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數列：數列遞推問題、數列新定義問題、數列插項問題專項訓練
考點目錄
數列遞推問題 數列新定義問題
數列插項問題
1．（25-26高三上·廣東肇慶·開學考試）已知數列的前項和為，，且，則（ ）
A．1012 B．2024 C． D．2025
【答案】C
【詳解】由可得，故，
由可得
故是周期為3的周期數列，且，
故，
故選：C
2．（25-26高三上·河北邢臺·開學考試）已知數列的首項，且滿足，則（ ）
A．2037 B．2047 C．1014 D．1021
【答案】A
【詳解】由可得，即，
又，可得，
所以數列是以2為公比，2為首項的等比數列，
即，所以，
所以.
故選：A.
3．（24-25高二上·湖北孝感·階段練習）數列滿足：，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由，可得，
利用累加法可得,
化簡得，則.
故選：C.
4．（25-26高三上·江西·階段練習）已知數列滿足，則中的項小于0的有（ ）
A．0項 B．5項 C．6項 D．無數項
【答案】B
【詳解】由，
可得：，又，
所以數列是以為首項，公差為的等差數列，
所以，
所以，
由，可得：，且，
所以中的項小于0的有項，
故選：B
5．（2025·四川綿陽·模擬預測）已知數列滿足，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由題設，即
，且，
所以，
由滿足上式，故.
故選：B
6．（24-25高三上·云南大理·開學考試）在數列中，，且，則數列的前2025項和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由，可得，
所以，
，
…
.
以上各式相加得：，
所以，
而也符合該式，故.
則.
設的前項和為，則，
從而.
故選：B
7．（24-25高二下·河南焦作·期末·多選）已知數列中，，，則（ ）
A．是遞增數列 B．，
C．， D．數列的前項和為
【答案】ACD
【詳解】對于A，因為，，所以，
則，所以是遞增數列，故A正確；
對于B，因為，所以，故B錯誤；
對于C，因為，，所以，
所以，變形得，
用累乘法可得，所以，故C正確；
對于D，因為，
所以，所以，
所以，故D正確.
故選：ACD.
8．（24-25高二下·遼寧·期末·多選）已知數列各項均為正數，其前項和滿足．則下列結論正確的有（ ）
A．的第2項小于 B．
C．為遞減數列 D．中存在小于的項．
【答案】ACD
【詳解】對于A，當時，，所以，因為數列各項均為正數，解得，
當時，，所以，所以，
解得，
因為數列各項均為正數，故，故A正確；
對于B，由，得，當時，可得，
兩式相減得，所以，所以，
解得，
因為數列各項均為正數，所以，
又，由選項可得：顯然無意義，故B錯誤；
對于C，因為，則得，
所以為遞減數列，故C正確；
對于D，假設對，都有，則，
所以，與已知矛盾，即假設不成立，
所以數列中存在小于的項，故D正確．
故選：ACD．
9．（25-26高三上·貴州·開學考試·多選）已知數列滿足，其中，則（ ）
A．
B．為等差數列
C．數列的前項和為
D．數列的前99項和大于
【答案】BCD
【詳解】對于A，由題意，數列滿足，可得，故A錯誤；
對于B，因為，所以為常數，且，
所以數列為首項為，公差為的等差數列，故B正確；
對于C，由選項B可知，所以，所以，
所以數列的前項和為，故C正確；
對于D，由可知，所以，
因為對都有，所以，
所以數列的前99項和，故D正確.
故選：BCD
10．（25-26高三上·云南臨滄·開學考試）已知數列滿足，，則數列的通項公式為 ．
【答案】
【詳解】因為，所以
，
而也滿足上式，因此數列的通項公式為.
故答案為：
11．（2025·浙江寧波·模擬預測）數列是正項數列，若，且，，則 ．
【答案】3
【詳解】因為，，所以，，
即，，
又因為，所以，，
因為，，所以，
所以，
所以.
故答案為：3.
12．（25-26高三上·四川成都·開學考試）數列滿足，則的前項和為 ．
【答案】
【詳解】因為，即，
當時，，當時，，
當時，，當時，，
當時，，
所以，
故答案為：.
13．（24-25高二下·浙江杭州·期末）數列滿足．
(1)證明數列是單調遞增數列；
(2)若是中連續的三項，證明：不可能成等比數列；
(3)證明：不存在正的常數M，使對所有的成立．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
【詳解】（1）由題意證明如下，，
在數列中，，，
∴，
即，
∴，
∴是以為首項，為公比的等比數列，
∴，
∴，即（），
∴，
，
∴數列是單調遞增數列.
（2）由題意及（1）證明如下，，
在數列中，，
∴，，，
∴
∴
∴不可能成等比數列.
（3）由題意（1）及（2）證明如下，，
在數列中，，單調遞增，
且當時，，
∴不存在正的常數M，使對所有的成立.
14．（25-26高三上·廣東·開學考試）在正項數列中，，且．
(1)求的通項公式；
(2)若數列滿足，求的前項和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由，可得，
因數列為正項數列，故，
則有，又，
所以是首項為3，公差為3的等差數列，
則，
故.
（2）由（1）已得，則，
所以
.
15．（25-26高二上·甘肅張掖·階段練習）在正項數列中，，且.
(1)求的通項公式；
(2)若數列滿足，求的前項和.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由可得，
所以，
因為是正項數列，，所以，即，
所以數列是首項，公差的等差數列，
所以.
（2）由（1）可得，
所以.
