資源簡介

6.5角與角的度量
【知識點1】鐘面角 1
【知識點2】角的概念 3
【知識點3】度分秒的換算 4
【知識點4】對頂角、鄰補角 6
【題型1】確定角的個數 7
【題型2】時鐘問題中的角的計算 11
【題型3】度、分、秒的轉化與運算 12
【題型4】角的定義及分類 14
【題型5】角的度量 15
【題型6】角的表示方法 18
【知識點1】鐘面角
（1）鐘面一周平均分60格，相鄰兩格刻度之間的時間間隔是1分鐘，時針1分鐘走格，分針1分鐘走1格．鐘面上每一格的度數為360°÷12=30°．
（2）計算鐘面上時針與分針所成角的度數，一般先從鐘面上找出某一時刻分針與時針所處的位置，確定其夾角，再根據表面上每一格30°的規律，計算出分針與時針的夾角的度數．
（3）鐘面上的路程問題
分針：60分鐘轉一圈，每分鐘轉動的角度為：360°÷60=6°
時針：12小時轉一圈，每分鐘轉動的角度為：360°÷12÷60=0.5°．
1.（2022秋 龍馬潭區期末）鐘表上8點30分時，時針與分針的夾角為（　?。?br/>A．15° B．30° C．75° D．60°
【答案】C
【分析】計算鐘面上時針與分針所成角的度數，一般先從鐘面上找出某一時刻分針與時針所處的位置，確定其夾角，再根據表面上每一格30°的規律，計算出分針與時針的夾角的度數．
【解答】解：∵8點30分，時針在8和9正中間，分針指向6，中間相差兩個半大格，而鐘表12個數字，每相鄰兩個數字之間的夾角為30°，
∴8點30分時，時針與分針的夾角的度數為：30°×2.5=75°．
故選：C．
2.（2023秋 深圳期末）下列說法錯誤的是（　?。?br/>A．整數和分數統稱有理數
B．a2b和-ba2是同類項
C．8 點30分時，時針和分針的夾角是75°
D．22a2b的次數是5
【答案】D
【分析】選項A根據有理數的定義判斷即可；選項B根據同類型的定義判斷即可；選項C根據鐘面角的計算方法判斷即可；選項D根據單項式的定義判斷即可．
【解答】解：A．整數和分數統稱有理數，說法正確，故本選項不符合題意；
B．a2b和-ba2是同類項，說法正確，故本選項不符合題意；
C．8 點30分時，時針和分針的夾角是75°，說法正確，故本選項不符合題意；
D．22a2b的次數是3，原說法錯誤，故本選項符合題意．
故選：D．
3.（2024秋 石家莊期中）從如圖所顯示的時刻開始，經過30分鐘后時鐘的時針與分針所成夾角的度數為（　?。?br/>A．90° B．95° C．100° D．105°
【答案】D
【分析】分針每分鐘轉了6°，時針每分鐘轉了0.5°，可求得結果，得到時針與分針之間的夾角即可解答．
【解答】解：分針每分鐘轉了=6°，
時針每小時轉了=30°，
時針每分鐘轉了=0.5°，
∴圖上顯示的時刻為2：00，當經過30分鐘之后時間為2：30，
此時時針所形成的角度為：2×30°+30×0.5°=75°，
分針所形成的角度為：30×6°=180°，
則分針與時針所形成的角度為：180°-75°=105°，
故選：D．
【知識點2】角的概念
（1）角的定義：有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．
（2）角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．角還可以用一個希臘字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯數字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點旋轉而形成的圖形，當始邊與終邊成一條直線時形成平角，當始 邊與終邊旋轉重合時，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
1.（2024秋 和平區校級期末）下列圖形中能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角的圖形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據角的表示方法和圖形逐個判斷即可．
【解答】解：A、不能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角，故A選項錯誤；
B、能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角，故B選項正確；
C、不能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角，故C選項錯誤；
