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6.4線段的和差
【知識點1】線段的和差 1
【題型1】線段的和與差 1
【題型2】線段中點的有關(guān)計算 2
【題型3】與線段有關(guān)的綜合問題 2
【知識點1】線段的和差
線段的和差問題，通常可以考慮用“截長法”或“補短法”來完成
【題型1】線段的和與差
【典型例題】能斷定A，B，C三點在一條直線上的是(　　)
A. AB＝2，BC＝3，AC＝4
B. AB＝6，BC＝6，AC＝6
C. AB＝8，BC＝6，AC＝2
D. AB＝12，BC＝13，AC＝15
【舉一反三1】平面上有A、B、C三點，已知AB＝8 cm，BC＝5 cm，則AC的長是(　　)
A. 13 cm B. 3 cm C. 13 cm或3 cm D. 不能確定
【舉一反三2】一支水筆正好與一把直尺平靠放在一起，小明發(fā)現(xiàn)：水筆的筆尖正好對著直尺刻度約為5.6 cm處，另一端正好對著直尺刻度約為20.6 cm處，則水筆的中點位置對著的直尺刻度約為__________ cm．
【舉一反三3】如圖，將一根繩子對折后用線段AB表示，現(xiàn)從P處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長的一段為60 cm，若AP＝PB，則這條繩子的原長為__________cm．
【舉一反三4】已知B、C在線段AD上．
(1)如圖，圖中共有__________條線段，AD＝__________+__________﹣__________；
(2)如圖，若AB：BD＝2：5．AC：CD＝4：1．且BC＝18，求AD的長度．
【舉一反三5】已知線段AB＝12，在AB上有C、D、M、N四點，且AC：CD：DB＝1：2：3．AM＝AC，DN＝BD，求線段MN的長．
【題型2】線段中點的有關(guān)計算
【典型例題】已知點C是線段AB的三等分點，點D是線段AC的中點．若線段BA的長度為12 cm，則線段AD的長度為(　　)
A. 2 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 2 cm或4 cm
【舉一反三1】如果點B在線段AC上，那么下列表達式中：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝2AB；④AB＋BC＝AC，能表示B是AC中點的有(　　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【舉一反三2】如圖，點C，D是線段AB上的兩點，CB＝9，DB＝15，點D為線段AC的中點，則線段AB的長為 　 　．
【舉一反三3】已知一條直線上從左到右依次有A、B、C三個點．
(1)若BC＝10，AC＝3AB，直接寫出AB的長度為 　 　．
(2)若D是射線BC上一點，M是BD的中點，N是CD的中點，求的值．
【舉一反三4】如圖，M是線段AC的中點，N是線段BC的中點．
(1)如果AC＝8 cm，BC＝6 cm，求MN的長．
(2)如果AM＝5 cm，CN＝2 cm，求線段AB的長．
【題型3】與線段有關(guān)的綜合問題
【典型例題】下列說法中，正確的有(　　)個.
①過兩點有且只有一條直線；②連接兩點的線段叫做兩點間的距離；
③兩點之間，線段最短；④若AB=BC，則點B是線段AC的中點；
⑤射線AB和射線BA是同一條射線；⑥直線有無數(shù)個端點．
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
【舉一反三1】線段AB被分為2：3：4三部分，已知第一部分和第三部分的中點間的距離是6.6 cm，則線段AB的長為(　　)
A. 8.9 cm B. 9.9 cm C. 10.8 cm D. 11.7 cm
【舉一反三2】如圖，C、D、E為線段AB上三點，且AC=12CD，E為BD的中點，DE=15AB=2 cm，則CE的長為 cm．
【舉一反三3】數(shù)軸上A、B兩點離開原點的距離分別為2和3，則AB兩點間的距離為 ．
