資源簡介

6.2線段、射線和直線
【知識點1】相交線 1
【知識點2】直線、射線、線段 1
【知識點3】垂線 2
【知識點4】點到直線的距離 3
【知識點5】直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線 4
【知識點6】垂線段最短 4
【題型1】與線段中點有關(guān)的計算 5
【題型2】直線和線段的性質(zhì)（基本事實） 7
【題型3】直線、射線、線段的表示及畫法 8
【題型4】線段大小的比較 10
【題型5】線段的和差倍分 11
【知識點1】相交線
（1）相交線的定義
兩條直線交于一點，我們稱這兩條直線相交．相對的，我們稱這兩條直線為相交線．
（2）兩條相交線在形成的角中有特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的有對頂角和鄰補角兩類．
（3）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外）．
1.（2024春 襄都區(qū)月考）下列圖形滿足“直線l1與直線l2相交，點M既在直線l1，又在直線l2上”的是（　　）
A． B． C． D．
2.（2023秋 佛山期末）若平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個交點，則平面被分成了（　　）個部分．
A．7或8 B．8 C．8或9 D．10
【知識點2】直線、射線、線段
（1）直線、射線、線段的表示方法
①直線：用一個小寫字母表示，如：直線l，或用兩個大寫字母（直線上的）表示，如直線AB．
②射線：是直線的一部分，用一個小寫字母表示，如：射線l；用兩個大寫字母表示，端點在前，如：射線OA．注意：用兩個字母表示時，端點的字母放在前邊．
③線段：線段是直線的一部分，用一個小寫字母表示，如線段a；用兩個表示端點的字母表示，如：線段AB（或線段BA）．
（2）點與直線的位置關(guān)系：①點經(jīng)過直線，說明點在直線上；②點不經(jīng)過直線，說明點在直線外．
1.（2024秋 吳橋縣期末）如圖幾何圖形與相應(yīng)語言描述相符的有（　　）
①直線a,b相交于點A ②射線CD與線段AB沒有公共點 ③延長線段AB ④直線MN經(jīng)過點A
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2.（2024秋 房山區(qū)期末）如圖，若射線AB上有一點C，下列與射線AB是同一條射線的是（　　）
A．射線BA B．射線AC C．射線BC D．射線CB
【知識點3】垂線
（1）垂線的定義
當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．
（2）垂線的性質(zhì)
在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“過一點”的點在直線上或直線外都可以．
1.（2025春 萬年縣期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，射線OE⊥CD于點O，若∠AOD=26°，則∠BOE的度數(shù)為（　　）
A．116° B．126° C．144° D．154°
2.（2025春 蜀山區(qū)校級期末）已知∠AOB=25°，OD⊥OB，以O(shè)為頂點作射線OC，使∠AOC=2∠AOB，若設(shè)∠COD=α（0°＜α＜180°），則α的值有可能為：①α=15°；②α=65°；③α=115°；④α=165°．以上結(jié)論中正確的個數(shù)是（　　）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【知識點4】點到直線的距離
（1）點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．
（2）點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形．
1.（2025春 天河區(qū)期末）如圖，直線外一點O，點C、D、E、F都在直線AB上，則點O到直線AB的距離是（　　）
A．線段OC的長度 B．線段OD的長度
C．線段OE的長度 D．線段OF的長度
2.（2025春 羅湖區(qū)期末）如圖，A，B，C，D四點在直線l上，點M在直線l外，MC⊥l,若MA=5cm,MB=4cm,MC=2cm,則點M到直線l的距離是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
3.（2025春 壽縣期末）如圖，點A在直線l1上，點B，C在直線l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，BC=3，AB=4，AC=5．有下列結(jié)論：①點A到直線l2的距離等于4；②點C到直線l1的距離等于3；③點C到AB的距離等于5．其中，正確的個數(shù)有（　　）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【知識點5】直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線
（1）直線公理：經(jīng)過兩點有且只有一條直線．
簡稱：兩點確定一條直線．
（2）經(jīng)過一點的直線有無數(shù)條，過兩點就唯一確定，過三點就不一定了．
1.（2024秋 西山區(qū)期末）下列說法中，正確的是（　　）
A．射線AB和射線BA是同一條射線
B．近似數(shù)3.1和3.10的精確度相同
C．若|a-1|=a-1，則a＞1
D．兩點確定一條直線
2.（2024秋 徐州校級月考）下列幾種生活、生產(chǎn)現(xiàn)象：①植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；②把彎曲的公路改直，就能縮短路程；③用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；④從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段AB架設(shè)．其中可用數(shù)學知識“兩點確定一條直線”來解釋的現(xiàn)象有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【知識點6】垂線段最短
