資源簡介

三角函數專項提升卷-2026高考數學一輪復習題
10大考點匯總
考點一：角與弧度
考點二：三角函數的概念
考點三：三角函數的性質
考點四：誘導公式
考點五：正弦函數
考點六：余弦函數
考點七：正切函數
考點八：復合三角函數
考點九：同角三角函數的基本關系
考點十：三角函數的應用
跟蹤訓練
考點一：角與弧度
1．（2025 浙江學業考試）半徑為3cm的圓中，有一條弧，長度為cm，則此弧所對的圓心角為（　　）
A． B． C． D．
2．（2025春 金溪縣校級期中）已知角β＝﹣15°，角α的終邊與角β的終邊關于x軸對稱，則α可能為（　　）
A．25° B．195° C．345° D．﹣345°
3．（2025春 景德鎮期中）角α的終邊與30°的終邊關于y軸對稱，則α＝（　　）
A．k 180°﹣30°（k∈Z） B．k 360°﹣30°（k∈Z）
C．k 180°+150°（k∈Z） D．k 360°+150°（k∈Z）
4．（2025春 濰坊期中）已知圓心角為60°的扇形面積是，則這個圓心角所對的弦長為（　　）
A．2π B．2 C． D．1
考點二：三角函數的概念
5．（2025 天津開學）如果θ是第一象限角，那么恒有（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 北京學業考試）若，則角α可以為（　　）
A． B． C． D．
7．（2025春 瀘州期末）角α是第二象限角，以Ox為始邊，它的終邊與單位圓O相交于點P，且點P的縱坐標為，則的值為（　　）
A． B． C． D．
8．（2024秋 攀枝花月考）若點在角α的終邊上，則sinα的值為（　　）
A． B． C． D．
考點三：三角函數的性質
9．（2025 蘇州三模）函數f（x）＝|sinx|+|cosx|的最小正周期為 　 　 ．
10．（2024秋 通州區期末）已知函數f（x）＝cos（x），則f（x）的最小正周期是 　 　 ；若x∈[﹣π，π]，則f（x）的單調遞減區間是 　 　 ．
11．（2025春 普陀區校級月考）已知ω＞0，0＜φ＜π，f（x）＝cos（ωx+φ），函數y＝f（x）的最小正周期為T，若，為y＝f（x）的零點，則ω的最小值為　 　 ．
12．（2025春 臨川區校級月考）函數f（x）＝|sinx|+2|cosx|的值域為　 　 ．
考點四：誘導公式
13．（2025 三明校級開學）已知，．
（1）求的值；
（2）若且，求sinβ的值．
14．（2025春 沈陽月考）已知．
（1）化簡函數f（x）；
（2）若f（α）＝3，求．
15．（2025春 東港區校級月考）已知，且．
（1）求tanα的值．
（2）化簡．
16．（2025春 合肥校級期末）在平面直角坐標系中，銳角α，β均以Ox為始邊，終邊分別與單位圓交于點A，B，已知點A的縱坐標為，點B的橫坐標為．
（1）求tan（α﹣β）和cos2α的值；
（2）求的值；
考點五：正弦函數
17．（2025 安徽開學）已知函數．
（1）當k＝0時，判斷f（x）的單調性；
（2）若對任意的，不等式f（x）＞0恒成立，求k的取值范圍；
（3）求證：．
18．（2025 丹陽市開學）已知集合，0≤x≤1}，非空集合B＝{x|ax2﹣2x+1＝0，x∈R}．
（1）若B是單元素集合且實數a∈B，求a的值并用區間表示A；
（2）若函數有兩個零點，求m的取值范圍．
19．（2025 蚌山區校級開學）已知函數．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若時，不等式f（x）+m＞2恒成立，求實數m的取值范圍．
20．（2025春 河南期中）已知函數．
（1）求f（x）圖象的對稱中心；
（2）求函數g（x）＝log2[2﹣f（x）]的單調遞增區間；
（3）若的圖象與直線y＝a有三個交點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜x2＜x3，求sin（x1+x2+x3）的取值范圍．
考點六：余弦函數
21．（2024秋 房縣校級期末）已知函數，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞減區間；
（2）求函數f（x）在區間上的最小值和最大值，并求出取得最值時x的值；
（3）求不等式﹣1≤f（x）≤1的解集．
22．（2025春 濮陽期末）已知函數f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調遞減區間；
（3）求f（x）在區間上的值域．
23．（2024秋 鄒城市校級月考）已知函數，其中ω＞0．
（1）若f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，求當時f（x）的值域；
（2）若函數f（x）在開區間內恰有3個零點，求ω的取值范圍．
