兩個函數圖象至少有一個在區間上不單調，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·甘肅甘南·模擬預測）已知函數的定義域為，若，都有，則稱函數為“距”增函數．若函數，且是上的“3距”增函數，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【角度2 由分段函數的單調性求參數取值范圍】
11．（25-26高三上·內蒙古巴彥淖爾·階段練習）已知函數在上單調遞減，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．[0，1]
12．（2025高三·全國·專題練習）已知函數在R上單調遞增，則a的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．2
13．（24-25高三上·福建漳州·階段練習）已知函數是上的減函數，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·河北秦皇島·模擬預測）已知函數在上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·江蘇南通·模擬預測）已知函數在區間單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
16．（2025高三·全國·專題練習）已知函數（，且）在R上為單調函數，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
考點二 函數的奇偶性
【角度1 由函數奇偶性求值】
17．（2025·廣東廣州·模擬預測）已知定義域為的函數滿足，則（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
18．（25-26高一上·山東·開學考試）已知是偶函數，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【角度2 由函數奇偶性解不等式】
19．（25-26高三上·安徽·開學考試）已知定義在上的偶函數，且當時，單調遞增，則關于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
20．（2025·全國·模擬預測）設函數，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
21．（25-26高一上·全國·單元測試）已知是定義在上的奇函數，若當時，，則不等式0的解集為（ ）
A． B． C． D．
22．（2025高三·全國·專題練習）已知定義在上的偶函數在上單調遞增，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
23．（2025高三·全國·專題練習）已知定義域為的函數是奇函數．若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
24．（25-26高三上·甘肅蘭州·階段練習）已知定義在上的函數滿足：，且當時，．則關于的不等式的解集為 ．
25．（2025高三·全國·專題練習）已知定義在R上的偶函數在上是增函數，不等式對任意恒成立，則實數a的取值范圍是 ．
26．（2025·安徽合肥·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，當時，．若，則實數的取值范圍為 ．
27．（2025·貴州遵義·模擬預測）已知函數是偶函數，且當時，，則不等式的解集為 ．（用區間表示）
28．（2025·山東·模擬預測）已知函數，的定義域均為R，其中是奇函數，是偶函數，且，若對于任意，都有，則實數a的取值范圍是 ．
29．（2025·寧夏銀川·二模）已知函數是定義在上的奇函數，在上單調遞減，且，則不等式的解集為 .
30．（2025·湖北黃岡·模擬預測）已知奇函數為上的單調遞增函數，且當時，，則的最小值為 .
【角度3 函數奇偶性、對稱性與周期性綜合題】
31．（25-26高三上·安徽·開學考試）已知函數，則下列說法錯誤的是（ ）
A．是奇函數 B．是偶函數
C．的圖象關于對稱 D．的圖象關于對稱
32．（2025高三·全國·專題練習）奇函數的定義域為，若為偶函數，且，則的值為（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
33．（25-26高三上·遼寧·開學考試）已知奇函數的定義域為，且函數圖象關于對稱．當時，，則（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
34．（25-26高三上·安徽合肥·開學考試）已知是定義在上的偶函數，且為奇函數，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
35．（25-26高三上·安徽·開學考試）已知函數的定義域為，，函數的圖象關于直線對稱，則（ ）
A． B．0 C．1014 D．2028