【舉一反三4】如圖所示，點C在線段AB上，AC=8 cm，CB=6 cm，點M、N分別是AC、BC的中點．
(1)求線段MN的長．
(2)若C為線段AB上任意一點，滿足AC+CB=a cm，其他條件不變，你能猜想出MN的長度嗎？并說明理由．
(3)若C在線段AB的延長線上，且滿足AC-CB=b cm，M、N分別為AC、BC的中點，你能猜想出MN的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．
【舉一反三5】如圖，點C是線段AB的中點．
(1)若點D在線段CB上，且DB=3.5 cm，AD=6.5 cm，求線段CD的長度；
(2)若將(1)中的點“D在線段CB上”改為“點D在直線CB上”，其它條件不變，請畫出相應(yīng)的示意圖，并求出此時線段CD的長度；
(3)若線段AB=12 cm，點C在AB上，點D、E分別是AC和BC的中點．
①當點C恰是AB中點時，則DE= cm．
②當AC=4 cm，時，求DE的長；
③當點C在線段AB上運動時(點C與A、B重合除外)，求DE的長．6.4線段的和差
【知識點1】線段的和差 1
【題型1】線段的和與差 1
【題型2】線段中點的有關(guān)計算 4
【題型3】與線段有關(guān)的綜合問題 6
【知識點1】線段的和差
線段的和差問題，通常可以考慮用“截長法”或“補短法”來完成
【題型1】線段的和與差
【典型例題】能斷定A，B，C三點在一條直線上的是(　　)
A. AB＝2，BC＝3，AC＝4
B. AB＝6，BC＝6，AC＝6
C. AB＝8，BC＝6，AC＝2
D. AB＝12，BC＝13，AC＝15
【答案】C
【解析】A項，因為2＋3≠4，所以A，B，C三點不在一條直線上，錯誤；
B項，因為6＋6≠6，所以A，B，C三點不在一條直線上，錯誤；
C項，因為6＋2＝8，所以A，B，C三點在一條直線上，正確；
D項，因為12＋13≠15，所以A，B，C三點不在一條直線上，錯誤．
【舉一反三1】平面上有A、B、C三點，已知AB＝8 cm，BC＝5 cm，則AC的長是(　　)
A. 13 cm B. 3 cm C. 13 cm或3 cm D. 不能確定
【答案】D
【解析】①三點在一條直線上時，
AC＝AB+BC＝8+5＝13(cm)或AC＝AB﹣BC＝8﹣5＝3(cm)；
②三點不在一條直線上時，
由三角形三邊的關(guān)系可知：
AB﹣AC＜BC＜AB+AC，
即3＜BC＜13．
綜合以上可知只要答案D符合要求．
故選：D．
【舉一反三2】一支水筆正好與一把直尺平靠放在一起，小明發(fā)現(xiàn)：水筆的筆尖正好對著直尺刻度約為5.6 cm處，另一端正好對著直尺刻度約為20.6 cm處，則水筆的中點位置對著的直尺刻度約為__________ cm．
【答案】13.1
【解析】∵這支水筆的長約是20.6﹣5.6＝15(cm)，
∴水筆的中點位置對著的直尺刻度約是5.6+×15＝13.1(cm)．
故答案為：13.1．
【舉一反三3】如圖，將一根繩子對折后用線段AB表示，現(xiàn)從P處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長的一段為60 cm，若AP＝PB，則這條繩子的原長為__________cm．
【答案】100或150
【解析】①當PB的2倍最長時，得PB＝30，
∴AP＝PB＝20，
∴AB＝AP+PB＝50，
∴這條繩子的原長為2AB＝100 cm，
②當AP的2倍最長時，得AP＝30，
∵AP＝PB，
∴PB＝AP＝45，
∴AB＝AP+PB＝75，
∴這條繩子的原長為2AB＝150 cm．
故答案為：100 cm或150 cm．
【舉一反三4】已知B、C在線段AD上．
(1)如圖，圖中共有__________條線段，AD＝__________+__________﹣__________；
(2)如圖，若AB：BD＝2：5．AC：CD＝4：1．且BC＝18，求AD的長度．
