資源簡介

6.7角的和差
【知識點1】角的計算 1
【題型1】角的和、差、倍、分關系運算 2
【題型2】角的平分線有關的運算 3
【題型3】角的和差及其表示 4
【知識點1】角的計算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射線OC是∠AOB的三等分線，則∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB．
（2）度、分、秒的加減運算．在進行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，分秒相加，逢60要進位，相減時，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除運算．①乘法：度、分、秒分別相乘，結果逢60要進位．②除法：度、分、秒分別去除，把每一次的余數化作下一級單位進一步去除．
1.（2024秋 冠縣期末）根據如圖所示，下列式子錯誤的是（　　）
A．∠AOB=∠AOC+∠COB B．∠BOC=∠AOB-∠AOC
C． D．∠AOC=∠BOA-∠COB
2.（2025春 淄博期中）已知OC是∠AOB內的一條射線，下列條件中不能確定射線OC平分∠AOB的是（　　）
A． B．∠AOB=2∠AOC
C．∠AOC=∠BOC D．∠AOB=∠AOC+∠BOC
3.（2024秋 雁塔區校級期末）如圖，O為直線AC上一點，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC的內部，．∠DOE=72°，則∠EOC的度數為（　　）
A．70° B．72° C．75° D．80°
【題型1】角的和、差、倍、分關系運算
【典型例題】如圖，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOD：∠AOB=3：1，則∠BOC的度數是(　　)
A. 22.5° B. 45° C. 90° D. 135°
【舉一反三1】在15°、65°、75°、135°的角中，能用一副三角尺畫出來的有(　　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【舉一反三2】如圖，∠AOC和∠DOB都是直角，如果∠DOC=28°，那么∠AOB= ．
【舉一反三3】如圖，小明把兩塊完全相同的三角板如圖放置，使兩個60°角的頂點在A處重合，若∠CAE=100°，則∠DAB= °．
【舉一反三4】如圖，OC為∠AOB內部的一條射線，若∠AOB＝100°，∠BOC＝25°36′，求∠AOC的度數．
【題型2】角的平分線有關的運算
【典型例題】如圖，已知O為直線AB上一點，將30°的直角三角板MON的直角頂點放在點O處，若OC是∠MOB的平分線，則下列結論正確的是(　　)
A. ∠AOM＝3∠NOC
B. ∠AOM＝2∠NOC
C. 2∠AOM＝3∠NOC
D. 3∠AOM＝5∠NOC
【舉一反三1】如圖，已知∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，則∠MON的度數是(　　)
A. β B. (α﹣β) C. α﹣β D. α
【舉一反三2】已知平面內∠AOB＝50°，∠COB＝10°，OE、OF分別平分∠AOB、∠BOC，則∠EOF＝　 　．
【舉一反三3】如圖，已知∠AOC：∠BOC＝1：5，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度數．
【題型3】角的和差及其表示
【典型例題】如圖，利用量角器測量角的度數，根據結果，以下結論錯誤的是（　　）
A.∠AOB+∠BOC＝90°
B.∠BOC+∠COD＝90°
C.∠AOD﹣∠COD＝90°
D.∠AOD﹣∠BOC＝90°
【舉一反三1】把一副三角尺的兩個銳角的一條邊和頂點重合（如圖），這兩個角的差是（　　）
A.15° B.30° C.45° D.60°
【舉一反三2】如圖所示，∠AOD﹣∠AOC等于（　　）
A.∠AOC B.∠BOC C.∠BOD D.∠COD
【舉一反三3】按圖填空：
（1）∠AOB+∠BOC＝　 　；
（2）∠AOC+∠COD＝　 　；
（3）∠BOD﹣∠COD＝　 　；
（4）∠AOD﹣　 　＝∠AOB．
【舉一反三4】（1）圖中共有多少個角？請分別表示這些角；
（2）根據圖形填空：
∠AOB+∠BOC＝　　 ；∠BOD﹣∠BOC＝　 　；∠AOD﹣∠DOB＝　 　．6.7角的和差
【知識點1】角的計算 1
【題型1】角的和、差、倍、分關系運算 3
【題型2】角的平分線有關的運算 5
【題型3】角的和差及其表示 7
【知識點1】角的計算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射線OC是∠AOB的三等分線，則∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB．
（2）度、分、秒的加減運算．在進行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，分秒相加，逢60要進位，相減時，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除運算．①乘法：度、分、秒分別相乘，結果逢60要進位．②除法：度、分、秒分別去除，把每一次的余數化作下一級單位進一步去除．
