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2026年高考數學考點專項集訓02 分段函數、抽象函數與函數新定義
考點一 分段函數
1．（24-25高一上·新疆吐魯番·期末）已知函數則（ ）
A．1 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根據分段函數的定義域代入求解.
【詳解】因為已知函數，
所以，則，
故選：D
2．（2025·江西南昌·一模）已知，則方程所有的根之和為（ ）
A．1 B．2 C．5 D．7
【答案】A
【分析】求方程的所有根，然后相加即可.
【詳解】若，由，所以；
若，由.
因為，所以方程的所有根的和為1.
故選：A
3．（2025·浙江金華·三模）狄利克雷函數定義為：，以下選項中正確的是（ ）
A．不存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．對任意，滿足
D．函數圖象上存在三點，使得是直角三角形
【答案】D
【分析】根據狄利克雷函數的定義可知當時，恒成立，即可判斷選項A；分析可知對于，當時，不成立，即可判斷選項B；令，，即可判斷選項C；取點，，，利用勾股定理即可即可判斷選項D.
【詳解】根據狄利克雷函數，可知：
當時，若，則，，所以；
若，則，，所以，
故時，恒成立，故選項A錯誤；
，當時，；
，當時，，
所以對于，當時，不成立，故選項B錯誤；
令，，則，此時，，不成立，故選項C錯誤；
取函數圖象上點，，，此時，，，
所以，所以是直角三角形，故選項D正確.
故選：D.
4．（2024·全國·模擬預測）已知函數滿足，，函數，若，則的值可以是（ ）
A．149 B．151 C．199 D．300
【答案】A
【分析】根據抽象函數的特點觀察的取值規律，再由函數的特點可知，當為正偶數時，，當為正奇數時，，所以只需判斷中正奇數的個數為時的取值即可．
【詳解】由，，
得的前項的值依次為，
觀察規律可得：當時，為正偶數，，
當或時，為正奇數，，
故，易知為正偶數，故，
所以，同理可得，，，
結合選項可知n的值可為149，
故選：A．
5．（2025·上海寶山·二模）已知函數則= .
【答案】
【分析】由分段函數的解析式，代入已知值，可得答案.
【詳解】由題意可得.
故答案為：.
6．（2025·吉林·模擬預測）已知函數，若，則 ．
【答案】
【分析】設，，得到，再結合分段函數討論求解即可.
【詳解】設，，，
當時，，，無解，不符合題意；
當時，，；
當時，，，無解，不符合題意；
當時，，．
故答案為：
7．（24-25高三下·浙江·開學考試）已知函數若，則m的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】討論的取值范圍，解不等式可得結果.
【詳解】當，即時，由得，解得，
當，即時，由得，無解，
∴m的取值范圍是.
故答案為：.
8．（2025·上海·模擬預測）設，已知，若，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】討論、，結合函數解析式求不同區間上對應的參數范圍，即可得答案.
【詳解】若，即時，，可得；
若，即時，，可得，不符合前提；
綜上，的取值范圍為.
故答案為：
考點二 抽象函數
9．（2025·山東青島·三模）已知函數的定義域為，，，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】令，得，為奇函數，令，得，進而得周期為4，可得解.
【詳解】令，則，
為奇函數，
令，則
為奇函數，
，
的周期為4，所以.
故選：C
10．（2025·云南紅河·三模）定義在上的函數滿足：都有，，且，則（ ）
A．45 B．46 C．91 D．92
【答案】B
【分析】將中的替換為得到新的不等式，再和運算，即可得出，進而確定關系式，再賦值得出關系式，再相加即可.
【詳解】由①，得：②，
②得：③，
又④
③+④得：⑤，
由①和⑤，得：，
所以，，，，，
以上式子相加得，
則.
故選：B．
11．（2025·福建泉州·模擬預測）已知定義在上的函數滿足，且，則（ ）
A． B．方程有解
C． D．
【答案】C
【分析】根據抽象函數式，一般考慮賦值法，利用函數的單調性，奇偶性，累加法、累乘法推理計算即可.
【詳解】因和，
對于A，令，則，即，故A錯誤；
對于B，令，則，可得，
令，當時，則，
即，，，，
則
，
其中也符合，因，故方程無實數解，即B錯誤；
對于C，令，則，得到，
由，則C正確；
對于D，與不能恒相等，故D錯誤.
故選：C.