（1）垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段．
（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．
正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言．
（3）實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個中去選擇．
1.（2025春 曲阜市期末）數(shù)學源于生活，用于生活，我們要會“用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”．下列生活場景中，用到“垂線段最短”這一數(shù)學原理的是（　　）
A．
打靶瞄準 B．
拉繩插秧
C．
跳遠測量成績 D．
彎曲河道改直
2.（2024秋 晉安區(qū)期末）在下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象中，可以用基本事實“垂線段最短”來解釋的是（　　）
A．
平板彈墨線 B．
建筑工人砌墻
C．
彎河道改直 D．
測量跳遠成績
【題型1】與線段中點有關(guān)的計算
【典型例題】如圖，點A、B、C順次在直線l上，點M是線段AC的中點，點N是線段BC的中點．若想求出MN的長度，那么只需條件（　　）
A.AB＝12 B.BC＝4 C.AM＝5 D.CN＝2
【舉一反三1】如圖，C，D是線段AB上的兩點，且D是線段AC的中點，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，則AD的長為(　　)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
【舉一反三2】已知線段，點是直線上一點，，點是線段的中點，則的長為（ ）
A.或 B. C. D.或
【舉一反三3】電影《哈利 波特》中，小哈利波特穿越墻進入“站臺”的鏡頭（如示意圖的Q站臺），構(gòu)思奇妙，能給觀眾留下深刻的印象．若A、B站臺分別位于，處，，則P站臺用類似電影的方法可稱為“ 站臺”．
【舉一反三4】線段，點A在直線上，且，B為線段的中點，則線段的長為（　　）
A．或B．或
C．或D．或
【舉一反三5】任意畫一個四邊形ABCD，記其四邊的中點分別為E，F(xiàn)，G，H，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，并量出它們的長，你發(fā)現(xiàn)了什么？量出圖中∠1，∠2，∠3，∠4的度數(shù)，你又發(fā)現(xiàn)了什么？多畫幾個四邊形試一試，你能得到什么猜想？
【題型2】直線和線段的性質(zhì)（基本事實）
【典型例題】高速公路是指專供汽車高速行駛的公路．高速公路在建設(shè)過程中，通常要從大山中開挖隧道穿過，把道路取直以縮短路程．其中的數(shù)學原理是（　　）
A.兩點之間線段最短
B.兩點確定一條直線
C.平行線之間的距離最短
D.平面內(nèi)經(jīng)過一點有無數(shù)條直線
【舉一反三1】在下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象中，可以用基本事實“兩點之間，線段最短”來解釋的是（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三2】在下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象中，可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的是（　　）
①用兩顆釘子就可以把木條固定在墻上；
②把筆尖看成一個點，當這個點運動時便得到一條線；
③把彎曲的公路改直，就能縮短路程；
④植樹時，只要栽下兩棵樹，就可以把同一行樹栽在同一條直線上．
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
【舉一反三3】四個村莊A、B、C、D位置如圖，現(xiàn)要在平面內(nèi)建造一個天然氣供應(yīng)站，并從供應(yīng)站向四個村莊鋪設(shè)天然氣管道，為使鋪設(shè)的管道總長最短，則天然氣供應(yīng)站應(yīng)建造的位置是(　　)
A.點A處
B.線段AC的中點處
C.任意兩村莊所連線段的中點處
D.線段AC和線段BD的交點處
【舉一反三4】如圖，蒙蒙同學用剪刀沿直線將一張圓形紙片剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下的部分的周長比原圓形周長要小，這其中的道理是 　 　．
【舉一反三5】過一個已知點可以畫 條直線，過兩點可以畫 條直線，過三點 畫直線．(選填“能”“不能”或“不一定能”)
【舉一反三6】用一個釘子把一根細木條釘在木板上，用手撥木條，木條能轉(zhuǎn)動，這說明什么？在細木條上再釘一個釘子，細木條就被固定在木板上，這說明什么？
【舉一反三7】如圖所示，工廠A與工廠B想在公路m旁修建一座共用的倉庫O，并且要求O到A與O到B的距離之和最短，請你在公路m上確定倉庫O的位置，同時說明你選擇該點的理由．
【題型3】直線、射線、線段的表示及畫法
【典型例題】下列語句中，正確的是（　　）
A.反向延長線段AB，得到射線BA
B.延長線段AB到點C，使BC=AC
C.若AB=a，則射線AB=a
D.取直線AB的中點C
【舉一反三1】如圖，用適當?shù)恼Z句表述圖中點與直線的關(guān)系，錯誤的是（　　）
A.點P在直線AB外 B.點C在直線AB外 C.直線AC不經(jīng)過點M D.直線AC經(jīng)過點B
【舉一反三2】關(guān)于圖中的點和線，下列說法錯誤的是（　　）
A.點C在直線AB上 B.點C在線段AB上 C.點B在射線AC上 D.點B在線段AC上
【舉一反三3】如圖，圖中以B為一個端點的線段共有（　　）
A.2條 B.3條 C.4條 D.5條
【舉一反三4】如圖：圖中射線有 條．
【舉一反三5】如圖，棋盤上有黑、白兩色棋子若干，若直線l經(jīng)過3枚顏色相同的棋子，則這樣的直線共有 　 　條．
【舉一反三6】如圖，一根長10cm的木棒，棒上有兩個刻度，把它作為尺子，量一次要量出一個長度，則能量出 個長度．
【舉一反三7】如圖，已知三點A、B、Q，請畫直線AB，并描述點Q和直線AB的位置關(guān)系.