【答案】解：(1)圖中線段有：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6條；AD＝AC+BD﹣BC．
故答案為：6；AC，BD，BC(答案不唯一)．
(2)設(shè)AD＝x，
因為AB：BD＝2：5，AC：CD＝4：1，
所以，．
因為AC﹣AB＝BC，BC＝18，
所以，
解得x＝35，
所以AD＝35．
【舉一反三5】已知線段AB＝12，在AB上有C、D、M、N四點，且AC：CD：DB＝1：2：3．AM＝AC，DN＝BD，求線段MN的長．
【答案】解：當C點在線段AB上：
∵AB＝12，AC：CD：DB＝1：2：3，
∴AC＝×12＝2，CD＝×12＝4，DB＝×12＝6，
∴AM＝AC＝1，DN＝BD＝，
①當點N在點D右側(cè)時，如圖1，MN＝MC+CD+DN＝2﹣1+4+＝；
②當點N在點D左側(cè)時，如圖2，MN＝MC+CD﹣DN＝2﹣1+4﹣＝．
綜上所述，線段MN的長為或．
【題型2】線段中點的有關(guān)計算
【典型例題】已知點C是線段AB的三等分點，點D是線段AC的中點．若線段BA的長度為12 cm，則線段AD的長度為(　　)
A. 2 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 2 cm或4 cm
【答案】D
【解析】①如圖1，
因為C是線段AB的三等分點，AB＝12 cm，
所以AC＝AB＝×12＝4(cm)，
因為D是線段AC的中點，
所以AD＝AC＝×4＝2(cm)；
②如圖2，
因為C是線段AB的三等分點，AB＝12 cm，
所以AC＝AB＝×12＝8(cm)，
因為D是線段AC的中點，
所以AD＝AC＝×8＝4(cm)．
【舉一反三1】如果點B在線段AC上，那么下列表達式中：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝2AB；④AB＋BC＝AC，能表示B是AC中點的有(　　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】C
【解析】AB＝AC，AB＝BC，AC＝2AB能說明點B是AC中點，而AB＋BC＝AC不能說明．
【舉一反三2】如圖，點C，D是線段AB上的兩點，CB＝9，DB＝15，點D為線段AC的中點，則線段AB的長為 　 　．
【答案】21
【解析】∵DB＝15，CB＝9，
∴DC＝DB﹣CB＝15﹣9＝6，
∵點D為線段AC的中點，
∴AD＝DC＝6，
∴AB＝AD+DB＝6+15＝21，
故答案為：21．
【舉一反三3】已知一條直線上從左到右依次有A、B、C三個點．
(1)若BC＝10，AC＝3AB，直接寫出AB的長度為 　 　．
(2)若D是射線BC上一點，M是BD的中點，N是CD的中點，求的值．
【答案】解： (1)如圖：
∵AC＝AB+BC，AC＝3AB，
∴3AB＝AB+BC
∵BC＝10，
∴2AB＝10，
∴AB＝5，
故答案為：5；
(2)∵點M為BD的中點，點N為CD的中點，
∴BD＝2BM＝2DM，CD＝2DN＝2CN，
若點D在BC之間時，如圖：
∴BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，
∴＝2，
②若點D在AB之間時，如圖：
∴BC＝DC﹣DB
＝2DN﹣2DM
＝2(DN﹣DM)
＝2MN，
∴＝2；
③若點D在A點左側(cè)時，如圖：
∴BC＝CD﹣BD
＝2DN﹣2DM
＝2(DN﹣DM)
＝2MN，
∴＝2，
綜上所述，＝2．
【舉一反三4】如圖，M是線段AC的中點，N是線段BC的中點．
(1)如果AC＝8 cm，BC＝6 cm，求MN的長．
(2)如果AM＝5 cm，CN＝2 cm，求線段AB的長．
【答案】解：(1)∵M是AC的中點，N是BC的中點，
∴MN＝MC+CN＝AC+BC＝AB＝7 cm．
則MN＝7 cm．
(2)∵M是線段AC的中點，N是線段BC的中點，
若AM＝5 cm，CN＝2 cm，
∴AB＝AC+BC＝10+4＝14 cm．
【題型3】與線段有關(guān)的綜合問題
【典型例題】下列說法中，正確的有(　　)個.
