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人教版九年級上冊 第二十四章 圓 單元測試
一、選擇題
1.如圖，在正五邊形ABCDE中，連接AC，則∠CAE=（　　）
A.108° B.36° C.45° D.72°
2.如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，將長方形ABCD繞邊AB所在的直線旋轉一周形成圓柱甲，再將長方形ABCD繞邊BC所在直線旋轉一周形成圓柱乙，記兩個圓柱的側面積分別為S甲、S乙．下列結論中正確的是（　　）
A.S甲＞S乙 B.S甲＜S乙 C.S甲＝S乙 D.不確定
3.如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，點O在AB邊上，⊙O與BC邊相切于點D，與AB邊交于點E，則∠BED的度數是（　　）
A.10° B.15° C.20° D.25°
4.如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，則∠AOB等于（　　）
A.100° B.110° C.120° D.140°
5.用反證法證明“在△ABC中，若∠A＞∠B，則a＞b”時，應假設（　　）
A.a＜b B.a≤b C.a＝b D.a≥b
6.如圖，∠AOB＝30°，C為OB上一點，且OC＝3，CD⊥OA于點D，以點C為圓心，半徑為1的圓與OA的位置關系是（　　）
A.相交 B.相切 C.相離 D.以上三種情況均有可能
7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，M是AB的中點，以點C為圓心，1為半徑作⊙C，則（　　）
A.點M在⊙C外 B.點M在⊙C上 C.點M在⊙C內 D.不能確定
8.如圖，△ABC內接⊙O，∠BAC＝45°，BC＝，則的長是（　　）
A. B. C. D.π
9.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD為⊙O的切線，D為切點，DA＝DE，則△ABD和△CDE的面積之比為（　　）
A. B. C. D.﹣1
10.如圖，AB為圓O一條弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于點D，在圓上取一點C，連接AC交OD于M，連接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，則AM＝（　　）
A. B. C. D.
11.如圖，將正六邊形ABCDEF放置在直角坐標系內，A（﹣2，0），點B在原點，點P是正六邊形的中心，現把正六邊形ABCDEF沿x軸正半軸作無滑動的連續翻轉，每次翻轉60°，經過2022次翻轉之后，則點P的坐標是（　　）
A.（2022，） B.（2021，） C.（4043，） D.（4044，）
12.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，取正六邊形的對角線CF的中點為原點O，以直線OF為x軸建立平面直角坐標系，取EF的中點M，連接OM．將△OFM繞點O順時針旋轉，每次旋轉60°，則第2024次旋轉結束時，點F的坐標為（　　）
A.（﹣1，） B. C.（﹣1，﹣） D.（，1）
二、填空題
13.用反證法證明：若a，b，c是不全為0的實數，且a+b+c＝0，那么a，b，c這三個數中至少有一個負數．
證明：假設a，b，c都不是 　 　，
∵a，b，c不全為0，
∴a，b，c中至少有一個為正數，
∴a+b+c 　 　0，這與已知相 　 　，
∴　 　，原命題成立，
即a，b，c這三個數中至少有一個負數．
14.如圖，⊙O的半徑為4，四邊形ABCD內接于⊙O，連接AC，BD．若∠ADB＝50°，∠ACD＝80°，則劣弧BD的長為 　 　．
15.若直線l上有四點A，B，C，D，直線l外有一點P，則經過圖中的三個點作圓，最多可以作 　 　個．
16.如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，若BC：AB：AD＝3：4：6，且四邊形ABCD的周長為72，則四邊形CD邊長為 　 　．
17.如圖，已知⊙O的半徑是8，點A，B在⊙O上，且∠AOB＝120°，動點P在⊙O上運動（不與A，B重合），點Q為線段BP的中點，連接AQ，則線段AQ長度的最小值是 　 　．
三、解答題
18.如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，已點C為圓心作⊙C，半徑為r．
（1）當r取什么值時，點A、B在⊙C外？
（2）當r取什么值時，點A在⊙C內，點B在⊙C外．
19.用反證法證明下列問題：
如圖，在△ABC中，點D、E分別在AC、AB上，BD、CE相交于點O．求證：BD和CE不可能互相平分．
20.如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，△AOB的頂點均在格點上，點A、B的坐標分別是A（3，2）、B（1，3）．求：
（1）△AOB繞點O逆時針旋轉90°后得到△A1OB1，并寫出A1的坐標；
（2）在旋轉過程中，點B經過的路徑為弧BB1，求弧BB1的長．
21.如圖△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于點D，以點D為圓心，BD為半徑作⊙D交AB于點E．
（1）求證：⊙D與AC相切；
（2）若AC＝5，BC＝3，試求AE的長．
22.如圖所示，AB為⊙O的直徑，AC是⊙O的一條弦，D為的中點，作DE⊥AC于點E，交AB的延長線于點F，連接DA．