36．（25-26高三上·廣東·開學考試）已知函數的定義域為，函數是偶函數，函數的圖象關于直線對稱，若當時，，則（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
37．（25-26高三上·江蘇南通·開學考試）若定義在R上的函數滿足：為偶函數，為奇函數，當時，，則＝（ ）
A． B．0 C． D．
38．（2025·浙江寧波·模擬預測）已知定義域為的函數的圖象經過坐標原點，若，，且為偶函數，則（ ）
A．190 B．210 C．230 D．400
39．（25-26高三上·重慶·開學考試·多選）已知定義在上的偶函數和奇函數滿足 ，則下列說法正確的是 （ ）
A． 的圖象關于直線對稱 B． 是以4為周期的周期函數
C． D．
40．（25-26高三上·江蘇鎮江·開學考試·多選）已知定義域在上的奇函數的圖象關于直線對稱，且當時，則下列說法正確的有（ ）
A． B．當時，
C．是的極小值點 D．
41．（2025高三·全國·專題練習·多選）設均是定義在上的函數，且，則下列說法正確的是（ ）
A．若是偶函數，則的圖象關于直線對稱
B．若是最小正周期為1的函數，則是最小正周期為3的函數
C．若是偶函數，則的圖象關于直線對稱
D．若是奇函數，則
42．（2025·海南·模擬預測·多選）已知函數的定義域為，函數為奇函數，函數為偶函數，則（ ）
A．函數的一個對稱中心為 B．
C．函數為周期函數，且一個周期為4 D．
43．（2025·山東泰安·模擬預測·多選）函數對于任意的，滿足，且，則（ ）
A．為偶函數 B．是函數的一個周期
C．點是圖象的對稱中心 D．
44．（2025·山西忻州·模擬預測）已知函數，的定義域均為R，且為偶函數，為奇函數，函數的最小值為，若函數有兩個零點s，t，則 ．2026年高考數學考點專項集訓01 函數的性質之函數單調性與奇偶性
考點一 函數的單調性
【角度1 由函數的單調性求參數取值范圍】
1．（2025·山西·二模）若函數在上單調遞減，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據對勾函數的單調性，即可求解.
【詳解】當時，為單調遞增函數，不符合題意，
當時，均為單調遞增函數，故為單調遞增函數，不符合題意，
當時，在單調遞增，在單調遞減，
故在上單調遞減，則，
故選：C
2．（2025·廣東茂名·一模）已知函數在區間上單調遞增，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函數的定義域，再根據復合函數的單調性求解即可.
【詳解】由，可得或，
即函數的定義域為，
又因為在上單調遞增，在上單調遞減，
在上單調遞增，
由復合函數的單調性可知在區間上單調遞增，
.
故選：D.
3．（2025·河北·模擬預測）已知函數在上單調，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據對數函數的性質可得不等式在上恒成立，利用分離參數法和基本不等式可得.再結合復合函數的單調性及二次函數的性質即可求解實數的取值范圍.
【詳解】由題意可知，在上恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立.
又由基本不等式可得，當且僅當時，取得等號，
所以.
因為函數在上單調，
所以在上單調，
由復合函數單調性可知在上單調，
所以結合二次函數的性質可得：或，解得或.
綜上所述，實數的取值范圍為.
故選：A.
4．（2025高三·全國·專題練習）若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分，和討論函數在上的單調性，即可得出答案.
【詳解】當時，在上單調遞增，滿足題意，
當時，，滿足題意，
當時，，由對勾函數的性質知，
若滿足題意則，解得．
綜上，.
故選：B．
5．（2025·山東濟寧·二模）若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】是由與復合而成，先分析外層函數單調性，再根據復合函數單調性確定內層函數單調性，進而求出的取值范圍.
【詳解】是由與復合而成，
在中，，，所以在上單調遞減.
因為在上單調遞減，且外層函數在上單調遞減，
根據復合函數“同增異減”的原則，可知內層函數在上單調遞增.
對于二次函數，其圖象開口向上，對稱軸為.
二次函數在對稱軸右側單調遞增，要使在上單調遞增，
則對稱軸需滿足，解得.
故選：A.
6．（2025·新疆喀什·模擬預測）已知，則函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件求出，再利用復合函數單調性求出遞增區間.
【詳解】由，得，解得，函數定義域為R，
函數在上單調遞減，在上單調遞增，
而函數在R上單調遞增，所以函數的單調遞增區間為.
故選：D
7．（2025高三·全國·專題練習）已知函數，，若函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用對數函數的單調性、定義域與指數函數的單調性及二次函數的性質計算即可得.
【詳解】由題意可知函數在上單調遞減，在上單調遞增，
由復合函數的單調性知，若函數在區間上單調遞減，
則，解得.
