資源簡介

6.8余角和補(bǔ)角
【知識點1】方向角 1
【知識點2】七巧板 2
【知識點3】余角和補(bǔ)角 3
【題型1】求一個角的余角 4
【題型2】求一個角的補(bǔ)角 5
【題型3】與方位角有關(guān)的計算題 5
【題型4】方位角的表示 8
【題型5】與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計算 10
【題型6】余角和補(bǔ)角的性質(zhì) 10
【知識點1】方向角
方向角是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向為基準(zhǔn)，來描述物體所處的方向．
（2）用方向角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故描述方向角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．（注意幾個方向的角平分線按日常習(xí)慣，即東北，東南，西北，西南．）
（3）畫方向角
以正南或正北方向作方向角的始邊，另一邊則表示對象所處的方向的射線．
1.（2025 東莞市校級二模）同學(xué)們在操場上進(jìn)行實地測量，如圖，在A處測得建筑物C在南偏西60°的方向上，在B處測得建筑物C在南偏西20°的方向上．則∠C的度數(shù)為（　?。?br/>A．30° B．40° C．60° D．80°
2.（2025春 陳倉區(qū)期中）如圖，A地在B地的北偏西30°方向，則B地在A地的（　?。┓较颍?br/>A．北偏西30° B．北偏東60° C．南偏西30° D．南偏東30°
3.（2025春 武漢期中）如圖是兩艘艦艇的位置示意圖，下列描述艦艇B相對艦艇A位置正確的是（　　）
A．北偏東40°，25海里 B．北偏東50°，25海里
C．南偏西40°，25海里 D．南偏東50°，25海里
【知識點2】七巧板
（1）七巧板是由下面七塊板組成的，完整圖案為一正方形：五塊等腰直角三角形（兩塊小形三角形、一塊中形三角形和兩塊大形三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形．
（2）用這七塊板可以拼搭成幾何圖形，如三角形、平行四邊形、不規(guī)則的多角形等；也可以拼成各種具體的人物形象，或者動物或者是一些中、英文字符號．
（3）制作七巧板的方法：①首先，在紙上畫一個正方形，把它分為十六個小方格．②再從左上角到右下角畫一條線．③在上面的中間連一條線到右面的中間．④再在左下角到右上角畫一條線，碰到第二條線就可以停了．⑤從剛才的那條線的尾端開始一條線，畫到最下面四份之三的位置，從左邊開始數(shù)，碰到線就可停．⑥最后，把它們涂上不同的顏色并跟著黑線條剪開，你就有一副全新的七巧板了．
1.（2021秋 亭湖區(qū)期末）七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造．下列四幅圖中有三幅是用如圖所示的七巧板拼成的，則不能用七巧板拼成的那幅圖是（　?。?br/>A．金字塔 B．拱橋
C．
房屋 D．
金魚
2.（2012秋 宿城區(qū)校級月考）在一副七巧板中有（　　）種不同形狀的圖形．
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（2021春 寧化縣月考）如圖，七巧板中小陰影的面積是大陰影面積的（　?。?br/>A． B． C． D．
【知識點3】余角和補(bǔ)角
（1）余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角．
（2）補(bǔ)角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補(bǔ)角．即其中一個角是另一個角的補(bǔ)角．
（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等．等角的余角相等．
（4）余角和補(bǔ)角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．
注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個角的位置沒有關(guān)系．不論這兩個角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系．
1.（2025 裕華區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，∠B為銳角，m⊥AB，n⊥BC，則下列角中，∠B的余角為（　?。?br/>A．∠1 B．∠2 C．∠A D．∠C
2.（2025春 安國市期中）下列角中，可能與20°角互余的是（　　）
A． B． C． D．
【題型1】求一個角的余角
【典型例題】若∠A＝35°16′，則其余角的度數(shù)為(　　)
A. 54°44′ B. 54°84′ C. 55°44′ D. 144°44′
【舉一反三1】將三角尺與直尺按如圖所示擺放，下列關(guān)于∠α與∠β之間的關(guān)系一定正確的是(　　)
A. ∠α＝∠β B. ∠α＝∠β C. ∠α+∠β＝90° D. ∠α+∠β＝180°
【舉一反三2】一副三角板按如圖所示的方式擺放，且∠1的度數(shù)是∠2的3倍，則∠2的度數(shù)為(　　)
A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 67.5°
【舉一反三3】若∠α＝60°32'，則∠α的余角是(　　)
A. 29°68' B. 29°28' C. 119°68' D. 119°28'
【舉一反三4】如圖，將一副三角尺按下列位置擺放，使∠α和∠β互余的擺放方式是(　　)