【舉一反三8】如圖，在平面內(nèi)有 A，B，C三點，請在圖中回答下列問題：

(1)畫直線；
(2)畫射線；
(3)畫線段；
(4)在線段上任取一點D (不同于 B，C)，連接，并延長至點 E，使；
(5)在上述所畫的圖中，數(shù)一數(shù)，此時圖中共有多少條線段？
【題型4】線段大小的比較
【典型例題】把兩條線段AB和CD放在同一條直線上比較長短時，下列說法錯誤的是（　　）
A.如果線段AB的兩個端點均落在線段CD的內(nèi)部，那么AB＜CD
B.如果A，C重合，B落在線段CD的內(nèi)部，那么AB＜CD
C.如果線段AB的一個端點在線段CD的內(nèi)部，另一個端點在線段CD的外部，那么AB＞CD
D.如果B，D重合，A，C位于點B的同側(cè)，且落在線段CD的外部，則AB＞CD
【舉一反三1】在線段MN上，分別以點M，N為圓心，c為半徑畫弧，交線段MN于點E，F(xiàn)，如圖所示，則線段MF與NE的大小關(guān)系是（　　）
A.MF＞NE B.MF＜NE C.MF＝NE D.不能確定
【舉一反三2】點C為線段AB延長線上的一點、則線段AB、BC、AC間大小關(guān)系正確的是(　　)
A.BC＞AB B.AB＞BC C.BC＝AB D.AC＞AB
【舉一反三3】如圖，AC＞BD，則AD與BC的大小關(guān)系是：AD 　 　BC．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【舉一反三4】如圖，比較線段的長短：AB 　 　AC．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【舉一反三5】比較圖中下列線段的大小（填“＜”，“＞”或“＝”）：
（1）AD 　 　BC；
（2）AB 　 　CD；
（3）AC 　 　BD；
（4）AO 　 　CO．
【舉一反三6】圖①中的線段a與線段b一樣長嗎？圖②中的線段AB與線段CD在同一直線上嗎？先觀察猜想，再借助工具驗證．
【舉一反三7】分別比較圖（1）（2）（3）中各條線段的長短：
（1）
（2）
（3）
【題型5】線段的和差倍分
【典型例題】如果A、 B、C三點在同一直線上，線段AB=3cm，BC=2cm，那么A、C兩點之間的
距離為（ ）
A.1cm B.5cm C.1cm或5cm D.無法確定
【舉一反三1】已知在同一直線上有A，B，C三個點，且AB＝3，BC＝2，則AC的長為(　　)
A.5 B. C.5或1 D.或1
【舉一反三2】如圖，線段AB＝8cm，點C是AB的中點，點D在CB上且DB＝1.5cm，則線段CD的長(　　)
A.2.5cm B.3.5cm C.2cm D.3cm
【舉一反三3】已知線段AB＝20cm，PA+PB＝30cm，下列說法正確的是（　　）
A.點P不能在直線AB上
B.點P只能在直線AB外
C.點P只能在線段AB延長線上
D.點P不能在線段AB上
【舉一反三4】畫直線a，并在直線a上截取線段AB＝5cm，再在直線a上截取線段BC＝2cm，則線段AC的長是　　 ．
【舉一反三5】已知線段AB＝10cm，直線AB上有一點C，且BC＝6cm，AC的長為 　 　．
【舉一反三6】如圖，點C為線段上一點，點B為的中點，且．
(1)圖中共有多少條線段，請寫出這些線段；
(2)求的長；
(3)若點E在直線上，且，求的長．6.2線段、射線和直線
【知識點1】相交線 1
【知識點2】直線、射線、線段 2
【知識點3】垂線 3
【知識點4】點到直線的距離 5
【知識點5】直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線 6
【知識點6】垂線段最短 7
【題型1】與線段中點有關(guān)的計算 9
【題型2】直線和線段的性質(zhì)（基本事實） 12
【題型3】直線、射線、線段的表示及畫法 15
【題型4】線段大小的比較 18
【題型5】線段的和差倍分 21
【知識點1】相交線
（1）相交線的定義
兩條直線交于一點，我們稱這兩條直線相交．相對的，我們稱這兩條直線為相交線．
（2）兩條相交線在形成的角中有特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的有對頂角和鄰補角兩類．
（3）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外）．
1.（2024春 襄都區(qū)月考）下列圖形滿足“直線l1與直線l2相交，點M既在直線l1，又在直線l2上”的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)直線l1與直線l2相交，點M既在直線l1，又在直線l2上進行判斷，即可得出結(jié)論．
【解答】解：A．直線l1與直線l2相交，點M在直線l1，不在直線l2上，故本選項不符合題意；
B．直線l1與直線l2相交，點M不在直線l1，在直線l2上，故本選項不符合題意；
C．直線l1與直線l2相交，點M既在直線l1，又在直線l2上，故本選項符合題意；
D．直線l1與直線l2相交，點M既不在直線l1，也不在直線l2上，故本選不項符合題意；
故選：C．
2.（2023秋 佛山期末）若平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個交點，則平面被分成了（　　）個部分．
A．7或8 B．8 C．8或9 D．10
【答案】C
【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可．
【解答】解：如圖，
所以，平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個交點，則平面被分成了8或9個部分，
故選：C．
【知識點2】直線、射線、線段
（1）直線、射線、線段的表示方法
①直線：用一個小寫字母表示，如：直線l，或用兩個大寫字母（直線上的）表示，如直線AB．