D、不能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角，故D選項錯誤；
故選：B．
2.（2024秋 保定校級期末）如圖，∠MON的邊ON經過的點是（　?。?br/>A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【分析】根據角的有關概念，一個角是由有公共頂點的兩條射線組成的，因此邊ON經過的點一定在射線ON上，據此作圖求解即可．
【解答】解：如圖，邊ON經過的點是B，
故選：B．
【知識點3】度分秒的換算
（1）度、分、秒是常用的角的度量單位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
（2）具體換算可類比時鐘上的時、分、秒來說明角的度量單位度、分、秒之間也是60進制，將高級單位化為低級單位時，乘以60，反之，將低級單位轉化為高級單位時除以60．同時，在進行度、分、秒的運算時也應注意借位和進位的方法．
1.（2024秋 雷州市期末）下列說法正確的是（　?。?br/>A．有理數包括正數、零和負數
B．-a2一定是負數
C．34.37°=34°22′12″
D．兩個有理數的和一定大于每一個加數
【答案】C
【分析】根據有理數的分類，平方數非負數，度分秒的換算，以及有理數的加法運算法則對各選項分析判斷即可得解．
【解答】解：A、應為：有理數包括正有理數、零和負有理數，故本選項錯誤；
B、-a2一定是負數錯誤，a=0時，-a2=0，0既不是正數也不是負數，故本選項錯誤；
C、∵0.37×60=22.2，0.2×60=12，
∴34.37°=34°22′12″，故本選項正確；
D、兩個有理數的和一定大于每一個加數，錯誤，故本選項錯誤．
故選：C．
2.（2024秋 遼中區期末）下列說法正確的是（　?。?br/>A．角的度量中，1°=100′，1′=100″
B．射線AB的長度為3cm
C．經過兩點可以畫并且只能畫一條直線
D．延長直線AB
【答案】C
【分析】直接利用直線的性質以及度分秒換算、射線的定義分別分析得出答案．
【解答】解：A、角的度量中，1°=60′，1′=60″，故此選項錯誤；
B、射線AB沒有長度，故此選項錯誤；
C、經過兩點可以畫并且只能畫一條直線，故此選項正確；
D、延長直線AB，直線無法延長，故此選項錯誤．
故選：C．
3.（2024秋 瀘縣校級期末）如圖，某輪船在點O處測得燈塔A位于北偏東30°40'方向上，測得燈塔B位于南偏東75°方向上，則∠AOB的度數為（　　）
A．74°20' B．75°20' C．75°40' D．85°20′
【答案】A
【分析】根據題意列式計算即可．
【解答】解：∠AOB=180°-75°-30°40'=74°20′，
故選：A．
【知識點4】對頂角、鄰補角
（1）對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角．
（2）鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．
（3）對頂角的性質：對頂角相等．
（4）鄰補角的性質：鄰補角互補，即和為180°．
（5）鄰補角、對頂角成對出現，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．
1.（2025春 西藏期末）下面四個圖形中，∠1=∠2一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據對頂角、鄰補角、平行線的性質及三角形的外角性質，可判斷；
【解答】解：A、∠1、∠2是鄰補角，∠1+∠2=180°；故本選項錯誤；
B、∠1、∠2是對頂角，根據其定義；故本選項正確；
C、根據平行線的性質：同位角相等，同旁內角互補，內錯角相等；故本選項錯誤；
D、根據三角形的外角一定大于與它不相鄰的內角；故本選項錯誤．
故選：B．
2.（2025春 惠城區校級月考）下列選項中，∠1與∠2是對頂角的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據對頂角的定義對題目中的四個選項逐一進行判斷即可得出答案．
【解答】解：選項A中∠1與∠2的頂點不重合，
故選項A中∠1與∠2不符合對頂角的定義，∠1與∠2不是對頂角；
選項B中∠1與∠2的一邊在一條直線上，另一邊不在一條直線上，
故選項B中∠1與∠2不符合對頂角的定義，∠1與∠2不是對頂角；
選項C中∠1與∠2的兩邊都不在同一條直線上，
故選項C中∠1與∠2不符合對頂角的定義，∠1與∠2不是對頂角；
選項D中∠1與∠2符合對頂角的定義，
故選項D中∠1與∠2不是對頂角．
故選：D．
【題型1】確定角的個數