12．（2025·安徽·模擬預測）已知函數滿足，則以下結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令、，代入已知關系式判斷A、B；用代換判斷C；利用特殊函數判斷D.
【詳解】令，有，從而，A正確；
令，得，故，B正確；
由題意得，，即，C正確；
令，則，，滿足，
但，即不滿足，D錯誤.
故選：D.
13．（2025·陜西西安·模擬預測）已知表示不小于x的最小整數，如，，已知定義在R上的函數滿足，，，且，則（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】C
【分析】根據給定條件，利用賦值法探討求得函數解析式，再按定義求得結果.
【詳解】定義在上的函數滿足，
取，得，則，
取，得，于是，
而，則，
當時，，
因此，，
則，
所以，.
故選：C
14．（2025·廣東深圳·模擬預測）已知函數滿足：，，，若，則（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【分析】根據已知條件結合賦值法計算得出，再賦值法結合應用不等關系計算求解即可.
【詳解】依題意，因為，則，
令，則，因為，所以，
又因為，則，即，
令，則，即，
令，則，所以，故得，
又；
又，
所以，即．
故選：C．
15．（2025·河北·模擬預測）已知定義在上的函數滿足：，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得，進而可得，求得可判斷AB；求得可判斷CD.
【詳解】由得，，三式相加得，
，
即，又，所以，則，
所以
故A，B錯誤；
，故C正確，D錯誤.
故選：C．
16．（2025·河北秦皇島·一模）表示不小于的最小整數，如，已知定義在上的函數滿足，且，則（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用賦值法探討求得函數解析式，再按定義求得結果.
【詳解】定義在上的函數滿足，
取，得，則，
取，得，于是，
而，則，當時，，
因此，，則，
所以，.
故選：A
【點睛】思路點睛：涉及抽象函數等式問題，利用賦值法探討函數的性質，再借助性質即可求解.
17．（2025·河南信陽·二模）已知定義在上的函數滿足，且當時，，則下列錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】應用賦值法構造出的等量關系，再結合不等式性質判斷即可.
【詳解】依題意，，，
取，得，
取，得，則，
當時，，則當，即時，，即，
取，得，解得，即；
對于AC，由，得，
由，得，當且僅當時等號成立；
當時，，即；
當時，，即，故AC錯誤；
對于BD，將分別取，可得，
又，因此，
則，
即，且不恒為，B錯誤，D正確.
故選：ABC
【點睛】思路點睛：涉及抽象函數等式問題，利用賦值法探討函數的性質，再借助性質即可求解.
18．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B．恒成立
C． D．滿足條件的不止一個
【答案】ABC
【分析】令即可判斷A；令即可判斷B；令即可判斷C；令即可判斷D.
【詳解】A：令，得．又，所以，故A正確．
B：令，得，即，所以，
令，得，即函數，所以，故B正確，D錯誤；
C：令，得，代入，
可得，則，故C正確；
故選：ABC．
19．（2024·廣西·二模）已知函數的定義域與值域均為，且，則（ ）
A． B．函數的周期為4
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據抽象函數的性質，巧妙利用賦值法解決.
【詳解】令得，即①，
令，得②，
聯立①②，故A正確；
令，得③，
由①，，，
將它們代入③整理可得，所以由，故D對；
當為正整數時，由可得，
累加可得，也符合該式，
故，其中為正整數;
對任意正有理數，
若，取，則，
故，
若，則總存在正整數，使得,
此時
,
,
,
綜上，C成立，B錯誤，
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：求兩個變量的抽象函數解析式要巧妙用賦值法.
20．（2024·江蘇宿遷·三模）已知定義在上不為常數的函數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根據已知條件，利用賦值法依次驗證各個選項.
【詳解】對于A，令，則，即，
又函數不為常數，，即，故A正確；
對于B，令，則，
令，則，得，
令，則，得，故B正確；
對于C，令，則，所以，即，故C錯誤；
對于D，令，則，所以，
則，又，
，
當且僅當時等號成立，故D正確.
故選：ABD.
【點睛】關鍵點點睛：本題D選項，解題關鍵是先證明，結合，利用基本不等式證明.
21．（2024·浙江杭州·一模）已知函數的定義域為，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】取特殊值0和1，建立等式，得出或的相應結論，再前面結論取特殊值得到BC選項的結論，借助前面的結論，先求出的值，令化簡得到即可得出結論.
