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空間向量與立體幾何：空間向量法證明位置關(guān)系、角度問(wèn)題、距離問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練
考點(diǎn)目錄
空間向量法證明空間關(guān)系 空間向量法求解空間角度
空間向量法求解空間距離
1．（24-25高二下·江蘇鹽城·期中）已知平面的法向量為，，平面的法向量為，若，則（ ）
A．最大值為2 B．最大值為
C．最小值為 D．最小值為2
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，
即，
所以，所以，
因?yàn)椋裕裕?br/>則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最大值為.
故選：B.
2．（2025·甘肅白銀·二模）已知兩個(gè)不同的平面，一條直線，下列命題是假命題的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】A
【詳解】設(shè)平面的法向量分別為，直線的方向向量為，
對(duì)于A：若，則或，錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若，則，所以，所以，正確；
對(duì)于C：由，可得，所以，所以，正確；
對(duì)于D：由，可得：，，所以，所以，正確，
故選：A
3．（2025·四川眉山·三模）設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題不正確的是（ ）
A．，，則
B．，直線，，則
C．，則
D．過(guò)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于平面
【答案】D
【詳解】設(shè)平面的法向量分別為，直線的方向向量為，
對(duì)于A：由，，可得：，
所以，所以，正確；
對(duì)于B：，可得，
由，可得，
所以，又，所以，正確；
對(duì)于C：由
可得：，且，且不共線，
所以，所以，正確；
對(duì)于D：不知和平面的位置關(guān)系，顯然無(wú)法判斷，錯(cuò)誤；
故選：D
4．（24-25高二下·上海寶山·期中）設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，則是的（ ）條件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】B
【詳解】當(dāng)時(shí)，直線或直線在平面上，故充分性不成立，
當(dāng)時(shí)，則必有，必要性成立，
故是的必要不充分條件.
故選：B.
5．（25-26高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知正方體，點(diǎn)分別在上，，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．直線與所成的角為 B．
C．四點(diǎn)共面 D．平面
【答案】C
【詳解】對(duì)于A：由正方體性質(zhì)可知：為直線與所成的角，
，故直線與所成的角為，故A正確；
對(duì)于B：如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，
因,則，則，
所以，而，
因?yàn)椋裕矗蔅正確；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即點(diǎn)，點(diǎn)即點(diǎn)，此時(shí)滿足，顯然與為異面直線，故與為異面直線，即四點(diǎn)不共面，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：由正方體的性質(zhì)知平面，所以為平面的一個(gè)法向量．
由選項(xiàng)B的證明可知：，又平面，所以平面，故D正確.
故選：C
6．（25-26高三上·浙江·階段練習(xí)·多選）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．平面 B．平面
C．點(diǎn)到平面的距離為 D．與平面所成的角為
【答案】ABC
【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
對(duì)于A，，則，即.
又平面，平面，因此平面，A正確；
對(duì)于B，由，得，由，
得，，平面，則平面，B正確；
對(duì)于C，是平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)D到平面的距離，C正確，
對(duì)于D，與平面所成角的正弦值為，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
7．（24-25高二上·山西運(yùn)城·期中·多選）已知向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）.
A． B．
C．是平面的一個(gè)法向量 D．
【答案】ABC
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋裕珹選項(xiàng)正確；
對(duì)于B：，所以，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C：因?yàn)椋矫妫云矫妫允瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋裕珼選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：ABC.
8．（24-25高二下·江蘇宿遷·期中）已知直線l的方向向量為，平面α的法向量為.若，則實(shí)數(shù)λ的值為 .
【答案】/2.5
【詳解】由題意可得：，
即，
解得：，
故答案為：
9．（24-25高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）已知直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則的值為 ．
【答案】/
【詳解】由可得，即，解得.
故答案為：
10．（24-25高二上·廣東江門(mén)·期中）設(shè)直線的方向向量，平面的法向量，若，則
【答案】
【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量，平面的法向量，，
所以，所以，解得.
故答案為：.
11．（2025·云南曲靖·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，，，．是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．
(1)求直三棱柱的體積；
(2)若是的中點(diǎn)，證明：平面；
(3)求與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【詳解】（1）
（2）由題意，以原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
所以
，
所以，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，
故，且平面，則平面；
（3）由（2）得，若直線與平面所成角為，
所以．
12．（24-25高二下·江蘇南通·期末）如圖，正三棱柱中，，，D是中點(diǎn)，E是棱上一點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)若平面平面，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)或2
【詳解】（1）
在正三棱柱中，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?