故選：C.
8．（24-25高三上·江蘇徐州·階段練習）設函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由增函數結合函數在區間上單調遞增得函數在區間上單調遞增，再由一元二次函數圖像性質即可求解.
【詳解】函數在R上單調遞增，而函數在區間上單調遞增，
所以函數在區間上單調遞增，
所以，解得.
故選：B.
9．（2025·河北·模擬預測）已知，，兩個函數圖象至少有一個在區間上不單調，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二次函數的性質，求得函數在上不單調時，求得的取值范圍，再由導數求得函數在上不單調時，求得的取值范圍，進而得到答案.
【詳解】由函數的對稱軸為，
若在上不單調，則滿足，解得；
又由函數，可得，
若在上不單調，則滿足，解得，
所以兩個函數圖象至少有一個在區間上不單調，則有或，
可得，所以實數的取值范圍為.
故選：D.
10．（2025·甘肅甘南·模擬預測）已知函數的定義域為，若，都有，則稱函數為“距”增函數．若函數，且是上的“3距”增函數，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意可得，當時，恒成立，分，兩種情況可求得實數的取值范圍.
【詳解】函數，且是上的“3距”增函數，
當時，恒成立．
又為增函數，．
當時，，即恒成立，
于是，解得；
當時，，即恒成立，
整理得，解得．
綜上，實數的取值范圍為．
故選：B．
【角度2 由分段函數的單調性求參數取值范圍】
11．（25-26高三上·內蒙古巴彥淖爾·階段練習）已知函數在上單調遞減，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．[0，1]
【答案】B
【分析】根據分段函數單調性的性質，結合二次函數的單調性，列不等式，即可求解.
【詳解】由條件可知，在區間上單調遞減，則，即，
且在分界點處滿足，得，
所以.
故選：B
12．（2025高三·全國·專題練習）已知函數在R上單調遞增，則a的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根據分段函數的單調性可得在單調遞增，則在成立，利用分離參數法求得.再結合分界點處函數值的大小關系即可求解.
【詳解】由題意得函數在單調遞增，則在成立，即對于恒成立.
又由對勾函數性質可知：函數在上單調遞減，
所以，所以，解得.
又函數在單調遞增，且函數在R上單調遞增，
所以，即，解得.
綜上所述，，所以的最大值為1.
故選：B.
13．（24-25高三上·福建漳州·階段練習）已知函數是上的減函數，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據分段函數在上的單調性可得出關于實數的不等式組，進而可求得實數的取值范圍.
【詳解】由于函數是定義在上的減函數，
所以，函數在區間上為減函數，函數在區間上為減函數，且有，
即，解得.
因此，實數的取值范圍是.
故選：A.
14．（2025·河北秦皇島·模擬預測）已知函數在上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用導數研究單調性，結合在上單調遞減，得，解出即可.
【詳解】由題意有：當時，，所以，
所以，當時，，所以，所以，
又在上單調遞減，所以，解得，所以，
故選：C.
15．（2025·江蘇南通·模擬預測）已知函數在區間單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據二次函數和對數函數性質即可得到不等式組，解出即可.
【詳解】當時，，其在上單調遞增，
若在單調遞增，，所以.
故選：D．
16．（2025高三·全國·專題練習）已知函數（，且）在R上為單調函數，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由在時的單調性，結合復合函數單調性，求出的取值范圍，進而求得的最小值.
【詳解】因為的對稱軸為直線，且開口向上，
所以當時，單調遞增，
又且在R上為單調函數，所以在時單調遞增．
因為函數在時單調遞減，所以在單調遞減；
所以解得，又，
則，所以，
故的最小值為2．
故選：B.
考點二 函數的奇偶性
【角度1 由函數奇偶性求值】
17．（2025·廣東廣州·模擬預測）已知定義域為的函數滿足，則（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】由題意可得函數為奇函數，由代入計算可得，由代入計算可得，計算即可求解.