【典型例題】如圖，在∠AOB內，從圖(1)的頂點O畫1條射線，圖中共有3個角；從圖(2)頂點O畫2條射線，圖中共有6個角，按這樣規律繼續下去，若從頂點O畫29條射線，則圖中共有(　　)個角．
A. 465 B. 450 C. 425 D. 300
【答案】A
【解析】在∠AOB內，從圖(1)的頂點O畫1條射線，圖中共有1+2＝3個角；
從圖(2)頂點O畫2條射線，圖中共有1+2+3＝6個角；
……
若從角的頂點畫n條射線，圖中共有1+2+3+……+(n+1)＝(n+2)(n+1)個角；
∴從角的頂點畫29條射線，圖中共有＝(29+2)(29+1)＝465個角；
故選：A．
【舉一反三1】在銳角∠AOB內部，畫出1條射線，可以畫出3個銳角；畫出2條不同的射線，可以畫出6個銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角．照此規律，畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個數為(　　)
A. 165 B. 186 C. 199 D. 210
【答案】D
【解析】∵在銳角∠AOB內部，畫1條射線，可得1+2＝3個銳角；
在銳角∠AOB內部，畫2條射線，可得1+2+3＝6個銳角；
在銳角∠AOB內部，畫3條射線，可得1+2+3+4＝10個銳角；
…
∴從一個角的內部引出n條射線所得到的銳角的個數是1+2+3+…+(n+1)＝×(n+1)×(n+2)，
∴畫19條不同射線，可得銳角×(19+1)×(19+2)＝210．
故選：D．
【舉一反三2】在銳角∠AOB內部，畫出1條射線，可以畫出3個銳角；畫出2條不同的射線，可以畫出6個銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角．照此規律，畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個數為(　　)
A. 165 B. 186 C. 199 D. 210
【答案】D
【解析】∵在銳角∠AOB內部，畫1條射線，可得1+2＝3個銳角；
在銳角∠AOB內部，畫2條射線，可得1+2+3＝6個銳角；
在銳角∠AOB內部，畫3條射線，可得1+2+3+4＝10個銳角；
…
∴從一個角的內部引出n條射線所得到的銳角的個數是1+2+3+…+(n+1)＝×(n+1)×(n+2)，
∴畫19條不同射線，可得銳角×(19+1)×(19+2)＝210．
故選：D．
【舉一反三3】如圖，從∠AOB的頂點引出兩條射線OC，OD，圖中的角共有(　　)
A. 3個 B. 4個 C. 6個 D. 7個
【答案】C
【解析】先數出以OA為一邊的角，再數出以OB、OC、OD為一邊的角，把它們加起來．
也可根據公式：來計算，其中，n指從點O發出的射線的條數．
∵圖中共有四條射線，
∴圖中小于平角的角共有 ＝6個．
故選：C．
【舉一反三4】如圖，以O為頂點的角共有 個．
【答案】10
【解析】以O為頂點的角的射線一共有5條射線，所以角的個數為5×(5-1)÷2=10個角．
【舉一反三5】(1)在∠AOB內部畫1條射線OC，則圖1中有 個不同的角；
(2)在∠AOB內部畫2條射線OC，OD，則圖2中有 個不同的角；
(3)在∠AOB內部畫3條射線OC，OD，OE，則圖3中有 個不同的角；
(4)在∠AOB內部畫10條射線OC，OD，OE…，則圖中有 個不同的角；
(5)在∠AOB內部畫n條射線OC，OD，OE…，則圖中有 個不同的角．
【答案】(1)3
(2)6
(3)10
(4)66
(5)(n+1)(n+2)
【舉一反三6】如圖，在∠AOE的內部從O引出3條射線，那么圖中共有 個角；如果引出5條射線，有 個角；如果引出n條射線，有 個角．
【答案】10；21；(n+1)(n+2)
【解析】引出3條射線，那么圖中共有10個角；如果引出5條射線，有21個角；如果引出n條射線，有 (n+1)(n+2)個角．
【舉一反三7】如圖，已知D、E是線段BC上的一點，連接AB、AD、AE、AC．下列說法：①∠DAE可記作∠1；②∠2可記作∠E；③圖中有且只有2個角可以用一個大寫字母表示；④圖中共有10條線段；⑤圖中共有10個小于平角的角．其中正確的是　　　　　　??；(填序號)
【答案】①③④
【解析】角可以用阿拉伯數字(∠1，∠2…)表示，故說法①正確；
唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角，圖中以E為頂點的角不只1個，故說法②錯誤；
圖中A、B、C、D、E五個點中，以B、C為頂點的角均只有1個，所以圖中有且只有2個角可以用一個大寫字母表示，即∠B，∠C，故說法③正確；