A. B. C. D.
【題型2】求一個角的補(bǔ)角
【典型例題】已知∠A＝39°43′27″，則∠A的補(bǔ)角等于(　　)
A. 39°43′27″ B. 150°16′33″ C. 140°16′33″ D. 60°16′33″
【舉一反三1】若∠A＝48°，則∠A的補(bǔ)角的度數(shù)為(　　)
A. 42° B. 52° C. 132° D. 142°
【舉一反三2】下面角的圖示中，能與30°角互補(bǔ)的是(　　)
A. B. C. D.
【舉一反三3】下面角的圖示中，能與30°角互補(bǔ)的是(　　)
A. B. C. D.
【舉一反三4】若∠A＝40°，則∠A的補(bǔ)角為(　　)
A. 40° B. 50° C. 60° D. 140°
【題型3】與方位角有關(guān)的計算題
【典型例題】如圖，甲從點A出發(fā)向北偏東70°10'方向走到點B，乙從點A出發(fā)向南偏西15°10'方向走到點C，則∠BAC的度數(shù)是(　　)
A. 124°20' B. 124°40' C. 125° D. 125°20'
【舉一反三1】如圖，甲從點A出發(fā)向北偏東70°10'方向走到點B，乙從點A出發(fā)向南偏西15°10'方向走到點C，則∠BAC的度數(shù)是(　　)
A. 124°20' B. 124°40' C. 125° D. 125°20'
【舉一反三2】如圖，以點O為觀測點，點A在點O北偏東20°30′的方向上，點B在點O南偏西50°的方向上，則∠AOB的度數(shù)是(　　)
A. 70°30′ B. 150° C. 150°30′ D. 160°30′
【舉一反三3】北京西站和北京南站是北京的兩個鐵路客運(yùn)中心，如圖，A，B，C分別表示天安門、北京西站、北京南站，經(jīng)測量，北京西站在天安門的南偏西77°方向，北京南站在天安門的南偏西18°方向．則∠BAC＝　 　°．
【舉一反三4】如圖①，貨輪?？吭贠點，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它的東北(東偏北45°或北偏東45°)方向上．貨輪B在碼頭O的西北方向上．
(1)仿照表示燈塔方位的方法，畫出表示貨輪B方向的射線；
(2)如圖②，兩艘貨輪從碼頭O出發(fā)，貨輪C向東偏北15°的OC的方向行駛，貨輪D向北偏西15°的OD方向航行，求∠COD的度數(shù)．
【舉一反三5】 如圖，是小明家和學(xué)校所在地的簡單地圖，已知OA＝2 cm，OB＝2.5 cm，OP＝4 cm，點C為OP的中點，回答下列問題：
(1)圖中距小明家距離相同的是哪些地方？
(2)學(xué)校、商場、公園、停車場分別在小明家的什么方位？哪兩個地方的方位是相同的？
(3)若學(xué)校距離小明家400 m，那么商場和停車場分別距離小明家多少米？
【題型4】方位角的表示
【典型例題】如圖，遼寧省在河北省的(　　)
A. 西偏南方向 B. 東偏北方向 C. 西偏北方向 D. 東偏南方向
【舉一反三1】如圖，OA為北偏東35°方向，∠AOB＝90°，則OB的方向為(　　)
A. 南偏東35° B. 南偏東55° C. 南偏西55° D. 北偏東55°
【舉一反三2】如圖，OA是北偏東30°一條射線，若射線OB與射線OA垂直，則OB的方位角是(　　)
A. 北偏西 60° B. 北偏西 30° C. 東偏北 60° D. 東偏北 30°
【舉一反三3】下列表述中，能確定小明家的位置的是(　　)
A. 距學(xué)校300 m處 B. 在學(xué)校的西邊 C. 在西北方向300 m處 D. 在學(xué)校西北方向300 m處
【舉一反三4】如圖所示，給出下列說法：
①OA的方向是東北方向；②OB的方向是北偏西60°；
③OC的方向是南偏西60°；④OD的方向是南偏東60°.