16．（24-25高二上·福建莆田·階段練習）已知數列滿足，且．
(1)求的值；
(2)求證：數列是等差數列，并求出數列的通項公式；
(3)求數列的前項和．
【答案】(1)，；
(2)證明見解析，；
(3)
【詳解】（1），，；
（2），∴，，
即，又，
∴數列是等差數列，且該數列首項為，公差為，
∴，，∴．
（3）①
①－②得：，
∴．
17．（25-26高三上·湖南長沙·開學考試）已知數列中，，，令
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由，得，
令，得，
因為，所以，
所以數列是以為首項，為公差的等差數列，即.
（2）由（1）可得，
，
，
兩式相減可得，
化簡可得，
所以.
18．（25-26高三上·安徽·開學考試）已知各項均為正數的數列滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：∵，∴，∴
∵，∴，∴，∴，
又，∴數列是以為首項，1為公差的等差數列，
∴，
∴數列的通項公式是:；
（2）由(1)知，
∴①，
①式左右兩端同乘以，得
②，
①-②，得，
所以數列的前項和．
1．（2025·內蒙古呼和浩特·二模）南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》中討論過高階等差數列，高階等差數列是指逐項差數之差或者高次差相等的數列，例如數列1，3，6，10，15，…的逐項差，，，，，…構成一個等差數列，則數列1，3，6，10，15，…是一個高階等差數列（二階等差數列），現有一個高階等差數列，其前5項為2，3，6，11，18，則其第8項是（ ）
A．38 B．51 C．66 D．83
【答案】B
【詳解】由，
，
，
，可知：
，即
，即
，即，
即第8項是，
故選：B
2．（24-25高二下·湖北·期中）定義：在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新數列，這樣的操作叫作該數列的一次“美好成長”.將數列進行“美好成長”，第一次得到數列；第二次得到數列；，設第次“美好成長”后得到的數列為，記，則下列說法錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．數列的通項公式為
【答案】C
【詳解】對A選項，根據題意可得：，A選項正確；
對B選項，設每次插入項的個數構成數列，則，
數列是以首項為1，公比為2的等比數列，
數列的前項和即為，，B選項正確；
對C選項，
，C選項錯誤；
對D選項，由B選項分析可得，又，
，又，
是以首項為，公比為3的等比數列，
，D選項正確．
故選：C．
3．（24-25高二上·安徽黃山·期末）定義：對任意，都有（為常數），稱數列為“等和”數列.設“等和”數列的首項為 ，直線過定點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由直線變形得：
，當時，
所以直線過定點，即，
由數列為“等和”數列且（為常數），
所以，
所以等和”數列的奇數項為1，偶數項為2，
所以
，
故選：D.
4．（2025·上海寶山·二模）若對任意正整數，數列的前項和都是完全平方數，則稱數列為“完全平方數列”.有如下兩個命題：①若數列的前項和，（為正整數），則使得數列為“完全平方數列”的值有且僅有一個；②存在無窮多個“完全平方數列”的等差數列. 則下列選項中正確的是（ ）
A．①是真命題， ②是真命題； B．①是真命題， ②是假命題；
C．①是假命題， ②是真命題； D．①是假命題， ②是假命題.
【答案】A
【詳解】對于①，數列的前項和（為正整數），
當時，，
當時，不滿足上式，所以，
當，時，，
所以數列與原數列相同，所以，
所以當時，數列為完全平方數列，
當時，不是“完全平方數，
所以當時，數列不是完全平方數列，
綜上所述：數列為“完全平方數列”，故①是真命題；
對于②，因為為完全平方數，故，
若，則，若對任意的，均為完全平方數，
則，否則假設為的素因數，且恰好整除，為正整數，
若為奇數，則不是完全平方數，矛盾，
若為偶數，取，則不是完全平方數，矛盾，
若，則，
若，取，則或，
當為偶數時，此時，均不是完全平方數，
當為奇數時，取，，為奇數，
故此時不是完全平方數，
故，即，故，設，故，
當時，，
又適合上式，即.
故存在無窮多個“完全平方數列”的等差數列，故②是真命題.
故選：A.
5．（24-25高二下·北京順義·期中）已知函數，數列滿足，.
