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統計與概率：事件的獨立性、條件概率、全概率公式與貝葉斯公式專項訓練
考點目錄
事件的獨立性 條件概率
全概率公式與貝葉斯公式
1．（24-25高二上·黑龍江大慶·階段練習）已知事件，滿足，，則（ ）
A．若，則 B．若與相互獨立則
C．若與相互獨立，則 D．若與互斥，則
【答案】D
【詳解】對于A，若，則，所以A錯誤；
對于B，若與相互獨立，不互斥，所以B錯誤；
對于C，若與相互獨立，可得與相互獨立，
所以，所以C錯誤；
對于D，若與互斥，則，所以D正確.
故選：D.
2．（25-26高二上·黑龍江大慶·開學考試）在一次校園安全知識競賽中，甲 乙 丙同時回答一道題，每人回答問題正確與否相互獨立，甲答對的概率是，甲 乙兩人都答對的概率是，乙 丙兩人都答錯的概率是，則甲 乙 丙三人中，至少有一人答對該題的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】記事件：甲答對這道題；事件:乙答對這道題；事件：丙答對這道題.
由題可知：事件相互獨立，且,
所以
因為，所以,所以
因為事件相互獨立，所以事件相互獨立.
所以所以.
所以
即沒有人答對該題的概率為：
所以至少有一人答對該題的概率為：
故選：C.
3．（25-26高三上·重慶·開學考試）已知事件和事件相互獨立，為事件的對立事件．若，則（ ）
A．0.24 B．0.56 C．0.76 D．0.84
【答案】C
【詳解】由得，
由以及事件和事件相互獨立得，
所以.
故選：C.
4．（25-26高二上·云南·開學考試）甲、乙兩人每人投籃一次，投中的總次數記為.已知甲、乙投籃命中的概率分別為，，且甲、乙投籃命中的結果相互獨立，則的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意，表示甲乙只有一人投中，
所以.
故選：B
5．（24-25高一下·湖南衡陽·期末）如圖，已知電路中4個開關每個斷開的概率都是，且是相互獨立的，則燈亮的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意，燈泡不亮包括四個開關都開，丙丁2個都開且甲乙2個中有一個開另一個閉，
這三種情況是互斥的，每一種情況中的事件都是相互獨立的，
所以燈泡不亮的概率為，
所以燈泡亮的概率為.
故選：C.
6．（25-26高二上·河北張家口·開學考試）拋擲一枚質地均勻的骰子一次，設“出現的點數為偶數”為事件A，“出現的點數大于4”為事件B，則下述正確的是（ ）
A．A與B對立 B．A與B互斥
C．A與B相互獨立 D．
【答案】C
【詳解】拋擲一枚骰子的所有可能結果是：；
事件A包含的結果是：；
事件B包含的結果是：.
因為沒包含所有可能結果（如1，3沒包含在內），A與B不對立，故A錯誤；
因為，A與B不互斥，故B錯誤；
因為，，
因此A與B相互獨立，故C正確；
，，而，故D錯誤.
故選：C.
7．（25-26高二上·山東日照·開學考試·多選）設為兩個事件，且，下列說法正確的有（ ）
A．若互斥，則 B．若互斥，則
C．若獨立，則 D．若獨立，則
【答案】BCD
【詳解】對于A，若互斥，則，A錯誤；
對于B，若互斥，則，B正確；
對于C，若獨立，則，C正確；
對于D，若獨立，則，D正確，
故選：BCD
8．（24-25高一下·貴州遵義·階段練習·多選）先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“兩枚都正面向上”，則（ ）
A．A與B相互獨立 B．A與C相互獨立
C．A與D相互獨立 D．B與D互斥
【答案】ABD
【詳解】先后拋擲兩枚硬幣出現的結果有：正正，正反，反正，反反四種情況，
則事件A包含正正，正反兩種情況；事件B包含正反，反反兩種情況；
事件C包含正反，反正兩種情況；事件D包含正正一種情況；
所以，
顯然，，
，，即ABD正確.
故選：ABD
9．（25-26高二上·安徽·階段練習·多選）已知是隨機事件，且，則下列說法正確的有（ ）
A．與可能為互斥事件
B．若，則與相互獨立
C．若，則
D．若與相互獨立，則
【答案】BC
【詳解】選項A：因為，所以，與不可能為互斥事件，A說法錯誤；
選項B：因為，所以若，則與相互獨立，B說法正確；
選項C：若，則，C說法正確；
選項D：若與相互獨立，則與也相互獨立，證明如下：
因為與互斥，且，
所以，
所以，即與也相互獨立，
所以，
因為，所以，
代入得，D說法錯誤；
故選：BC
10．（25-26高二上·福建南平·開學考試）甲 乙兩人每人投籃一次，投中的總次數記為.已知甲 乙投籃命中的概率分別為且甲 乙投籃命中的結果相互獨立，則的概率是 .
【答案】/
【詳解】由題意可得.
故答案為：
11．（25-26高二上·河北邢臺·開學考試）張華和李明二人進行一場游戲比賽，且比賽中不存在平局，先贏三局者獲勝，并可以獲得1000元獎金．已知張華、李明二人在每局比賽中獲勝的可能性均相同．已知當張華連贏兩局，李明一局未贏時，因某種特殊情況需要終止比賽．現將1000元獎金按兩人各自最終獲勝的可能性的比例進行分配，則張華應該分得 元．
【答案】875
【詳解】由題意，如果比賽繼續，李明需要連贏三局才能獲勝，
因張華和李明二人在每局比賽中獲勝的可能性均相同，
則李明連贏三局獲勝的概率為，張華獲勝的概率為，
所以張華應分得獎金的，李明應分得獎金的，即張華應該分得元．
故答案為：875
12．（25-26高二上·安徽·階段練習）已知甲 乙兩人參加闖關活動，活動一共設置兩關.甲每關闖關成功的概率均為，乙每關闖關成功的概率均為，且甲 乙兩人闖關成功與否互不影響，則甲 乙兩人總共至少有三關闖關成功的概率是 .
【答案】/
【詳解】設事件“甲有關闖關成功”，“乙有關闖關成功”，，
則，，
，，
設甲、乙兩人總共至少有三關闖關成功的事件為，則，
.
故答案為：.
13．（2025·福建三明·模擬預測）甲、乙兩人進行拋硬幣比賽．兩人分別拋擲一枚均勻硬幣，如果拋出“正面朝上”，則得1分，如果拋出“反面朝上”，則得0分．甲和乙分別拋擲3次后，如果兩人得分相差大于1分，比賽終止；如果兩人分數相差不大于1分，則由乙再進行一次拋擲后比賽終止，該次拋擲若為“正面朝上”，則乙得分不變，若為“反面朝上”，則乙得分減1分．按照規定，比賽終止時甲得分高于乙的概率為 ．
【答案】/0.5
【詳解】拋擲3次，得0分的概率，得1分的概率，
得2分的概率，得3分的概率，
甲和乙分別拋擲3次后，分為兩人分數差大于1分和不大于1分兩種情況，
當兩人分數差大于1分時，甲得分高于乙包括“甲得3分乙得0分”、“甲得3分乙得1分”、“甲得2分乙得0分”三種情況，
總的概率為，
當兩人分數差不大于1分時，乙再進行一次拋擲后甲得分高于乙包括“得分差為0，乙投反面”、
“甲的得分比乙的得分高1分，此時無論乙再次拋擲的結果如何，甲的得分都將高于乙”兩種情況，
總的概率
，
所以比賽終止時甲得分高于乙的概率.
故答案為：.
14．（25-26高三上·山東·開學考試）電視臺組織有獎答題活動，指定了三道題目，選手有兩種答題方案可選.
方案一：回答這三道題目，至少有兩道答對則獲得獎金；
方案二：在三道題中，隨機選兩道，這兩道題都答對則獲得獎金.