因?yàn)槭钦切危珼是中點(diǎn)，所以．
又，，平面，所以平面．
（2）解法一：
在中過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．又平面，所以．
由（1）知，且，平面，
所以平面，又平面，所以．
設(shè)，則，，，，
由勾股定理得，即，解得或，
所以或2．
解法二：
在正三棱柱中，取中點(diǎn)，連結(jié)，
則，，兩兩垂直，以為正交基底，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)，則，，，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
因?yàn)椋?br/>由即解得，，
取，則，得．
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
因?yàn)椋?br/>由即
解得，，
取，則，，
得．
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以，解得或，
所以或2．
13．（24-25高二下·甘肅白銀·期末）如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).
(1)在平面內(nèi)確定一點(diǎn)，使平面；
(2)證明：棱上不存在點(diǎn)，使平面平面.
【答案】(1)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，平面.
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則，，，，，，
設(shè)，.
因?yàn)椋郑还簿€，
所以當(dāng)時(shí)，平面.
所以，解得，，
所以當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，平面.
（2）設(shè)平面的法向量為，則，
因?yàn)椋裕?br/>令，則，，所以平面的一個(gè)法向量.
若平面平面，則也是平面的一個(gè)法向量.
因?yàn)椋?br/>所以，即，得，
此時(shí)，
所以不是平面的一個(gè)法向量，即與平面不垂直.
所以棱上不存在點(diǎn)，使平面平面.
14．（24-25高二下·貴州銅仁·期末）在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，與平面所成角為，是的中點(diǎn)，點(diǎn)且．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)求平面與平面的夾角的大小．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，再連接．
因?yàn)榈酌媸钦叫危渣c(diǎn)是的中點(diǎn)．
又是的中點(diǎn)，所以．
而平面且平面．
因此平面．
（2）由底面，底面是正方形且與平面所成角為，又，可知是等腰直角三角形，即．
現(xiàn)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
設(shè)，則，，，，
且．．
．
，．
同理．則.
又,平面,平面；
（3）由（2）的結(jié)論平面，可知且，結(jié)合圖形特點(diǎn)可知是平面與平面的夾角，亦可記為．
在等腰直角三角形中，為中點(diǎn)，所以．
又，即且．
于是，且．
又．
所以，即與平面的夾角大小為．
15．（24-25高二上·山東煙臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在長(zhǎng)方體中，.

(1)求證：平面平面.（使用向量方法）
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)存在，為線段的中點(diǎn)
【詳解】（1）證明：由題可以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸 軸 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，
則.
設(shè)平面的法向量為，
則，所以，取，則，
所以平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則，所以，取，則，
所以平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)椋矗云矫嫫矫?
（2）設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面，
設(shè)，
由（1）得，平面的一個(gè)法向量為，
所以，
令，解得，
所以當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面.
16．（25-26高三上·廣西柳州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面是正三角形，平面底面是的中點(diǎn)．
(1)證明：．
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接，，
因?yàn)槭堑冗吶切危裕?br/>因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，
所以底面，因?yàn)榈酌妫?br/>所以，，所以，，兩兩垂直，
則分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，
則，，，，，，
，，
因?yàn)椋裕裕?br/>（2）在平面中，，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，
令，則為平面的一個(gè)法向量．
又平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面與平面夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
1．（25-26高三上·福建福州·開(kāi)學(xué)考試）在正三棱柱中，，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為1，以B為原點(diǎn)，
以過(guò)B作的垂線為x軸，以為軸，為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，所以，
易知平面的一個(gè)法向量可取為，
設(shè)直線與平面所成角為，，
則.
故選：A
2．（24-25高二下·浙江寧波·期末）如圖，是正方體體對(duì)角線（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，為棱（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．異面直線與所成角的最小值為
B．異面直線與所成角的最大值為
C．對(duì)于任意給定的，存在點(diǎn)，使得
D．對(duì)于任意給定的，存在點(diǎn)，使得
【答案】D
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系如圖，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則，
設(shè)，，則，
設(shè)異面直線與所成的角為，
則，
因，由于，則時(shí)，，
又，，于是，則，
又，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，，故AB錯(cuò)誤；
對(duì)于C.設(shè)，，則，
由上述分析，，，
當(dāng)時(shí)，無(wú)解，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D.，令，得，
即對(duì)于任意的M，存在點(diǎn)P使得，故D正確.