給出下列四個結論，其中正確的是（ ）
A．若，則有4個不同的可能取值
B．若，則
C．對于任意，存在正整數，使得
D．對于任意大于2的正整數，存在，使得
【答案】D
【詳解】對于A，，所以，
若，當時，，解得．
當時，則，解得，
當時，則，解得；
當時，，解得，
當時，則，解得，
當時，則，解得（舍去）；
綜上可得：可以取3個不同的值：7，，，故A錯誤；
對于B，，則數列是周期為5的數列，
若，因，
則，，，
，，故B錯誤；
對于C，當時，，，，
所以不存在正整數，，故C錯誤．
對于D，先考慮數列的周期性，
對于，則，，
，，，要使是周期數列，
則有，解得，
從而存在，使得數列是周期數列，周期為，
從而要使周期為，只需，即即可，故D正確．
故選：D
6．（2025·上海·三模）設數列的各項均為非零的整數，其前項和為．設為正整數，若為正偶數時，都有恒成立，且，則的最小值為（ ）
A．0 B．22 C．26 D．31
【答案】B
【詳解】因為，所以互為相反數，不妨設，
要使得取最小值，取奇數項為正值，取偶數項為負值，且各項盡可能小，
由題意知，滿足，取的最小值為，
則滿足，因為，故取的最小值，
滿足，因為，，故取的最小值，
同理，取的最小值，所以，
滿足，取的最小值，
滿足，因為，所以，取的最小值，
滿足，因為，所以，取的最小值，
同理，取的最小值，所以，
所以，
因為數列的各項均為非零的整數，，所以當時，有最小值22．
故選：B．
7．（2025·內蒙古包頭·模擬預測·多選）將所有正整數按照如下規律形成如下數陣M：
第1行 1 2 3 …… 7 8 9
第2行 10 11 12 …… 97 98 99
第3行 100 101 102 …… 997 998 999
第4行 1000 1001 1002 …… 9997 9998 9999
…………
將上述M數陣中的數進行如下操作，如果該正整數中相鄰兩位數字（從左到右）出現12，則將該正整數去掉，其余數保持原有順序不變，得到一個新數陣Q，記新數陣Q第行正整數的個數為，則以下說法正確的有（ ）
A．
B．
C．是等差數列
D．將數列與數列的公共項按照從小到大的順序排列得到數列，則位于數陣M中的第2行第7個位置（從左向右數）
【答案】ABD
【詳解】對于A，因第2行的正整數有 個，依題意去掉 ，即得，故A正確；
對于B，當時，顯然．當時，第2行2位數有90個，其中只有12去掉，故
當時，第3行3位數有900個，其中有兩種情況去掉：百位和十位分別為12，
此時有10個符合，十位和個位分別為12個符合，此時有9個，故．
當時，將第行個符合條件的位正整數分為兩類：
①個位數字不等于2時，個位數字有9種取法，前面位數有種取法，這時位正整數中有個；
②個位數字等于2時，前面位數有種取法，但這個位正整數中十位數字等于1的個正整數要去掉．
故個位數字等于2且十位數字不等于1的位正整數有個．
綜上，由分類加法計數原理知．B正確；
對于C，由前面分析，可得，，，，
記，
則，
，
，
則，
故不是等差數列，即C錯誤；
對于D，因數列展開為：，而數列展開為：，
依題意可知則，位于數陣M中的第2行第7個位置（從左向右數），故D正確.
故選：ABD.
8．（2025·湖南岳陽·三模·多選）已知有窮數列的通項公式為，其項數不少于4項，從中選取項組成數列，數列滿足，，則（ ）
A．數列是單調數列 B．當時，
C．當時， D．數列的個數為
【答案】BCD
【詳解】因為數列滿足，即必須在和之間，
無法滿足單調性，所以A錯誤；
對于B，當時，各項大小關系為：
；
或者
從而或，
故，B正確；
當時，同B的分析可得：
或：
，
而各項均為正整數，故，C正確；
從項中選項有種方式，由BC的分析可得：
當時，各項的排列次序唯一確定，且為所有項中的最大項，
為所有項中的最小項，為余下項的最大項，為余下項中的最小值，
類似確定；
當時，同理可得各項的排列次序唯一確定；
故數列的個數為，D正確.
故選：BCD.
9．（25-26高三上·遼寧·開學考試·多選）設數列和的項數均為m，稱為數列和的距離．記滿足的所有數列構成的集合為C．已知數列和為集合C中的兩個元素，項數均為m，則下列說法正確的是（ ）
A．數列1，3，5，7和數列2，4，6，8的距離為4
B．若，則
C．若則
D．若數列和的距離不超過2025，則m的最大值為3470
【答案】ABD
【詳解】對于A，數列1，3，5，7和數列2，4，6，8的距離為，正確；
對于B，由得，
所以數列為以4為周期的周期數列，且，
記，則，
則，
同理，記，可得，正確；
對于C，，錯誤；
對于D，因為所以，，
因為，所以項數越大，數列和的距離越大，
因為，，
所以，
所以數列和的距離不超過2025，則m的最大值為3470，正確.
故選：ABD
10．（25-26高三上·四川成都·開學考試）若數列的相鄰兩項或幾項之間的關系由函數確定，則稱為的遞歸函數；為取整函數，它表示不超過x的最大整數，例如，；設的遞歸函數為，，且，的前n項和記為，若，則為 ．
【答案】10120
【詳解】已知，，，
則，
因為，所以，，即為以為首項，6為公比的等比數列.
則.
所以，即.
當時，.
因為當時，由,可得，
所以當時，.
故當時，
又，則，
故對于任意，，
所以.
所以.
故答案為：.
11．（25-26高三上·北京順義·階段練習）數列為無窮非負整數數列，若對任意，均存在，且，使，則稱數列為“完備數列”.給出下列四個結論：
①若正項等差數列為“完備數列”，則首項一定為1；
②若正項等比數列為“完備數列”，則公比一定為2；
③若滿足，則對任意，數列均為“完備數列”；
④若滿足，則數列為“完備數列”；
其中正確結論的序號是 .
【答案】①④
【詳解】若正項等差數列為“完備數列”，則，公差，又為非負整數數列，
對任意，均存在，且，使，
若，則必有，故不成立，矛盾，
所以，①對；
若正項等比數列為“完備數列”，如，此時公比為1，
顯然滿足對任意，均存在，且，使，②錯；
當，則，，，，，，
所以是以3為周期，即項周期性出現，
顯然為奇數時，不可能成立，③錯；
由，則數列為，
該數列中，相鄰兩項間缺失的自然數都可以由前項選出其中的項相加(同一項不重復相加)得到，
所以對任意，均存在，且，使，④對.