其中不正確說法的序號有　 　．
【舉一反三5】如圖所示，島P位于島Q的正西方，船R位于島Q的西北方向上，船R位于島P的 　 　方向上(用方位角表示)．
【舉一反三6】如圖所示，島P位于島Q的正西方，船R位于島Q的西北方向上，船R位于島P的 　 　方向上(用方位角表示)．
【舉一反三7】如圖所示，給出下列說法：
①OA的方向是東北方向；②OB的方向是北偏西60°；
③OC的方向是南偏西60°；④OD的方向是南偏東60°.
其中不正確說法的序號有　 ?。?br/>【題型5】與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計算
【典型例題】按如圖的方法折紙，下列說法不正確的是(　　)
A. ∠1與∠3互余 B. ∠2＝90° C. AE平分∠BEF D. ∠1與∠AEC互補(bǔ)
【舉一反三1】若一個角的余角是它的補(bǔ)角的，則這個角的度數(shù)是(　　)
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【舉一反三2】如圖是一副三角板擺成的圖形，如果∠AOC＝155°，則∠BOD等于(　　)
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
【舉一反三3】∠1=120°，∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠2 互余，則∠3= ．
【舉一反三4】已知∠A與∠B互余，若∠A=20°15′，則∠B的度數(shù)為 ．
【舉一反三5】一個角的余角比它的補(bǔ)角的少40°，求這個角的度數(shù)．
【題型6】余角和補(bǔ)角的性質(zhì)
【典型例題】下列關(guān)于余角和補(bǔ)角的說法正確的是(　　)
A. 若∠1+∠2+∠3＝90°，則∠1，∠2，∠3互余
B. 若∠α+∠β+∠γ＝180°，則∠α，∠β，∠γ互補(bǔ)
C. 若∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，則∠1與∠3互余
D. 若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，則∠1與∠3相等
【舉一反三1】如果∠α+∠β＝180°，而∠β與∠γ互補(bǔ)，那么∠α與∠γ的關(guān)系為(　　)
A. 互余 B. 互補(bǔ) C. 相等 D. 不能確定
【舉一反三2】若∠α+∠β=180°，∠β+∠γ=180°，則∠α與∠γ的關(guān)系是(　　)
A. 互余 B. 互補(bǔ) C. 相等 D. ∠α=90°+∠γ
【舉一反三3】已知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，如果∠1＝∠3，那么∠2＝∠4，依據(jù)是(　　)
A. 同角的余角相等
B. 同角的補(bǔ)角相等
C. 等角的余角相等
D. 等角的補(bǔ)角相等
【舉一反三4】如圖，如果∠AOB=∠COD=90°，那么∠1=∠2，這是根據(jù)(　　)
A. 直角都相等
B. 等角的余角相等
C. 同角的余角相等
D. 同角的補(bǔ)角相等
【舉一反三5】如圖，已知O為直線AD上一點，∠AOC與∠AOB互補(bǔ)，OM和ON分別是∠AOC和∠AOB的平分線，∠MON＝40°．
(1)問∠COD與∠AOB相等嗎？為什么？
(2)求∠AOB的度數(shù)．
【舉一反三6】如圖(甲)，∠AOC和∠BOD都是直角．
(1)如果∠DOC＝28°，那么∠AOB的度數(shù)是多少？
(2)找出圖(甲)中相等的角．如果∠DOC≠28°，它們還會相等嗎？請說明理由．
(3)若∠DOC變小，則∠AOB如何變化？請說明理由．
(4)在圖(乙)中利用能夠畫直角的工具再畫一個與∠COB相等的角．6.8余角和補(bǔ)角
【知識點1】方向角 1
【知識點2】七巧板 3
【知識點3】余角和補(bǔ)角 5
【題型1】求一個角的余角 6
【題型2】求一個角的補(bǔ)角 8
【題型3】與方位角有關(guān)的計算題 9
【題型4】方位角的表示 13
【題型5】與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計算 17
【題型6】余角和補(bǔ)角的性質(zhì) 18
【知識點1】方向角
方向角是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向為基準(zhǔn)，來描述物體所處的方向．
（2）用方向角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故描述方向角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．（注意幾個方向的角平分線按日常習(xí)慣，即東北，東南，西北，西南．）