圖中共有10條線段，即線段AB、AD、AE、AC、BD、BE、BC、DE、DC、EC，故說法④正確；
圖中共有12個小于平角的角，即∠BAD、∠BAE、∠BAC、∠DAE、∠DAC、∠EAC、∠B、∠C、∠ADB、∠ADE、∠AEB、∠AEC，故說法⑤錯誤．
故答案為①③④．
【題型2】時鐘問題中的角的計算
【典型例題】甲、乙、丙、丁四個學生在判斷時鐘的分針和時針互相垂直的時刻，每個人說兩個時刻，說對的是(　　)
A. 甲說3點和3點半
B. 乙說6點1刻和6點3刻
C. 丙說9點和12點1刻
D. 丁說3點和9點
【答案】D
【解析】A.3點時，時針指向3，分針指向12，其夾角為30°×3=90°，3點半時不互相垂直，錯誤；
B.6點1刻和6點3刻，分針和時針都不互相垂直，錯誤；
C.9點時，時針指向9，分針指向12，其夾角為30°×3=90度，12點1刻不互相垂直，錯誤；
D.3點時，時針指向3，分針指向12，其夾角為30°×3=90°；9點時，時針指向9，分針指向12，其夾角為30°×3=90度．正確．故選D．
【舉一反三1】12點15分，時針與分針所夾的小于平角的角為(　　)
A. 90° B. 67.5° C. 82.5° D. 60°
【答案】C
【解析】12點15分，時針與分針相距2+＝份，
12點15分，時針與分針夾角是30°×＝82.5°，
故選：C．
【舉一反三2】聰明一休在9點到10點之間開始解一道數學題，當時的鐘面時針與分針正好成一直線，當他解完這道題時，時針與分針又恰好重合，一休解這道題用了 分鐘．
【答案】36011
【解析】時針每小時轉動360÷12=30°，每分鐘轉動30÷60=0.5°；分針每分鐘轉動360÷60=6°；設一休解這道題用了x分鐘，則有：6x-0.5x=180°，解得：x=36011分鐘；即一休解這道題用了36011分鐘．
【舉一反三3】觀察常用時鐘，回答下列問題：
(1)早晨7時整，時針和分針構成多少度的角？
(2)時針多長時間轉一圈？它轉動的速度是每小時多少度？
(3)從7：00到7：40，分針轉動了多少度？
【答案】解 (1)7時，時針和分針中間相差5個大格．
∵鐘表12個數字，每相鄰兩個數字之間的夾角為30°，
∴7時，分針與時針的夾角是5×30°=150°，
答：早晨7時整，時針和分針構成150度的角；
(2)由時鐘可知時針12個小時轉一圈，360°÷12=30°，
答：時針12個小時轉一圈，它轉動的速度是每小時30度；
分針轉過的角度：(360°÷60)×40=240°，答：分針轉動了240度．
【題型3】度、分、秒的轉化與運算
【典型例題】把15°48′36″化成以度為單位是(　　)
A. 15.8° B. 15.4836° C. 15.81° D. 15.36°
【答案】C
【解析】15°48′36″，=15°+48′+(36÷60)′，=15°+(48.6÷60)°，=15.81°．故選C．
【舉一反三1】1°等于(　　)
A. 10′ B. 12′ C. 60′ D. 100′
【答案】C
【解析】1°等于60′．故選C．
【舉一反三2】楊老師到幾何王國去散步，剛走到“角”的家門，就聽到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A說：“我是30°15′，我應該最大！”∠B說：“我是30.3°，我應該最大！”．∠C也不甘示弱：“我是30.15°，我應該和∠A一樣大！”聽到這里，楊老師對它們說：“別吵了，你們誰大誰小，由我來作評判！”，楊老師評判的結果是(　　)
A. ∠A最大 B. ∠B最大 C. ∠C最大 D. ∠A＝∠C
【答案】B
【解析】∵∠A＝30°15′＝30°+()°＝30.25°，∠B＝30.3°，∠C＝30.15°，
∴∠B＞∠A＞∠C，即∠B最大，
故選：B．
【舉一反三3】120.76°＝　 　度 　 　分 　 　秒．
【答案】120；45；36
【解析】(120.76﹣120)×60'＝45.6'，(45.6﹣45)×60''＝36''，
即：120.76°＝120°45'36''，
故答案為：120，45，36．
【舉一反三4】(1)30.12°＝____°____′____″；
(2) 100°12′36″＝______°.
【答案】(1)30；7；12　
(2)100.21
【解析】(1)因為1°＝60′，所以0.12°＝7.2′，
因為1′＝60″，所以0.2′＝12″，
所以30.12°＝30°7′12″，
(2)因為1′＝60″，所以36″＝0.6′，
所以12′＋0.6′＝12.6′，
因為1°＝60′，所以12.6′＝0.21°，
所以100°12′36″＝100.21°.