假設小明對三道指定題目答對的概率分別為（均不為1），且三道題目是否答對相互之間沒有影響.
(1)分別求小明選擇方案一和方案二時獲得獎金的概率；
(2)要想使獲得獎金的可能性更大，小明應選擇哪種答題方案 請根據數據計算說明.
【答案】(1)答案見解析；
(2)選擇第一種答題方案.
【詳解】（1）設小明選擇方案一獲得獎金的概率為，
則，
設小明選擇方案二獲得獎金的概率為，
則，
（2）由
，
因為，所以，
即，
則，
故小明應選擇第一種答題方案.
15．（25-26高三上·江西·階段練習）某知識競賽中有三類問題.參賽者從這三類問題中抽取兩個問題進行回答，要求這兩個問題屬于不同類別.回答正確一個A，B，C類問題分別得30分，20分，10分，回答錯誤得0分.已知甲參與了該競賽，且甲能正確回答類問題的概率分別為，每道問題回答正確與否相互獨立，設甲的累計得分為.
(1)若甲從兩類問題中各抽取一個問題回答，求的分布列及期望；
(2)為使得累計得分更高，試分析，甲應該從哪兩類問題中抽取問題回答.
【答案】(1)分布列見詳解，.
(2)從兩類問題中抽取問題回答得分更高.
【詳解】（1）設甲回答類問題正確為事件，回答類問題正確為事件，
則. 累計得分可以取以下幾種情況：，
，
，
，
，
所以的分布列為：
所以.
（2）從兩類問題中抽取一個問題回答， 設甲回答類問題正確為事件，
則. 累計得分可以取以下幾種情況：，
，
，
，
，
所以的分布列為：
所以.
從兩類問題中抽取一個問題回答， 累計得分可以取以下幾種情況：，
，
，
，
，
所以的分布列為：
所以.
結合(1)，因為，所以甲應該從兩類問題中各抽取問題回答.
16．（25-26高三上·江蘇南通·開學考試）江蘇城市足球聯賽（俗稱“蘇超”）火爆出圈，某城市文旅部門推出“看球賽抽獎品”活動，到該城市觀看比賽的球迷可抽獎獲得紀念品．規則如下：抽獎3次，每次抽中紀念品的概率均為．若前2次未抽中紀念品，則第3次無論抽中與否均獲得紀念品．
(1)求某球迷恰好獲得1個紀念品的概率；
(2)記x為某球迷獲得第1個紀念品時的抽獎次數，求x的數學期望．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設每次抽中紀念品為事件，未抽中為事件 ，且， .
記 為“恰好獲得1個紀念品”，則有以下可能情況：
第1次中，第2次未中，第3次未中：；
第1次未中，第2次中，第3次未中：；
第1、2兩次均未中，則第3次必得：；
所以.
（2）記x為某球迷獲得第1個紀念品時的抽獎次數，則 的可能取值為1,2,3.
；
；
.
分布列
.
17．（25-26高三上·北京順義·開學考試）近年來，中國機器人科技水平在政策支持、技術創新及市場需求的多重驅動下實現了顯著提升，尤其在工業機器人、服務機器人及特種機器人領域表現突出.國內某科技公司致力于服務機器人的發展與創新，近期公司生產了甲、乙、丙三款不同的智能送餐機器人，并對這三款機器人的送餐成功率進行了測試，獲得數據如下表：
甲款機器人 乙款機器人 丙款機器人
測試次數 50 100 100
成功次數 20 60 80
假設每款機器人的測試結果相互獨立，用頻率估計概率.
(1)估計甲款機器人單次送餐成功的概率；
(2)若讓這三款機器人分別執行1次送餐任務，求恰好成功兩次的概率；
(3)若讓這三款機器人分別執行10次送餐任務，設成功的次數分別為，，，直接寫出方差，，的大小關系.
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）設甲款機器人單次送餐成功的概率為，則；
（2）設乙款機器人單次送餐成功的概率為，設丙款機器人單次送餐成功的概率為，
所以，
所以恰好成功兩次的概率為
；
（3）由題意有，
所以，
所以.
18．（25-26高二上·浙江·開學考試）2025年6月23日雷霆隊以大比分戰勝步行者隊捧起奧布萊恩杯.眾所周知，總決賽采取7場4勝制，當兩隊大比分戰成，第5場比賽被稱為“天王山之戰”.現假設甲乙兩支隊伍闖入總決賽，首戰甲獲勝的概率為，每場結束后，敗方在下一場獲勝的概率提高為，每場比賽結果相互獨立.
(1)求兩場后雙方戰成的概率；
(2)若首戰乙勝，求再戰三場雙方戰至后甲在“天王山之戰”中獲勝的概率；
(3)求甲乙不需要進行第七場比賽的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）設事件“第場比賽甲獲勝”，事件“第場比賽乙獲勝”，
事件“兩場后雙方戰成1：1”，
所以
故有.
（2）記所求事件為，包含的所有結果：
所以
（3）記為只進行場比賽的概率
①只進行四場比賽的結果：則對應的概率為
②只進行五場比賽甲獲勝的結果：，
乙獲勝的結果：
③只進行六場比賽甲獲勝的結果：
，
，
，，
乙獲勝的結果：
，
，
，，
6場比賽甲獲勝的概率
對應乙獲勝的概率所以
綜上，甲乙不需要進行第七場比賽的概率為
1．（24-25高二下·湖南衡陽·期末）一個體育隊有4名女運動員和3名男運動員，現從隊伍抽樣尿檢，每次從中抽選1個運動員，抽出的運動員不再檢查，則在第1次抽到女運動員的條件下，第2次抽到男運動員的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】用事件表示“第1次抽到女運動員”，事件表示“第2次抽到男運動員”，
第1次抽到女運動員包括第1次女第2次男：種，兩次均為女種，
共種，
從所有運動員中依次取2名共有種，
則，，則，
則在第1次抽到女運動員的條件下，第2次抽到男運動員的概率為.
故選：C
2．（25-26高三上·山東青島·開學考試）盒中裝有個紅球和個藍球，小球除顏色外均相同．甲、乙兩人先后從盒中隨機取出個球，記錄顏色后放回．已知兩人取出的球顏色相同，則兩人取出的球同為藍色的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】記事件兩人取出的球顏色相同，事件兩人取出的球同為藍色，則，
則，，
由條件概率公式可得，
故選：C.
3．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知，是樣本空間中的隨機事件，，若，，，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，
.
又，
所以.
故選：A
4．（24-25高二下·重慶沙坪壩·期末）語文老師想了解全班同學課外閱讀中國古典四大名著的情況，經調查，全班同學中閱讀過《紅樓夢》的占，閱讀過《三國演義》的占，閱讀過《紅樓夢》或《三國演義》的占，現從閱讀過《三國演義》的同學中隨機抽取一位同學，該同學閱讀過《紅樓夢》的概率為（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75
【答案】D
【詳解】設事件A：閱讀過《紅樓夢》；事件B：閱讀過《三國演義》，
則，則，
而，即，
故，
故，
即現從閱讀過《三國演義》的同學中隨機抽取一位同學，該同學閱讀過《紅樓夢》的概率為0.75，
故選：D
5．（25-26高三上·廣東·開學考試）某校積極開展社團活動，學期結束時，社團老師對參加社團的同學進行選擇性考核．某社團有小明、小剛等5位同學參加，現選3位同學參加考核，則在小明被選中的條件下，小剛被選中的概率為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設事件為“小明被選中參加考核”，事件為“小剛被選中參加考核”，
則，,
所以,
故選：.
6．（25-26高三上·廣東深圳·開學考試）已知隨機變量均服從兩點分布，且，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由兩點分布分別求得的概率，再，由求出，由條件概率公式計算.
【詳解】隨機變量均服從兩點分布，
，，
又，
，由條件概率公式，
故選：D.