②射線：是直線的一部分，用一個小寫字母表示，如：射線l；用兩個大寫字母表示，端點在前，如：射線OA．注意：用兩個字母表示時，端點的字母放在前邊．
③線段：線段是直線的一部分，用一個小寫字母表示，如線段a；用兩個表示端點的字母表示，如：線段AB（或線段BA）．
（2）點與直線的位置關(guān)系：①點經(jīng)過直線，說明點在直線上；②點不經(jīng)過直線，說明點在直線外．
1.（2024秋 吳橋縣期末）如圖幾何圖形與相應(yīng)語言描述相符的有（　　）
①直線a,b相交于點A ②射線CD與線段AB沒有公共點 ③延長線段AB ④直線MN經(jīng)過點A
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義即可作答．
【解答】解：①直線a,b相交于點A，故本選項符合題意；
②射線CD與線段AB有公共點，故本選項不符合題意；
③延長線段AB，故本選項符合題意；
④直線MN未經(jīng)過點A，故本選項不符合題意．
故選：B．
2.（2024秋 房山區(qū)期末）如圖，若射線AB上有一點C，下列與射線AB是同一條射線的是（　　）
A．射線BA B．射線AC C．射線BC D．射線CB
【答案】B
【分析】根據(jù)射線的定義可求解．
【解答】解：與射線AB是同一條射線的是射線AC，
故選：B．
【知識點3】垂線
（1）垂線的定義
當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．
（2）垂線的性質(zhì)
在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“過一點”的點在直線上或直線外都可以．
1.（2025春 萬年縣期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，射線OE⊥CD于點O，若∠AOD=26°，則∠BOE的度數(shù)為（　　）
A．116° B．126° C．144° D．154°
【答案】A
【分析】由垂直的定義得到∠COE=90°，由對頂角相等得到∠BOC=∠AOD=26°，即可求出∠BOE的度數(shù)．
【解答】解：∵OE⊥CD于點O，
∴∠COE=90°，
∵∠BOC=∠AOD=26°，
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=116°．
故選：A．
2.（2025春 蜀山區(qū)校級期末）已知∠AOB=25°，OD⊥OB，以O(shè)為頂點作射線OC，使∠AOC=2∠AOB，若設(shè)∠COD=α（0°＜α＜180°），則α的值有可能為：①α=15°；②α=65°；③α=115°；④α=165°．以上結(jié)論中正確的個數(shù)是（　　）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，分情況討論射線OC和OD的位置，計算出∠COD的可能值即可．
【解答】解：由條件可知∠AOC=50°，∠BOD=90°，
如圖，分四種情況進行討論：

由圖可知：∠C1OD=∠BOD-∠AOC1-∠AOB=15°；
∠C2OD=∠BOD+∠AOC2-∠AOB=115°；
∠C3OD=∠BOD+∠AOC3+∠AOB=165°；
∠C4OD=∠BOD-（∠AOC4-∠AOB）=65°；
綜上：正確的個數(shù)是4個；
故選：A．
【知識點4】點到直線的距離
（1）點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．
（2）點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形．
1.（2025春 天河區(qū)期末）如圖，直線外一點O，點C、D、E、F都在直線AB上，則點O到直線AB的距離是（　　）
A．線段OC的長度 B．線段OD的長度
C．線段OE的長度 D．線段OF的長度
【答案】B
【分析】直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，根據(jù)定義作出判斷即可．
【解答】解：∵直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，
∴由圖可知，點O到直線AB的距離是線段OD的長度．
故選：B．
2.（2025春 羅湖區(qū)期末）如圖，A，B，C，D四點在直線l上，點M在直線l外，MC⊥l,若MA=5cm,MB=4cm,MC=2cm,則點M到直線l的距離是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】A
【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義即可求解．
【解答】解：由條件可知點M到直線l的距離是2cm,
故選：A．
3.（2025春 壽縣期末）如圖，點A在直線l1上，點B，C在直線l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，BC=3，AB=4，AC=5．有下列結(jié)論：①點A到直線l2的距離等于4；②點C到直線l1的距離等于3；③點C到AB的距離等于5．其中，正確的個數(shù)有（　　）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】B
【分析】直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，根據(jù)點到直線的距離的概念解答即可．
【解答】解：根據(jù)點到直線的距離的概念可知，
點A到直線l2的距離等于4，故①正確；
點C到直線l1的距離等于5，故②不正確；
點C到AB的距離等于3，故③不正確．
故選：B．
【知識點5】直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線
（1）直線公理：經(jīng)過兩點有且只有一條直線．
簡稱：兩點確定一條直線．