【舉一反三5】計算：
(1)131°28′﹣51°32′15″；
(2)58°38′27″+47°42′40″；
(3)34°25′×3+35°42′.
【答案】解 (1)131°28′﹣51°32′15″＝79°55′45″；
(2)58°38′27″+47°42′40″＝106°21′7″；
(3)34°25′×3+35°42′
＝103°15′+35°42′
＝138°57′.
【舉一反三6】計算：85°16′-18°47′-(35°22′-26°52′)．
【答案】解 85°16′-18°47′-(35°22′-26°52′)=85°16′-18°47′-8°30′=66°29′-8°30′=57°59′．
【題型4】角的定義及分類
【典型例題】下列說法錯誤的是(　　)
A. 兩點確定一條直線
B. 連接兩點的線段叫做兩點之間的距離
C. 兩點之間線段最短
D. 角的大小與所畫的角的邊的長短無關
【答案】B
【解析】A.兩點確定一條直線，故不符合題意；
B.連接兩點的線段的長度叫做兩點間的距離，故符合題意；
C.兩點之間的所有連線中，線段最短，故不符合題意；
D.角的大小與所畫的角的邊的長短無關，故不符合題意；
故選：B．
【舉一反三1】下列說法：
①連接兩點的線段叫做這兩點之間的距離；
②兩條射線所組成的圖形叫做角；
③經過兩點有且只有一條直線；
④若線段AM等于線段BM，則點M是線段AB的中點．
其中正確的有(　　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】A
【解析】連接兩點的線段的長度叫做這兩點之間的距離，故①不符合題意；
有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角，故②不符合題意；
經過兩點有且只有一條直線，正確，故③符合題意；
線段AM等于線段BM，若點M在線段AB外，則點M不是線段AB的中點，故④不符合題意，
因此正確的有一個．
故選：A．
【舉一反三2】下列說法正確的是(　　)
A. 平角是一條直線
B. 角的邊越長，角越大
C. 大于直角的角叫做鈍角
D. 兩個銳角的和不一定是鈍角
【答案】D
【解析】A.平角是兩條射線組成的一條直線，故此選項錯誤；
B.角的邊越長，與角的大小無關，故此選項錯誤；
C.大于直角且小于180°的角叫做鈍角，故此選項錯誤；
D.兩個銳角的和不一定是鈍角，正確．故選D．
【舉一反三3】下列語句：①由兩條射線組成的圖形叫做角；
②角可以看成是一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；
③因為平角的兩邊成一條直線，所以一條直線可以看作是平角；
④一個角至少可以用兩種方法表示．
其中不正確的個數是(　　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】B
【解析】①角是由公共端點的兩條射線組成的圖形，故①錯誤；②角是由一條射線繞端點旋轉形成的圖形，故②正確；③平角的兩邊成一條直線，但一條直線不可以看作是平角，故③錯誤；④角可以表示成∠1，∠B，∠ABC，故④正確；故選B．
【題型5】角的度量
【典型例題】如圖，∠AOB的大小為(　　)
A. 100° B. 80° C. 50° D. 30°
【答案】C
【解析】∵OA邊對應刻度是80°，OB邊對應的刻度是30°，
∴∠AOB＝80°﹣30°＝50°．
故選：C．
【舉一反三1】如圖，已知∠AOB＝80°，借助量角器判斷，射線OA可能經過的點是(　　)
A. P點 B. Q點 C. M點 D. N點
【答案】B
【解析】如圖，畫出射線OM，ON，OQ，OP，
利用量角器量出∠AOB＝80°，則射線OA經過的點是Q點．
故選：B．
【舉一反三2】如圖中用量角器測得∠ABC的度數是(　　)
A. 50° B. 80° C. 130° D. 150°
【答案】C
【解析】根據∠ABC起始位置BA，另一條邊BC可得：∠ABC＝130°．
故選：C．
【舉一反三3】已知M、N、P、Q四點的位置如圖所示，下列結論中，正確的是(　　)
A. ∠NOQ=42°
B. ∠NOP=132°
C. ∠PON比∠MOQ大
D. ∠MOQ與∠MOP互補
【答案】C
【解析】如圖所示：∠NOQ=138°，故選項A錯誤；∠NOP=48°，故選項B錯誤；如圖可得：∠PON=48°，∠MOQ=42°，故∠PON比∠MOQ大，故選項C正確；由以上可得，∠MOQ與∠MOP不互補，故選項D錯誤．故選C．
【舉一反三4】如圖，∠AOB的大小為(　　)
A. 100° B. 80° C. 50° D. 30°
【答案】C