故選：D.
3．（24-25高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為“鱉臑”，在鱉臑中，平面，且，M為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題可知兩兩垂直，且．
因此，如圖所示正方體內(nèi)的三棱錐即為滿足題意的鱉臑，
以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，正方體棱長(zhǎng)為2，

則，，，，，則，，．
設(shè)平面的法向量為，
則即
故可取．設(shè)直線與平面所成角為，
則，故，
故選：D．
4．（24-25高二上·海南海口·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)，，滿足，，，則直線與所成的角余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設(shè)，，，則 ，，
，
，
所以 ，
故直線與所成的角余弦值為0.
故選： D.
5．（24-25高二下·江蘇南京·期中·多選）如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線直線
B．三棱錐的體積為定值
C．異面直線與所成角的取值范圍是
D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為
【答案】ABD
【詳解】A：連接，由正方體的結(jié)構(gòu)特征得，
平面，平面，則，
而都在平面內(nèi)，則平面，
而平面，則直線直線，正確；
B：由題設(shè)，易知四邊形為平行四邊形，
所以，平面，平面，
平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，
到平面的距離為定值，又的面積是定值，
三棱錐的體積為定值，正確；
C：，則異面直線與所成角為直線與直線的夾角．
易知為等邊三角形，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)；
當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，直線與直線的夾角為．
故異面直線與所成角的取值范圍是，錯(cuò)誤；
D：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，
所以，，又平面，平面，
所以，又，都在平面內(nèi)，則平面，
平面，則，同理，都在平面內(nèi)，
所以平面，則是平面的一個(gè)法向量，
直線與平面所成角的正弦值為，
當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，正確．
故選：ABD
6．（24-25高二上·廣東廣州·階段練習(xí)·多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，，則平面
B．若，則與所成角的取值范圍為
C．若，則二面角的平面角為
D．若，則三棱錐的體積為2
【答案】AC
【詳解】解： 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，可得，，，則，即．
A選項(xiàng)：若，，即，則，，，
因?yàn)椋裕驗(yàn)椋云矫妫訟選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)：若，即，則，，
設(shè)與所成角為，，則
因?yàn)椋?以,
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，右邊不等式等號(hào)成立，令，，則，可得.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，左邊不等式等號(hào)成立，令，，則，可得.
綜上所述，，所以.所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)平面的法向量，則即取，可得，則．
易得平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，因?yàn)榭膳袛嗍卿J角，所以二面角的平面角為．所以C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng):設(shè)平面的法向量為，由，，
則即取，可得，，則是平面的一個(gè)法向量．
易知，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
由，得，易知，則三棱錐的體積．所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：.
7．（24-25高二下·甘肅白銀·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，且平面的一個(gè)法向量，則直線與平面所成角的正弦值為 .
【答案】/
【詳解】因?yàn)椋灾本€與平面所成角的正弦值為.
故答案為：
8．（24-25高二下·廣東江門(mén)·期中）若點(diǎn)，，平面的一個(gè)法向量為，則直線與平面所成角的正弦值為 .
【答案】
【詳解】由條件可得：，
直線與平面所成角的正弦值為：，
故答案為：
9．（24-25高二下·江蘇淮安·期中）在正四面體中，點(diǎn)M在上，且，則異面直線與所成角的余弦值為
【答案】
【詳解】設(shè)棱長(zhǎng)均為1,
因?yàn)椋?，所以，所以.
又.
設(shè)異面直線與所成角為,
則.
故答案為: .
10．（24-25高一下·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖，在三棱錐中，平面，，，，以AB為直徑的圓弧在平面PAB內(nèi)，點(diǎn)D是三角形PAB內(nèi)圓弧上（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積最大值是 ，異面直線CD與AB所成角的余弦值范圍是 ．
【答案】
【詳解】因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>又平面，所以平面平面，
又因?yàn)椋裕裕?br/>所以圓弧所對(duì)的圓心角為，又點(diǎn)D是三角形PAB內(nèi)圓弧上，
所以點(diǎn)D到的距離的最大值為圓的半徑1，
所以三棱錐的體積最大值是；
如圖，在平面內(nèi)過(guò)作，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立如圖的示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
因?yàn)椋?br/>因?yàn)椋裕裕?br/>設(shè)異面直線CD與AB所成的角為，
所以，
令，，則，
又函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，
所以異面直線CD與AB所成角的余弦值范圍是.