【詳解】令，，則
令，則
則，，
∴或
令，則
若，則，矛盾，
∴，則，∴A選項錯誤；
令，則，∴B選項正確；
令，則，則，即，C選項正確；
由A、C選項中結論，令，則，則
令，則，
即，D選項錯誤.
故選：BC.
【點睛】方法點睛：本題是已知抽象函數的關系式求相應結論，這類題目可以從特殊值入手，建立一定的等式，解得特殊值所對的函數值，在令部分變量為特殊值，從而得出相應結論.
22．（2025·河北滄州·一模）已知函數滿足：，，，若，則 .
【答案】2024
【分析】根據已知條件結合賦值法計算得出，再賦值法結合應用不等關系計算求解即可.
【詳解】依題意，因為，則，
令，則，因為，所以，
又因為，則，即，
令，則，即，
令，則，所以，故得，
又
；
又
，
所以，即.
故答案為：2024.
【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是對賦值法及不等式的綜合應用.
考點三 函數新定義
23．（24-25高三上·山東濰坊·期末）二元函數表示有兩個自變量的函數，其中，如為一個二元函數．設為正整數，二元函數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知，推得，再由，推得，即可求得.
【詳解】已知，
則，
，
以此類推，，則，
又，
則，
，
以此類推，，
所以.
故選：B.
24．（25-26高三上·廣東肇慶·階段練習）設表示不超過的最大整數（如，），對于給定的，定義，，則當時，函數的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據表示不超過的最大整數，將，分和求解.
【詳解】因為時，=1，
所以，
當時，，
所以，
函數的值域是
故選：D
25．（2025·全國·模擬預測）設為定義在整數集上的函數，，，，對任意的整數均有，則=（ ）
A．0 B．1013 C．2025 D．4050
【答案】B
【分析】通過代入特定值分析函數的周期性，確定取值規律，進而求解的值.
【詳解】令，則，所以．
令，則，又，所以．
令，則，所以函數的圖像關于直線對稱．
令，則，所以，的圖像關于點對稱．
故，則,是周期的函數．
又，當為偶數時，．當為偶數時，也為偶數，此時；當為奇數時，令，則.
所以1013．
故選：B．
26．（25-26高三上·湖北孝感·階段練習）若一系列函數的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數為“同族函數”，那么函數解析式為，值域為的“同族函數”包含的函數個數為（ ）
A．3 B．8 C．9 D．27
【答案】D
【分析】根據已知確定函數定義域取值情況，再由集合非空子集個數及分步計數求“同族函數”個數，即可得.
【詳解】由題設，的值域為，則或或，
結合“同族函數”的定義，則函數定義域分別從、、中各取至少一個數，
所以共有種.
故選：D
27．（2025·全國·模擬預測）雙曲函數最初由17世紀數學家雅各布 伯努利提出：兩端系于兩個固定點的均勻繩索．在僅受其自身重力的作用下形成的曲線是什么曲線？他本人和伽利略起初都誤認為是一條拋物線．但是，雅各布 伯努利隨后通過不懈努力用微分方程推導出其曲線方程為：，并稱為懸鏈線．已知函數是定義在上的奇函數，是定義在上的偶函數，且滿足：，容易求得其中一個函數為最簡單的懸鏈線方程，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據奇偶函數的性質結合題設可求得，進而求解判斷各選項即可.
【詳解】因為是定義在上的奇函數，是定義在上的偶函數，
且滿足：①，
所以，即②，
根據①②，
從而，故A正確；
，故B正確；
，故C錯誤；
由C知，，故D正確．
故選：ABD．
28．（25-26高三上·湖南長沙·階段練習）如果函數滿足兩個條件：①有且僅有兩個不相等的極值點，，②點，與原點三點共線（三點互不重合），且該直線斜率為，那么我們稱為具有“線性”.已知函數，且，下列說法正確的是（ ）
A．若，則具有“線性”
B．存在實數，使得具有“線性”
C．若具有“線性”，則
D．若具有“線性”，則
【答案】ACD
【分析】求導，即可根據斜率關系求解A，舉反例即可求解B，根據具有“線性”，可求導，根據韋達定理，結合 “線性”列式子即可求解CD。
【詳解】由題意，可知函數有且僅有兩個不相等的極值點.