7．（25-26高三上·廣東·開學考試·多選）擲一枚質地均勻的骰子，可等可能的得到1~6點，現投擲一次這枚骰子，記得到1點或2點或3點為事件，事件，與為兩兩互不相同的隨機事件，且，，則（ ）
A．存在事件B，使得 B．存在事件C，使得
C．存在事件B，C，使得 D．存在事件B，C，使得
【答案】ACD
【詳解】若事件：4點；事件：5點，則事件為不可能事件，則，故A正確；
因事件，則，故B錯誤；
若事件：4點或5點；事件：5點，則事件：5點，
則，故C正確；
若事件：1點或2點或4點；事件：2點或3點或5點或6點，則事件：2點，
則，，，，
則，故D正確.
故選：ACD
8．（23-24高二下·云南麗江·期末·多選）已知甲口袋中裝有3個紅球，1個白球，乙口袋中裝有2個紅球，1個白球，這些球只有顏色不同．先從甲口袋中隨機取出1個球放入乙口袋，再從乙口袋中隨機取出1個球．記從甲口袋中取出的球是紅球、白球分別為事件、，從乙口袋中取出的球是紅球為事件，則下列結論正確的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【詳解】對于A，由于甲口袋中裝有4個球，其中有1個白球，所以，故A錯誤；
對于B，若從甲口袋中取出的球是白球，則此時乙口袋中有2個紅球，2個白球，
從而此條件下從乙口袋中取出的球是紅球的概率為，故B正確；
對于C，由于甲口袋中裝有4個球，其中有3個紅球，所以，
若從甲口袋中取出的球是紅球，則此時乙口袋中有3個紅球，1個白球，
從而此條件下從乙口袋中取出的球是紅球的概率為，
所以，故C正確；
對于D，結合以上分析，
，故D正確.
故選：BCD.
9．（2025·江蘇南通·模擬預測·多選）某校開展“強國有我，筑夢前行”主題演講比賽，共有6位男生，4位女生進入決賽.現通過抽簽決定出場順序，記事件A表示“第一位出場的是女生”，事件B表示“第二位出場的是女生”，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根據題意求解概率，即可結合條件概率以及并事件的概率公式求解.
【詳解】由題意可得，故C正確，
，則，故B正確，A錯誤，
，故D錯誤，
故選：BC
10．（25-26高三上·江蘇鎮江·開學考試）若，則 .
【答案】
【詳解】由，得,
即，
故,
故答案為：
11．（25-26高三上·江蘇·開學考試）已知，則 .
【答案】/0.8
【詳解】因為，
所以，
故，
故答案為：
12．（25-26高三上·天津紅橋·開學考試）袋中大小相同的3個紅球，5個白球，從中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是 ．
【答案】
【詳解】設事件為第一次取出白球，事件為第二次取出白球，
因袋中一共有8個球，第一次取出白球的概率，此時袋中還剩下個球，其中白球個，
那么第一次和第二次都取出白球的概率為，
由條件概率公式，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是.
故答案為：
13．（25-26高三上·天津東麗·開學考試）某校團委舉辦《在青春的賽道上，我們都是追光者》主題演講比賽，經過初賽，共7人進入決賽，其中高一年級2人，高二年級3人，高三年級2人，現采取抽簽方式決定演講順序，設事件為“高一年級2人不相鄰”，事件為“高二年級3人相鄰”，則 .
【答案】/
【詳解】由題意，先將高二和高三年級的5個人全排列，有種排法，將高一年級2人進行插空，有種排法，
所以事件 “高一年級2人不相鄰”的排法有種排法.
將高二年級3人進行全排列，有種排法，再將高二年級3人看作一個整體，和高三年級的2人進行全排列，有種排法，
排好后，將高一年級的2人進行插空，有種排法，所以事件共有種排法.
所以，.
故答案為：.
14．（24-25高二下·河北秦皇島·期中）溺水是指人淹沒于水或其他液體中，水與污泥、雜草等物堵塞呼吸道和肺泡，或因咽喉、氣管發生反射性痙攣，引起窒息和缺氧，肺泡失去通氣、換氣功能，使機體處于危急狀態，由此導致呼吸、心搏停止而致死亡.某校為了普及防溺水安全教育知識，在全校組織了一次防溺水安全教育知識競賽，經過初賽、復賽，甲、乙兩個代表隊（每隊3人）進入了決賽.規定每人回答一個問題，答對者為本隊贏得10分，答錯者得0分.假設甲隊中3人答對的概率分別為，乙隊中每人答對的概率均為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響.
(1)記隨機變量為甲隊的總得分，求的分布列和數學期望；
(2)在甲、乙兩隊總得分之和等于30分的條件下，求甲隊得分不低于乙隊得分的概率.
【答案】(1)分布列見解析，期望為20
(2)
【詳解】（1）的所有可能取值為0，10，20，30，
，
，
，
，
所以的分布列為：
0 10 20 30
的數學期望為；
（2）設甲、乙兩隊總得分之和等于30分為事件，甲隊得分不低于乙隊得分為事件，
設隨機變量為甲隊的總得分，隨機變量為乙隊的總得分，隨機變量為甲、乙兩隊總得分之和，
則，
而的所有可能取值為0，10，20，30，的所有可能取值為0，10，20，30，
由題意，，
所以，由（1）知，，，
則
，
，
故所求為.
15．（25-26高三上·天津·階段練習）甲、乙兩人進行象棋比賽，賽前每人有3面小紅旗.一局比賽后輸者需給贏者一面小紅旗，若是平局不需要給小紅旗，當其中一方無小紅旗時，比賽結束，有6面小紅旗者最終獲勝，根據以往的兩人比賽結果可知，在一局比賽中甲勝的概率為0.5，乙勝的概率為0.4．
(1)若第一局比賽后甲的小紅旗個數為X，求X的分布列和數學期望；
(2)若比賽一共進行五局，求第一局是乙勝的條件下，甲最終獲勝的概率（結果保留兩位有效數字）．
【答案】(1)分布列見解析，期望為3.1；
(2)0.48
【詳解】（1）X的可能取值為2,3,4，
，，，
故分布列如下：
2 3 4
0.4 0.1 0.5
數學期望為；
（2）設比賽一共進行五局，第一局是乙勝為事件，
比賽一共進行五局，甲最終獲勝為事件，
則事件表示第一局乙勝，剩下四局均為甲勝，
其中事件包含三種情況，①第二，三，四局中，乙勝一局，平兩局，第五局乙勝，
②第二，三局中，乙勝一局，甲勝一局，第四，五局乙勝，③第二，三，四，五局甲勝，
則，
其中，
故
16．（25-26高三上·浙江·開學考試）某商場推出購物抽獎活動，盒子里放有10個相同小球，其中4個紅球，6個藍球，顧客從盒中不放回地抽取3個球，若恰好抽到3個紅球為一等獎，獎金為100元，恰好抽到2個紅球為二等獎，獎金為50元，其余不設獎.
(1)在抽取的前兩個球為1個紅球1個藍球的條件下，則該次抽獎獲得二等獎概率是多少？
(2)求抽獎一次獲得獎金的期望.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）在抽取的前兩個球為1個紅球1個藍球的條件下，
要使該次抽獎獲得二等獎，則抽取的第3個球一定為紅球，
而此時總共有8個球，其中有3個紅球，5個藍球，
因此，在抽取的前兩個球為1個紅球1個藍球的條件下，該次抽獎獲得二等獎概率是.
（2）設抽獎一次獲得獎金為，則的取值為，
所以，，
則，
則.
17．（25-26高三上·四川成都·開學考試）一批零件共有12件，其中有3件次品，現不放回地隨機抽取4件進行檢驗.
(1)求抽到的次品數的分布列；
(2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率.