24．（2025春 陜西月考）已知函數圖象的相鄰對稱軸之間的距離為，且．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對任意，都有2f（x）≥2c2﹣3c成立，求實數c的取值范圍．
考點七：正切函數
25．（2025春 河南月考）已知函數在區間上有定義．
（1）求ω的最大值；
（2）若曲線y＝f（x）在區間（0，π）上至少有兩個對稱中心，求ω的取值范圍．
26．（2025春 方城縣校級期末）已知函數
（1）若ω＝2，求f（x）的最小正周期與函數圖象的對稱中心；
（2）若f（x）在[0，π]上單調遞增，求ω的取值范圍；
（3）若方程在[a，b]上至少存在3022個根，且b﹣a的最小值不小于3022，求ω的取值范圍．
27．（2025春 望城區校級期末）已知函數．
（1）若ω＝2，求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在區間上有定義．
（i）求ω的最大值；
（ⅱ）若曲線y＝f（x）至少有兩個對稱中心在區間（0，π）上，求ω的取值范圍．
28．（2025春 河南月考）已知函數f（x）＝Atan（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）若將f（x）的圖象上的每個點先向右平移個單位長度，再把所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數g（x）的圖象，若g（α）＝1，求sin2α的值．
考點八：復合三角函數
29．（2025 湖南開學）已知函數f（x）＝cosx，函數g（x）滿足9f2（x）+[g（x）﹣2]2＝9，且．
（1）求g（x）的值域；
（2）求函數h（x）＝f（x）+g（x）的最大值與最小值．
30．（2025秋 浙江月考）已知函數f（x）＝sinx+mx（x≥0）．
（1）若函數f（x）的最大值為0，求m的取值范圍；
（2）證明：當x≥0時，有sinx﹣sin3x≥﹣2x；
（3）若對任意x≥0，都有|sinx﹣sin3x|≤ax成立，求實數a的取值范圍．
31．（2025春 雅安期末）已知函數f（x）＝cos4x+asin4x+bsinxcosx．
（1）當a＝﹣1，b＝﹣2時，求f（x）在上的最小值；
（2）當a＝b＝1時，方程f（x）＝m在內有兩個不相等的實數根x1，x2．
（i）求實數m的取值范圍；
（ii）證明：．
32．（2024秋 貴陽期末）已知曲線C：f（x）＝cosωxsinωx的兩條相鄰對稱軸間的距離為．
（1）求ω的值和f（x）的單調區間；
（2）先將C向右平移個單位長度得到曲線C1，再把C1上各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到曲線C2：y＝g（x），求g（x）在區間[0，π]上的最大值與最小值．
考點九：同角三角函數的基本關系
33．（2025 涪城區校級模擬）在△ABC中，A、B為銳角且B＜A，sinA，sin2B．
（1）求角C的值；
（2）求證：5cosAcos（A+3B）＝2sinB．
34．（2025春 河南期中）如圖，角α的終邊與單位圓交于點，且x＜0．
（1）求tanα；
（2）求．
35．（2024秋 赤坎區校級期末）已知sinα+cosα＝m，
（1）若，求tanα的值；
（2）若，且，求實數m的值．
36．（2024秋 昌黎縣校級月考）已知關于x的方程的兩個根分別為sinθ和cosθ，且θ∈（﹣2π，0）．
（1）求的值；
（2）求m的值；
（3）求方程的兩根及θ的值．
考點十：三角函數的應用
37．（2025春 乾縣期末）水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點出發，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時60秒．經過t．秒后，水斗旋轉到P點，設點P的坐標為（x，y），其縱坐標滿足y＝f（t）＝Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，）．
（1）求函數f（t）的解析式；
（2）當t∈[35，55]時，求點P到x軸的距離的最大值．
38．（2024秋 鹽津縣期末）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪最低點距離地面高度為10m，轉盤半徑為50m，設置有24個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30min．在運行一周的過程中：
（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動tmin后距離地面的高度為Hm，求H關于t的函數解析式；
（2）求游客甲從坐上摩天輪之后，距離地面高度超過85m的時長；