（3）畫方向角
以正南或正北方向作方向角的始邊，另一邊則表示對象所處的方向的射線．
1.（2025 東莞市校級二模）同學(xué)們在操場上進(jìn)行實地測量，如圖，在A處測得建筑物C在南偏西60°的方向上，在B處測得建筑物C在南偏西20°的方向上．則∠C的度數(shù)為（　　）
A．30° B．40° C．60° D．80°
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和方向角的定義即可得到結(jié)論．
【解答】解：如圖，
∵AM∥BN，
∴∠ADB=∠A=60°，
∴∠BDC=120°，
∴∠C=180°-∠B-∠BDC=40°．
故選：B．
2.（2025春 陳倉區(qū)期中）如圖，A地在B地的北偏西30°方向，則B地在A地的（　?。┓较颍?br/>A．北偏西30° B．北偏東60° C．南偏西30° D．南偏東30°
【答案】D
【分析】根據(jù)方向角的定義可得答案．
【解答】解：∵A地在B地的北偏西30°方向，
∴B地在A地的南偏東30°方向．
故選：D．
3.（2025春 武漢期中）如圖是兩艘艦艇的位置示意圖，下列描述艦艇B相對艦艇A位置正確的是（　　）
A．北偏東40°，25海里 B．北偏東50°，25海里
C．南偏西40°，25海里 D．南偏東50°，25海里
【答案】B
【分析】根據(jù)方位角的概念，可得答案．
【解答】解：由圖可知，艦艇B相對艦艇A位置是北偏東50°，25海里．
故選：B．
【知識點2】七巧板
（1）七巧板是由下面七塊板組成的，完整圖案為一正方形：五塊等腰直角三角形（兩塊小形三角形、一塊中形三角形和兩塊大形三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形．
（2）用這七塊板可以拼搭成幾何圖形，如三角形、平行四邊形、不規(guī)則的多角形等；也可以拼成各種具體的人物形象，或者動物或者是一些中、英文字符號．
（3）制作七巧板的方法：①首先，在紙上畫一個正方形，把它分為十六個小方格．②再從左上角到右下角畫一條線．③在上面的中間連一條線到右面的中間．④再在左下角到右上角畫一條線，碰到第二條線就可以停了．⑤從剛才的那條線的尾端開始一條線，畫到最下面四份之三的位置，從左邊開始數(shù)，碰到線就可停．⑥最后，把它們涂上不同的顏色并跟著黑線條剪開，你就有一副全新的七巧板了．
1.（2021秋 亭湖區(qū)期末）七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造．下列四幅圖中有三幅是用如圖所示的七巧板拼成的，則不能用七巧板拼成的那幅圖是（　?。?br/>A．金字塔 B．拱橋
C．
房屋 D．
金魚
【答案】C
【分析】利用七巧板拼圖片，需要考慮到重合邊的長度是否相等
【解答】設(shè)七巧板中最小的邊長為1，則七巧板中的邊長有1，2，，2這四種，其中圖C中最大的三角形的直角邊長為2，而平行四邊形的較長邊為，兩邊不能完全重合，因此圖C是錯的．
故選：C．
2.（2012秋 宿城區(qū)校級月考）在一副七巧板中有（　?。┓N不同形狀的圖形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)七巧板的特點來回答即可．
【解答】解：有3種，平行四邊形、等腰直角三角形、正方形．
故選：C．
3.（2021春 寧化縣月考）如圖，七巧板中小陰影的面積是大陰影面積的（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)所學(xué)七巧板相關(guān)知識，設(shè)大正方形的面積為4S，則大陰影部分即大等腰直角三角形的面積為S，小陰影部分的面積為S，作商可得結(jié)論．
【解答】解：設(shè)大正方形的面積為4S，
由圖可知，大陰影部分即大等腰直角三角形的面積為S，小陰影部分的面積為S，
∴小陰影部分：大陰影部分=．
故選：B．
【知識點3】余角和補(bǔ)角
（1）余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角．
（2）補(bǔ)角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補(bǔ)角．即其中一個角是另一個角的補(bǔ)角．
（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等．等角的余角相等．
（4）余角和補(bǔ)角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．