1.（2024秋 冠縣期末）根據如圖所示，下列式子錯誤的是（　　）
A．∠AOB=∠AOC+∠COB B．∠BOC=∠AOB-∠AOC
C． D．∠AOC=∠BOA-∠COB
【答案】C
【分析】根據各角之間的和差關系進行判斷得出正確選項．
【解答】解：A、∠AOB=∠AOC+∠COB，故本選項正確，不符合題意；
B、∠BOC=∠AOB-∠AOC，故本選項正確，不符合題意；
C、∠AOC=∠AOC+∠COB，故∠AOC=∠BOC錯誤，符合題意；
D、∠AOC=∠BOA-∠COB，故本選項正確，不符合題意．
故選：C．
2.（2025春 淄博期中）已知OC是∠AOB內的一條射線，下列條件中不能確定射線OC平分∠AOB的是（　　）
A． B．∠AOB=2∠AOC
C．∠AOC=∠BOC D．∠AOB=∠AOC+∠BOC
【答案】D
【分析】根據角的和差關系，判斷∠AOC和∠BOC是否相等，即可得出結論．
【解答】解：如圖，
A、∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，
∠BOC=∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∴射線OC平分∠AOB，
故A選項不合題意；
B、∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，
∠AOB=2∠AOC，
∴∠AOC=∠BOC，
∴射線OC平分∠AOB，
故B選項不合題意；
C、∵∠AOC=∠BOC，
∴射線OC平分∠AOB，
故C選項不合題意；
D、∠AOB=∠AOC+∠BOC，
不能證明∠AOC=∠BOC，
射線OC不一定平分∠AOB，
故D選項符合題意．
故選：D．
3.（2024秋 雁塔區校級期末）如圖，O為直線AC上一點，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC的內部，．∠DOE=72°，則∠EOC的度數為（　　）
A．70° B．72° C．75° D．80°
【答案】B
【分析】由角平分線定義及題中條件，設∠AOD=∠BOD=α，∠BOE=β，則∠EOC=2β，數形結合，根據角度之間的關系列方程求解即可得到答案．
【解答】解：∵OD是∠AOB的平分線，
∴，
∵，
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=，
設∠AOD=∠BOD=α，∠BOE=β，則∠EOC=2β，
∴α+β=72°，2α+3β=180°①，則2α+2β=144°②，
∴由①-②得β=36°，即∠EOC=72°，
故選：B．
【題型1】角的和、差、倍、分關系運算
【典型例題】如圖，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOD：∠AOB=3：1，則∠BOC的度數是(　　)
A. 22.5° B. 45° C. 90° D. 135°
【答案】B
【解析】設∠AOB和∠AOD分別為x、3x，由題意得，x+90°=3x，解得x=45°，則∠AOB=45°，
故∠BOC=∠AOC-∠AOB=45°．故選B．
【舉一反三1】在15°、65°、75°、135°的角中，能用一副三角尺畫出來的有(　　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】C
【解析】15°=45°-30°，65°不能畫出，75°=30°+45°，135°=45°+90°，所以能用一副三角尺畫出來的有15°、75°，135°共3個，故選C．
【舉一反三2】如圖，∠AOC和∠DOB都是直角，如果∠DOC=28°，那么∠AOB= ．
【答案】152°
【解析】∵∠AOC=∠DOB=90°，∠DOC=28°，∴∠AOB=∠AOC+∠DOB-∠DOC，=90°+90°-28°，=152°．故答案為：152°.
【舉一反三3】如圖，小明把兩塊完全相同的三角板如圖放置，使兩個60°角的頂點在A處重合，若∠CAE=100°，則∠DAB= °．
【答案】20
【解析】∵∠CAE=100°，∠CAB=60°，∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=40°，∵∠DAE=60°，∴∠DAB=∠DAE-∠BAE=20°，故答案為：20．
【舉一反三4】如圖，OC為∠AOB內部的一條射線，若∠AOB＝100°，∠BOC＝25°36′，求∠AOC的度數．
【答案】解　因為∠AOB＝100°，∠BOC＝25°36′，
所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝100°－25°36′＝74°24′.
【題型2】角的平分線有關的運算
【典型例題】如圖，已知O為直線AB上一點，將30°的直角三角板MON的直角頂點放在點O處，若OC是∠MOB的平分線，則下列結論正確的是(　　)
A. ∠AOM＝3∠NOC
B. ∠AOM＝2∠NOC
C. 2∠AOM＝3∠NOC
D. 3∠AOM＝5∠NOC
【答案】B
【解析】因為∠MON＝90°，
所以∠AOM＋∠BON＝90°，
所以∠BON＝90°－∠AOM，
因為OC是∠MOB的平分線，
所以∠MOB＝2∠BOC＝2∠MOC，
所以∠AOM＝180°－∠MOB＝180°－2∠BOC＝180°－2∠BON－2∠NOC，
所以∠AOM＝180°－2(90°－∠AOM)－2∠NOC，
所以∠AOM＝2∠NOC.