（3）若甲、乙兩人座艙編號之差的絕對值等于2，（座艙編號沿順時針依次編號）求兩人距離地面的高度差h（單位：m）關于t的函數解析式，并求高度差的最大值．（精確到個位）
參考數據：，．
39．（2025春 棲霞區校級期中）如圖，已知扇形AOB的圓心角為，半徑為1，C是弧AB上任意一點，作矩形CDEF內接于該扇形．
（1）設∠AOC＝α，試用α表示矩形CDEF的面積，并指出α的取值范圍；
（2）點C在什么位置時，矩形CDEF的面積最大？并說明理由．
40．（2025春 金山區校級期中）如圖，角α的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點A（x1，y1），將射線OA繞點O按逆時針方向旋轉后與單位圓相交于點B（x2，y2），設函數y＝f（α），f（α）＝y1+y2．
（1）當時，求y1，y2的值；
（2）求f（α）的單調增區間；
（3）函數y＝h（x），的最小值為，求實數λ的值．
三角函數專項提升卷-2026高考數學一輪復習題
參考答案與試題解析
1．（2025 浙江學業考試）半徑為3cm的圓中，有一條弧，長度為cm，則此弧所對的圓心角為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：設扇形的弧長為l，圓心角大小為α（rad），半徑為r，
則lcm，r＝3cm，此弧所對的圓心角α．
故選：A．
2．（2025春 金溪縣校級期中）已知角β＝﹣15°，角α的終邊與角β的終邊關于x軸對稱，則α可能為（　　）
A．25° B．195° C．345° D．﹣345°
【解答】解：因為角α的終邊與角β的終邊關于x軸對稱，且角β＝﹣15°，
所以α＝﹣β+k 360°＝15°+k 360°（k∈Z），
所以，當k＝﹣1時，可得α的可能取值為﹣345°．
故選：D．
3．（2025春 景德鎮期中）角α的終邊與30°的終邊關于y軸對稱，則α＝（　　）
A．k 180°﹣30°（k∈Z） B．k 360°﹣30°（k∈Z）
C．k 180°+150°（k∈Z） D．k 360°+150°（k∈Z）
【解答】解：角α的終邊與30°的終邊關于y軸對稱，
則α＝k 360°+150°（k∈Z）．
故選：D．
4．（2025春 濰坊期中）已知圓心角為60°的扇形面積是，則這個圓心角所對的弦長為（　　）
A．2π B．2 C． D．1
【解答】解：設該扇形的半徑為r（r＞0），
由題意扇形面積Sr2，解得r（負值已舍去），
又扇形的圓心角為，
則其所對的弦長為l＝2sin．
故選：C．
5．（2025 天津開學）如果θ是第一象限角，那么恒有（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因為θ是第一象限角，
所以，
可得，
當k為奇數時，為第三象限角，，；
當k為偶數時，為第一象限角，，，
因此恒有．
故選：C．
6．（2025 北京學業考試）若，則角α可以為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根據正切函數的取值，
若，則角α可以為．
故選：C．
7．（2025春 瀘州期末）角α是第二象限角，以Ox為始邊，它的終邊與單位圓O相交于點P，且點P的縱坐標為，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由于角α是第二象限角，以Ox為始邊，它的終邊與單位圓O相交于點P，且點P的縱坐標為，
可得點P在第二象限，則點P的橫坐標為，
所以．
故選：A．
8．（2024秋 攀枝花月考）若點在角α的終邊上，則sinα的值為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由已知，點P（﹣3，），所以sinα．
故選：A．
9．（2025 蘇州三模）函數f（x）＝|sinx|+|cosx|的最小正周期為 　　 ．
【解答】解：因為f（x）＝|sin（x）|+|cos（x）|＝|sinx|+|cosx|＝f（x），
故函數f（x）的最小正周期為．
故答案為：．
10．（2024秋 通州區期末）已知函數f（x）＝cos（x），則f（x）的最小正周期是 　2π　 ；若x∈[﹣π，π]，則f（x）的單調遞減區間是 　　 ．
【解答】解：函數是余弦函數，其最小正周期為2π，
余弦函數在[2kπ，2kπ+π]上單調遞減，其中k為整數，
將代入上述區間，得到，
即，當k＝0時，單調遞減區間為，
該區間包含在[﹣π，π]內．
故答案為：．
11．（2025春 普陀區校級月考）已知ω＞0，0＜φ＜π，f（x）＝cos（ωx+φ），函數y＝f（x）的最小正周期為T，若，為y＝f（x）的零點，則ω的最小值為　　 ．
【解答】解：由題意得T，所以f（T）＝cos（ωT+φ）＝cos（2π+φ），
即cosφ，結合0＜φ＜π，可得φ，f（x）＝cos（ωx），
因為是f（x）的一個零點，
所以f（）＝cos（ω）＝0，可得ωkπ（k∈Z），