【答案】(1)分布列見解析
(2)
【詳解】（1）的可能取值為，
，
，
故的分布列為：
0 1 2 3
（2）記事件“抽到的4件中至少有1件次品”，事件“恰好有2件次品”，
，
故已知抽到的4件中至少有1件次品，恰好有2件次品的概率為.
18．（25-26高三上·四川成都·開學考試）一批零件共有12件，其中有3件次品，現不放回地隨機抽取4件進行檢驗．
(1)求抽到的次品數的分布列；
(2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率．
【答案】(1)分布列見解析
(2)
【詳解】（1）由題意，次品數的可能取值為，
則，，
，.
故的分布列為：
0 1 2 3
（2）記事件“抽到的4件中至少有1件次品”，事件 “恰好有2件次品”，
則.
1．（24-25高二下·湖南株洲·期中）某公司升級了智能客服系統，當輸入的問題表達清晰時，智能客服的回答被采納的概率為，當輸入的問題表達不清晰時，智能客服的回答被采納的概率為．已知輸入的問題表達不清晰的概率為．則智能客服的回答被采納的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設輸入的問題表達清晰為事件A，回答被采納為事件，
則，，，，
根據全概率公式，．
故選：B．
2．（2025·湖南湘潭·一模）跑步運動越來越受大眾喜愛．據統計，某校有高一、高二、高三三個年級，這三個年級中喜歡跑步運動的教師分別占該年級教師人數的 40%，30%，35%，且這三個年級的教師人數之比為3：3：4，現從這三個年級中隨機抽一名教師，則該教師喜歡跑步的概率為（ ）
A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36
【答案】A
【詳解】設事件表示“隨機抽一名教師喜歡跑步”，事件分別表示“抽到的教師來自高一、高二、高三年級”，
∵三個年級的教師人數之比為3:3:4，
∴，
∵高一、高二、高三三個年級中喜歡跑步運動的教師分別占該年級教師人數的40%，30%，35%，
∴,
根據全概率公式，
故選：A.
3．（25-26高三上·湖南長沙·階段練習）兩兄弟玩一種自定義游戲贏禮物，約定先由弟弟擲一枚質量均勻的骰子，若弟弟擲出的點數為6，則獲得禮物；若擲出其他點數，則記下該點數（假設為），然后從哥哥開始兩人輪流擲這枚骰子，直至任意一方擲出點數或者6，該游戲結束.若擲出的是，則弟弟獲得禮物；若擲出的是6，則哥哥獲得禮物.該游戲中弟弟能獲得禮物的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】第一次擲骰子的概率：擲出的點數為6，概率為，弟弟獲得禮物；擲出的點數不為6，概率為，記下點數，進入后續階段.
后續階段的概率：設哥哥擲骰子時弟弟獲得禮物的概率為，弟弟擲骰子時弟弟獲得禮物的概率為.
若哥哥擲骰子：擲出，概率為，弟弟獲得禮物；擲出6，概率為，哥哥獲得禮物；其他點數，概率為，輪到弟弟擲骰子，此時概率為，有，①
若弟弟擲骰子：擲出，概率為，弟弟獲得禮物；擲出6：概率為，哥哥獲得禮物；其他點數，概率為，輪到哥哥擲骰子，此時概率為，有，②
聯立①②兩式，可得，即后續階段弟弟獲得禮物的概率為，則該游戲中弟弟能獲得禮物的概率為.
故選：D.
4．（24-25高三上·四川德陽·階段練習）某汽車4S店從甲乙丙三個車企分別采購同一款智能汽車500，400，100輛進行銷售，甲乙丙三個車企生產的該智能汽車的智駕故障率分別為2%，3%，5%，某消費者從該4S店購買了一臺此款智能汽車，在智駕過程中突然出現故障，則根據概率計算出甲乙丙三個車企應承擔的責任比為（　?。?br/>A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1
【答案】B
【詳解】設事件 分別表示購買一輛汽車是甲、乙、丙車企生產的，
則 ，
事件 表示智駕出現故障，
則由全概率公式得 ，
由貝葉斯公式得，，，
所以甲乙丙要承擔的責任比為.
故選：B.
5．（25-26高二上·陜西西安·開學考試）某地區公共衛生部門為了了解本地區中學生的吸煙情況，對隨機抽出的200名學生進行調查.為了得到該敏感性問題的誠實反應，設計如下方案：每個被調查者先后拋擲兩顆骰子，調查中使用兩個問題：①第一顆骰子的點數是否比第二顆的大？②你是否經常吸煙？兩顆骰子點數和為奇數的學生如實回答第一個問題，兩顆骰子點數和為偶數的學生如實回答第二個問題.回答“是”的學生往盒子中放一個小石子，回答“否”的學生什么都不用做.若最終盒子中小石子的個數為57，則該地區中學生吸煙人數的比例約為（ ）
A．0.035 B．0.14 C．0.10 D．0
【答案】B
【詳解】拋擲兩枚骰子，基本事件有個，其中和為偶數的基本事件有個，和為奇數的基本事件有個.
所以學生回答第一、第二個問題的概率均為.
第一個問題中，第一顆骰子的點數比第二顆大的概率為.
設該地區中學生吸煙人數的比例約為，
由題意：，解得.
結合選項，最接近的是（選項B）
故選：B
6．（24-25高二下·新疆烏魯木齊·期末·多選）已知某工廠甲、乙，丙三個車間同時生產同種元器件：甲、乙、丙車間一天生產的元器件個數分別為600、300、100件，且生產中造成的次品率分別為3%、2%、1%；現在在這三個車間生產的產品中任意取一件產品質檢，下列敘述正確的有（ ）
A．此件產品是次品的概率為0.02
B．此件產品是次品的概率為0.025
C．此件產品是次品的情況下，來自甲車間的概率是來自于乙車間概率的2倍
D．此件產品是次品的情況下，此件產品來自于丙車間的概率為0.04.
【答案】BD
【詳解】對于AB，該產品是次品的概率為， A錯誤，B正確；
對于C，此件產品是次品的情況下，來自甲車間的概率，
來自于乙車間的概率，則，C錯誤；
對于D，此件產品是次品的情況下，來自于丙車間的概率，D正確.
故選：BD
7．（24-25高二下·云南·期末·多選）五人進行丟骰子游戲，最后統計每人所丟骰子的點數之和，點數之和最大的獲勝．已知每人每次丟完后都等可能地隨機傳向另外4人中的1人．第1次由將骰子傳出，記第次傳骰子之后骰子在或手上的概率為，記第次傳骰子之后骰子在手上的概率為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【詳解】由題意可得，第1次由將骰子傳出，傳到或手上的概率為，故A正確；
設第次傳到或手上的概率為，則次傳到或手上的概率為，
則，即，
因為，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以，即，故C正確；
當時，，故B錯誤；
同理第次傳到手上的概率為，則次傳到手上的概率為，
則，即，
因為，，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以，即，故D錯誤.
故選：AC
8．（24-25高二下·甘肅蘭州·期末·多選）某比賽共進行局，每局比賽沒有平局，局比賽結束后贏得局以上的一方獲勝．甲、乙進行該比賽，已知甲每局比賽獲勝的概率為，每局比賽的結果相互獨立，記甲在該比賽中獲勝的概率為，下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則當時，最大
C．若，則當時，最小 D．若，則當時，最大
【答案】ABC
【詳解】對于A，，，，A正確；
當時，記事件“甲在該比賽中獲勝”，“第一局甲贏”，“第二局甲贏”，
，
當事件和發生時，要使得甲在該比賽中獲勝，則在后續的局比賽中
至少要贏局，則；
當事件發生時，要使得甲在該比賽中獲勝，則在后續的局比賽中贏的局數
大于或恰好贏了局，因此；
當事件發生時，要使得甲在該比賽中獲勝，則在后續的局比賽中贏的局數大于，
可看成事件“在后續的局比賽中贏的局數大于”與事件“在后續的局比賽中
恰好贏了局”的差事件，所以，
則
，
即，
對于B，若，則，當時，，即，
則當時，最大，B正確；
對于C，若，則，當時，，即，
則當時，最小，C正確；
對于D，若，則，當時，，當時，，
即當時，，當時，，則當時，最大，D錯誤.