故答案為：①；②.
11．（25-26高三上·浙江·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面，，且四棱錐的體積為．
(1)證明：；
(2)求平面與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）作于，連接，
因?yàn)槊婷妫婷妫妫?br/>所以面．
由題意，四邊形為直角梯形，
所以．
因?yàn)椋獾茫?br/>由，可知，
又因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅危?br/>，所以，
由于，面，
所以面．
因?yàn)槊妫裕?br/>（2）設(shè)平面與平面所成角為，
如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
由（1）可知：，
易知，是面的法向量，
設(shè)是面的法向量，
則，取，得到，
則，
所以，
所以平面與平面所成角的正弦值為．
12．（25-26高三上·四川·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，與均為等邊三角形，平面平面，點(diǎn)與點(diǎn)在平面的異側(cè)，.
(1)證明：平面；
(2)若，，，四點(diǎn)共圓，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）證明：因?yàn)槭堑冗吶切危裕?br/>在平面中，由，可知是的中垂線，
故，
而平面平面，平面平面，平面，
故平面.
（2）記為的中點(diǎn)，由，，，四點(diǎn)共圓可知，
而，故.
不妨令，易知，，，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
故，，，.
記平面的法向量為，
，即，可取，
記平面的法向量為，
，即，可取.
記平面與平面的夾角為，則.
13．（25-26高三上·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）已知四棱臺(tái)，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面，，是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的正切值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)．
【詳解】（1）因底面是菱形，，是中點(diǎn)，所以，
又，則．已知平面，平面，所以．
因?yàn)槠矫妫遥云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫矫嫫矫妫?br/>
（2）解法1：在等腰直角中，過(guò)作，
則是中點(diǎn)，．
又，所以平面，
又因?yàn)槠矫妫裕?br/>過(guò)作，連接，
由于，平面，所以平面，
又平面，故，所以為平面與平面的夾角，
由（1）知，在中，，
故，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>則．
解法2：因?yàn)槠矫妫詢蓛纱怪保?br/>以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系
則，∴，
由（1）易知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則不妨取，得，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
故正切值為．
14．（25-26高三上·重慶·開(kāi)學(xué)考試）如圖在四棱錐中，，，且底面為直角梯形，平面，分別為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).

(1)證明: 平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）因?yàn)橹苯翘菪危?br/>則，則 ，即，
因平面，平面，則，
又平面，則平面，
因分別為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則，
則平面；
（2）以為原點(diǎn)，為基底建立空間直角坐標(biāo)系，

則，
則，由，可設(shè)，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，則，
由題意可知平面的一個(gè)法向量為，
則，
故平面與平面夾角的余弦值為.
15．（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面平面，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，為直角三角形，，，
(1)當(dāng)M為AB的中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐的體積；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）如圖，連接SM，MC，作AC的中點(diǎn)N，連接SN，
是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，N是AC的中點(diǎn)，所以，，
平面平面ACB，平面平面，平面，
根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知平面ABC，所以SN是三棱錐的高，
由題意知：，
故三棱錐的體積為.
（2）連接MN，在中，，，所以，
結(jié)合（1）易知SN，MN，AC兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
∴，，，，
∴，，，
設(shè)，分別是面ASB、面CSB的法向量，
則，令，則，
，令，則，
所以，，，
∴與所成的角的余弦值為，正弦值為，
故二面角的正弦值為.
16．（25-26高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，M是棱的中點(diǎn)，是DM的中點(diǎn)，

(1)證明：平面ABCD；
(2)求四棱錐和四棱錐重合部分的體積；
(3)求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)；
(3).
【詳解】（1）在正方體中，取的中點(diǎn)，在上取，連接，

由是DM的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，得，且，
由，得且，則，
因此四邊形是平行四邊形，，而平面平面，
所以平面.
（2）令，連接，取中點(diǎn)，連接，
由，得四邊形為平行四邊形，是中點(diǎn)，
又是的中點(diǎn)，則，平面，平面，
則平面，同理平面，而平面，
于是平面平面，又，則≌，
又，因此幾何體是三棱柱，且平面，
四棱錐和四棱錐重合的幾何體為四棱錐和三棱柱形成的組合體，
，點(diǎn)到平面的距離，
所以所求的體積.