（2）經(jīng)過一點的直線有無數(shù)條，過兩點就唯一確定，過三點就不一定了．
1.（2024秋 西山區(qū)期末）下列說法中，正確的是（　　）
A．射線AB和射線BA是同一條射線
B．近似數(shù)3.1和3.10的精確度相同
C．若|a-1|=a-1，則a＞1
D．兩點確定一條直線
【答案】D
【分析】分別根據(jù)射線，近似數(shù)的定義，絕對值的定義和直線的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：A．射線AB和射線BA的端點不同，所以不是同一條射線，故不符合題意；
B．近似數(shù)3.1和3.10的精確度不相同，故不符合題意；
C．若|a-1|=a-1，則a≥1，故不符合題意；
D．兩點確定一條直線，故符合題意．
故選：D．
2.（2024秋 徐州校級月考）下列幾種生活、生產(chǎn)現(xiàn)象：①植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；②把彎曲的公路改直，就能縮短路程；③用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；④從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段AB架設(shè)．其中可用數(shù)學知識“兩點確定一條直線”來解釋的現(xiàn)象有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】由線段的性質(zhì)：兩點之間，線段最短，直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線，即可判斷．
【解答】解：①植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線，用到的知識為兩點確定一條直線；
②把彎曲的公路改直，就能縮短路程，用到的知識為兩點之間，線段最短；
③用兩個釘子就可以把木條固定在墻上，用到的知識為兩點確定一條直線；
④從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段AB架設(shè)，用到的知識為兩點之間，線段最短；
故選：B．
【知識點6】垂線段最短
（1）垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段．
（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．
正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言．
（3）實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個中去選擇．
1.（2025春 曲阜市期末）數(shù)學源于生活，用于生活，我們要會“用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”．下列生活場景中，用到“垂線段最短”這一數(shù)學原理的是（　　）
A．
打靶瞄準 B．
拉繩插秧
C．
跳遠測量成績 D．
彎曲河道改直
【答案】C
【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)，直線的性質(zhì)和垂線段最短分別判斷即可．
【解答】解：A、打靶瞄準為兩點確定一條直線，故該選項不符合題意；
B、拉繩插秧為兩點確定一條直線，故該選項不符合題意；
C、跳遠測量成績?yōu)榇咕€段最短，故該選項符合題意；
D、彎曲河道改直為兩點之間，線段最短，故該選項不符合題意；
故選：C．
2.（2024秋 晉安區(qū)期末）在下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象中，可以用基本事實“垂線段最短”來解釋的是（　　）
A．
平板彈墨線 B．
建筑工人砌墻
C．
彎河道改直 D．
測量跳遠成績
【答案】D
【分析】根據(jù)垂線段最短解答即可．
【解答】解：A、平板彈墨線，用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋，不符合題意；
B、建筑工人砌墻，用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋，不符合題意；
C、彎河道改直，用基本事實“兩點之間，線段最短”來解釋，不符合題意；
D、測量跳遠成績，用基本事實“垂線段最短”來解釋，符合題意；
故選：D．
【題型1】與線段中點有關(guān)的計算
【典型例題】如圖，點A、B、C順次在直線l上，點M是線段AC的中點，點N是線段BC的中點．若想求出MN的長度，那么只需條件（　　）
A.AB＝12 B.BC＝4 C.AM＝5 D.CN＝2
【答案】A
【解析】根據(jù)點M是線段AC的中點，點N是線段BC的中點，可知：，
∴只要已知AB即可．
故選：A．
【舉一反三1】如圖，C，D是線段AB上的兩點，且D是線段AC的中點，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，則AD的長為(　　)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
【答案】B
【舉一反三2】已知線段，點是直線上一點，，點是線段的中點，則的長為（ ）
A.或 B. C. D.或
【答案】D
【解析】①如圖1，
∵，，
∴，
∵點D為線段的中點，
∴，
∴；
②如圖2，
∵，，
∴，
∵點D為線段的中點，
∴，
∴；
∴的長為或．
故選：D．
【舉一反三3】電影《哈利 波特》中，小哈利波特穿越墻進入“站臺”的鏡頭（如示意圖的Q站臺），構(gòu)思奇妙，能給觀眾留下深刻的印象．若A、B站臺分別位于，處，，則P站臺用類似電影的方法可稱為“ 站臺”．
【答案】或6
【解析】，
，或，
P：，或.