故選：ABC
9．（24-25高二下·福建三明·階段練習）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%；加工出來的零件混放在一起，且第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的25%，30%， 45%.現從加工出來的零件中任取一個零件，取到的零件是次品，且是第3臺車床加工的概率為
【答案】
【詳解】記為事件“零件為第臺車床加工”，事件“任取一個零件為次品”，
則，，，，
所以
，
所以取到的零件是次品，且是第3臺車床加工的概率為：
.
故答案為：.
10．（25-26高三上·安徽蚌埠·開學考試）現有個箱子，每個箱子均有個小球，第個箱子中有個白球，其余為黑球，在這個箱子中任取一個箱子，再從該箱子中依次選出3個小球，若第3次選出的小球恰為黑球的概率是，則 ．
【答案】9
【詳解】記“選到第個箱子”為事件，
“從箱子中依次選出3個小球且第3個小球是黑球”為事件，則，
每個箱子均有個小球，第個箱子中有個白球和個黑球，
又因為從箱子中依次選出3個小球，每次選到黑球的概率相等，
所以第3次選出的小球恰為黑球和第1次選出的小球為黑球的概率都是，
由全概率公式，
,
解得．
故答案為：9.
11．（24-25高二下·湖北武漢·期末）A、B兩個箱子中各裝有3個產品，其中A箱子中是2個正品和1個次品，B箱子中是3個次品.現從A、B兩箱子中各取一個產品交換放入另一箱子中，重復次這樣的操作，記A箱子中正品個數為，恰有2個正品的概率為，恰有1個正品的概率為，則 ，的數學期望 .（用表示）
【答案】
【詳解】經過第一次操作得：，，
經過第二次操作得：；.
根據全概率公式可知：，
，
兩式相加可得，
則：，時，，
所以，，
因為，數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，即，
所以.
故答案為：①；②.
12．（25-26高三上·北京·開學考試）某汽車品牌計劃推出兩款新車型：純電動版（EV）和插電混動版（PHEV）在某市隨機調查了300名消費者的購買意愿，調查數據按收入水平分組如下表（單位：人）．
車型 低收入群體（20萬/年） 中收入群體（20萬/年-50萬/年） 高收入群體（50萬/年）
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
EV 70 30 70 50 40 40
PHEV 20 80 60 60 60 20
假設所有消費者的購買意愿相互獨立，用頻率估計概率．
(1)從該市全體消費者中隨機抽取1人，估計其愿意購買純電動版（EV）的概率；
(2)從該市全體中收入群體和高收入群體中各自隨機抽取2人，記為這4人中愿意購買插電混動版（PHEV）的人數，求的分布列和數學期望；
(3)假設該市社區內的低收入，中收入和高收入的消費者人數之比為，從社區的全體消費者中隨機抽取1人，將其愿意購買純電動版（EV）的概率估計值記為，試比較與的大?。?br/>【答案】(1)
(2)分布列見解析，
(3)
【詳解】（1）由表可知300名調查者中愿意購買純電動版人數為180人，頻率為，
用頻率估計概率，從顧客中隨機抽取1人，估計該名顧客愿意購買純電動版的概率估計為；
（2）用頻率估計概率，從全市中收入群體中隨機抽1人，愿意購買插電混動版（PHEV）的概率估計，從全市高收入群體中隨機抽取1人，愿意購買插電混動版（PHEV）的概率，
由題意的可能取值為0，1，2，3，4
，
，
．
所以的分布列為
0 1 2 3 4
．
（3）低收入者愿意購買純電動版（EV）的概率為；
中收入者愿意購買純電動版（EV）的概率為；
高收入者愿意購買純電動版（EV）的概率為．
利用全概率公式可得：．
13．（2025·廣東·模擬預測）在數字通信中，信號是由數字0和1組成的序列，信號的傳輸相互獨立.由于隨機因素的干擾，發送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.假設發送信號0和1是等可能的.
(1)若，，求接收的信號為0的概率；
(2)現有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸，單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.
（i）若采用三次傳輸方案，若發送1，求依次收到1，0，1的概率；
（ii）若發送的信號為1，譯碼為1，則選用單次傳輸和三次傳輸哪種傳輸方案更好，請說明理由.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）答案見解析
【詳解】（1）設“發送的信號為0”，“接收的信號為0”，
則“發送的信號為1”，“接收的信號為1”.
由題意可得.
（2）（i）三次傳輸，發送1，相當于依次發送1，1，1，
此時依次收到1，0，1的概率為
（ii）記三次傳輸，發送1，依次收到0，1，1為，依次收到1，0，1為，
依次收到1，1，0為，依次收到1，1，1為，且事件相互互斥.
對于三次傳輸，記發送1，譯碼為1為事件，
記單次傳輸發送1，譯碼為1為事件，則.
因為，所以.
當時，有，即，此時選用三次傳輸方案.
當時，有，即，選用哪種傳輸方案都可以.
當時，有，即，此時選用單次傳輸方案.
14．（25-26高三上·福建泉州·階段練習）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的25%、30%，45%.
(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；
(2)如果對加工的次品，要求操作員承擔相應的責任，求每臺車床操作員應承擔的份額.
【答案】(1)
(2)第1，2臺車床操作員應分別承擔的份額，第3臺車床操作員應承擔的份額.
【詳解】（1）設“任取一零件為次品”，“零件為第i臺車床加工”，
則，且，，兩兩互斥，根據題意得，
，，，
，，，
由全概率公式得
；
（2）“次品為第臺車床所加工的概率”，就是計算在B發生的條件下，事件發生的概率，
；
，
，
故第1，2臺車床操作員應承擔的份額，第3臺車床操作員應承擔的份額.
15．（25-26高三上·河南新鄉·開學考試）為紀念中國人民抗日戰爭暨世界反法西斯戰爭勝利80周年，某校組織相關知識的答題競賽，每名參賽選手都賦予5分的初始積分，每答對一題加1分，每答錯一題減1分.已知小明每道題答對的概率為，答錯的概率為，且每道題答對與否互不影響.
(1)求小明答4道題后積分小于5的概率.
(2)設小明答5道題后積分為，求.
(3)若小明一直答題，直到積分為0或10時停止，記小明的積分為時最終積分為10的概率為，則.
（i）證明：為等比數列；
（ii）求的值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【詳解】（1）小明答4道題后積分小于5，則小明4題都答錯，或答對1題，答錯3題，
故所求概率為．
（2）設小明答對的題數為，則他答錯的題數為，
所以．
由題意知，所以，所以．
（3）（i）當小明的積分為時，若小明接下來一題答對，
則積分變為，若小明接下來一題答錯，則積分變為．
由全概率公式有．
整理可得．
又，所以為等比數列．
（ii）由（i）可得，
所以，
又，所以．
所以
16．（25-26高三上·河北·開學考試）甲 乙兩人參加射擊比賽，規則如下：每輪由1人射擊兩次，若全中則此輪的射擊者贏得比賽，比賽結束，否則進行下一輪射擊，由另外的人射擊兩次，如此類推.經過抽簽，第1輪甲射擊，已知甲 乙每次射擊命中的概率分別為，，各次射擊互不影響.
(1)若，記為比賽結束時的輪數，證明：；
(2)若，記事件“比賽在第輪時未結束”，“甲贏得比賽”，
（i）寫出與的關系式并求；
（ii）求.