對于，由，解得，，
則，故，與原點三點共線，
可得具有“線性”，A正確；
對于B，若，，解得，，
則在函數圖象中，點在軸上，
此時與原點的斜率不存在，
故此時不存在實數，使得具有“線性”，B錯誤；
易知，由于具有“線性”，
則，是兩個不同的極值點，故，是的兩個不相等的實數根，
則，，且，有.
設，即（*），
兩式相減得，
即，即，則，C正確；
將（*）變形為
兩式相減得，
即，
即，求得，D正確.
故選：ACD.
29．（25-26高三上·安徽·開學考試）對于定義在區間I上的函數，若存在正數，使得不等式對任意不同的實數恒成立，則稱函數在區間I上是“-理想函數”，則下列說法正確的有（ ）
A．函數是“2-理想函數”
B．若函數在上是“-理想函數”，則的最小值為
C．設，如果是“2025-理想函數”，且的零點也是的零點，，則方程在區間上有解
D．若函數在上是“1-理想函數”，且，則存在滿足條件的函數，存在，使得
【答案】BC
【分析】根據“-理想函數”的定義即可判斷A錯誤，由冪函數單調性以及不等式恒成立可構造函數，并利用導數求出的取值范圍可知B正確；由題意可求出，結合零點定義由三角函數值域以及零點存在定理可判斷C正確，易證明函數在上是“1-理想函數”，則對任意，，因此D錯誤.
【詳解】對于A，，
當時，，
所以函數不是“2-理想函數”，故A不正確；
對于B，由函數在上是“-理想函數”
即，顯然函數在上單調遞增，且，
不妨設，則恒成立，
令，則在上單調遞減，
即當時，，即恒成立，
又當時，函數為單調遞減，所以，
所以即可，即的最小值為，故B正確；
對于C，因為函數是“2025-理想函數”，
所以，即，所以，
由于的零點為，所以，
又也是的零點，所以，
又，所以，故，，
設，，
由，，
顯然此時，由零點存在定理知方程在區間上有解，故C正確；
對于D，函數在上是“1-理想函數”，
則對任意，，
不妨設，
當時，則，
當時，由于，
則，
所以，故D錯誤．
故選：BC．
30．（2024·河南開封·二模）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函數為，表示不超過x的最大整數，例如，．下列命題中正確的有（ ）
A．，
B．，，
C．，
D．，
【答案】BD
【分析】根據給定的定義，結合存在量詞命題、全稱量詞命題的真假判斷方法逐項分析即得.
【詳解】對于A，當時，，當時，，而，
因此，A錯誤；
對于B，，，令，則，，
因此，B正確；
對于C，取，，則，，
顯然，C錯誤；
對于D，，當時，，當時，，而，
因此，此時，D正確.
故選：BD
【點睛】方法點睛：判斷全稱量詞命題為真、存在量詞命題為假必須推理論證；判斷全稱量詞命題為假、存在量詞命題為真只需舉例說明.
31．（2025·廣西柳州·模擬預測）如圖所示，是定義在上的四個函數，其中滿足性質：“對中任意的和，任意恒成立”的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】應用函數的凹凸函數的性質判斷各個選項.
【詳解】對中任意的和，任意恒成立”，所以函數是下凹函數，
令，則恒成立，
所以在時為下凹函數才能滿足題意，所以排除B，D，
當等號成立時，選項C滿足題意，因此滿足題意的是A，C.
故選：AC
32．（2025·安徽合肥·模擬預測）高斯是世界著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的美稱.函數稱為“高斯函數”，它的函數值表示不超過的最大整數，例如，，.若，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用高斯函數的定義，結合給定的和列出不等式組求解.
【詳解】由，得，又，
則，，
因此，解得，
所以實數的取值范圍是.
故答案為：
33．（2025高三·全國·專題練習）對于給定的數列和正整數，若函數中的系數為正數，則稱為正比例近似函數．已知數列滿足，若為正比例近似函數，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先求的通項（或利用換元法求的通項），再根據為正比例近似函數可得為正數，結合的單調性可求的取值范圍.
【詳解】法1：由得，而，
則數列是以2為首項、2為公比的等比數列，所以，
則，故，
令，則，
所以，所以當時，，則當時，，
故的取值范圍為．
法2：設，則，由，得，
即，而，故為等比數列，
所以．下同法1．
故答案為：
34．（2025高三·全國·專題練習）記函數的定義域為R，I為定義域內的某個區間，若存在，使得，則稱為I上的“局部奇函數”．若函數為R上的“局部奇函數”，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據“局部奇函數”的定義可知，有實數解；通過換元法可求的取值范圍.