故P站臺用類似電影的方法可稱為“站臺”或者“6站臺”．
【舉一反三4】線段，點A在直線上，且，B為線段的中點，則線段的長為（　　）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】B
【解析】∵線段，點A在線段上，且，如圖，
∴,
∴，
∵為線段的中點，
∴，
當點A在線段的延長線上，
∴，
∴，
∵為線段的中點，
∴．
故選：B．
【舉一反三5】任意畫一個四邊形ABCD，記其四邊的中點分別為E，F(xiàn)，G，H，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，并量出它們的長，你發(fā)現(xiàn)了什么？量出圖中∠1，∠2，∠3，∠4的度數(shù)，你又發(fā)現(xiàn)了什么？多畫幾個四邊形試一試，你能得到什么猜想？
【答案】解：通過測量可以發(fā)現(xiàn)：EF=GH，EH=FG，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∠1=∠3，∠2=∠4，
可以猜想：四邊形EFGH為平行四邊形．
【題型2】直線和線段的性質(zhì)（基本事實）
【典型例題】高速公路是指專供汽車高速行駛的公路．高速公路在建設(shè)過程中，通常要從大山中開挖隧道穿過，把道路取直以縮短路程．其中的數(shù)學原理是（　　）
A.兩點之間線段最短
B.兩點確定一條直線
C.平行線之間的距離最短
D.平面內(nèi)經(jīng)過一點有無數(shù)條直線
【答案】A
【解析】在高速公路的建設(shè)中，通常從大山中開挖隧道穿過，把道路取直，以縮短路程，這是因為：兩點之間，線段最短．
故選：A．
【舉一反三1】在下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象中，可以用基本事實“兩點之間，線段最短”來解釋的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意可得，
平面彈墨線是兩點確定一條直線，不符合題意，
建筑工人砌墻是兩點確定一條直線，不符合題意，
會場擺放茶杯是連點確定一條直線，不符合題意，
彎河道改直用的是兩點間線段最短，
故選：D．
【舉一反三2】在下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象中，可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的是（　　）
①用兩顆釘子就可以把木條固定在墻上；
②把筆尖看成一個點，當這個點運動時便得到一條線；
③把彎曲的公路改直，就能縮短路程；
④植樹時，只要栽下兩棵樹，就可以把同一行樹栽在同一條直線上．
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
【答案】C
【解析】①用兩顆釘子就可以把木條固定在墻上，可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋；
②把筆尖看成一個點，當這個點運動時便得到一條線，可以用基本事實“無數(shù)個點組成線”來解釋；
③把彎曲的公路改直，就能縮短路程，可以用基本事實“兩點之間線段最短”來解釋；
④植樹時，只要栽下兩棵樹，就可以把同一行樹栽在同一條直線上，可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋．
故選：C．
【舉一反三3】四個村莊A、B、C、D位置如圖，現(xiàn)要在平面內(nèi)建造一個天然氣供應(yīng)站，并從供應(yīng)站向四個村莊鋪設(shè)天然氣管道，為使鋪設(shè)的管道總長最短，則天然氣供應(yīng)站應(yīng)建造的位置是(　　)
A.點A處
B.線段AC的中點處
C.任意兩村莊所連線段的中點處
D.線段AC和線段BD的交點處
【答案】D
【解析】根據(jù)兩點之間線段最短，則天然氣供應(yīng)站應(yīng)建造的位置是：線段AC和線段BD的交點處．
故選：D．
【舉一反三4】如圖，蒙蒙同學用剪刀沿直線將一張圓形紙片剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下的部分的周長比原圓形周長要小，這其中的道理是 　 　．
【答案】兩點之間，線段最短
【解析】根據(jù)題意可知這其中的道理是兩點之間，線段最短.
【舉一反三5】過一個已知點可以畫 條直線，過兩點可以畫 條直線，過三點 畫直線．(選填“能”“不能”或“不一定能”)
【答案】無數(shù)條 1 不一定能
【解析】過一個已知點可以畫無數(shù)條條直線，過兩點可以畫1條直線，過三點不一定能畫直線，因為只有三點在一條直線上時可以畫一條直線，否則無法過三點畫直線．
【舉一反三6】用一個釘子把一根細木條釘在木板上，用手撥木條，木條能轉(zhuǎn)動，這說明什么？在細木條上再釘一個釘子，細木條就被固定在木板上，這說明什么？
【答案】解：用一個釘子把一根細木條釘在木板上，用手撥木條，木條能轉(zhuǎn)動，這說明經(jīng)過一點可以作無數(shù)條直線；
在細木條上再釘一個釘子，細木條就被固定在木板上，這說明兩點確定一條直線.
【舉一反三7】如圖所示，工廠A與工廠B想在公路m旁修建一座共用的倉庫O，并且要求O到A與O到B的距離之和最短，請你在公路m上確定倉庫O的位置，同時說明你選擇該點的理由．
【答案】解：如圖，連接AB交直線m于點O，則O點即為所求的點．
理由如下：因為連接兩點間的所有連線中，線段最短，
所以O(shè)A＋OB最短．
【題型3】直線、射線、線段的表示及畫法
【典型例題】下列語句中，正確的是（　　）
A.反向延長線段AB，得到射線BA
B.延長線段AB到點C，使BC=AC
C.若AB=a，則射線AB=a
D.取直線AB的中點C
【答案】A
【解析】A.反向延長線段AB，得到射線BA，正確；
B.延長線段AB到點C，使BC=AB，錯誤；
C.射線不能用一個小寫字母表示，錯誤；
D.取線段AB的中點C，直線不能取中點，錯誤.