（參考：對于任意，當趨于無窮大時，）
【答案】(1)證明見解析
(2)（i）答案見解析；（ii）
【詳解】（1）表示第1輪甲射擊沒有全中，則，
，故每一輪，甲乙射擊沒有全中的概率均為，
故表示前輪射擊沒有出現全中，則，
同理知，
所以；
（2）（i）解法一：甲在奇數輪時射擊，乙在偶數輪數時射擊，
記事件“甲兩次射擊沒全中”，事件“乙兩次射擊沒全中”，
則，
當為偶數，第輪由甲射擊，發生等價于發生且甲兩次射擊沒全中，
即，又各次射擊互不影響，與獨立，
所以①，
當為奇數，第輪由乙射擊，同理②，
由①②知，當為奇數時，.
所以當為奇數時是首項為，公比為的等比數列，.
當為偶數，，
綜上知，
解法二：甲在奇數輪時射擊，乙在偶數輪數時射擊，
記事件“甲兩次射擊沒全中”，事件“乙兩次射擊沒全中”，
則，
當為偶數，第輪由甲射擊，由全概率公式知
.
在甲兩次射擊沒全中的前提下比賽在第輪未結束等價于比賽在第輪未結束，
所以，即①，
當為奇數，第輪由乙射擊，同理②，
由①②知，當為奇數時，.
所以當為奇數時是首項為，公比為的等比數列，所以.
當為偶數，，
綜上知；
（ii）解法一：甲只可能在奇數輪時獲勝，
則，
表示比賽在第輪未結束，在輪結束，
所以，
所以，
又因為事件兩兩互斥，
所以
，
因為，所以；
解法二：注意到若前2輪比賽仍未分出勝負，后續與剛開始比賽時完全一樣，即“遺忘”了前2輪的結果，
從第3輪開始甲獲勝的概率仍然為，即，體現無記憶性，
所以
，
即，解得.
17．（25-26高三上·廣西柳州·開學考試）一個盒子中有大小和質地均相同的6個球，其中有3個白球和3個黑球．從中任取1個球，若取出白球，則將該白球放回盒中，若取出黑球，則將該黑球換成1個大小和質地均相同的白球放回盒中，這樣的過程稱為一次操作．記第次操作后，盒中白球的個數為，期望為．
(1)求．
(2)當時，證明：．
(3)求.
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3).
【詳解】（1）依題意，，
所以.
（2）每次操作后盒中球的總個數始終是6．
第次操作后盒中有個白球的情況有兩種：
①第次操作后盒中有個白球，即盒中有個白球、個黑球，
第次取出的是白球，其發生的概率為；
②第次操作后盒中有個白球，即盒中有個白球、個黑球，
第次取出的是黑球，其發生的概率為，
所以當時，.
（3）由（1）知，
，
，
當時，的可能取值為3，4，5，6，
，由（2）得，
，
當或2時，上述4個等式也成立，
因此
，
由，得，
因此數列是首項為，公比為的等比數列．
則，
所以.統計與概率：事件的獨立性、條件概率、全概率公式與貝葉斯公式專項訓練
考點目錄
事件的獨立性 條件概率
全概率公式與貝葉斯公式
1．（24-25高二上·黑龍江大慶·階段練習）已知事件，滿足，，則（ ）
A．若，則 B．若與相互獨立則
C．若與相互獨立，則 D．若與互斥，則
2．（25-26高二上·黑龍江大慶·開學考試）在一次校園安全知識競賽中，甲 乙 丙同時回答一道題，每人回答問題正確與否相互獨立，甲答對的概率是，甲 乙兩人都答對的概率是，乙 丙兩人都答錯的概率是，則甲 乙 丙三人中，至少有一人答對該題的概率為（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·重慶·開學考試）已知事件和事件相互獨立，為事件的對立事件．若，則（ ）
A．0.24 B．0.56 C．0.76 D．0.84
4．（25-26高二上·云南·開學考試）甲、乙兩人每人投籃一次，投中的總次數記為.已知甲、乙投籃命中的概率分別為，，且甲、乙投籃命中的結果相互獨立，則的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·湖南衡陽·期末）如圖，已知電路中4個開關每個斷開的概率都是，且是相互獨立的，則燈亮的概率為（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高二上·河北張家口·開學考試）拋擲一枚質地均勻的骰子一次，設“出現的點數為偶數”為事件A，“出現的點數大于4”為事件B，則下述正確的是（ ）
A．A與B對立 B．A與B互斥
C．A與B相互獨立 D．
7．（25-26高二上·山東日照·開學考試·多選）設為兩個事件，且，下列說法正確的有（ ）
A．若互斥，則 B．若互斥，則
C．若獨立，則 D．若獨立，則
8．（24-25高一下·貴州遵義·階段練習·多選）先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“兩枚都正面向上”，則（ ）
A．A與B相互獨立 B．A與C相互獨立
C．A與D相互獨立 D．B與D互斥
9．（25-26高二上·安徽·階段練習·多選）已知是隨機事件，且，則下列說法正確的有（ ）
A．與可能為互斥事件
B．若，則與相互獨立
C．若，則
D．若與相互獨立，則
10．（25-26高二上·福建南平·開學考試）甲 乙兩人每人投籃一次，投中的總次數記為.已知甲 乙投籃命中的概率分別為且甲 乙投籃命中的結果相互獨立，則的概率是 .
11．（25-26高二上·河北邢臺·開學考試）張華和李明二人進行一場游戲比賽，且比賽中不存在平局，先贏三局者獲勝，并可以獲得1000元獎金．已知張華、李明二人在每局比賽中獲勝的可能性均相同．已知當張華連贏兩局，李明一局未贏時，因某種特殊情況需要終止比賽．現將1000元獎金按兩人各自最終獲勝的可能性的比例進行分配，則張華應該分得 元．
12．（25-26高二上·安徽·階段練習）已知甲 乙兩人參加闖關活動，活動一共設置兩關.甲每關闖關成功的概率均為，乙每關闖關成功的概率均為，且甲 乙兩人闖關成功與否互不影響，則甲 乙兩人總共至少有三關闖關成功的概率是 .
13．（2025·福建三明·模擬預測）甲、乙兩人進行拋硬幣比賽．兩人分別拋擲一枚均勻硬幣，如果拋出“正面朝上”，則得1分，如果拋出“反面朝上”，則得0分．甲和乙分別拋擲3次后，如果兩人得分相差大于1分，比賽終止；如果兩人分數相差不大于1分，則由乙再進行一次拋擲后比賽終止，該次拋擲若為“正面朝上”，則乙得分不變，若為“反面朝上”，則乙得分減1分．按照規定，比賽終止時甲得分高于乙的概率為 ．
14．（25-26高三上·山東·開學考試）電視臺組織有獎答題活動，指定了三道題目，選手有兩種答題方案可選.
方案一：回答這三道題目，至少有兩道答對則獲得獎金；
方案二：在三道題中，隨機選兩道，這兩道題都答對則獲得獎金.
假設小明對三道指定題目答對的概率分別為（均不為1），且三道題目是否答對相互之間沒有影響.
(1)分別求小明選擇方案一和方案二時獲得獎金的概率；
(2)要想使獲得獎金的可能性更大，小明應選擇哪種答題方案 請根據數據計算說明.
15．（25-26高三上·江西·階段練習）某知識競賽中有三類問題.參賽者從這三類問題中抽取兩個問題進行回答，要求這兩個問題屬于不同類別.回答正確一個A，B，C類問題分別得30分，20分，10分，回答錯誤得0分.已知甲參與了該競賽，且甲能正確回答類問題的概率分別為，每道問題回答正確與否相互獨立，設甲的累計得分為.
(1)若甲從兩類問題中各抽取一個問題回答，求的分布列及期望；
(2)為使得累計得分更高，試分析，甲應該從哪兩類問題中抽取問題回答.