【詳解】由“局部奇函數”的定義得，使得方程成立，
即有實數解；
方程變形為，
令，則，
故方程在區間上有解，
令，
則或 ；
解得或．
故答案為：.
35．（25-26高三上·湖南衡陽·階段練習）對于函數，若存在使，則稱點是曲線的“優美點”，已知，若曲線存在“優美點”，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據“優美點”的定義，可得時的函數圖象關于原點對稱的圖象與有交點，轉化為方程有解，分離參數后利用基本不等式即可求得結果.
【詳解】若函數存在“優美點”，則函數圖象上存在關于原點對稱的點，
當時，，將其圖象關于原點對稱，
所得圖象的解析式為.
所以只要射線與的圖象有公共點即可，
由得，
所以，
由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，
所以，即.
故答案為：.
36．（2025高三·全國·專題練習）若為的各位數字之和，如，，則；記，，，，，則 .
【答案】
【分析】根據題意，逐步計算出的值，可知以3為周期，進而可求出結果.
【詳解】由題意，因為，所以；
，因為，所以；
，因為，所以；
；
所以以3為周期，因此.
故答案為：.
37．（2025高三·全國·專題練習）對于實數，，，記為，，中的最大者，例如：，．若非負實數，滿足，則的最小值為 ．
【答案】36
【分析】方法一：令，根據的定義，通過配湊系數法，結合條件，求得的最小值；
方法二：由消元，轉化為，并在同一坐標系下畫出函數其圖象，找到最低點即得答案.
【詳解】方法一：（配湊系數法）令，則．
為非負實數，且，
，因此．
且當時，
的最小值為36.
方法二：（轉化為一元函數）由得，
令，則，在同一坐標系下畫出函數的圖象，如圖．則函數的圖象是圖中的實線部分，顯然點是圖象的最低點．
38．（2025·山東煙臺·三模）函數稱為取整函數，也稱高斯函數．其中不超過實數x的最大整數稱為x的整數部分，記作．設函數，的所有函數值的個數為，比如，，所以．若數列的前n項和為，則 ．
【答案】
【分析】根據高斯函數的性質可求，利用裂項相消法可求.
【詳解】當，，
若，則此時，故，此時；
若，此時，
在上的函數值為，
所有函數值的個數為，
故在上所有函數值的個數為，
故，
故，
故答案為：.2026年高考數學考點專項集訓02 分段函數、抽象函數與函數新定義
考點一 分段函數
1．（24-25高一上·新疆吐魯番·期末）已知函數則（ ）
A．1 B．6 C．8 D．9
2．（2025·江西南昌·一模）已知，則方程所有的根之和為（ ）
A．1 B．2 C．5 D．7
3．（2025·浙江金華·三模）狄利克雷函數定義為：，以下選項中正確的是（ ）
A．不存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．對任意，滿足
D．函數圖象上存在三點，使得是直角三角形
4．（2024·全國·模擬預測）已知函數滿足，，函數，若，則的值可以是（ ）
A．149 B．151 C．199 D．300
5．（2025·上海寶山·二模）已知函數則= .
6．（2025·吉林·模擬預測）已知函數，若，則 ．
7．（24-25高三下·浙江·開學考試）已知函數若，則m的取值范圍是 ．
8．（2025·上海·模擬預測）設，已知，若，則的取值范圍為 .
考點二 抽象函數
9．（2025·山東青島·三模）已知函數的定義域為，，，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
10．（2025·云南紅河·三模）定義在上的函數滿足：都有，，且，則（ ）
A．45 B．46 C．91 D．92
11．（2025·福建泉州·模擬預測）已知定義在上的函數滿足，且，則（ ）
A． B．方程有解
C． D．
12．（2025·安徽·模擬預測）已知函數滿足，則以下結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·陜西西安·模擬預測）已知表示不小于x的最小整數，如，，已知定義在R上的函數滿足，，，且，則（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
14．（2025·廣東深圳·模擬預測）已知函數滿足：，，，若，則（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
15．（2025·河北·模擬預測）已知定義在上的函數滿足：，且，則（ ）
A． B．
C． D．
16．（2025·河北秦皇島·一模）表示不小于的最小整數，如，已知定義在上的函數滿足，且，則（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
17．（2025·河南信陽·二模）已知定義在上的函數滿足，且當時，，則下列錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B．恒成立
C． D．滿足條件的不止一個
19．（2024·廣西·二模）已知函數的定義域與值域均為，且，則（ ）
A． B．函數的周期為4
C． D．
20．（2024·江蘇宿遷·三模）已知定義在上不為常數的函數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·浙江杭州·一模）已知函數的定義域為，若，則（ ）
A． B．
C． D．
22．（2025·河北滄州·一模）已知函數滿足：，，，若，則 .