故答案為：①④
12．（24-25高二下·北京豐臺·期末）已知數列滿足，給出下列四個結論：
①當時，對任意的，都有；
②當時，對任意的，都有；
③當時，存在，使數列是常數列；
④當時，存在，使數列是遞減數列．
其中所有正確結論的序號是 ．
【答案】①③④
【詳解】對于①：當時，則，有，與的取值無關，故①正確；
對于②：當時，當時，
，
故②錯誤；
對于③：當時，，由數列是常數列，則，
，，滿足題意，故③正確；
對于④：當時，，因為數列是遞減數列，
則，，即，
則有，令，則，解得，
所以，即，故，下證成立：
當時，成立；
假設當 時，不等式成立，即，
由，得到；
則當時，，即證明，
構造函數，，
因為，，，，故單調遞增，由，
，故有，
即，證畢.故④正確.
故答案為：①③④
13．（24-25高二下·湖南衡陽·期末）在數列中，，且．
(1)求的通項公式．
(2)證明：．
(3)若數列中存在兩項，，使得，則稱為數列的等項數對．證明：的等項數對唯一．
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
【詳解】（1）因為，，所以，
所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，
所以，得．
（2）設，
則，
則，
因為，所以．
（3）由（1）知，，
當時，，當時，，
所以，注意到，
，，，，，
所以的等項數對唯一，且唯一等項數對為．
14．（25-26高三上·湖南長沙·階段練習）已知是項正整數數列，令，其中.若對任意的中均無相同的項，則稱數列為“和差單值”數列.
(1)判斷8，4，2，1，2，4，8是否為“和差單值”數列.
(2)已知，其中為兩兩不同的正整數，問：是否為“和差單值”數列？請說明理由．
(3)證明：若的最大值不超過，則一定不是“和差單值數列”.
【答案】(1)是“和差單值”數列
(2)是“和差單值”數列，理由見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1）對于：8，4，2，1，2，4，8，
若不是“和差單值”數列，
則存在以及，使得，
則．
1為該數列中唯一奇數．
若，則，為奇數，矛盾
若，則只能是或或，
這里的，枚舉可得均不成立，
故是“和差單值”數列.
（2）由（1）可得，若不是“和差單值”數列，則存在以及，
使得，即，
設中最小值為，則，
只能是，
由于為偶數，而,
故為奇數，不可能為0，故矛盾，假設不成立，
是“和差單值”數列.
（3）數列共有項，且恒成立，
取，
由，可知，
又，則至多有個不同的值，
故中必有兩個值相等，故一定不是“和差單值”數列.
15．（2025·河北衡水·模擬預測）已知數列的前項和為，若數列滿足，則稱數列是“方特數列”.
(1)證明：數列是“方特數列”；
(2)若數列是“方特數列”，求的取值范圍；
(3)證明：當時，數列是“方特數列”.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)證明見解析
【詳解】（1）當時，，
，
∴數列滿足，即數列是“方特數列”.
（2）當時，，
，滿足條件；
當時，，
∵數列是“方特數列”，
∴，.
∴，∴且，
綜上所述，當數列是“方特數列”時，的取值范圍為.
（3）當時，由（1）知滿足條件，
當且時，，
，
∴，
∴，
，
設，∴，
當時，單調遞增；當時，單調遞減，∴，
∴，
綜上所述，當時，數列是“方特數列”.
16．（24-25高二下·江蘇南京·期末）已知數列的前項和為，若存在常數，使得對任意都成立，則稱數列具有性質．
(1)若數列的通項公式，求證：數列具有性質；
(2)設數列的各項均為正數，且具有性質．
①若數列是公比為的等比數列，且，求的值：
②求的最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)①；②4
【詳解】（1）因為，所以，
所以數列是以為公差，為首項的等差數列，
所以，
所以，
即，所以數列具有性質；
（2）①由數列具有性質得，
又等比數列的公比為，
若，則，
解得，與為任意正整數相矛盾，
當時，，
而，整理得，
若，則，
解得，與矛盾，
若，則，
當時，恒成立，滿足題意，
當且時，，
解得，與矛盾，
所以；
②由，得，
即，因此，當且僅當時取等號，
即，則有，
由數列各項均為正數，
得，從而，即，
若，則，與矛盾，
因此當時，恒成立，符合題意，
所以的最小值為4．
17．（25-26高三上·江蘇·階段練習）將項數，公比的等比數列中的項重新隨機排列，得到新數列.若在數列中任意抽取連續三項，總有某一項為另外兩項的等比中項，則稱為“差續數列”.
(1)當時，寫出所有“差續數列”（用中的項表示）；
(2)若，證明：當時，必定存在“差續數列”；
(3)若是“差續數列”，證明：存在正整數，使得或.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1）.
（2）不妨設無窮數列滿足：，
易知，
所以的任意連續三項的某一項均為另外兩項的等比中項，
此時，取的前項，即可得到“差續數列”，即證.
（3）若是“差續數列”，不妨設在中對應項，
由題意知，中某項為另外兩項的等比中項
所以中某項為另外兩項的等比中項.
記，可得或或
不妨設為中的最小項，
則對于，
設，
則當時，，當時，，
即當時，，當時，，
由于，所以.其中，
為中的最大項.
所以.左式顯然為整數，而為正整數，故
所以必然存在，所以存在正整數或.
18．（25-26高三上·北京·開學考試）已知為給定的正整數，．數列，，若對于任意的，，都有，則稱互為逆序數列．
(1)已知，分別判斷下面數列是否為的逆序數列，并說明理由．
①；②．
(2)若，數列為等差數列，其前項和為，，．數列與數列互為逆序數列，求數列的公差的取值范圍；
(3)對于固定的正整數，，總有，，且數列互為逆序數列，求的最大值．
【答案】(1)數列不是的逆序數列，數列是的逆序數列.
(2).
(3)
【詳解】（1）因為數列，由，
但，不滿足條件；
數列，由，
，，
符合條件.