注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個角的位置沒有關(guān)系．不論這兩個角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系．
1.（2025 裕華區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，∠B為銳角，m⊥AB，n⊥BC，則下列角中，∠B的余角為（　?。?br/>A．∠1 B．∠2 C．∠A D．∠C
【答案】A
【分析】根據(jù)垂直的性質(zhì)得出∠B+∠BDE=90°，再根據(jù)對頂角相等得出∠1=∠BDE，即可得出∠B的余角．
【解答】解：如圖，
∵n⊥BC，
∴∠B+∠BDE=90°，
∵∠1=∠BDE，
∴∠B+∠1=90°，
即∠B的余角為∠1，
故選：A．
2.（2025春 安國市期中）下列角中，可能與20°角互余的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)互余的兩個角的和是90°判斷即可．
【解答】解：可能與20°角互余的是選項B中的角，
故選：B．
【題型1】求一個角的余角
【典型例題】若∠A＝35°16′，則其余角的度數(shù)為(　　)
A. 54°44′ B. 54°84′ C. 55°44′ D. 144°44′
【答案】A
【解析】∠A的余角為：90°﹣∠A＝90°﹣35°16′＝54°44′；
故選：A．
【舉一反三1】將三角尺與直尺按如圖所示擺放，下列關(guān)于∠α與∠β之間的關(guān)系一定正確的是(　　)
A. ∠α＝∠β B. ∠α＝∠β C. ∠α+∠β＝90° D. ∠α+∠β＝180°
【答案】C
【解析】∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，
故選：C．
【舉一反三2】一副三角板按如圖所示的方式擺放，且∠1的度數(shù)是∠2的3倍，則∠2的度數(shù)為(　　)
A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 67.5°
【答案】B
【解析】根據(jù)圖形得出：∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
∵∠1的度數(shù)是∠2的3倍，
∴4∠2＝90°，
∴∠2＝22.5°，
故選：B．
【舉一反三3】若∠α＝60°32'，則∠α的余角是(　　)
A. 29°68' B. 29°28' C. 119°68' D. 119°28'
【答案】B
【解析】若∠α＝60°32'，則∠α的余角是90°﹣60°32'＝29°28'．
故選：B．
【舉一反三4】如圖，將一副三角尺按下列位置擺放，使∠α和∠β互余的擺放方式是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A．∠α與∠β互余，故本選項正確；
B．∠α＝∠β，故本選項錯誤；
C．∠α＝∠β，故本選項錯誤；
D．∠α與∠β互補(bǔ)，故本選項錯誤，
故選：A．
【題型2】求一個角的補(bǔ)角
【典型例題】已知∠A＝39°43′27″，則∠A的補(bǔ)角等于(　　)
A. 39°43′27″ B. 150°16′33″ C. 140°16′33″ D. 60°16′33″
【答案】C
【解析】∵∠A＝39°43′27″，
∴它的補(bǔ)角＝180°﹣39°43′27″＝140°16′33″．
故選：C．
【舉一反三1】若∠A＝48°，則∠A的補(bǔ)角的度數(shù)為(　　)
A. 42° B. 52° C. 132° D. 142°
【答案】C
【解析】180°﹣48°＝132°．
故選：C．
【舉一反三2】下面角的圖示中，能與30°角互補(bǔ)的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】30°角的補(bǔ)角=180°-30°=150°，是鈍角，結(jié)合各圖形，只有選項C是鈍角，所以，能與30°角互補(bǔ)的是選項C．故選C．
【舉一反三3】下面角的圖示中，能與30°角互補(bǔ)的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】30°角的補(bǔ)角=180°-30°=150°，是鈍角，結(jié)合各圖形，只有選項C是鈍角，所以，能與30°角互補(bǔ)的是選項C．故選C．
【舉一反三4】若∠A＝40°，則∠A的補(bǔ)角為(　　)
A. 40° B. 50° C. 60° D. 140°
【答案】D
【解析】因為∠A＝40°，
所以∠A的補(bǔ)角為：180°﹣∠A＝140°．
故選：D．
【題型3】與方位角有關(guān)的計算題
【典型例題】如圖，甲從點A出發(fā)向北偏東70°10'方向走到點B，乙從點A出發(fā)向南偏西15°10'方向走到點C，則∠BAC的度數(shù)是(　　)