故選：A.
【舉一反三1】如圖，用適當?shù)恼Z句表述圖中點與直線的關(guān)系，錯誤的是（　　）
A.點P在直線AB外 B.點C在直線AB外 C.直線AC不經(jīng)過點M D.直線AC經(jīng)過點B
【答案】B
【解析】A.點P在直線AB外，正確，故A不符合題意；
B.點C在直線AB上，故B符合題意；
C.直線AB不經(jīng)過點P，正確，故C不符合題意；
D.直線AB經(jīng)過點B，正確，故D不符合題意．
故選：B．
【舉一反三2】關(guān)于圖中的點和線，下列說法錯誤的是（　　）
A.點C在直線AB上 B.點C在線段AB上 C.點B在射線AC上 D.點B在線段AC上
【答案】D
【解析】根據(jù)圖形可知：點C在直線AB上正確，故選項A正確，不符合題意；
點C在線段AB上正確，故選項B正確，不符合題意；
點B在射線AC上正確，故選項C正確，不符合題意；
點B在線段AC上不正確，故選項D不正確，符合題意．
故選：D．
【舉一反三3】如圖，圖中以B為一個端點的線段共有（　　）
A.2條 B.3條 C.4條 D.5條
【答案】B
【解析】以B為端點的線段有AB、CB、DB，共3條.
故選：B．
【舉一反三4】如圖：圖中射線有 條．
【答案】7
【解析】以C為端點的有1條，以B為端點的有1條，以A為端點的有1條，以O(shè)為端點時有2條，以P為端點的有1條，以E為端點的有1條，射線共有7條．
【舉一反三5】如圖，棋盤上有黑、白兩色棋子若干，若直線l經(jīng)過3枚顏色相同的棋子，則這樣的直線共有 　 　條．
【答案】3
【解析】如圖所示，則所有三顆顏色相同的棋并且在同一直線上的直線共有3條.
【舉一反三6】如圖，一根長10cm的木棒，棒上有兩個刻度，把它作為尺子，量一次要量出一個長度，則能量出 個長度．
【答案】6
【解析】∵圖中共有3+2+1=6條線段，∴能量出6個長度．
【舉一反三7】如圖，已知三點A、B、Q，請畫直線AB，并描述點Q和直線AB的位置關(guān)系.
【答案】解：如圖，點Q和直線AB的位置關(guān)系：點Q不在直線AB上.
【舉一反三8】如圖，在平面內(nèi)有 A，B，C三點，請在圖中回答下列問題：

(1)畫直線；
(2)畫射線；
(3)畫線段；
(4)在線段上任取一點D (不同于 B，C)，連接，并延長至點 E，使；
(5)在上述所畫的圖中，數(shù)一數(shù)，此時圖中共有多少條線段？
【答案】解：（1）如圖所示，直線即為所求；

（2）如圖所示，射線即為所求；
（3）如圖所示，線段即為所求；
（4）如圖所示，線段和線段即為所求；
（5）圖中的線段有：線段，線段，線段，線段，線段，線段，線段和線段，共有8條線段．
【題型4】線段大小的比較
【典型例題】把兩條線段AB和CD放在同一條直線上比較長短時，下列說法錯誤的是（　　）
A.如果線段AB的兩個端點均落在線段CD的內(nèi)部，那么AB＜CD
B.如果A，C重合，B落在線段CD的內(nèi)部，那么AB＜CD
C.如果線段AB的一個端點在線段CD的內(nèi)部，另一個端點在線段CD的外部，那么AB＞CD
D.如果B，D重合，A，C位于點B的同側(cè)，且落在線段CD的外部，則AB＞CD
【答案】C
【解析】A、如果線段AB的兩個端點均落在線段CD的內(nèi)部，那么AB＜CD，故本選項正確；
B、如果A，C重合，B落在線段CD的內(nèi)部，那么AB＜CD，故本選項正確；
C、如果線段AB的一個端點在線段CD的內(nèi)部，另一個端點在線段CD的外部，則AB有可能大于或等于或小于CD，故本選項錯誤；
D、如果B，D重合，A，C位于點B的同側(cè)，且落在線段CD的外部，則AB＞CD，故本選項正確．
故選：C．
【舉一反三1】在線段MN上，分別以點M，N為圓心，c為半徑畫弧，交線段MN于點E，F(xiàn)，如圖所示，則線段MF與NE的大小關(guān)系是（　　）
A.MF＞NE B.MF＜NE C.MF＝NE D.不能確定
【答案】C
【解析】由題意得ME＝NF，又∵MF＝MN﹣NF，NE＝MN﹣ME，∴MF＝NE．
故選：C．
【舉一反三2】點C為線段AB延長線上的一點、則線段AB、BC、AC間大小關(guān)系正確的是(　　)
A.BC＞AB B.AB＞BC C.BC＝AB D.AC＞AB
【答案】D
【解析】如圖，AC＞AB，故D選項正確.