解得ω＝ 3k（k∈Z），取k＝0，可得ω的最小值為．
故答案為：．
12．（2025春 臨川區校級月考）函數f（x）＝|sinx|+2|cosx|的值域為　[1，]　 ．
【解答】解：∵f（x+π）＝|sin（x+π）|+2|cos（x+π）|＝|﹣sinx|+|﹣cosx|＝|sinx|+2|cosx|，
∴f（x）為周期函數，其中一個周期為T＝π，
故只需考慮f（x）在[0，π]的值域，
當x∈時，f（x）＝sinx+2cosx，其中，sinα，
∴，，
當x∈時，f（x）＝sinx﹣2cosx，其中cosβ，sinβ，
∴，，
綜上所述，函數f（x）的值域為[1，]．
故答案為：[1，]．
13．（2025 三明校級開學）已知，．
（1）求的值；
（2）若且，求sinβ的值．
【解答】解：（1）因為，，所以sinα，，
則；
（2）因為，，所以0＜α+β＜π．
又因為，所以，
sinβ＝sin[（α+β）﹣α]
＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα
．
14．（2025春 沈陽月考）已知．
（1）化簡函數f（x）；
（2）若f（α）＝3，求．
【解答】解：（1）
＝tanx；
（2）若f（α）＝tanα＝3，
則1．
15．（2025春 東港區校級月考）已知，且．
（1）求tanα的值．
（2）化簡．
【解答】解：（1）由題意得sin2α+cos2α1，解得m＝0或8，
根據，可知sinα≥0，cosα≤0，
當m＝0時，cosα，不符合題意，舍去；當m＝8時，sinα，cosα，符合題意．
故m＝8，可得tanα．
（2）原式．
16．（2025春 合肥校級期末）在平面直角坐標系中，銳角α，β均以Ox為始邊，終邊分別與單位圓交于點A，B，已知點A的縱坐標為，點B的橫坐標為．
（1）求tan（α﹣β）和cos2α的值；
（2）求的值；
【解答】解：（1）根據α、β均為銳角，可知點A，B都在第一象限，
結合yA，xB，可得，，
所以xA，yB，
可得，，
所以tan（α﹣β），cos2α＝2cos2α﹣1；
（2）由（1）得，
所以．
17．（2025 安徽開學）已知函數．
（1）當k＝0時，判斷f（x）的單調性；
（2）若對任意的，不等式f（x）＞0恒成立，求k的取值范圍；
（3）求證：．
【解答】解：（1），
由，則cosx∈（0，1），故，
cosx﹣1＜0，故f′（x）＞0在上恒成立，
故f（x）在上單調遞增．
（2）令F（x）＝sinx+tanx﹣2x，f（x）＞0 F（x）＞kx2，
由（1）得F（x）在上單調遞增，又F（0）＝0，
所以sinx+tanx﹣2x＞0，
（i）當k≤0時，sinx+tanx﹣2x＞0≥kx2恒成立．
（ii）當k＞0時，令p（x）＝sinx﹣x，則p′（x）＝cosx﹣1，
當時，p′（x）＜0，p（x）單調遞減，
又p（0）＝0，所以p（x）＜0，故時，sinx＜x，（*）
由（*）式可得f（x）＝sinx+tanx﹣2x﹣kx2＜tanx﹣x﹣kx2，
令g（x）＝tanx﹣x﹣kx2，則g′（x）＝tan2x﹣2kx，
由（*）式可得，
令，
故h（x）在上單調遞增，又，
所以存在使得h（t）＝0，即x∈（0，t）時，h（x）＜0，
所以x∈（0，t）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，
又g（0）＝0，所以g（x）＜0，
即x∈（0，t）時，f（x）＜0，與f（x）＞0矛盾．
綜上，滿足條件的k的取值范圍是（﹣∞，0]．
證明：（3）由，則sinx∈（0，1），tanx＞0，
要證，只需證，
即只需證，
由（2）知sinx+tanx＞2x，故只需證，
即只需證sinx tanx﹣x2＞0，令，
則，
由，當且僅當cos2x＝1時等號成立，
又cosx∈（0，1），故不能取等，即有，
則，
令，則，
故H（x）在上單調遞增，則H（x）＞H（0）＝0，
即G′（x）＞0，故G（x）在上單調遞增，則G（x）＞G（0）＝0，
即有sinx tanx﹣x2＞0，即得證．
18．（2025 丹陽市開學）已知集合，0≤x≤1}，非空集合B＝{x|ax2﹣2x+1＝0，x∈R}．
（1）若B是單元素集合且實數a∈B，求a的值并用區間表示A；
（2）若函數有兩個零點，求m的取值范圍．
【解答】解：（1）根據集合B是單元素集合，可知a＝0或，即a＝0或1，
當a＝0時，B＝{x|﹣2x+1＝0}＝{}，不滿足a∈B；
當a＝1時，B＝{x|x2﹣2x+1＝0}＝{1}，滿足a∈B．
綜上所述，a＝1，
當0≤x≤1時，，
若sin（πx），則，解得，
所以A＝{x|x≤1}＝[，1]．
（2）f（x）＝sin2（πx）﹣m+1
[1﹣cos（2πx）]﹣m+1cos（2πx）﹣m，
根據x∈A，結合A＝[，1]，可得，
若f（x）在上有兩個零點，
則cos（2πx）＝3﹣2m在上有兩個根，