【解析】∵OA邊對應刻度是80°，OB邊對應的刻度是30°，
∴∠AOB＝80°﹣30°＝50°．
故選：C．
【題型6】角的表示方法
【典型例題】如圖所示，能用∠AOB，∠O，∠1三種方法表示同一個角的圖形的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.以O為頂點的角不止一個，不能用∠O表示，故A選項錯誤；
B.以O為頂點的角不止一個，不能用∠O表示，故B選項錯誤；
C.以O為頂點的角不止一個，不能用∠O表示，故C選項錯誤；
D.能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角，故D選項正確．
故選：D．
【舉一反三1】如圖，下列對圖中各個角的表示方法不正確的是(　　)
A. ∠A B. ∠1 C. ∠C D. ∠ABC
【答案】C
【解析】圖中的角有∠A、∠1、∠ABC、∠ACB，
即表示方法不正確的有∠C，
故選：C．
【舉一反三2】如圖，下列表示角的方法中，不正確的是(　　)
A. ∠A B. ∠E C. ∠α D. ∠1
【答案】B
【解析】圖中的角有∠A、∠1、∠α、∠AEC，即表示方法不正確的有∠E，故選B．
【舉一反三3】如圖，用三種不同的方法表示該角為 、 、 ．
【答案】∠1；∠AOB；∠O
【舉一反三4】根據給出圖回答下列問題：
(1)∠1表示成∠A，這樣的表示方法是否正確？如果不正確，應該怎樣改正？
(2)圖中哪個角可以用一個字母來表示？
(3)以A為頂點的角有幾個？請表示出來．
(4)∠ADC與∠ACD是同一個角嗎？請說明理由．
【答案】解 (1)不正確，以A為頂點的角有3個，故不能用∠A表示，可表示為∠DAC；
(2)圖中∠B可以用一個字母表示；
(3)以A為頂點的角有3個，分別是∠BAC、∠BAD、∠DAC；
(4)不是同一個角，因為這兩個角的頂點不同．6.5角與角的度量
【知識點1】鐘面角 1
【知識點2】角的概念 2
【知識點3】度分秒的換算 3
【知識點4】對頂角、鄰補角 4
【題型1】確定角的個數 5
【題型2】時鐘問題中的角的計算 7
【題型3】度、分、秒的轉化與運算 7
【題型4】角的定義及分類 8
【題型5】角的度量 9
【題型6】角的表示方法 10
【知識點1】鐘面角
（1）鐘面一周平均分60格，相鄰兩格刻度之間的時間間隔是1分鐘，時針1分鐘走格，分針1分鐘走1格．鐘面上每一格的度數為360°÷12=30°．
（2）計算鐘面上時針與分針所成角的度數，一般先從鐘面上找出某一時刻分針與時針所處的位置，確定其夾角，再根據表面上每一格30°的規律，計算出分針與時針的夾角的度數．
（3）鐘面上的路程問題
分針：60分鐘轉一圈，每分鐘轉動的角度為：360°÷60=6°
時針：12小時轉一圈，每分鐘轉動的角度為：360°÷12÷60=0.5°．
1.（2022秋 龍馬潭區期末）鐘表上8點30分時，時針與分針的夾角為（　?。?br/>A．15° B．30° C．75° D．60°
2.（2023秋 深圳期末）下列說法錯誤的是（　　）
A．整數和分數統稱有理數
B．a2b和-ba2是同類項
C．8 點30分時，時針和分針的夾角是75°
D．22a2b的次數是5
3.（2024秋 石家莊期中）從如圖所顯示的時刻開始，經過30分鐘后時鐘的時針與分針所成夾角的度數為（　?。?br/>A．90° B．95° C．100° D．105°
【知識點2】角的概念
（1）角的定義：有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．
（2）角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．角還可以用一個希臘字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯數字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點旋轉而形成的圖形，當始邊與終邊成一條直線時形成平角，當始 邊與終邊旋轉重合時，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
1.（2024秋 和平區校級期末）下列圖形中能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角的圖形是（　　）
A． B． C． D．
2.（2024秋 保定校級期末）如圖，∠MON的邊ON經過的點是（　?。?br/>A．A B．B C．C D．D
【知識點3】度分秒的換算