A. 124°20' B. 124°40' C. 125° D. 125°20'
【答案】C
【解析】AB與正東方向的夾角的度數(shù)是：90°﹣70°10'＝19°50'，
則∠BAC＝19°50'+90°+15°10'＝125°．
故選：C．
【舉一反三1】如圖，甲從點A出發(fā)向北偏東70°10'方向走到點B，乙從點A出發(fā)向南偏西15°10'方向走到點C，則∠BAC的度數(shù)是(　　)
A. 124°20' B. 124°40' C. 125° D. 125°20'
【答案】C
【解析】AB與正東方向的夾角的度數(shù)是：90°﹣70°10'＝19°50'，
則∠BAC＝19°50'+90°+15°10'＝125°．
故選：C．
【舉一反三2】如圖，以點O為觀測點，點A在點O北偏東20°30′的方向上，點B在點O南偏西50°的方向上，則∠AOB的度數(shù)是(　　)
A. 70°30′ B. 150° C. 150°30′ D. 160°30′
【答案】C
【解析】如圖：
由題意得：
∠AOC＝20°30′，∠BOD＝40°，∠COD＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠COD+∠BOD
＝20°30′+90°+40°
＝150°30′，
故選：C．
【舉一反三3】北京西站和北京南站是北京的兩個鐵路客運(yùn)中心，如圖，A，B，C分別表示天安門、北京西站、北京南站，經(jīng)測量，北京西站在天安門的南偏西77°方向，北京南站在天安門的南偏西18°方向．則∠BAC＝　 　°．
【答案】59
【解析】∠BAC＝77°﹣18°＝59°，
故答案為：59．
【舉一反三4】如圖①，貨輪停靠在O點，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它的東北(東偏北45°或北偏東45°)方向上．貨輪B在碼頭O的西北方向上．
(1)仿照表示燈塔方位的方法，畫出表示貨輪B方向的射線；
(2)如圖②，兩艘貨輪從碼頭O出發(fā)，貨輪C向東偏北15°的OC的方向行駛，貨輪D向北偏西15°的OD方向航行，求∠COD的度數(shù)．
【答案】解 (1)如圖，射線OB即為所求．
(2)由題意，∠COQ＝∠DOM＝15°，
∴∠COD＝∠MOQ＝90°．
【舉一反三5】 如圖，是小明家和學(xué)校所在地的簡單地圖，已知OA＝2 cm，OB＝2.5 cm，OP＝4 cm，點C為OP的中點，回答下列問題：
(1)圖中距小明家距離相同的是哪些地方？
(2)學(xué)校、商場、公園、停車場分別在小明家的什么方位？哪兩個地方的方位是相同的？
(3)若學(xué)校距離小明家400 m，那么商場和停車場分別距離小明家多少米？
【答案】解 (1)∵點C為OP的中點，
∴OC＝OP＝×4＝2 cm，
∵OA＝2 cm，
∴距小明家距離相同的是學(xué)校和公園；
(2)學(xué)校北偏東45°，商場北偏西30°，公園南偏東60°，停車場南偏東60°；
公園和停車場的方位相同；
(3)圖上1 cm表示：400÷2＝200 m，
商場距離小明家：2.5×200＝500 m，
停車場距離小明家：4×200＝800 m．
【題型4】方位角的表示
【典型例題】如圖，遼寧省在河北省的(　　)
A. 西偏南方向 B. 東偏北方向 C. 西偏北方向 D. 東偏南方向
【答案】B
【解析】由圖可知遼寧省在河北省的東偏北方向，
故選：B．
【舉一反三1】如圖，OA為北偏東35°方向，∠AOB＝90°，則OB的方向為(　　)
A. 南偏東35° B. 南偏東55° C. 南偏西55° D. 北偏東55°
【答案】B
【解析】∵OA為北偏東35°方向，∠AOB＝90°，
∴OB的方向為南偏東180°﹣35°﹣90°＝55°．
故選：B．
【舉一反三2】如圖，OA是北偏東30°一條射線，若射線OB與射線OA垂直，則OB的方位角是(　　)
A. 北偏西 60° B. 北偏西 30° C. 東偏北 60° D. 東偏北 30°
【答案】A
【解析】如圖，∵射線OB與射線OA垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴∠1＝90°﹣30°＝60°，
∴射線OB的方向角是北偏西60°，
故選：A．
【舉一反三3】下列表述中，能確定小明家的位置的是(　　)
A. 距學(xué)校300 m處 B. 在學(xué)校的西邊 C. 在西北方向300 m處 D. 在學(xué)校西北方向300 m處
【答案】D
【解析】能確定小明家的位置的是在學(xué)校西北方向300 m處．
故選：D．
【舉一反三4】如圖所示，給出下列說法：
①OA的方向是東北方向；②OB的方向是北偏西60°；
③OC的方向是南偏西60°；④OD的方向是南偏東60°.