所以數列不是的逆序數列，數列是的逆序數列.
（2）由題意，數列的通項公式為，
前項和為，
因為數列與數列互為逆序數列，
所以對于任意的，，故，
若，則，故，
故，矛盾；
若，則，故，
故，故即.
綜上公差的取值范圍為.
（3）因為數列互為逆序數列，故時，，必定成立，
故為的一個排列，，
其中，
設，，則在中有項比小，有項比大，
故在中項比大，有項比小，
故當時，，當時，，
故，其中.
若為偶數，設，則.
當時，
;
當時，
.
故此時.
若為奇數，設，則.
當時，
;
當時，
.
當時，；
當時，；
故此時.
綜上，.
1．（24-25高二下·山西太原·階段練習）在與15之間插入5個數，使這7個數成等差數列，則插入的5個數之和為（ ）
A．21 B．24 C．27 D．30
【答案】D
【詳解】設插入的5個數依次為，則數列成等差數列，
因此，解得，
所以.
故選：D
2．（24-25高二下·湖北·期中）定義：在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新數列，這樣的操作叫作該數列的一次“美好成長”.將數列進行“美好成長”，第一次得到數列；第二次得到數列；，設第次“美好成長”后得到的數列為，記，則下列說法錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．數列的通項公式為
【答案】C
【詳解】對A選項，根據題意可得：，A選項正確；
對B選項，設每次插入項的個數構成數列，則，
數列是以首項為1，公比為2的等比數列，
數列的前項和即為，，B選項正確；
對C選項，
，C選項錯誤；
對D選項，由B選項分析可得，又，
，又，
是以首項為，公比為3的等比數列，
，D選項正確．
故選：C．
3．（24-25高二下·河南南陽·期中）已知，在數列的每相鄰兩項與之間插入個1，使它們和原數列的項構成一個新的數列，記新數列的前項和為，則（ ）
A．150 B．151 C．170 D．171
【答案】C
【詳解】解：由題意知之間插入1個之間插入2個之間插入4個之間插入8個1，
之間插入16個之間插入32個之間插入64個1，
由于，
故數列的前100項含有的前7項和93個1，
故．
故選：C
4．（2025·安徽·模擬預測）數列擴充是指在一個有窮數列中按一定規則插入一些項得到一個新的數列，擴充的次數記為.擴充規則為每相鄰兩項之間插入這兩項的平均數.現對數列1，3進行構造，第1次得到數列1，2，3；第2次得到數列1，，2，，3；…依次構造，記第次得到的數列的所有項之和為，則（ ）
A．510 B．514 C．1022 D．1026
【答案】B
【詳解】設第次構造后得的數列為1，，3，則，
則第次構造后得到的數列為1，，，，，…，，，3，
于是，，
顯然，而，
因此數列是以4為首項，2為公比的等比數列，
則，即，
所以.
故選：B
5．（24-25高二下·廣東佛山·階段練習·多選）已知等差數列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入3個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列，是數列的前項和.以下說法正確的是（ ）
A． B．是數列的第8項
C．當時，最大 D．是公差為的等差數列
【答案】ABC
【詳解】由等差數列的首項，公差，可得，
對于A中，根據題意，可得，，所以公差為，
所以數列的通項公式為，所以A正確；
對于B中，由，令，解得，所以B正確；
對于C中，令，解得，
所以或時，取得最大值，所以C正確；
對于D中，由，可得，
則，
所以是公差為的等差數列，所以D錯誤.
故選：ABC.
6．（24-25高二上·湖南·期末·多選）已知等差數列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列，以下說法正確的有（ ）
A．
B．當時，
C．當時，是數列中的項
D．若是數列的項，則的值不可能為7
【答案】ABC
【詳解】對于A，由題意得，A正確；
對于B，當時，數列的首項為2，公差為，故，B正確；
對于C，由B選項可知，令，解得，所以是數列的第8項，C正確；
對于D，插入個數，則，，，，…，所以等差數列中的項在等差數列中對應的項的序號是以1為首項，為公差的等差數列，即，若是數列的項，令，當時，，D錯誤.
故選：ABC.
7．（23-24高三上·山東青島·期末）某同學在研究構造新數列時發現：在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，再把所得數列按照同樣的方法不斷構造出新的數列.將數列1，2進行構造，第1次得到數列1，3，2；第2次得到數列；...第次得到數列；記，則 ； .
【答案】
【詳解】，，
，依次類推，得到
，
故.
故答案為：42，-3
8．（24-25高二下·安徽淮北·開學考試）習近平總書記在黨的二十大報告中提出：堅持以人民為中心發展教育，加快建設高質量教育體系，發展素質教育，促進教育公平，加快義務教育優質均衡發展和城鄉一體化.某師范大學學生會為貫徹黨的二十大精神，成立“送教下鄉志愿者服務社”，分期分批派遣大四學生赴鄉村支教.原計劃第一批派遣20名學生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人數暴漲，服務社臨時決定改變派遣計劃，具體規則為：把原計劃擬派遣的各批人數依次構成的數列記為，在數列的任意相鄰兩項與之間插入個3，使它們和原數列的項構成一個新的數列.按新數列的各項依次派遣支教學生.記為派遣70批學生后支教學生的總數，則的值為 .
【答案】390
【詳解】數列滿足，
，
在任意相鄰兩項與之間插入個3，
其中之間插入2個之間插入4個之間插入8個之間插入16個，
之間插入32個之間插入64個.
又，
數列的前71項含有前6項和65個3，
故.
故答案為：390.