（3）在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，
，
設(shè)平面的法向量，則，取，得，
設(shè)平面的法向量，則，取，得，
設(shè)所成二面角大小為，則，
所以二面角的正弦值為.
1．（24-25高二下·江蘇·階段練習(xí)）若平面的一個(gè)法向量為且該平面過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)，所以，
又平面的一個(gè)法向量為，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
故選：B.
2．（25-26高二上·黑龍江·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，為的重心，，且，，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，由，可得，
為的重心，所以，，，
則，，，
故點(diǎn)到直線的距離為.
故選：A
3．（25-26高三上·湖南懷化·開(kāi)學(xué)考試），，是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為，，，分別是射線，，上的點(diǎn)，且，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線的距離為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】

如圖所示，為的中點(diǎn)，
則，
，
又，
，
，
，
點(diǎn)E到直線DF的距離為．
故選：C
4．（25-26高二上·廣東汕頭·開(kāi)學(xué)考試）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在棱長(zhǎng)為1的正方體中， 直線與之間的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，
設(shè) ，，
則 ，
因?yàn)椋?br/>即
所以，所以，
所以，
∴當(dāng)時(shí)， 取得最小值，
故直線與之間的距離是
故選：B.
5．（24-25高二下·河南南陽(yáng)·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，，平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為 .
【答案】
【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離.
故答案為：.
6．（23-24高二下·甘肅武威·期末）已知四邊形為矩形，為四邊形外一點(diǎn)且平面ABCD，，，，則異面直線與之間的距離為 ．
【答案】/
【詳解】因平面，且平面，故，
又，故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線
分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
所以，，，
設(shè)異面直線與的公垂線的方向向量為，則，，
所以，令，則.
設(shè)異面直線與之間的距離為d，
則.
故答案為：
7．（24-25高二上·安徽黃山·期末）已知正方體的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為 .
【答案】/
【詳解】以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則
.
故答案為：
8．（25-26高三上·北京豐臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，，.點(diǎn)在線段上，點(diǎn)到直線的距離的最小值為 .
【答案】/
【詳解】由已知，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為h，
則，
，
由于點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，
故，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為d，則
，
當(dāng)時(shí)，取最小值，則d的最小值為，
故答案為：
9．（24-25高三下·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面，，，，D為棱的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)若E為棱BC的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）由題意可知在三棱柱中，，，所以為等邊三角形，所以，
又，，故，
可得，因此，
又因?yàn)槠矫妫矫妫裕矗?br/>又，所以平面；
（2）由（1）可知,由平面，平面，
所以，則為直角三角形，
由平面，平面，所以，即，
所以在中，,
則在中，,
所以的面積為.
連接，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槠矫妫裕磧蓛纱怪保?br/>所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，解得，取,
所以點(diǎn)到平面的距離,
則三棱錐的體積.
10．（2025·新疆喀什·三模）如圖，在△中，，，為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，將沿翻折至 ，得到四棱錐，為棱上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.
(1)若為棱的中點(diǎn)，證明：平面 ；
(2)若，直線EF與平面BCDE所成角的正弦值為.
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，
連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以是等邊三角形．
取的中點(diǎn)，連接，，則，
則，．
因?yàn)槠矫妫矫妫矫妫矫妫?br/>所以平面，平面，
又，，平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面．
（2）（ⅰ）因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>又，，平面，
所以平面，
以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，，
則，
設(shè)，
則，．
因?yàn)槠矫妫?br/>所以平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角為，
所以，
整理得，解得舍，所以．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，．
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，得，，
則，
所以點(diǎn)到平面的距離為．
11．（2025·天津北辰·三模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面是的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上靠近的四等分點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求點(diǎn)到直線的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【詳解】（1）法一：如圖，連接交于，連接，
因?yàn)榈酌鏋榫匦危詾榈闹悬c(diǎn)，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以是的中位線，
得到，而平面，平面，故平面.
法二：根據(jù)題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得，
則，
設(shè)為平面的法向量，
則，即，
令，則，故，
平面，平面.
（2），
，
直線與平面所成角的正弦值為.
（3）由已知得，
由點(diǎn)到直線的距離公式得，
故點(diǎn)到直線的距離為.
12．（24-25高二下·河南開(kāi)封·期末）如圖，兩個(gè)正方形框架、的邊長(zhǎng)都是，且它們所在的平面相互垂直．
(1)證明：；
(2)證明：與是異面直線；
(3)定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．依據(jù)上述定義，求異面直線與之間的距離．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕?br/>因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?