（1）度、分、秒是常用的角的度量單位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
（2）具體換算可類比時鐘上的時、分、秒來說明角的度量單位度、分、秒之間也是60進制，將高級單位化為低級單位時，乘以60，反之，將低級單位轉化為高級單位時除以60．同時，在進行度、分、秒的運算時也應注意借位和進位的方法．
1.（2024秋 雷州市期末）下列說法正確的是（　?。?br/>A．有理數包括正數、零和負數
B．-a2一定是負數
C．34.37°=34°22′12″
D．兩個有理數的和一定大于每一個加數
2.（2024秋 遼中區期末）下列說法正確的是（　?。?br/>A．角的度量中，1°=100′，1′=100″
B．射線AB的長度為3cm
C．經過兩點可以畫并且只能畫一條直線
D．延長直線AB
3.（2024秋 瀘縣校級期末）如圖，某輪船在點O處測得燈塔A位于北偏東30°40'方向上，測得燈塔B位于南偏東75°方向上，則∠AOB的度數為（　?。?br/>A．74°20' B．75°20' C．75°40' D．85°20′
【知識點4】對頂角、鄰補角
（1）對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角．
（2）鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．
（3）對頂角的性質：對頂角相等．
（4）鄰補角的性質：鄰補角互補，即和為180°．
（5）鄰補角、對頂角成對出現，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．
1.（2025春 西藏期末）下面四個圖形中，∠1=∠2一定成立的是（　?。?br/>A． B． C． D．
2.（2025春 惠城區校級月考）下列選項中，∠1與∠2是對頂角的是（　　）
A． B． C． D．
【題型1】確定角的個數
【典型例題】如圖，在∠AOB內，從圖(1)的頂點O畫1條射線，圖中共有3個角；從圖(2)頂點O畫2條射線，圖中共有6個角，按這樣規律繼續下去，若從頂點O畫29條射線，則圖中共有(　　)個角．
A. 465 B. 450 C. 425 D. 300
【舉一反三1】在銳角∠AOB內部，畫出1條射線，可以畫出3個銳角；畫出2條不同的射線，可以畫出6個銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角．照此規律，畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個數為(　　)
A. 165 B. 186 C. 199 D. 210
【舉一反三2】在銳角∠AOB內部，畫出1條射線，可以畫出3個銳角；畫出2條不同的射線，可以畫出6個銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角．照此規律，畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個數為(　　)
A. 165 B. 186 C. 199 D. 210
【舉一反三3】如圖，從∠AOB的頂點引出兩條射線OC，OD，圖中的角共有(　　)
A. 3個 B. 4個 C. 6個 D. 7個
【舉一反三4】如圖，以O為頂點的角共有 個．
【舉一反三5】(1)在∠AOB內部畫1條射線OC，則圖1中有 個不同的角；
(2)在∠AOB內部畫2條射線OC，OD，則圖2中有 個不同的角；
(3)在∠AOB內部畫3條射線OC，OD，OE，則圖3中有 個不同的角；
(4)在∠AOB內部畫10條射線OC，OD，OE…，則圖中有 個不同的角；
(5)在∠AOB內部畫n條射線OC，OD，OE…，則圖中有 個不同的角．
【舉一反三6】如圖，在∠AOE的內部從O引出3條射線，那么圖中共有 個角；如果引出5條射線，有 個角；如果引出n條射線，有 個角．
【舉一反三7】如圖，已知D、E是線段BC上的一點，連接AB、AD、AE、AC．下列說法：①∠DAE可記作∠1；②∠2可記作∠E；③圖中有且只有2個角可以用一個大寫字母表示；④圖中共有10條線段；⑤圖中共有10個小于平角的角．其中正確的是　　　　　　??；(填序號)
【題型2】時鐘問題中的角的計算
【典型例題】甲、乙、丙、丁四個學生在判斷時鐘的分針和時針互相垂直的時刻，每個人說兩個時刻，說對的是(　　)
A. 甲說3點和3點半
B. 乙說6點1刻和6點3刻
C. 丙說9點和12點1刻
D. 丁說3點和9點
【舉一反三1】12點15分，時針與分針所夾的小于平角的角為(　　)
A. 90° B. 67.5° C. 82.5° D. 60°