即函數y＝cosx的圖象與直線y＝3﹣2m在上有兩個交點，
結合，可得，解得，
所以實數m的取值范圍為．
19．（2025 蚌山區校級開學）已知函數．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若時，不等式f（x）+m＞2恒成立，求實數m的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意得f（x）＝2（sin2xcoscos2xsin）+1＝2sin（2x）+1，
令2kπ≤2x2kπ，k∈Z，解得，
所以f（x）的單調遞減區間為；
同理求得f（x）的單調遞增區間為．
（2）不等式f（x）+m＞2在時恒成立，即不等式f（x）＞2﹣m在上恒成立，
因為，所以，
所以f（x）＝2sin（2x）+1∈[1，3]，即，
所以，解得，實數m的取值范圍為．
20．（2025春 河南期中）已知函數．
（1）求f（x）圖象的對稱中心；
（2）求函數g（x）＝log2[2﹣f（x）]的單調遞增區間；
（3）若的圖象與直線y＝a有三個交點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜x2＜x3，求sin（x1+x2+x3）的取值范圍．
【解答】解：（1）令，令，解得，函數f（x）的對稱中心為．
（2）令2﹣f（x）＝μ，則需滿足μ＞0，即2﹣2sin（2x）﹣1＝1﹣2sin（2x）＞0，
化簡可得sin（2x），則2nπ，n∈Z，
即x＜nπ，n∈Z，
因為y＝log2x在（0，+∞）單增，
令2nπ，n∈Z，解得nπx，n∈Z，
t＝1﹣2sin（2x）在[nπ，]，n∈Z上單調遞增，
即g（x）的單增區間為（kπ，kπ），k∈Z；
（3）f（x）在x∈∈0，）的圖象與直線y＝a有三個交點，即sin（2x）在上有三個解，
即與在有三個交點，
則滿足2x1π，2x33π，
所以x1+x2，x2+x3，
又，即0，
則x1+x2+x3∈[，），
所以sin（x1+x2+x3）∈（﹣1，]．
21．（2024秋 房縣校級期末）已知函數，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞減區間；
（2）求函數f（x）在區間上的最小值和最大值，并求出取得最值時x的值；
（3）求不等式﹣1≤f（x）≤1的解集．
【解答】解：（1）由已知得，f（x）的最小正周期，
令，即解得，k∈Z，
∴f（x）的單調遞減區間是，k∈Z．
（2）∵，則，
故，
∴當，即時，，
當，即，f（x）min＝﹣1；
（3）令，即，
即或，k∈Z，
解得或，k∈Z，
所以不等式的解集為．
22．（2025春 濮陽期末）已知函數f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調遞減區間；
（3）求f（x）在區間上的值域．
【解答】解：（1）由題意得f（x）的最大值為A＝2，
f（x）的周期T滿足，解得T＝π，所以ω2，
根據，函數取得最大值，可得，
結合0＜φ＜π，解得，所以；
（2）令，解得，
所以f（x）的單調遞減區間為；
（3）當時，，
所以當時，取到最小值﹣1，
當時，取到最大值，可得，
所以，即f（x）在區間上的值域為[﹣2，1]．
23．（2024秋 鄒城市校級月考）已知函數，其中ω＞0．
（1）若f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，求當時f（x）的值域；
（2）若函數f（x）在開區間內恰有3個零點，求ω的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意得f（x）的最小正周期為T＝2π，
結合π，解得ω＝2，所以，
當時，，可得，
所以，即f（x）在[0，]上的值域為；
（2）當時，，
若f（x）在開區間內恰有3個零點，則，解得．
即實數ω的取值范圍是．
24．（2025春 陜西月考）已知函數圖象的相鄰對稱軸之間的距離為，且．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對任意，都有2f（x）≥2c2﹣3c成立，求實數c的取值范圍．
【解答】解：（1）函數圖象的相鄰對稱軸之間的距離為，由函數f（x）圖象的相鄰對稱軸之間的距離為，可得，
∴，可得ω＝2，
又，可得，∵，
∴解得，
∴f（x）的解析式為．
（2）當時，，
∴，
∵對任意，都有2f（x）≥2c2﹣3c成立，
∴，即2c2﹣3c≤﹣1，解得．
∴實數c的取值范圍為．
25．（2025春 河南月考）已知函數在區間上有定義．
（1）求ω的最大值；
（2）若曲線y＝f（x）在區間（0，π）上至少有兩個對稱中心，求ω的取值范圍．
【解答】解：（1）函數在區間上有定義，
令，
依題意可得，k∈Z，
所以，
解得，
又因為ω＞0，所以當且僅當k＝0時符合題意，此時，所以0＜ω≤1．