（2）因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕?br/>又因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
所以，，，
①若，即，即，無(wú)解，
所以直線與直線不平行；
②若直線與相交，記它們所確定的平面為，
因?yàn)椤ⅲ裕O(shè)，
即，所以，無(wú)解，
所以直線與直線不相交.
由于空間中兩直線僅有的三種位置關(guān)系：平行、相交或異面，故直線與直線為異面直線.
（3）記、分別為異面直線、上任意一點(diǎn)，設(shè)，，、，
則，
故，即點(diǎn)，
，故，則，
由得，則，
所以，
因此，當(dāng)時(shí)，取最小值，
所以異面直線與之間的距離為.
13．（23-24高二上·廣東中山·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面分別是棱的中點(diǎn)，.
(1)求點(diǎn)到直線的距離
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題可知兩兩相互垂直，
如圖，以為原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
又分別是棱的中點(diǎn)，，得
因?yàn)?br/>所以在上的投影長(zhǎng)為
所以點(diǎn)到直線的距離為
（2）由知，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，
取，則，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
14．（25-26高三上·河北邢臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面.
(1)證明：三棱柱為正三棱柱；
(2)若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，且平面與平面夾角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）證明：作于，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)椋矫妫云矫妫磦?cè)棱垂直于底面，
因?yàn)榈酌媸钦切危匀庵鶠檎庵?
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)，則；
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，則；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，則；
因?yàn)槠矫媾c平面夾角的余弦值為，所以，
解得，即.
，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.空間向量與立體幾何：空間向量法證明位置關(guān)系、角度問(wèn)題、距離問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練
考點(diǎn)目錄
空間向量法證明空間關(guān)系 空間向量法求解空間角度
空間向量法求解空間距離
1．（24-25高二下·江蘇鹽城·期中）已知平面的法向量為，，平面的法向量為，若，則（ ）
A．最大值為2 B．最大值為
C．最小值為 D．最小值為2
2．（2025·甘肅白銀·二模）已知兩個(gè)不同的平面，一條直線，下列命題是假命題的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
3．（2025·四川眉山·三模）設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題不正確的是（ ）
A．，，則
B．，直線，，則
C．，則
D．過(guò)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于平面
4．（24-25高二下·上海寶山·期中）設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，則是的（ ）條件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
5．（25-26高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知正方體，點(diǎn)分別在上，，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．直線與所成的角為 B．
C．四點(diǎn)共面 D．平面
6．（25-26高三上·浙江·階段練習(xí)·多選）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．平面 B．平面
C．點(diǎn)到平面的距離為 D．與平面所成的角為
7．（24-25高二上·山西運(yùn)城·期中·多選）已知向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）.
A． B．
C．是平面的一個(gè)法向量 D．
8．（24-25高二下·江蘇宿遷·期中）已知直線l的方向向量為，平面α的法向量為.若，則實(shí)數(shù)λ的值為 .
9．（24-25高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）已知直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則的值為 ．
10．（24-25高二上·廣東江門(mén)·期中）設(shè)直線的方向向量，平面的法向量，若，則
11．（2025·云南曲靖·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，，，．是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．
(1)求直三棱柱的體積；
(2)若是的中點(diǎn)，證明：平面；
(3)求與平面所成角的正弦值．
12．（24-25高二下·江蘇南通·期末）如圖，正三棱柱中，，，D是中點(diǎn)，E是棱上一點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)若平面平面，求的長(zhǎng)．
13．（24-25高二下·甘肅白銀·期末）如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).
(1)在平面內(nèi)確定一點(diǎn)，使平面；
(2)證明：棱上不存在點(diǎn)，使平面平面.
14．（24-25高二下·貴州銅仁·期末）在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，與平面所成角為，是的中點(diǎn)，點(diǎn)且．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)求平面與平面的夾角的大小．
15．（24-25高二上·山東煙臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在長(zhǎng)方體中，.