9．（2025·湖南常德·模擬預測）記為數列的前項和，.
(1)求數列的通項公式；
(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求數列的前2025項和.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）為數列的前項和，，
時，，則，
時，由，得，
兩式相減可得，即，
數列是首項為，公比為的等比數列，則；
（2）由題設，可得，
記的前項和為，因為，為正整數，
則.
10．（2025·安徽蕪湖·二模）已知數列的前n項和為，且，.
(1)求的通項公式；
(2)保持的各項順序不變，在和之間插入k個1，使它們與數列的項組成一個新的數列，記的前n項和為，求.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由，得，
則，即，
又，滿足，所以，
所以是首項是，公比為的等比數列，故；
（2）由題知，數列的其余項為1，
則
.
11．（24-25高二下·廣東廣州·期末）已知數列的前項和為，且．
(1)求，及數列的通項公式；
(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，
①設（），求；
②若都有不等式成立，求的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)①；②
【詳解】（1）由得，，時，，兩式相減得，
即，又，所以數列為公比為2的等比數列，
所以；
（2）①由（1）得，，
在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，則，即，則，所以，
則，，
兩式相減可得
，所以；
②因為都有不等式成立，
所以恒成立，
，
當時，，即，
當時，，即，
所以，所以.
12．（24-25高二下·四川綿陽·期末）已知正項數列的前項和為，且滿足，數列為公比大于0的等比數列，且，．
(1)求；
(2)若在與之間插入個1，由此構成一個新的數列，求的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【詳解】（1）當時，且，解得，
當時，，
∴，
即，則，
∵，則，所以，
∴是以1為首項，1為公差的等差數列，所以，
設數列的公比為，則，
即，解得：，所以；
（2）根據題意，在與之間插入個1，
即在1和2之間插入個1；在2和3之間插入個1；
在3和4之間插入個1；在4和5之間插入個1；
在5和6之間插入個1，
到6時，恰好有項，故．
13．（24-25高二下·天津·期末）已知等差數列滿足．已知數列的前n項和為，且滿足．
(1)求數列，的通項公式；
(2)設，求的前2n項和
(3)設，在和之間插入1個數，使，，成等差數列；在和之間插入2個數，使成等差數列；以此類推，在和之間插入n個數使（成等差數列，若，求．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【詳解】（1）設等差數列的公差為d（），
由題意，可得，
故數列的通項公式，
當時，，解得．當時，，
所以，即，
而，故，故，
∴數列是以2為首項，2為公比的等比數列，
所以．
（2）
所以
；
（3）因為，設
則
設，所以
兩式相減得
，
所以，
設，
所以.
14．（24-25高二下·山西呂梁·期中）數列擴充是指在一個有窮數列中按一定規則插入一些項得到一個新的數列，擴充的次數記為，n次擴充后的新數列記為，項數記為，所有項的和記為．擴充規則為每相鄰兩項之間插入這兩項的和，如：數列經過一次擴充后得到數列，．已知數列．
(1)求；
(2)求；
(3)求數列的前n項和．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【詳解】（1）由可得，因此；
則，因此；
則，因此；
（2）因為數列經一次擴充后是在原來數列的相鄰兩項中增加一項，
所以經第次擴充后增加的項數為，
因此，所以，
因為，所以可得數列是以4為首項，公比為2的等比數列，
所以，即；
設經過第次擴充后數列的各項為，
則，因為擴充規則為每相鄰兩項之間插入這兩項的和，
所以
；
可得，
又，因此是以首項為3，公比為3的等比數列，故可得.
（3）由（2）可知，
所以可得
；
令，則；
兩式相減可得；
所以可得；
即.數列：數列遞推問題、數列新定義問題、數列插項問題專項訓練
考點目錄
數列遞推問題 數列新定義問題
數列插項問題
1．（25-26高三上·廣東肇慶·開學考試）已知數列的前項和為，，且，則（ ）
A．1012 B．2024 C． D．2025
2．（25-26高三上·河北邢臺·開學考試）已知數列的首項，且滿足，則（ ）
A．2037 B．2047 C．1014 D．1021
3．（24-25高二上·湖北孝感·階段練習）數列滿足：，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·江西·階段練習）已知數列滿足，則中的項小于0的有（ ）
A．0項 B．5項 C．6項 D．無數項
5．（2025·四川綿陽·模擬預測）已知數列滿足，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·云南大理·開學考試）在數列中，，且，則數列的前2025項和為（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·河南焦作·期末·多選）已知數列中，，，則（ ）
A．是遞增數列 B．，
C．， D．數列的前項和為
8．（24-25高二下·遼寧·期末·多選）已知數列各項均為正數，其前項和滿足．則下列結論正確的有（ ）
A．的第2項小于 B．
C．為遞減數列 D．中存在小于的項．
9．（25-26高三上·貴州·開學考試·多選）已知數列滿足，其中，則（ ）
A． B．為等差數列
C．數列的前項和為 D．數列的前99項和大于
10．（25-26高三上·云南臨滄·開學考試）已知數列滿足，，則數列的通項公式為 ．
11．（2025·浙江寧波·模擬預測）數列是正項數列，若，且，，則 ．
12．（25-26高三上·四川成都·開學考試）數列滿足，則的前項和為 ．
13．（24-25高二下·浙江杭州·期末）數列滿足．
(1)證明數列是單調遞增數列；
(2)若是中連續的三項，證明：不可能成等比數列；
(3)證明：不存在正的常數M，使對所有的成立．
14．（25-26高三上·廣東·開學考試）在正項數列中，，且．
(1)求的通項公式；
(2)若數列滿足，求的前項和．
15．（25-26高二上·甘肅張掖·階段練習）在正項數列中，，且.