【舉一反三1】如圖，已知∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，則∠MON的度數是(　　)
A. β B. (α﹣β) C. α﹣β D. α
【答案】D
【解析】∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC＝α+β，
∵OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，
∴∠NOC＝∠BOC＝，∠MOC＝∠AOC＝，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝﹣＝．
故選：D．
【舉一反三2】已知平面內∠AOB＝50°，∠COB＝10°，OE、OF分別平分∠AOB、∠BOC，則∠EOF＝　 　．
【答案】30°或20°
【解析】①當OC在∠AOB外部時，如圖所示：
∵∠AOB＝50°，∠COB＝10°，OE、OF分別平分∠AOB、∠BOC，
∴∠EOB＝＝，
，
∴∠EOF＝∠EOB+∠BOF＝25°+5°＝30°；
②當OC在∠AOB內部時，如圖所示：
∵∠AOB＝50°，∠COB＝10°，OE、OF分別平分∠AOB、∠BOC，
∴，
，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠FOC＝25°﹣5°＝20°，
故答案為：30°或20°．
【舉一反三3】如圖，已知∠AOC：∠BOC＝1：5，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度數．
【答案】解 由題意，可設∠AOC＝x，∠BOC＝5x．
∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝5x+x＝6x．
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝＝3x．
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝3x﹣x＝2x＝36°．
∴x＝18°．
∴∠AOB＝6x＝108°．
【題型3】角的和差及其表示
【典型例題】如圖，利用量角器測量角的度數，根據結果，以下結論錯誤的是（　　）
A.∠AOB+∠BOC＝90°
B.∠BOC+∠COD＝90°
C.∠AOD﹣∠COD＝90°
D.∠AOD﹣∠BOC＝90°
【答案】B
【解析】依題意得：∠AOB＝50°，∠BOC＝40°，∠COD＝40°，∠AOD＝130°，
則∠AOB+∠BOC＝50°+40°＝90°，
故選項A正確，不符合題意；
∵∠BOC+∠COD＝40°+40°＝80°，
故選項B正確，符合題意；
∵∠AOD﹣∠COD＝130°﹣40°＝90°，
故選項C正確，不符合題意；
∵∠AOD﹣∠BOC＝130°﹣40°＝90°，
故選項D正確，不符合題意．
故選：B．
【舉一反三1】把一副三角尺的兩個銳角的一條邊和頂點重合（如圖），這兩個角的差是（　　）
A.15° B.30° C.45° D.60°
【答案】C
【解析】如圖所示：
由題可知：∠ABE＝60°，∠CBD＝45°，
∴∠1＝∠ABE﹣∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
故選：C．
【舉一反三2】如圖所示，∠AOD﹣∠AOC等于（　　）
A.∠AOC B.∠BOC C.∠BOD D.∠COD
【答案】D
【解析】結合圖形，顯然∠AOD﹣∠AOC＝∠COD．
故選：D．
【舉一反三3】按圖填空：
（1）∠AOB+∠BOC＝　 　；
（2）∠AOC+∠COD＝　 　；
（3）∠BOD﹣∠COD＝　 　；
（4）∠AOD﹣　 　＝∠AOB．
【答案】（1）AOC
（2）AOD
（3）BOC
（4）BOD
【解析】（1）由圖可得，∠AOB+∠BOC＝∠AOC；
故答案為：∠AOC．
（2）∠AOC+∠COD＝∠AOD；
故答案為：∠AOD．
（3）∠BOD﹣∠COD＝∠BOC；
故答案為：∠BOC．
（4）∠AOD﹣∠BOD＝∠AOB．
故答案為：∠BOD．
【舉一反三4】（1）圖中共有多少個角？請分別表示這些角；
（2）根據圖形填空：
∠AOB+∠BOC＝　　 ；∠BOD﹣∠BOC＝　 　；∠AOD﹣∠DOB＝　 　．
【答案】解：（1）圖中共有6個角，分別是：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD．
（2）∠AOB+∠BOC＝∠AOC；∠BOD﹣∠BOC＝∠COD；∠AOD﹣∠DOB＝∠AOB．
故答案為：∠AOC；∠COD；∠AOB．

展開更多......

收起↑