16．（25-26高三上·江蘇南通·開學考試）江蘇城市足球聯賽（俗稱“蘇超”）火爆出圈，某城市文旅部門推出“看球賽抽獎品”活動，到該城市觀看比賽的球迷可抽獎獲得紀念品．規則如下：抽獎3次，每次抽中紀念品的概率均為．若前2次未抽中紀念品，則第3次無論抽中與否均獲得紀念品．
(1)求某球迷恰好獲得1個紀念品的概率；
(2)記x為某球迷獲得第1個紀念品時的抽獎次數，求x的數學期望．
17．（25-26高三上·北京順義·開學考試）近年來，中國機器人科技水平在政策支持、技術創新及市場需求的多重驅動下實現了顯著提升，尤其在工業機器人、服務機器人及特種機器人領域表現突出.國內某科技公司致力于服務機器人的發展與創新，近期公司生產了甲、乙、丙三款不同的智能送餐機器人，并對這三款機器人的送餐成功率進行了測試，獲得數據如下表：
甲款機器人 乙款機器人 丙款機器人
測試次數 50 100 100
成功次數 20 60 80
假設每款機器人的測試結果相互獨立，用頻率估計概率.
(1)估計甲款機器人單次送餐成功的概率；
(2)若讓這三款機器人分別執行1次送餐任務，求恰好成功兩次的概率；
(3)若讓這三款機器人分別執行10次送餐任務，設成功的次數分別為，，，直接寫出方差，，的大小關系.
18．（25-26高二上·浙江·開學考試）2025年6月23日雷霆隊以大比分戰勝步行者隊捧起奧布萊恩杯.眾所周知，總決賽采取7場4勝制，當兩隊大比分戰成，第5場比賽被稱為“天王山之戰”.現假設甲乙兩支隊伍闖入總決賽，首戰甲獲勝的概率為，每場結束后，敗方在下一場獲勝的概率提高為，每場比賽結果相互獨立.
(1)求兩場后雙方戰成的概率；
(2)若首戰乙勝，求再戰三場雙方戰至后甲在“天王山之戰”中獲勝的概率；
(3)求甲乙不需要進行第七場比賽的概率.
1．（24-25高二下·湖南衡陽·期末）一個體育隊有4名女運動員和3名男運動員，現從隊伍抽樣尿檢，每次從中抽選1個運動員，抽出的運動員不再檢查，則在第1次抽到女運動員的條件下，第2次抽到男運動員的概率為（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·山東青島·開學考試）盒中裝有個紅球和個藍球，小球除顏色外均相同．甲、乙兩人先后從盒中隨機取出個球，記錄顏色后放回．已知兩人取出的球顏色相同，則兩人取出的球同為藍色的概率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知，是樣本空間中的隨機事件，，若，，，則=（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·重慶沙坪壩·期末）語文老師想了解全班同學課外閱讀中國古典四大名著的情況，經調查，全班同學中閱讀過《紅樓夢》的占，閱讀過《三國演義》的占，閱讀過《紅樓夢》或《三國演義》的占，現從閱讀過《三國演義》的同學中隨機抽取一位同學，該同學閱讀過《紅樓夢》的概率為（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75
5．（25-26高三上·廣東·開學考試）某校積極開展社團活動，學期結束時，社團老師對參加社團的同學進行選擇性考核．某社團有小明、小剛等5位同學參加，現選3位同學參加考核，則在小明被選中的條件下，小剛被選中的概率為（　?。?br/>A． B． C． D．
6．（25-26高三上·廣東深圳·開學考試）已知隨機變量均服從兩點分布，且，若，則（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高三上·廣東·開學考試·多選）擲一枚質地均勻的骰子，可等可能的得到1~6點，現投擲一次這枚骰子，記得到1點或2點或3點為事件，事件，與為兩兩互不相同的隨機事件，且，，則（ ）
A．存在事件B，使得 B．存在事件C，使得
C．存在事件B，C，使得 D．存在事件B，C，使得
8．（23-24高二下·云南麗江·期末·多選）已知甲口袋中裝有3個紅球，1個白球，乙口袋中裝有2個紅球，1個白球，這些球只有顏色不同．先從甲口袋中隨機取出1個球放入乙口袋，再從乙口袋中隨機取出1個球．記從甲口袋中取出的球是紅球、白球分別為事件、，從乙口袋中取出的球是紅球為事件，則下列結論正確的有（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·江蘇南通·模擬預測·多選）某校開展“強國有我，筑夢前行”主題演講比賽，共有6位男生，4位女生進入決賽.現通過抽簽決定出場順序，記事件A表示“第一位出場的是女生”，事件B表示“第二位出場的是女生”，則（ ）
A． B．
C． D．
10．（25-26高三上·江蘇鎮江·開學考試）若，則 .
11．（25-26高三上·江蘇·開學考試）已知，則 .
12．（25-26高三上·天津紅橋·開學考試）袋中大小相同的3個紅球，5個白球，從中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是 ．
13．（25-26高三上·天津東麗·開學考試）某校團委舉辦《在青春的賽道上，我們都是追光者》主題演講比賽，經過初賽，共7人進入決賽，其中高一年級2人，高二年級3人，高三年級2人，現采取抽簽方式決定演講順序，設事件為“高一年級2人不相鄰”，事件為“高二年級3人相鄰”，則 .
14．（24-25高二下·河北秦皇島·期中）溺水是指人淹沒于水或其他液體中，水與污泥、雜草等物堵塞呼吸道和肺泡，或因咽喉、氣管發生反射性痙攣，引起窒息和缺氧，肺泡失去通氣、換氣功能，使機體處于危急狀態，由此導致呼吸、心搏停止而致死亡.某校為了普及防溺水安全教育知識，在全校組織了一次防溺水安全教育知識競賽，經過初賽、復賽，甲、乙兩個代表隊（每隊3人）進入了決賽.規定每人回答一個問題，答對者為本隊贏得10分，答錯者得0分.假設甲隊中3人答對的概率分別為，乙隊中每人答對的概率均為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響.
(1)記隨機變量為甲隊的總得分，求的分布列和數學期望；
(2)在甲、乙兩隊總得分之和等于30分的條件下，求甲隊得分不低于乙隊得分的概率.
15．（25-26高三上·天津·階段練習）甲、乙兩人進行象棋比賽，賽前每人有3面小紅旗.一局比賽后輸者需給贏者一面小紅旗，若是平局不需要給小紅旗，當其中一方無小紅旗時，比賽結束，有6面小紅旗者最終獲勝，根據以往的兩人比賽結果可知，在一局比賽中甲勝的概率為0.5，乙勝的概率為0.4．
(1)若第一局比賽后甲的小紅旗個數為X，求X的分布列和數學期望；
(2)若比賽一共進行五局，求第一局是乙勝的條件下，甲最終獲勝的概率（結果保留兩位有效數字）．
16．（25-26高三上·浙江·開學考試）某商場推出購物抽獎活動，盒子里放有10個相同小球，其中4個紅球，6個藍球，顧客從盒中不放回地抽取3個球，若恰好抽到3個紅球為一等獎，獎金為100元，恰好抽到2個紅球為二等獎，獎金為50元，其余不設獎.
(1)在抽取的前兩個球為1個紅球1個藍球的條件下，則該次抽獎獲得二等獎概率是多少？
(2)求抽獎一次獲得獎金的期望.
17．（25-26高三上·四川成都·開學考試）一批零件共有12件，其中有3件次品，現不放回地隨機抽取4件進行檢驗.
(1)求抽到的次品數的分布列；
(2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率.