【詳解】因為函數定義域為且，
所以函數是奇函數且，
即，所以，
又，所以，所以，即.
故選：A．
18．（25-26高一上·山東·開學考試）已知是偶函數，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由偶函數定義域關于原點對稱求出的值，再由偶函數的定義式求出b即可.
【詳解】因為偶函數的定義域關于原點對稱，所以，且，解得；
由為偶函數，得，即，即，
因不恒為0，故，則.
故選：
【角度2 由函數奇偶性解不等式】
19．（25-26高三上·安徽·開學考試）已知定義在上的偶函數，且當時，單調遞增，則關于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用偶函數性質可得，再由偶函數單調性以及定義域列出不等式組計算求解即可.
【詳解】由題意，函數是定義在上的偶函數，
所以，解得，即函數的定義域為，
當時，單調遞增，所以當時，單調遞減，
關于的不等式，即，
所以，解得，
所以原不等式解集為.
故選：B
20．（2025·全國·模擬預測）設函數，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析函數奇偶性，得到函數為偶函數，再分析單調性，根據偶函數單調性相反即可把不等式轉化為，解不等式即可.
【詳解】函數的定義域為，且，即為偶函數．
當時，和，和均在上單調遞增，所以和均在上單調遞增，則在上單調遞增，所以不等式等價于，即，解得或．
所以不等式的解集為．
故選:D
21．（25-26高一上·全國·單元測試）已知是定義在上的奇函數，若當時，，則不等式0的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據單調性和奇偶性的定義列不等式組求解即可.
【詳解】由當時得在單調遞增，
因為是定義在上的奇函數，所以在上也單調遞增，故在上單調遞增，
由得，
所以，解得，
故原不等式的解集為，
故選：A
22．（2025高三·全國·專題練習）已知定義在上的偶函數在上單調遞增，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函數的奇偶性及單調性可分別作出函數、的圖象，結合圖象即可求解不等式.
【詳解】由為上的偶函數可知的圖象關于y軸對稱，且，
而函數的圖象為的圖象向左平移2個單位得到的，
作出與的示意圖如圖所示，
結合圖象可知時，的函數值互為相反數，
故的解集為．

故選：C.
23．（2025高三·全國·專題練習）已知定義域為的函數是奇函數．若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由奇函數性質求出，易知在上為減函數，，得，由二次不等式恒成立求解.
【詳解】因為是定義域為的奇函數，所以，
即，．
又由，
知．
則，
易知在上為減函數，又是奇函數，
則，
即，即對一切有，
則，
故選：C．
24．（25-26高三上·甘肅蘭州·階段練習）已知定義在上的函數滿足：，且當時，．則關于的不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】由條件結合奇函數的定義證明為奇函數，再結合單調性定義證明為減函數，利用函數性質化簡不等式可得，結合一元二次不等式解法求結論.
【詳解】函數的定義域為，定義域關于原點對稱，
因為函數滿足條件，
所以①，②，
由①可得，
所以，故，
所以函數為奇函數，
任取，且，則
，
因為，所以，又當時，，
所以，故，
所以，
所以函數為減函數，
因為，
所以，又函數為奇函數，
所以，又函數為減函數，
所以，故
所以，
所以關于的不等式的解集為，
故答案為：.
25．（2025高三·全國·專題練習）已知定義在R上的偶函數在上是增函數，不等式對任意恒成立，則實數a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由偶函數的對稱性確定區間單調性，將問題化為在上恒成立，即可得.
【詳解】由偶函數的對稱性，且在上是增函數，則在上單調遞減，
所以在上恒成立，可得，則，
而，故.
故答案為：
26．（2025·安徽合肥·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，當時，．若，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】分和討論，當時，分的取值化簡，利用奇偶性畫出函數圖象，數形結合解不等式可得.