故ω的最大值為1．
（2）令，
由y＝tanβ在區間上的對稱中心依次為：，（π，0）， ，
所以依題意只需，
此時可得，即，
故ω的取值范圍為：{ω|}．
26．（2025春 方城縣校級期末）已知函數
（1）若ω＝2，求f（x）的最小正周期與函數圖象的對稱中心；
（2）若f（x）在[0，π]上單調遞增，求ω的取值范圍；
（3）若方程在[a，b]上至少存在3022個根，且b﹣a的最小值不小于3022，求ω的取值范圍．
【解答】解：（1）若ω＝2，則f（x）＝tan（2x），可得f（x）的最小正周期T，
由，解得，所以f（x）圖象的對稱中心是；
（2）因為f（x）在[0，π]上單調遞增，
所以當x∈[0，π]時，，
可得，解得，結合ω＞0，解得；
（3）因為，所以，可得，即，
因為在[a，b]上至少存在3022個根，
所以b﹣a至少包含3021個周期，即，b﹣a的最小值為，
結合b﹣a的最小值不小于3022，可得3022，解得．
27．（2025春 望城區校級期末）已知函數．
（1）若ω＝2，求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在區間上有定義．
（i）求ω的最大值；
（ⅱ）若曲線y＝f（x）至少有兩個對稱中心在區間（0，π）上，求ω的取值范圍．
【解答】解：（1）當ω＝2時，，
則；
（2）（i）當時，，ω＞0，
若f（x）在上有定義，則，
解得ω≤1，故ω的最大值為1；
（ii）令，k∈Z，
解得，k∈Z，
則在區間（0，π）上至少有兩解，
故至少存在兩個k值使0＜3k﹣2＜6ω，
故至少有k＝1，2兩個取值，
所以，
綜上，ω的范圍為．
28．（2025春 河南月考）已知函數f（x）＝Atan（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）若將f（x）的圖象上的每個點先向右平移個單位長度，再把所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數g（x）的圖象，若g（α）＝1，求sin2α的值．
【解答】解：（1）由圖象可知周期，所以，
由，k∈Z，所以，k∈Z，因為0＜φ＜π，所以，
所以，由，得A＝2，
所以．
（2）令，解得，
所以f（x）的單調遞增區間為，無單調遞減區間．
（3）由題意得g（x）＝2tanx，所以2tanα＝1，得，
所以．
29．（2025 湖南開學）已知函數f（x）＝cosx，函數g（x）滿足9f2（x）+[g（x）﹣2]2＝9，且．
（1）求g（x）的值域；
（2）求函數h（x）＝f（x）+g（x）的最大值與最小值．
【解答】解：（1）由f（x）＝cosx，且9f2（x）+[g（x）﹣2]2＝9，
可得[g（x）﹣2]2＝9（1﹣cos2x）＝9sin2x，即g（x）＝2±3sinx，
當g（x）＝2+3sinx時，g（）＝2+3＝5，符合題意；
當g（x）＝2﹣3sinx時，g（）＝2﹣3＝﹣1，不符合題意，舍去．
綜上所述，g（x）＝2+3sinx，
結合sinx∈[﹣1，1]，可知g（x）∈[﹣1，5]，即函數g（x）的值域為[﹣1，5]；
（2）由（1）的結論，可得h（x）＝f（x）+g（x）＝cosx+3sinx+2，
所以h（x）sin（x+φ）+2，其中銳角φ滿足tanφ，
當x+φ2kπ（k∈Z）時，即xφ+2kπ（k∈Z）時，h（x）取得最大值2，
當x+φ2kπ（k∈Z）時，即xφ+2kπ（k∈Z）時，h（x）取得最小值2．
30．（2025秋 浙江月考）已知函數f（x）＝sinx+mx（x≥0）．
（1）若函數f（x）的最大值為0，求m的取值范圍；
（2）證明：當x≥0時，有sinx﹣sin3x≥﹣2x；
（3）若對任意x≥0，都有|sinx﹣sin3x|≤ax成立，求實數a的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意函數f（x）＝sinx+mx（x≥0），
求導可得f'（x）＝cosx+m，
注意到f（0）＝0，而函數f（x）的最大值為0，因此f'（0）＝1+m≤0，所以m≤﹣1，
另一方面，當m≤﹣1時，f'（x）＝cosx+m≤1+m≤0，故f（x）在[0，+∞）上單調遞減，
則f（x）≤f（0）＝0，滿足題意，
綜上所述，m的取值范圍為（﹣∞，﹣1]；
（2）證明：由（1）得當m＝﹣1時函數f（x）＝sinx﹣x在[0，+∞）單調遞減，
又3x≥x≥0，因此sinx﹣x≥sin3x﹣3x，即sinx﹣sin3x≥﹣2x成立．
（3）因sinx﹣sin3x＝sin（2x﹣x）﹣sin（2x+x）＝
＝sin2xcosx﹣cos2xsinx﹣sin2xcosx﹣cos2xsinx
＝﹣2cos2x sinx，
則ax≥sinx﹣sin3x＝﹣2cos2x sinx，
當時，cos2x sinx≥0，則ax≥﹣2cos2x sinx，