18．（25-26高三上·四川成都·開學考試）一批零件共有12件，其中有3件次品，現不放回地隨機抽取4件進行檢驗．
(1)求抽到的次品數的分布列；
(2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率．
1．（24-25高二下·湖南株洲·期中）某公司升級了智能客服系統，當輸入的問題表達清晰時，智能客服的回答被采納的概率為，當輸入的問題表達不清晰時，智能客服的回答被采納的概率為．已知輸入的問題表達不清晰的概率為．則智能客服的回答被采納的概率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖南湘潭·一模）跑步運動越來越受大眾喜愛．據統計，某校有高一、高二、高三三個年級，這三個年級中喜歡跑步運動的教師分別占該年級教師人數的 40%，30%，35%，且這三個年級的教師人數之比為3：3：4，現從這三個年級中隨機抽一名教師，則該教師喜歡跑步的概率為（ ）
A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36
3．（25-26高三上·湖南長沙·階段練習）兩兄弟玩一種自定義游戲贏禮物，約定先由弟弟擲一枚質量均勻的骰子，若弟弟擲出的點數為6，則獲得禮物；若擲出其他點數，則記下該點數（假設為），然后從哥哥開始兩人輪流擲這枚骰子，直至任意一方擲出點數或者6，該游戲結束.若擲出的是，則弟弟獲得禮物；若擲出的是6，則哥哥獲得禮物.該游戲中弟弟能獲得禮物的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·四川德陽·階段練習）某汽車4S店從甲乙丙三個車企分別采購同一款智能汽車500，400，100輛進行銷售，甲乙丙三個車企生產的該智能汽車的智駕故障率分別為2%，3%，5%，某消費者從該4S店購買了一臺此款智能汽車，在智駕過程中突然出現故障，則根據概率計算出甲乙丙三個車企應承擔的責任比為（　　）
A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1
5．（25-26高二上·陜西西安·開學考試）某地區公共衛生部門為了了解本地區中學生的吸煙情況，對隨機抽出的200名學生進行調查.為了得到該敏感性問題的誠實反應，設計如下方案：每個被調查者先后拋擲兩顆骰子，調查中使用兩個問題：①第一顆骰子的點數是否比第二顆的大？②你是否經常吸煙？兩顆骰子點數和為奇數的學生如實回答第一個問題，兩顆骰子點數和為偶數的學生如實回答第二個問題.回答“是”的學生往盒子中放一個小石子，回答“否”的學生什么都不用做.若最終盒子中小石子的個數為57，則該地區中學生吸煙人數的比例約為（ ）
A．0.035 B．0.14 C．0.10 D．0
6．（24-25高二下·新疆烏魯木齊·期末·多選）已知某工廠甲、乙，丙三個車間同時生產同種元器件：甲、乙、丙車間一天生產的元器件個數分別為600、300、100件，且生產中造成的次品率分別為3%、2%、1%；現在在這三個車間生產的產品中任意取一件產品質檢，下列敘述正確的有（ ）
A．此件產品是次品的概率為0.02
B．此件產品是次品的概率為0.025
C．此件產品是次品的情況下，來自甲車間的概率是來自于乙車間概率的2倍
D．此件產品是次品的情況下，此件產品來自于丙車間的概率為0.04.
7．（24-25高二下·云南·期末·多選）五人進行丟骰子游戲，最后統計每人所丟骰子的點數之和，點數之和最大的獲勝．已知每人每次丟完后都等可能地隨機傳向另外4人中的1人．第1次由將骰子傳出，記第次傳骰子之后骰子在或手上的概率為，記第次傳骰子之后骰子在手上的概率為，則（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高二下·甘肅蘭州·期末·多選）某比賽共進行局，每局比賽沒有平局，局比賽結束后贏得局以上的一方獲勝．甲、乙進行該比賽，已知甲每局比賽獲勝的概率為，每局比賽的結果相互獨立，記甲在該比賽中獲勝的概率為，下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則當時，最大
C．若，則當時，最小 D．若，則當時，最大
9．（24-25高二下·福建三明·階段練習）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%；加工出來的零件混放在一起，且第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的25%，30%， 45%.現從加工出來的零件中任取一個零件，取到的零件是次品，且是第3臺車床加工的概率為
10．（25-26高三上·安徽蚌埠·開學考試）現有個箱子，每個箱子均有個小球，第個箱子中有個白球，其余為黑球，在這個箱子中任取一個箱子，再從該箱子中依次選出3個小球，若第3次選出的小球恰為黑球的概率是，則 ．
11．（24-25高二下·湖北武漢·期末）A、B兩個箱子中各裝有3個產品，其中A箱子中是2個正品和1個次品，B箱子中是3個次品.現從A、B兩箱子中各取一個產品交換放入另一箱子中，重復次這樣的操作，記A箱子中正品個數為，恰有2個正品的概率為，恰有1個正品的概率為，則 ，的數學期望 .（用表示）
12．（25-26高三上·北京·開學考試）某汽車品牌計劃推出兩款新車型：純電動版（EV）和插電混動版（PHEV）在某市隨機調查了300名消費者的購買意愿，調查數據按收入水平分組如下表（單位：人）．
車型 低收入群體（20萬/年） 中收入群體（20萬/年-50萬/年） 高收入群體（50萬/年）
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
EV 70 30 70 50 40 40
PHEV 20 80 60 60 60 20
假設所有消費者的購買意愿相互獨立，用頻率估計概率．
(1)從該市全體消費者中隨機抽取1人，估計其愿意購買純電動版（EV）的概率；
(2)從該市全體中收入群體和高收入群體中各自隨機抽取2人，記為這4人中愿意購買插電混動版（PHEV）的人數，求的分布列和數學期望；
(3)假設該市社區內的低收入，中收入和高收入的消費者人數之比為，從社區的全體消費者中隨機抽取1人，將其愿意購買純電動版（EV）的概率估計值記為，試比較與的大小．
13．（2025·廣東·模擬預測）在數字通信中，信號是由數字0和1組成的序列，信號的傳輸相互獨立.由于隨機因素的干擾，發送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.假設發送信號0和1是等可能的.
(1)若，，求接收的信號為0的概率；
(2)現有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸，單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.
（i）若采用三次傳輸方案，若發送1，求依次收到1，0，1的概率；
（ii）若發送的信號為1，譯碼為1，則選用單次傳輸和三次傳輸哪種傳輸方案更好，請說明理由.
14．（25-26高三上·福建泉州·階段練習）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的25%、30%，45%.
(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；
(2)如果對加工的次品，要求操作員承擔相應的責任，求每臺車床操作員應承擔的份額.
15．（25-26高三上·河南新鄉·開學考試）為紀念中國人民抗日戰爭暨世界反法西斯戰爭勝利80周年，某校組織相關知識的答題競賽，每名參賽選手都賦予5分的初始積分，每答對一題加1分，每答錯一題減1分.已知小明每道題答對的概率為，答錯的概率為，且每道題答對與否互不影響.
(1)求小明答4道題后積分小于5的概率.
(2)設小明答5道題后積分為，求.
(3)若小明一直答題，直到積分為0或10時停止，記小明的積分為時最終積分為10的概率為，則.
（i）證明：為等比數列；
（ii）求的值.
16．（25-26高三上·河北·開學考試）甲 乙兩人參加射擊比賽，規則如下：每輪由1人射擊兩次，若全中則此輪的射擊者贏得比賽，比賽結束，否則進行下一輪射擊，由另外的人射擊兩次，如此類推.經過抽簽，第1輪甲射擊，已知甲 乙每次射擊命中的概率分別為，，各次射擊互不影響.
(1)若，記為比賽結束時的輪數，證明：；
(2)若，記事件“比賽在第輪時未結束”，“甲贏得比賽”，
（i）寫出與的關系式并求；
（ii）求.
（參考：對于任意，當趨于無窮大時，）
17．（25-26高三上·廣西柳州·開學考試）一個盒子中有大小和質地均相同的6個球，其中有3個白球和3個黑球．從中任取1個球，若取出白球，則將該白球放回盒中，若取出黑球，則將該黑球換成1個大小和質地均相同的白球放回盒中，這樣的過程稱為一次操作．記第次操作后，盒中白球的個數為，期望為．
(1)求．
(2)當時，證明：．
(3)求.

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