①過兩點有且只有一條直線；②連接兩點的線段叫做兩點間的距離；
③兩點之間，線段最短；④若AB=BC，則點B是線段AC的中點；
⑤射線AB和射線BA是同一條射線；⑥直線有無數(shù)個端點．
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
【答案】A
【解析】①過兩點有且只有一條直線，正確，②連接兩點的線段叫做兩點間的距離，不正確，應(yīng)為連接兩點的線段的長度叫做兩點間的距離，③兩點之間，線段最短，正確，④若AB=BC，則點B是線段AC的中點，不正確，只有點B在AC上時才成立，⑤射線AB和射線BA是同一條射線，不正確，端點不同，⑥直線有無數(shù)個端點．不正確，直線無端點．共2個正確，故選A．
【舉一反三1】線段AB被分為2：3：4三部分，已知第一部分和第三部分的中點間的距離是6.6 cm，則線段AB的長為(　　)
A. 8.9 cm B. 9.9 cm C. 10.8 cm D. 11.7 cm
【答案】B
【解析】如圖：
設(shè)AC=2x，CD=3x，DB=4x，由線段中點的性質(zhì)，得EC=x，DF=2x，
由線段的和差，得EF=EC+CD+DF=x+3x+2x=6.6 cm，解得x=1.1 cm．
由線段的和差，得AB=AC+CD+DB=2x+3x+4x=9x=9×1.1=9.9 cm．故選B．
【舉一反三2】如圖，C、D、E為線段AB上三點，且AC=12CD，E為BD的中點，DE=15AB=2 cm，則CE的長為 cm．
【答案】6
【解析】∵DE=15AB=2 cm，∴AB=2×5=10，∵E為BD的中點，∴BD=2DE=2×2=4 cm，∴AD=AB-BD=10-4=6 cm，
∵AC= CD，∴CD= AD=×6=4 cm，∴CE=CD+DE=4+2=6 cm．故答案為：6．
【舉一反三3】數(shù)軸上A、B兩點離開原點的距離分別為2和3，則AB兩點間的距離為 ．
【答案】5或1
【解析】∵數(shù)軸上A、B兩點離開原點的距離分別為2和3可得出點A表示±2，點B表示±3，∴當點A、B在原點的同側(cè)時，AB=|3-2|=1；當點A、B在原點的異側(cè)時，AB=|-2-3|=5．故答案為：5或1．
【舉一反三4】如圖所示，點C在線段AB上，AC=8 cm，CB=6 cm，點M、N分別是AC、BC的中點．
(1)求線段MN的長．
(2)若C為線段AB上任意一點，滿足AC+CB=a cm，其他條件不變，你能猜想出MN的長度嗎？并說明理由．
(3)若C在線段AB的延長線上，且滿足AC-CB=b cm，M、N分別為AC、BC的中點，你能猜想出MN的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．
【答案】解 (1)∵點M、N分別是AC、BC的中點，∴MC=AC=×8 cm=4 cm，NC=BC=×6 cm=3 cm，∴MN=MC+NC=4 cm+3 cm=7 cm；
(2)MN=a cm．理由如下：∵點M、N分別是AC、BC的中點，∴MC=AC，NC=BC，∴MN=MC+NC=AC+BC=AB=a cm；
(3)如圖，
∵點M、N分別是AC、BC的中點，
∴MC=AC，NC=BC，
∴MN=MC-NC=AC-BC=(AC-BC)=b cm．
【舉一反三5】如圖，點C是線段AB的中點．
(1)若點D在線段CB上，且DB=3.5 cm，AD=6.5 cm，求線段CD的長度；
(2)若將(1)中的點“D在線段CB上”改為“點D在直線CB上”，其它條件不變，請畫出相應(yīng)的示意圖，并求出此時線段CD的長度；
(3)若線段AB=12 cm，點C在AB上，點D、E分別是AC和BC的中點．
①當點C恰是AB中點時，則DE= cm．
②當AC=4 cm，時，求DE的長；
③當點C在線段AB上運動時(點C與A、B重合除外)，求DE的長．
【答案】解 (1)∵DB=3.5 cm，AD=6.5 cm，∴AB=10 cm．
∵C為AB中點，∴CB=5 cm，
∴CD=5-3.5=1.5 cm；
(2)①點D在線段BC上，則CD=1.5 cm，
②點D在CB的延長線上：
則AB=AD-DB=3．∴BC=1.5，∴CD=1.5+3.5=5；
(3)①6；
②DE=6 cm，
③設(shè)AC=x cm，
則BC=(12-x) cm，又D、E分別為AC、BC中點，CD=，CE=12-，DE=CD+CE=+12-=6 cm．

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