令h（x）＝2cos2x sinx﹣ax，，則h′（x）＝2cos2x cosx﹣4sin2x sinx﹣a，
因h（x）≤0在上恒成立，且h（0）＝0，則h'（0）＝2﹣a≤0，即a≥2，
下面證明a≥2時，sinx﹣sin3x≤ax成立：
由（2）得sinx﹣sin3x≥﹣2x≥﹣ax，下面證明sinx﹣sin3x≤2x，
即證明sinx+x≤sin3x+3x，
令g（x）＝sinx+x≥0，則g′（x）＝cosx+1≥0，因此g（x）單調遞增，
則g（3x）≥g（x），即sinx﹣sin3x≤2x成立；
綜上所述，實數a的取值范圍為[2，+∞）．
31．（2025春 雅安期末）已知函數f（x）＝cos4x+asin4x+bsinxcosx．
（1）當a＝﹣1，b＝﹣2時，求f（x）在上的最小值；
（2）當a＝b＝1時，方程f（x）＝m在內有兩個不相等的實數根x1，x2．
（i）求實數m的取值范圍；
（ii）證明：．
【解答】解：（1）當a＝﹣1，b＝﹣2時，f（x）＝cos4x﹣sin4x﹣2sinxcosx＝cos2x﹣sin2x；
由于，所以，
所以當，即時，f（x）取得最小值，最小值為．
（2）（i）當a＝b＝1時，f（x）＝cos4x+sin4x+sinxcosx，
所以
，
若，則，令t＝sin2x∈（0，1），則，
方程f（x）＝m在上有兩個不相等的實數根x1，x2，
即存在兩個不相等的t1，t2滿足，其中t1＝sin2x1，t2＝sin2x2，
因為的對稱軸為，在上單調遞增，在上單調遞減，
當t＝0或1時，y＝1，當時，，
所以，且t1+t2＝1．
證明：（ii）由（i），t1+t2＝1，即sin2x1+sin2x2＝1，
不妨設t1＜t2，則，即，
又，所以，則，故，
假設，則，即，
故，
所以，又sin2x1+sin2x2＝1，
所以，即，這與前面矛盾，故假設錯誤，
所以．
32．（2024秋 貴陽期末）已知曲線C：f（x）＝cosωxsinωx的兩條相鄰對稱軸間的距離為．
（1）求ω的值和f（x）的單調區間；
（2）先將C向右平移個單位長度得到曲線C1，再把C1上各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到曲線C2：y＝g（x），求g（x）在區間[0，π]上的最大值與最小值．
【解答】解：（1）f（x）＝cosωxsinωx＝2sin（），
由于兩條相鄰對稱軸間的距離為，故函數的最小值正周期為π，
所以ω＝2；
故函數f（x）＝2sin（2x）；
令（k∈Z），整理得：（k∈Z），
故函數的單調遞增區間為[]（k∈Z）．
令（k∈Z），整理得kπ（k∈Z），
故函數的單調遞減區區間為[]（k∈Z）．
（2）先將C向右平移個單位長度得到曲線C1的函數圖象y＝2sin（2x），再把C1上各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到曲線C2：y＝g（x）＝2sin（x）的圖象．
由于x∈[0，π]，
所以，
故，故g（x）∈[﹣1，2]．
當x＝0時，函數的最小值為﹣1，當x時，函數的最大值為2．
33．（2025 涪城區校級模擬）在△ABC中，A、B為銳角且B＜A，sinA，sin2B．
（1）求角C的值；
（2）求證：5cosAcos（A+3B）＝2sinB．
【解答】解：（1）∵A為銳角，sinA
∴cosA（2分）
∵B＜A，sinA，
∴B＜45°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∵sin2B，
∴cos2B
∴cosB，sinB（4分）
cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB
∴C＝135°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）證明：左邊＝5cosAcos（π﹣C+2B）＝﹣5cosAcos（C﹣2B）＝﹣5cosA[cosCcos2B+sinCsin2B]＝﹣5（）22sinB＝右邊
從而得證．
34．（2025春 河南期中）如圖，角α的終邊與單位圓交于點，且x＜0．
（1）求tanα；
（2）求．
【解答】解：（1）（1）在單位圓上，可得，
結合x＜0，故，故，
故；
（2）原式．
35．（2024秋 赤坎區校級期末）已知sinα+cosα＝m，
（1）若，求tanα的值；
（2）若，且，求實數m的值．
【解答】解：（1），
∴（sinα﹣cosα）2＝0，
∴sinα＝cosα，即tanα＝1．
（2）或，
而，，
∴．
36．（2024秋 昌黎縣校級月考）已知關于x的方程的兩個根分別為sinθ和cosθ，且θ∈（﹣2π，0）．
（1）求的值；
（2）求m的值；
（3）求方程的兩根及θ的值．
【解答】解：（1）因為關于x的方程的兩個根分別為sinθ和cosθ，
所以，
可得；
（2）由于，
可得，
可得，解得；
（3）由（2）可知，，