【詳解】時，顯然符合；
時，
當時，，
當時，，
當時，．
畫出其圖象，由于函數是定義在上的奇函數，即可畫出時的圖象，與時的圖象關于原點對稱．
，由圖象可知．解得，
實數的取值范圍為．
故答案為：．
27．（2025·貴州遵義·模擬預測）已知函數是偶函數，且當時，，則不等式的解集為 ．（用區間表示）
【答案】
【分析】先利用一元二次不等式解法求得當時，不等式的解集，再利用偶函數性質求得當時不等式的解集，進而求得不等式的解集.
【詳解】當時，，
則不等式可化為或，
解之得或，即，
又函數是偶函數，則當時，
由不等式可得，.
綜上，不等式的解集為.
故答案為： .
28．（2025·山東·模擬預測）已知函數，的定義域均為R，其中是奇函數，是偶函數，且，若對于任意，都有，則實數a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由題意有和，又得，令，利用函數的單調性即可求解.
【詳解】∵是奇函數，是偶函數，在中，
用去代換x，得，
∴，，∵，
∴由，可得，
令，則在上單調遞增．
若，則的圖象的對稱軸為直線，圖象開口向上，符合題意；
若，則的圖象的對稱軸為直線，圖象開口向下，
則需，即；若，則在上單調遞增，符合題意．
綜上，．
故答案為：.
29．（2025·寧夏銀川·二模）已知函數是定義在上的奇函數，在上單調遞減，且，則不等式的解集為 .
【答案】
【分析】由題意，根據奇函數的性質，可得函數與零的大小關系，利用整體思想，可得答案.
【詳解】由題意可得函數在上單調遞減，，，
則當時，，當時，，
由，則，解得，
由，則，解得，
所以的解集為.
故答案為：.
30．（2025·湖北黃岡·模擬預測）已知奇函數為上的單調遞增函數，且當時，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】先根據奇函數的性質得到與的關系，再將所求式子進行變形，最后利用基本不等式求解最小值.
【詳解】已知是奇函數，則.
因為，所以.
又因為在上單調遞增，所以，即.
由可得.
則.
將展開可得：
.
因為，所以，.
根據基本不等式，則，當且僅當時等號成立.
所以.
故答案為： .
【角度3 函數奇偶性、對稱性與周期性綜合題】
31．（25-26高三上·安徽·開學考試）已知函數，則下列說法錯誤的是（ ）
A．是奇函數 B．是偶函數
C．的圖象關于對稱 D．的圖象關于對稱
【答案】D
【分析】根據函數的奇偶性定義、判定方法可判斷A，B兩項；利用函數的對稱性判定方法可判斷C，D 兩項.
【詳解】對于A，因
，即，故函數關于點成中心對稱，
故函數關于原點成中心對稱，即是奇函數，故A不合題意；
對于B，因的定義域為，關于原點對稱，
且，即是偶函數，故B不合題意；
對于C，設，由，
即，故函數的圖象關于對稱，故C不合題意；
對于D，設，由，
顯然不成立，故的圖象不關于對稱，即D符合題意.
故選：D.
32．（2025高三·全國·專題練習）奇函數的定義域為，若為偶函數，且，則的值為（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
【答案】D
【分析】由為偶函數可以推出，由為奇函數可以推出，從而可以求出的周期，進而即可求解.
【詳解】∵為偶函數，∴，
令，則，即，
∵為奇函數，則，
∴，∴，
令，得，
∴，∴，
即函數是周期為4的周期函數，
又，
則.
故選：D.
33．（25-26高三上·遼寧·開學考試）已知奇函數的定義域為，且函數圖象關于對稱．當時，，則（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
【分析】利用奇函數以及對稱性求出函數周期為，所以，即可求解.
【詳解】因為函數圖象關于對稱，所以，
因為為奇函數，所以，
所以，即，
所以，所以，所以的周期為8，
所以，
而，
又因為當時，，所以，即，
所以.
故選：B.