其中不正確說法的序號有　 　．
【答案】④
【解析】①OA的方向是東北方向，正確；
②OB的方向是北偏西60°，正確；
③OC的方向是南偏西60°，正確；
④OD的方向是南偏東30°，命題錯誤．
故答案為：④．
【舉一反三5】如圖所示，島P位于島Q的正西方，船R位于島Q的西北方向上，船R位于島P的 　 　方向上(用方位角表示)．
【答案】北偏東60°
【解析】如圖：
由題意得：∠APQ＝90°，∠RPQ＝30°，
∴∠APR＝∠APQ﹣∠RPQ＝60°，
∴船R位于島P的北偏東60°方向上，
答案為：北偏東60°．
【舉一反三6】如圖所示，島P位于島Q的正西方，船R位于島Q的西北方向上，船R位于島P的 　 　方向上(用方位角表示)．
【答案】北偏東60°
【解析】如圖：
由題意得：∠APQ＝90°，∠RPQ＝30°，
∴∠APR＝∠APQ﹣∠RPQ＝60°，
∴船R位于島P的北偏東60°方向上，
答案為：北偏東60°．
【舉一反三7】如圖所示，給出下列說法：
①OA的方向是東北方向；②OB的方向是北偏西60°；
③OC的方向是南偏西60°；④OD的方向是南偏東60°.
其中不正確說法的序號有　 ?。?br/>【答案】④
【解析】①OA的方向是東北方向，正確；
②OB的方向是北偏西60°，正確；
③OC的方向是南偏西60°，正確；
④OD的方向是南偏東30°，命題錯誤．
故答案為：④．
【題型5】與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計算
【典型例題】按如圖的方法折紙，下列說法不正確的是(　　)
A. ∠1與∠3互余 B. ∠2＝90° C. AE平分∠BEF D. ∠1與∠AEC互補(bǔ)
【答案】C
【解析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，∠1＝∠AEB，∠3＝∠FEC，
∵∠1+∠AEB+∠3+∠FEC＝180°，
∴2(∠1+∠3)＝180°，即∠1+∠3＝90°，故A不符合題意；
∴∠2＝90°，故B不符合題意，C符合題意；
∵∠1+∠AEC＝180°，故D不符合題意．
故選：C．
【舉一反三1】若一個角的余角是它的補(bǔ)角的，則這個角的度數(shù)是(　　)
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】A
【解析】設(shè)這個角為α，則它的余角為90°﹣α，它的補(bǔ)角為180°﹣α．
由題意得，90°﹣α＝(180°﹣α)，
解得：α＝30°．
故這個角的度數(shù)為30°．
故選：A．
【舉一反三2】如圖是一副三角板擺成的圖形，如果∠AOC＝155°，則∠BOD等于(　　)
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
【答案】B
【解析】由題意得，∠AOB＝90°，∠COD＝90°．
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝155°﹣90°＝65°．
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°．
故選：B．
【舉一反三3】∠1=120°，∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠2 互余，則∠3= ．
【答案】30°
【解析】∵∠1=120°，∠1與∠2互補(bǔ)，∴∠2=60°，∵∠3與∠2 互余，∴∠3=30°．故答案為：30°．
【舉一反三4】已知∠A與∠B互余，若∠A=20°15′，則∠B的度數(shù)為 ．
【答案】69.75°
【解析】∵∠A與∠B互余，∠A=20°15′，∴∠B=90°-20°15′=69°45′=69.75°．故答案為：69.75°．
【舉一反三5】一個角的余角比它的補(bǔ)角的少40°，求這個角的度數(shù)．
【答案】解 設(shè)這個角為x，則
90°﹣x+40°＝(180°﹣x)，
解得x＝30°．
答：這個角的度數(shù)為30°．
【題型6】余角和補(bǔ)角的性質(zhì)
【典型例題】下列關(guān)于余角和補(bǔ)角的說法正確的是(　　)
A. 若∠1+∠2+∠3＝90°，則∠1，∠2，∠3互余
B. 若∠α+∠β+∠γ＝180°，則∠α，∠β，∠γ互補(bǔ)
C. 若∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，則∠1與∠3互余
D. 若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，則∠1與∠3相等
【答案】D