(1)求的通項公式；
(2)若數列滿足，求的前項和.
16．（24-25高二上·福建莆田·階段練習）已知數列滿足，且．
(1)求的值；
(2)求證：數列是等差數列，并求出數列的通項公式；
(3)求數列的前項和．
17．（25-26高三上·湖南長沙·開學考試）已知數列中，，，令
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和．
18．（25-26高三上·安徽·開學考試）已知各項均為正數的數列滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前項和．
1．（2025·內蒙古呼和浩特·二模）南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》中討論過高階等差數列，高階等差數列是指逐項差數之差或者高次差相等的數列，例如數列1，3，6，10，15，…的逐項差，，，，，…構成一個等差數列，則數列1，3，6，10，15，…是一個高階等差數列（二階等差數列），現有一個高階等差數列，其前5項為2，3，6，11，18，則其第8項是（ ）
A．38 B．51 C．66 D．83
2．（24-25高二下·湖北·期中）定義：在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新數列，這樣的操作叫作該數列的一次“美好成長”.將數列進行“美好成長”，第一次得到數列；第二次得到數列；，設第次“美好成長”后得到的數列為，記，則下列說法錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．數列的通項公式為
3．（24-25高二上·安徽黃山·期末）定義：對任意，都有（為常數），稱數列為“等和”數列.設“等和”數列的首項為 ，直線過定點，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·上海寶山·二模）若對任意正整數，數列的前項和都是完全平方數，則稱數列為“完全平方數列”.有如下兩個命題：①若數列的前項和，（為正整數），則使得數列為“完全平方數列”的值有且僅有一個；②存在無窮多個“完全平方數列”的等差數列. 則下列選項中正確的是（ ）
A．①是真命題， ②是真命題； B．①是真命題， ②是假命題；
C．①是假命題， ②是真命題； D．①是假命題， ②是假命題.
5．（24-25高二下·北京順義·期中）已知函數，數列滿足，.
給出下列四個結論，其中正確的是（ ）
A．若，則有4個不同的可能取值
B．若，則
C．對于任意，存在正整數，使得
D．對于任意大于2的正整數，存在，使得
6．（2025·上海·三模）設數列的各項均為非零的整數，其前項和為．設為正整數，若為正偶數時，都有恒成立，且，則的最小值為（ ）
A．0 B．22 C．26 D．31
7．（2025·內蒙古包頭·模擬預測·多選）將所有正整數按照如下規律形成如下數陣M：
第1行 1 2 3 …… 7 8 9
第2行 10 11 12 …… 97 98 99
第3行 100 101 102 …… 997 998 999
第4行 1000 1001 1002 …… 9997 9998 9999
…………
將上述M數陣中的數進行如下操作，如果該正整數中相鄰兩位數字（從左到右）出現12，則將該正整數去掉，其余數保持原有順序不變，得到一個新數陣Q，記新數陣Q第行正整數的個數為，則以下說法正確的有（ ）
A．
B．
C．是等差數列
D．將數列與數列的公共項按照從小到大的順序排列得到數列，則位于數陣M中的第2行第7個位置（從左向右數）
8．（2025·湖南岳陽·三模·多選）已知有窮數列的通項公式為，其項數不少于4項，從中選取項組成數列，數列滿足，，則（ ）
A．數列是單調數列 B．當時，
C．當時， D．數列的個數為
9．（25-26高三上·遼寧·開學考試·多選）設數列和的項數均為m，稱為數列和的距離．記滿足的所有數列構成的集合為C．已知數列和為集合C中的兩個元素，項數均為m，則下列說法正確的是（ ）
A．數列1，3，5，7和數列2，4，6，8的距離為4
B．若，則
C．若則
D．若數列和的距離不超過2025，則m的最大值為3470
10．（25-26高三上·四川成都·開學考試）若數列的相鄰兩項或幾項之間的關系由函數確定，則稱為的遞歸函數；為取整函數，它表示不超過x的最大整數，例如，；設的遞歸函數為，，且，的前n項和記為，若，則為 ．
11．（25-26高三上·北京順義·階段練習）數列為無窮非負整數數列，若對任意，均存在，且，使，則稱數列為“完備數列”.給出下列四個結論：
①若正項等差數列為“完備數列”，則首項一定為1；
②若正項等比數列為“完備數列”，則公比一定為2；
③若滿足，則對任意，數列均為“完備數列”；
④若滿足，則數列為“完備數列”；
其中正確結論的序號是 .
12．（24-25高二下·北京豐臺·期末）已知數列滿足，給出下列四個結論：
①當時，對任意的，都有；
②當時，對任意的，都有；
③當時，存在，使數列是常數列；
④當時，存在，使數列是遞減數列．
其中所有正確結論的序號是 ．
13．（24-25高二下·湖南衡陽·期末）在數列中，，且．
(1)求的通項公式．
(2)證明：．
(3)若數列中存在兩項，，使得，則稱為數列的等項數對．證明：的等項數對唯一．
14．（25-26高三上·湖南長沙·階段練習）已知是項正整數數列，令，其中.若對任意的中均無相同的項，則稱數列為“和差單值”數列.
(1)判斷8，4，2，1，2，4，8是否為“和差單值”數列.
(2)已知，其中為兩兩不同的正整數，問：是否為“和差單值”數列？請說明理由．
(3)證明：若的最大值不超過，則一定不是“和差單值數列”.
15．（2025·河北衡水·模擬預測）已知數列的前項和為，若數列滿足，則稱數列是“方特數列”.