34．（25-26高三上·安徽合肥·開學考試）已知是定義在上的偶函數，且為奇函數，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本題考查奇偶性和周期性的應用，根據是定義在上的偶函數及為奇函數可求得為周期是4的函數，再對x進行賦值求出，根據周期性即可求和得到答案．
【詳解】令，
由為奇函數，
得，
又為偶函數，∴，
∴，
用替換，則，
∴，即4為的周期．
根據，
令，得，
令，得，
又為偶函數，且，∴，，
又的周期為4，∴，，
∴．
∵余，
∴．
故選：A．
35．（25-26高三上·安徽·開學考試）已知函數的定義域為，，函數的圖象關于直線對稱，則（ ）
A． B．0 C．1014 D．2028
【答案】B
【分析】根據對稱軸定義得出對稱軸，再由直線對稱得出，進而得出函數周期，最后根據周期性得出函數值即可.
【詳解】因為，即，故的圖象關于直線對稱.
由的圖象關于直線對稱得，
即對任意x恒成立，則，
又，所以，即，
所以，所以是周期為6的周期函數.
所以，.
故選：B.
36．（25-26高三上·廣東·開學考試）已知函數的定義域為，函數是偶函數，函數的圖象關于直線對稱，若當時，，則（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用為偶函數和的圖象關于直線對稱得依次得到和，進而求出函數是周期為6的周期函數，根據周期性即可分析求解.
【詳解】因為為偶函數，所以，即，
故的圖象關于直線對稱，
由的圖象關于直線對稱得
，
即對任意恒成立，則，
所以圖象關于點對稱，
又，所以，即，
所以，所以是周期為6的周期函數，
又當時，的圖象關于直線對稱，
所以當時，，
所以，，
所以，
所以
．
故選：C
37．（25-26高三上·江蘇南通·開學考試）若定義在R上的函數滿足：為偶函數，為奇函數，當時，，則＝（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用奇函數、偶函數的定義導出函數的周期，進而求出函數值.
【詳解】由為偶函數，得，即，，
由為奇函數，得，即，
因此，即，則，
所以.
故選：A
38．（2025·浙江寧波·模擬預測）已知定義域為的函數的圖象經過坐標原點，若，，且為偶函數，則（ ）
A．190 B．210 C．230 D．400
【答案】D
【分析】利用的關系式，借助于為偶函數，通過先后賦值代入可推得的周期，分別計算出一個周期內的函數值，代入所求式，利用函數周期及求和計算即得．
【詳解】由，得（*）．
在中，用替換，可得，
則，即①，
在①式中，用替換，則得②．
又因為偶函數，所以③，
故由②③，可得，用替換，可得 ，
比較兩式，可得，即是以4為一個周期的函數．
因為的圖象經過原點，所以，由（*）可得．
在中，令，得，所以，
在中，令，可得，
在中，令，可得，
則，
則
．
故選：D
39．（25-26高三上·重慶·開學考試·多選）已知定義在上的偶函數和奇函數滿足 ，則下列說法正確的是 （ ）
A． 的圖象關于直線對稱
B． 是以4為周期的周期函數
C．
D．
【答案】ACD
【分析】對于A，由，可得,，結合為偶函數以及對稱軸的定義即可判斷；對于B，首先求出的周期，由可得的周期，對于C，令可得，根據以及可類推出即可求解.
【詳解】對于A：由于為奇函數，所以，由可得：
，即，
所以,，
由于為偶函數，，所以，
則 的圖象關于直線 對稱，故A正確.
對于B：根據題意由可得；
又為奇函數，聯立，
兩式相加可得，所以，
又為偶函數，，所以，
可得，即，
所以，即是以8為周期的周期函數，
由于，則，
即是以8為周期的周期函數，可知B不正確；
對于C：由于為奇函數，則，令，則，所以，故C正確；
對于D：由于，由于，則，，依次類推：，
所以，故D正確；
故選：ACD．
40．（25-26高三上·江蘇鎮江·開學考試·多選）已知定義域在上的奇函數的圖象關于直線對稱，且當時，則下列說法正確的有（ ）
A．
B．當時，
C．是的極小值點
D．
【答案】ACD
【分析】根據奇函數性質可判斷A；利用對稱性求出時的解析式可判斷B；利用對稱性求出的解析式，結合二次函數性質可判斷C；利用對稱性，結合單調性可判斷D.