可得，其兩根為，
可得或，
又由于θ∈（﹣2π，0），
可得或．
37．（2025春 乾縣期末）水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點出發，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時60秒．經過t．秒后，水斗旋轉到P點，設點P的坐標為（x，y），其縱坐標滿足y＝f（t）＝Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，）．
（1）求函數f（t）的解析式；
（2）當t∈[35，55]時，求點P到x軸的距離的最大值．
【解答】解：（1）由題意知，R6，T＝60，所以ω，
由題意f（0）＝﹣3，即﹣3＝6sinφ，
又|φ|，則φ，所以f（t）＝6sin（t）．
（2）由（1）知f（t）＝6sin（t），
當t∈[35，55]時，t∈[π，]，
所以，即|f（t）|∈[0，6]，
所以點P到x軸的距離的最大值為6．
38．（2024秋 鹽津縣期末）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪最低點距離地面高度為10m，轉盤半徑為50m，設置有24個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30min．在運行一周的過程中：
（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動tmin后距離地面的高度為Hm，求H關于t的函數解析式；
（2）求游客甲從坐上摩天輪之后，距離地面高度超過85m的時長；
（3）若甲、乙兩人座艙編號之差的絕對值等于2，（座艙編號沿順時針依次編號）求兩人距離地面的高度差h（單位：m）關于t的函數解析式，并求高度差的最大值．（精確到個位）
參考數據：，．
【解答】解：（1）如圖，設座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心O為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系.
設t＝0min時，游客甲位于點P（0，﹣50），以OP為終邊的角為，
根據摩天輪轉一周大約需要30min，可知座艙轉動的角速度約，
由題意可得，0≤t≤30．
（2）在運行一周的過程中，由0≤t≤30，則，
令，可得，
則，解得10＜t＜20．
所以游客甲從坐上摩天輪之后，距離地面高度超過85m的時長為10min．
（3）由甲、乙兩人座艙編號之差的絕對值等于2，
如圖，甲、乙兩人的位置分別用點A，B表示，
不妨設點B相對于A始終落后，
則，
經過tmin后，甲距離地面的高度為，
點B相對于A始終落后，
此時乙距離地面的高度，
則甲、乙高度差，
利用，
可得，0≤t≤30，
當或，即或，
所以，
則將參考數據，代入，
得hmax≈25×1.41×0.73＝25.7352≈26m，
所以甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為26m．
39．（2025春 棲霞區校級期中）如圖，已知扇形AOB的圓心角為，半徑為1，C是弧AB上任意一點，作矩形CDEF內接于該扇形．
（1）設∠AOC＝α，試用α表示矩形CDEF的面積，并指出α的取值范圍；
（2）點C在什么位置時，矩形CDEF的面積最大？并說明理由．
【解答】解：（1）由題意，
則CF＝DE＝sinα，OF＝cosα，
在Rt△ODE中，，則，
于是矩形CDEF的面積S矩形CDEF＝EF×CF
，其中；
（2）由（1）可得，
因為，可得，
當，即當時，矩形CDEF的面積最大，最大值為，此時點C是弧AB的中點．
40．（2025春 金山區校級期中）如圖，角α的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點A（x1，y1），將射線OA繞點O按逆時針方向旋轉后與單位圓相交于點B（x2，y2），設函數y＝f（α），f（α）＝y1+y2．
（1）當時，求y1，y2的值；
（2）求f（α）的單調增區間；
（3）函數y＝h（x），的最小值為，求實數λ的值．
【解答】解：（1）因為角α的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點A（x1，y1），
所以當時，，；
（2）依題意，f（α）＝y1+y2
＝sinαsinαcosα
，
由，解得，
可得f（α）的單調遞增區間為；
（3）由（2）得，
令，則t∈[﹣1，1]，
函數的圖象是開口方向向下，對稱軸為的拋物線，
①當，即λ≤1時，，解得λ＝0；
②當，即λ＞1時，，解得λ＝2，
所以實數λ的值為λ＝0或λ＝2．

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