考點三 函數新定義
23．（24-25高三上·山東濰坊·期末）二元函數表示有兩個自變量的函數，其中，如為一個二元函數．設為正整數，二元函數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
24．（25-26高三上·廣東肇慶·階段練習）設表示不超過的最大整數（如，），對于給定的，定義，，則當時，函數的值域是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2025·全國·模擬預測）設為定義在整數集上的函數，，，，對任意的整數均有，則=（ ）
A．0 B．1013 C．2025 D．4050
26．（25-26高三上·湖北孝感·階段練習）若一系列函數的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數為“同族函數”，那么函數解析式為，值域為的“同族函數”包含的函數個數為（ ）
A．3 B．8 C．9 D．27
27．（2025·全國·模擬預測）雙曲函數最初由17世紀數學家雅各布 伯努利提出：兩端系于兩個固定點的均勻繩索．在僅受其自身重力的作用下形成的曲線是什么曲線？他本人和伽利略起初都誤認為是一條拋物線．但是，雅各布 伯努利隨后通過不懈努力用微分方程推導出其曲線方程為：，并稱為懸鏈線．已知函數是定義在上的奇函數，是定義在上的偶函數，且滿足：，容易求得其中一個函數為最簡單的懸鏈線方程，則（ ）
A． B．
C． D．
28．（25-26高三上·湖南長沙·階段練習）如果函數滿足兩個條件：①有且僅有兩個不相等的極值點，，②點，與原點三點共線（三點互不重合），且該直線斜率為，那么我們稱為具有“線性”.已知函數，且，下列說法正確的是（ ）
A．若，則具有“線性”
B．存在實數，使得具有“線性”
C．若具有“線性”，則
D．若具有“線性”，則
29．（25-26高三上·安徽·開學考試）對于定義在區間I上的函數，若存在正數，使得不等式對任意不同的實數恒成立，則稱函數在區間I上是“-理想函數”，則下列說法正確的有（ ）
A．函數是“2-理想函數”
B．若函數在上是“-理想函數”，則的最小值為
C．設，如果是“2025-理想函數”，且的零點也是的零點，，則方程在區間上有解
D．若函數在上是“1-理想函數”，且，則存在滿足條件的函數，存在，使得
30．（2024·河南開封·二模）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函數為，表示不超過x的最大整數，例如，．下列命題中正確的有（ ）
A．，
B．，，
C．，
D．，
31．（2025·廣西柳州·模擬預測）如圖所示，是定義在上的四個函數，其中滿足性質：“對中任意的和，任意恒成立”的有（ ）
A． B．
C． D．
32．（2025·安徽合肥·模擬預測）高斯是世界著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的美稱.函數稱為“高斯函數”，它的函數值表示不超過的最大整數，例如，，.若，則實數的取值范圍是 .
33．（2025高三·全國·專題練習）對于給定的數列和正整數，若函數中的系數為正數，則稱為正比例近似函數．已知數列滿足，若為正比例近似函數，則的取值范圍為 ．
34．（2025高三·全國·專題練習）記函數的定義域為R，I為定義域內的某個區間，若存在，使得，則稱為I上的“局部奇函數”．若函數為R上的“局部奇函數”，則a的取值范圍是 ．
35．（25-26高三上·湖南衡陽·階段練習）對于函數，若存在使，則稱點是曲線的“優美點”，已知，若曲線存在“優美點”，則實數的取值范圍為 ．
36．（2025高三·全國·專題練習）若為的各位數字之和，如，，則；記，，，，，則 .
37．（2025高三·全國·專題練習）對于實數，，，記為，，中的最大者，例如：，．若非負實數，滿足，則的最小值為 ．
38．（2025·山東煙臺·三模）函數稱為取整函數，也稱高斯函數．其中不超過實數x的最大整數稱為x的整數部分，記作．設函數，的所有函數值的個數為，比如，，所以．若數列的前n項和為，則 ．

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