故選：D．
【舉一反三3】如圖，AC＞BD，則AD與BC的大小關(guān)系是：AD 　 　BC．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【答案】＞
【解析】∵AC＞BD，∴AC+CD＞BD+CD，∴AD＞BC．
【舉一反三4】如圖，比較線段的長短：AB 　 　AC．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＜
【解析】由圖可知，AB＜AC．
【舉一反三5】比較圖中下列線段的大小（填“＜”，“＞”或“＝”）：
（1）AD 　 　BC；
（2）AB 　 　CD；
（3）AC 　 　BD；
（4）AO 　 　CO．
【答案】＝；＝；＞；＝
【解析】所畫圖形是平行四邊形，∴（1）AD＝BC；（2）AB＝CD；（3）AC＞BD；（4）AO＝CO.
【舉一反三6】圖①中的線段a與線段b一樣長嗎？圖②中的線段AB與線段CD在同一直線上嗎？先觀察猜想，再借助工具驗證．
【答案】解：觀察圖形得圖①中的線段a與線段b一樣長，圖②中的線段AB與線段CD在同一直線上．
【舉一反三7】分別比較圖（1）（2）（3）中各條線段的長短：
（1）
（2）
（3）
【答案】解：分別利用刻度尺測量即可，
（1）CD＞AB；
（2）CD＞AB；
（3）AB＞BC＞AD＝CD．
【題型5】線段的和差倍分
【典型例題】如果A、 B、C三點在同一直線上，線段AB=3cm，BC=2cm，那么A、C兩點之間的
距離為（ ）
A.1cm B.5cm C.1cm或5cm D.無法確定
【答案】C
【解析】試題解析：由題意可知，C點分兩種情況，
①C點在線段AB延長線上，如圖1，
AC=AB+BC=3+2=5cm；
②C點在線段AB上，如圖2，
AC=AB-BC=3-2=1cm．
綜合①②A、C兩點之間的距離為1cm或5cm．
故選：C．
【舉一反三1】已知在同一直線上有A，B，C三個點，且AB＝3，BC＝2，則AC的長為(　　)
A.5 B. C.5或1 D.或1
【答案】C
【解析】如圖1，AC＝AB﹣BC＝3﹣2＝1；
如圖2，AC＝AB+BC＝3+2＝5，
所以AC的長為5或1．
故選：C．
【舉一反三2】如圖，線段AB＝8cm，點C是AB的中點，點D在CB上且DB＝1.5cm，則線段CD的長(　　)
A.2.5cm B.3.5cm C.2cm D.3cm
【答案】A
【解析】∵線段AB＝8cm，點C是AB的中點，∴BC＝AB＝4(cm)，
∵DB＝1.5cm，∴CD＝BC﹣BD＝4﹣1.5＝2.5(cm)．
故選：A．
【舉一反三3】已知線段AB＝20cm，PA+PB＝30cm，下列說法正確的是（　　）
A.點P不能在直線AB上
B.點P只能在直線AB外
C.點P只能在線段AB延長線上
D.點P不能在線段AB上
【答案】D
【解析】點P在線段AB上時，PA+PB＝AB＝20cm，
∵PA+PB＝30cm，∴點P不能在線段AB上；
點P在直線AB外，一定能找到AB＝20cm，PA+PB＝30cm的點P；
點P在線段BA的延長線上，如圖1，若PA＝5cm，則PB＝AB+PA＝25cm，
所以，PA+PB＝5+25＝30cm；
點P在線段AB的延長線上，如圖2，若PB＝5cm，則PA＝AB+PB＝20+5＝25cm，
所以，PA+PB＝25+5＝30cm．
綜上所述，點P可以在線段AB的延長線上，BA的延長線上，直線AB外，不能在線段AB上．
故選：D．
【舉一反三4】畫直線a，并在直線a上截取線段AB＝5cm，再在直線a上截取線段BC＝2cm，則線段AC的長是　　 ．
【答案】3或7
【解析】①由圖示可知AC＝AB﹣BC＝5﹣2＝3；
②由圖示可知AC＝AB+BC＝5+2＝7.
【舉一反三5】已知線段AB＝10cm，直線AB上有一點C，且BC＝6cm，AC的長為 　 　．
【答案】4cm或16cm
【解析】本題有兩種情況：
（1）當點C在線段AB上時，如圖，AC＝AB﹣BC，又∵AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝10﹣6＝4cm；
（2）當點C在線段AB的延長線上時，如圖，AC＝AB+BC，又∵AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝10+6＝16cm．
故答案填4cm或16cm．
【舉一反三6】如圖，點C為線段上一點，點B為的中點，且．
(1)圖中共有多少條線段，請寫出這些線段；
(2)求的長；
(3)若點E在直線上，且，求的長．
【答案】解：（1）圖中的線段有：，共6條；
（2）∵點B為的中點，，
∴，
∵，
∴；
（3）如圖1，當點E在上時，
∵，
∴；
如圖2，當點E在延長線上時，
∵，
∴；
綜上，的長為或．

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