【舉一反三2】聰明一休在9點到10點之間開始解一道數學題，當時的鐘面時針與分針正好成一直線，當他解完這道題時，時針與分針又恰好重合，一休解這道題用了 分鐘．
【舉一反三3】觀察常用時鐘，回答下列問題：
(1)早晨7時整，時針和分針構成多少度的角？
(2)時針多長時間轉一圈？它轉動的速度是每小時多少度？
(3)從7：00到7：40，分針轉動了多少度？
【題型3】度、分、秒的轉化與運算
【典型例題】把15°48′36″化成以度為單位是(　　)
A. 15.8° B. 15.4836° C. 15.81° D. 15.36°
【舉一反三1】1°等于(　　)
A. 10′ B. 12′ C. 60′ D. 100′
【舉一反三2】楊老師到幾何王國去散步，剛走到“角”的家門，就聽到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A說：“我是30°15′，我應該最大！”∠B說：“我是30.3°，我應該最大！”．∠C也不甘示弱：“我是30.15°，我應該和∠A一樣大！”聽到這里，楊老師對它們說：“別吵了，你們誰大誰小，由我來作評判！”，楊老師評判的結果是(　　)
A. ∠A最大 B. ∠B最大 C. ∠C最大 D. ∠A＝∠C
【舉一反三3】120.76°＝　 　度 　 　分 　 　秒．
【舉一反三4】(1)30.12°＝____°____′____″；
(2) 100°12′36″＝______°.
【舉一反三5】計算：
(1)131°28′﹣51°32′15″；
(2)58°38′27″+47°42′40″；
(3)34°25′×3+35°42′.
【舉一反三6】計算：85°16′-18°47′-(35°22′-26°52′)．
【題型4】角的定義及分類
【典型例題】下列說法錯誤的是(　　)
A. 兩點確定一條直線
B. 連接兩點的線段叫做兩點之間的距離
C. 兩點之間線段最短
D. 角的大小與所畫的角的邊的長短無關
【舉一反三1】下列說法：
①連接兩點的線段叫做這兩點之間的距離；
②兩條射線所組成的圖形叫做角；
③經過兩點有且只有一條直線；
④若線段AM等于線段BM，則點M是線段AB的中點．
其中正確的有(　　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【舉一反三2】下列說法正確的是(　　)
A. 平角是一條直線
B. 角的邊越長，角越大
C. 大于直角的角叫做鈍角
D. 兩個銳角的和不一定是鈍角
【舉一反三3】下列語句：①由兩條射線組成的圖形叫做角；
②角可以看成是一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；
③因為平角的兩邊成一條直線，所以一條直線可以看作是平角；
④一個角至少可以用兩種方法表示．
其中不正確的個數是(　　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【題型5】角的度量
【典型例題】如圖，∠AOB的大小為(　　)
A. 100° B. 80° C. 50° D. 30°
【舉一反三1】如圖，已知∠AOB＝80°，借助量角器判斷，射線OA可能經過的點是(　　)
A. P點 B. Q點 C. M點 D. N點
【舉一反三2】如圖中用量角器測得∠ABC的度數是(　　)
A. 50° B. 80° C. 130° D. 150°
【舉一反三3】已知M、N、P、Q四點的位置如圖所示，下列結論中，正確的是(　　)
A. ∠NOQ=42°
B. ∠NOP=132°
C. ∠PON比∠MOQ大
D. ∠MOQ與∠MOP互補
【舉一反三4】如圖，∠AOB的大小為(　　)
A. 100° B. 80° C. 50° D. 30°
【題型6】角的表示方法
【典型例題】如圖所示，能用∠AOB，∠O，∠1三種方法表示同一個角的圖形的是(　　)
A. B. C. D.
【舉一反三1】如圖，下列對圖中各個角的表示方法不正確的是(　　)
A. ∠A B. ∠1 C. ∠C D. ∠ABC
【舉一反三2】如圖，下列表示角的方法中，不正確的是(　　)
A. ∠A B. ∠E C. ∠α D. ∠1
【舉一反三3】如圖，用三種不同的方法表示該角為 、 、 ．
【舉一反三4】根據給出圖回答下列問題：
(1)∠1表示成∠A，這樣的表示方法是否正確？如果不正確，應該怎樣改正？
(2)圖中哪個角可以用一個字母來表示？
(3)以A為頂點的角有幾個？請表示出來．
(4)∠ADC與∠ACD是同一個角嗎？請說明理由．

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