(1)證明：數列是“方特數列”；
(2)若數列是“方特數列”，求的取值范圍；
(3)證明：當時，數列是“方特數列”.
16．（24-25高二下·江蘇南京·期末）已知數列的前項和為，若存在常數，使得對任意都成立，則稱數列具有性質．
(1)若數列的通項公式，求證：數列具有性質；
(2)設數列的各項均為正數，且具有性質．
①若數列是公比為的等比數列，且，求的值：
②求的最小值．
17．（25-26高三上·江蘇·階段練習）將項數，公比的等比數列中的項重新隨機排列，得到新數列.若在數列中任意抽取連續三項，總有某一項為另外兩項的等比中項，則稱為“差續數列”.
(1)當時，寫出所有“差續數列”（用中的項表示）；
(2)若，證明：當時，必定存在“差續數列”；
(3)若是“差續數列”，證明：存在正整數，使得或.
18．（25-26高三上·北京·開學考試）已知為給定的正整數，．數列，，若對于任意的，，都有，則稱互為逆序數列．
(1)已知，分別判斷下面數列是否為的逆序數列，并說明理由．
①；②．
(2)若，數列為等差數列，其前項和為，，．數列與數列互為逆序數列，求數列的公差的取值范圍；
(3)對于固定的正整數，，總有，，且數列互為逆序數列，求的最大值．
1．（24-25高二下·山西太原·階段練習）在與15之間插入5個數，使這7個數成等差數列，則插入的5個數之和為（ ）
A．21 B．24 C．27 D．30
2．（24-25高二下·湖北·期中）定義：在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新數列，這樣的操作叫作該數列的一次“美好成長”.將數列進行“美好成長”，第一次得到數列；第二次得到數列；，設第次“美好成長”后得到的數列為，記，則下列說法錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．數列的通項公式為
3．（24-25高二下·河南南陽·期中）已知，在數列的每相鄰兩項與之間插入個1，使它們和原數列的項構成一個新的數列，記新數列的前項和為，則（ ）
A．150 B．151 C．170 D．171
4．（2025·安徽·模擬預測）數列擴充是指在一個有窮數列中按一定規則插入一些項得到一個新的數列，擴充的次數記為.擴充規則為每相鄰兩項之間插入這兩項的平均數.現對數列1，3進行構造，第1次得到數列1，2，3；第2次得到數列1，，2，，3；…依次構造，記第次得到的數列的所有項之和為，則（ ）
A．510 B．514 C．1022 D．1026
5．（24-25高二下·廣東佛山·階段練習·多選）已知等差數列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入3個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列，是數列的前項和.以下說法正確的是（ ）
A． B．是數列的第8項
C．當時，最大 D．是公差為的等差數列
6．（24-25高二上·湖南·期末·多選）已知等差數列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列，以下說法正確的有（ ）
A．
B．當時，
C．當時，是數列中的項
D．若是數列的項，則的值不可能為7
7．（23-24高三上·山東青島·期末）某同學在研究構造新數列時發現：在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，再把所得數列按照同樣的方法不斷構造出新的數列.將數列1，2進行構造，第1次得到數列1，3，2；第2次得到數列；...第次得到數列；記，則 ； .
8．（24-25高二下·安徽淮北·開學考試）習近平總書記在黨的二十大報告中提出：堅持以人民為中心發展教育，加快建設高質量教育體系，發展素質教育，促進教育公平，加快義務教育優質均衡發展和城鄉一體化.某師范大學學生會為貫徹黨的二十大精神，成立“送教下鄉志愿者服務社”，分期分批派遣大四學生赴鄉村支教.原計劃第一批派遣20名學生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人數暴漲，服務社臨時決定改變派遣計劃，具體規則為：把原計劃擬派遣的各批人數依次構成的數列記為，在數列的任意相鄰兩項與之間插入個3，使它們和原數列的項構成一個新的數列.按新數列的各項依次派遣支教學生.記為派遣70批學生后支教學生的總數，則的值為 .
9．（2025·湖南常德·模擬預測）記為數列的前項和，.
(1)求數列的通項公式；
(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求數列的前2025項和.
10．（2025·安徽蕪湖·二模）已知數列的前n項和為，且，.
(1)求的通項公式；
(2)保持的各項順序不變，在和之間插入k個1，使它們與數列的項組成一個新的數列，記的前n項和為，求.
11．（24-25高二下·廣東廣州·期末）已知數列的前項和為，且．
(1)求，及數列的通項公式；
(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，
①設（），求；
②若都有不等式成立，求的取值范圍．
12．（24-25高二下·四川綿陽·期末）已知正項數列的前項和為，且滿足，數列為公比大于0的等比數列，且，．
(1)求；
(2)若在與之間插入個1，由此構成一個新的數列，求的值．
13．（24-25高二下·天津·期末）已知等差數列滿足．已知數列的前n項和為，且滿足．
(1)求數列，的通項公式；
(2)設，求的前2n項和
(3)設，在和之間插入1個數，使，，成等差數列；在和之間插入2個數，使成等差數列；以此類推，在和之間插入n個數使（成等差數列，若，求．
14．（24-25高二下·山西呂梁·期中）數列擴充是指在一個有窮數列中按一定規則插入一些項得到一個新的數列，擴充的次數記為，n次擴充后的新數列記為，項數記為，所有項的和記為．擴充規則為每相鄰兩項之間插入這兩項的和，如：數列經過一次擴充后得到數列，．已知數列．
(1)求；
(2)求；
(3)求數列的前n項和．

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