(1)求證：平面平面.（使用向量方法）
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
16．（25-26高三上·廣西柳州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面是正三角形，平面底面是的中點(diǎn)．
(1)證明：．
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
1．（25-26高三上·福建福州·開(kāi)學(xué)考試）在正三棱柱中，，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·浙江寧波·期末）如圖，是正方體體對(duì)角線（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，為棱（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．異面直線與所成角的最小值為
B．異面直線與所成角的最大值為
C．對(duì)于任意給定的，存在點(diǎn)，使得
D．對(duì)于任意給定的，存在點(diǎn)，使得
3．（24-25高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為“鱉臑”，在鱉臑中，平面，且，M為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·海南海口·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)，，滿足，，，則直線與所成的角余弦值為（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·江蘇南京·期中·多選）如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線直線
B．三棱錐的體積為定值
C．異面直線與所成角的取值范圍是
D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為
6．（24-25高二上·廣東廣州·階段練習(xí)·多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，，則平面
B．若，則與所成角的取值范圍為
C．若，則二面角的平面角為
D．若，則三棱錐的體積為2
7．（24-25高二下·甘肅白銀·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，且平面的一個(gè)法向量，則直線與平面所成角的正弦值為 .
8．（24-25高二下·廣東江門(mén)·期中）若點(diǎn)，，平面的一個(gè)法向量為，則直線與平面所成角的正弦值為 .
9．（24-25高二下·江蘇淮安·期中）在正四面體中，點(diǎn)M在上，且，則異面直線與所成角的余弦值為
10．（24-25高一下·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖，在三棱錐中，平面，，，，以AB為直徑的圓弧在平面PAB內(nèi)，點(diǎn)D是三角形PAB內(nèi)圓弧上（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積最大值是 ，異面直線CD與AB所成角的余弦值范圍是 ．
11．（25-26高三上·浙江·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面，，且四棱錐的體積為．
(1)證明：；
(2)求平面與平面所成角的正弦值．
12．（25-26高三上·四川·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，與均為等邊三角形，平面平面，點(diǎn)與點(diǎn)在平面的異側(cè)，.
(1)證明：平面；
(2)若，，，四點(diǎn)共圓，求平面與平面夾角的余弦值.
13．（25-26高三上·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）已知四棱臺(tái)，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面，，是的中點(diǎn)．
(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的正切值．
14．（25-26高三上·重慶·開(kāi)學(xué)考試）如圖在四棱錐中，，，且底面為直角梯形，平面，分別為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).
(1)證明: 平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
15．（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面平面，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，為直角三角形，，，
(1)當(dāng)M為AB的中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐的體積；
(2)求二面角的正弦值.
16．（25-26高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，M是棱的中點(diǎn)，是DM的中點(diǎn)，
(1)證明：平面ABCD；
(2)求四棱錐和四棱錐重合部分的體積；
(3)求二面角的正弦值.
1．（24-25高二下·江蘇·階段練習(xí)）若平面的一個(gè)法向量為且該平面過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二上·黑龍江·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，為的重心，，且，，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·湖南懷化·開(kāi)學(xué)考試），，是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為，，，分別是射線，，上的點(diǎn)，且，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線的距離為（ ）．
A． B． C． D．
4．（25-26高二上·廣東汕頭·開(kāi)學(xué)考試）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在棱長(zhǎng)為1的正方體中， 直線與之間的距離是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·河南南陽(yáng)·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，，平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為 .
6．（23-24高二下·甘肅武威·期末）已知四邊形為矩形，為四邊形外一點(diǎn)且平面ABCD，，，，則異面直線與之間的距離為 ．
7．（24-25高二上·安徽黃山·期末）已知正方體的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為 .
8．（25-26高三上·北京豐臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，，.點(diǎn)在線段上，點(diǎn)到直線的距離的最小值為 .
9．（24-25高三下·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面，，，，D為棱的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)若E為棱BC的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．
10．（2025·新疆喀什·三模）如圖，在△中，，，為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，將沿翻折至 ，得到四棱錐，為棱上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.
(1)若為棱的中點(diǎn)，證明：平面 ；
(2)若，直線EF與平面BCDE所成角的正弦值為.
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離.
11．（2025·天津北辰·三模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面是的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上靠近的四等分點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求點(diǎn)到直線的距離.
12．（24-25高二下·河南開(kāi)封·期末）如圖，兩個(gè)正方形框架、的邊長(zhǎng)都是，且它們所在的平面相互垂直．
(1)證明：；
(2)證明：與是異面直線；
(3)定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．依據(jù)上述定義，求異面直線與之間的距離．
13．（23-24高二上·廣東中山·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面分別是棱的中點(diǎn)，.
(1)求點(diǎn)到直線的距離
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
14．（25-26高三上·河北邢臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面.
(1)證明：三棱柱為正三棱柱；
(2)若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，且平面與平面夾角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.

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