【詳解】對A，因為是定義在上的奇函數，所以，得，正確；
對B，當時，，所以，
又因為為奇函數，所以，錯誤；
對C，因為的圖象關于直線對稱，
所以，即，
當時，，
所以，
所以，即時，，
由二次函數性質可知，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以是的極小值點，正確；
對D，因為，所以，
由C可得，
因為當時，，由二次函數性質可知，
因為在上單調遞增，且，所以，
所以，正確.
故選：ACD
41．（2025高三·全國·專題練習·多選）設均是定義在上的函數，且，則下列說法正確的是（ ）
A．若是偶函數，則的圖象關于直線對稱
B．若是最小正周期為1的函數，則是最小正周期為3的函數
C．若是偶函數，則的圖象關于直線對稱
D．若是奇函數，則
【答案】ABC
【分析】對于A，結合題設，由是偶函數可得，由此可判斷A；對于B，結合題設，由題干可知是最小正周期為1的函數，由此可求解判斷B；對于C，結合題設，由是偶函數可得，由此可判斷C；對于D，結合題設，由是奇函數可得，因此的圖象關于點對稱，由此可判斷D.
【詳解】對于A，由，則，
若是偶函數，則，所以，
即的圖象關于直線對稱，故A正確；
對于B，由，若是最小正周期為1的函數，
則是最小正周期為1的函數，
設是最小正周期為，則，即，故B正確；
對于C，由，得，
則，若是偶函數，則，
則，則的圖象關于直線對稱，故C正確；
對于D，由，得，
則，若是奇函數，則，
則，則，
所以的圖象關于點對稱，且，
所以
，故D錯誤．
故選：ABC.
42．（2025·海南·模擬預測·多選）已知函數的定義域為，函數為奇函數，函數為偶函數，則（ ）
A．函數的一個對稱中心為 B．
C．函數為周期函數，且一個周期為4 D．
【答案】AD
【分析】利用奇函數的性質將得到即可得出對稱中心；通過賦值法令，得出，再利用為偶函數，得出，再令即可求解；利用函數的一個對稱中心為即可求解；利用，令得即可求解．
【詳解】對于A，由函數為奇函數，故，
即，即，故函數的一個對稱中心為，故A正確；
對于B，由，令，則，即，
由函數為偶函數，故，即，
令，則，故B錯誤；
對于C，由函數的一個對稱中心為，則，即，故函數不以4為周期，故C錯誤；
對于D，由，令，有，
由，故，故D正確．
故選：AD．
43．（2025·山東泰安·模擬預測·多選）函數對于任意的，滿足，且，則（ ）
A．為偶函數 B．是函數的一個周期
C．點是圖象的對稱中心 D．
【答案】BCD
【分析】根據給定條件，利用賦值法，結合函數奇偶性、周期性及對稱性的意義逐項判斷即得.
【詳解】由題知，
對于選項A：令，得，所以，
令，得，即，所以為偶函數，
所以函數為奇函數，故選項A不正確；
對于選項B：令，，即，
，所以周期為，故選項B正確；
對于選項C： 由B中，即，所以關于 對稱，且，又周期為，所以，故選項C正確；
對于選項D：令，得，即，
令，得，所以，
所以，
故，故選項D正確. 故選：BCD..
44．（2025·山西忻州·模擬預測）已知函數，的定義域均為R，且為偶函數，為奇函數，函數的最小值為，若函數有兩個零點s，t，則 ．
【答案】10
【分析】由的最小值為求出，又由為偶函數，為奇函數，推出是以4為周期的周期函數，即得的對稱軸即可求解.
【詳解】由函數的最小值為，
得，解得，
又，故，所以，對稱軸為．
因為函數為偶函數，所以，可得；
因為函數為奇函數，所以，可得，
又，所以，即，
所以，故函數是以4為周期的周期函數，
由，得函數關于對稱，
所以函數關于對稱，故關于對稱，
所以．
故答案為：10.

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