【解析】A.是3個角，不符合互余的定義，故A選項不符合題意；
B.是3個角，不符合互補(bǔ)的定義，故B選項不符合題意；
C.若∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，則∠1＝∠3，∠1與∠3不一定互余，故C選項不符合題意；
D.若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，則∠1與∠3相等，故D符合題意．
故選：D．
【舉一反三1】如果∠α+∠β＝180°，而∠β與∠γ互補(bǔ)，那么∠α與∠γ的關(guān)系為(　　)
A. 互余 B. 互補(bǔ) C. 相等 D. 不能確定
【答案】C
【解析】∵∠β與∠γ互補(bǔ)，
∴∠β+∠γ＝180°，
又∵∠α+∠β＝180°，
∴∠α＝∠γ．
故選：C．
【舉一反三2】若∠α+∠β=180°，∠β+∠γ=180°，則∠α與∠γ的關(guān)系是(　　)
A. 互余 B. 互補(bǔ) C. 相等 D. ∠α=90°+∠γ
【答案】C
【解析】由題意得，∠α=180°-∠β，∠γ=180°-∠β，∴∠α=∠γ．故選C．
【舉一反三3】已知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，如果∠1＝∠3，那么∠2＝∠4，依據(jù)是(　　)
A. 同角的余角相等
B. 同角的補(bǔ)角相等
C. 等角的余角相等
D. 等角的補(bǔ)角相等
【答案】D
【解析】∵∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，且∠1＝∠3，
∴∠2＝∠4(等角的補(bǔ)角相等)．
故選：D．
【舉一反三4】如圖，如果∠AOB=∠COD=90°，那么∠1=∠2，這是根據(jù)(　　)
A. 直角都相等
B. 等角的余角相等
C. 同角的余角相等
D. 同角的補(bǔ)角相等
【答案】C
【解析】∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠1+∠BOC=90°，∠2+∠BOC=90°，∴∠1=∠2，依據(jù)是同角的余角相等，故選C．
【舉一反三5】如圖，已知O為直線AD上一點，∠AOC與∠AOB互補(bǔ)，OM和ON分別是∠AOC和∠AOB的平分線，∠MON＝40°．
(1)問∠COD與∠AOB相等嗎？為什么？
(2)求∠AOB的度數(shù)．
【答案】解 (1)∵∠AOC與∠AOB互補(bǔ)，
∴∠AOC+∠AOB＝180°，
∵∠AOC+∠DOC＝180°，
∴∠COD＝∠AOB；
(2)∵OM和ON分別是∠AOC和∠AOB的平分線，
∴∠AOM＝∠AOC，∠AON＝，
∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝∠AOC﹣∠AOB＝(∠AOC﹣∠AOB)＝∠BOC，
∵∠MON＝40°，
∴∠BOC＝80°，
∴∠DOC+∠AOB＝180°﹣80°＝100°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＝50°．
【舉一反三6】如圖(甲)，∠AOC和∠BOD都是直角．
(1)如果∠DOC＝28°，那么∠AOB的度數(shù)是多少？
(2)找出圖(甲)中相等的角．如果∠DOC≠28°，它們還會相等嗎？請說明理由．
(3)若∠DOC變小，則∠AOB如何變化？請說明理由．
(4)在圖(乙)中利用能夠畫直角的工具再畫一個與∠COB相等的角．
【答案】解 (1)∵∠BOD＝90°，∠DOC＝28°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠DOC＝90°﹣28°＝62°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝152°；
(2)圖(甲)中相等的角：∠AOD＝∠BOC，
如果∠DOC≠28°，它們還會相等；
∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOD+∠DOC＝90，∠BOC+∠DOC＝90°，
∴∠AOD＝∠BOC；
(3)若∠DOC越來越小，則∠AOB越來越大；
∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOD﹣∠DOC＝180°﹣∠DOC，
∴∠DOC越來越小，則∠AOB越來越大；
(4)過點O在OE的同側(cè)作∠EOM＝∠FON＝90°，則∠FOE＝∠MON．

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