（1）若AB＝90cm，則圓心O到EF的距離是多少？說明你的理由．
（2）若，求陰影部分的面積（結果保留π）．
人教版九年級上冊 第二十四章 圓 單元測試（參考答案）
一、選擇題
1.如圖，在正五邊形ABCDE中，連接AC，則∠CAE=（　　）
A.108° B.36° C.45° D.72°
【答案】D
【解析】解：
∵多邊形ABCDE是正五邊形，
∴AB＝BC，∠ABC=∠BAE＝＝108°，
∴∠BAC＝∠ACB＝36°，
∴∠CAE=108°-36°=72°
故選：D．
2.如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，將長方形ABCD繞邊AB所在的直線旋轉一周形成圓柱甲，再將長方形ABCD繞邊BC所在直線旋轉一周形成圓柱乙，記兩個圓柱的側面積分別為S甲、S乙．下列結論中正確的是（　　）
A.S甲＞S乙 B.S甲＜S乙 C.S甲＝S乙 D.不確定
【答案】C
【解析】解：∵S甲＝2π×b×a＝2πab，S乙＝2π×a×b＝2πba，
∴S甲﹣S乙
＝2πab﹣2πba
＝0，
∴S甲﹣S乙＝0，
∴S甲＝S乙，
故選：C．
3.如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，點O在AB邊上，⊙O與BC邊相切于點D，與AB邊交于點E，則∠BED的度數是（　　）
A.10° B.15° C.20° D.25°
【答案】B
【解析】解：連接OD，如圖所示，
∵⊙O與BC邊相切于點D，
∴OD⊥BC，
∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠BOD＝∠A＝30°，
又OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠BOD＝∠ODE+∠OED，
∴∠ODE＝∠OED＝15°．
∴∠BED＝15°，
故選：B．
4.如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，則∠AOB等于（　　）
A.100° B.110° C.120° D.140°
【答案】D
【解析】∵∠C＝110°，∴優弧 所對的圓心角為2∠C＝220°，
∴∠AOB＝360°﹣220°＝140°．
5.用反證法證明“在△ABC中，若∠A＞∠B，則a＞b”時，應假設（　　）
A.a＜b B.a≤b C.a＝b D.a≥b
【答案】B
【解析】用反證法證明，“在△ABC中，∠A、∠B對邊是a、b，若∠A＞∠B，則a＞b”，第一步應假設a≤b，
故選：B．
6.如圖，∠AOB＝30°，C為OB上一點，且OC＝3，CD⊥OA于點D，以點C為圓心，半徑為1的圓與OA的位置關系是（　　）
A.相交 B.相切 C.相離 D.以上三種情況均有可能
【答案】C
【解析】解：∵CD⊥OA于點D，
∴∠ODC＝90°，
∵∠AOB＝30°，OC＝3，
∴CD＝OC＝，
∵⊙C的半徑為1，且＞1，
∴⊙C的圓心到直線OA的距離大于⊙C的半徑，
∴⊙C與OA相離，
故選：C．
7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，M是AB的中點，以點C為圓心，1為半徑作⊙C，則（　　）
A.點M在⊙C外 B.點M在⊙C上 C.點M在⊙C內 D.不能確定
【答案】A
【解析】解：如圖，
∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝＝＝．
∵M是AB的中點，
∴CM＝AB＝＞1，
∴點M在⊙C外．
故選：A．
8.如圖，△ABC內接⊙O，∠BAC＝45°，BC＝，則的長是（　　）
A. B. C. D.π
【答案】C
【解析】如圖，連接OB、OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵BC＝，
∴OB＝OC＝BC＝1，
∴的長為：＝π．
9.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD為⊙O的切線，D為切點，DA＝DE，則△ABD和△CDE的面積之比為（　　）
A. B. C. D.﹣1
【答案】B
【解析】解：連接OD，如圖，
∵BD為⊙O的切線，D為切點，
∴OD⊥BD，
∴∠ODB＝90°，
∵CE為直徑，
∴∠CDE＝90°，
∵∠ADB+∠BDE＝90°，∠ODE+∠BDE＝90°，
∴∠ADB＝∠ODE，
∵∠ABD+∠OBD＝90°，∠DOE+∠OBD＝90°，
∴∠ABD＝∠DOE，
在△ABD和△EOD中，
，
∴△ABD≌△EOD（ASA），
∴S△ABD＝S△EOD，
∵OE＝CE，
∴S△EOD＝S△CDE，
∴S△ABD＝S△CDE．
故選：B．
10.如圖，AB為圓O一條弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于點D，在圓上取一點C，連接AC交OD于M，連接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，則AM＝（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵∠ACD＝30°，∠C＝∠AOD，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等邊三角形，
∵AN⊥OD，
∴ON＝DN＝2，
∴OA＝OD＝ON+DN＝4，
∵M平分ON，
∴MN＝ON＝1，
∵△AOD是等邊三角形，AN⊥OD，
∴AN＝OA＝2，
∴AM＝＝．
故選：A．
11.如圖，將正六邊形ABCDEF放置在直角坐標系內，A（﹣2，0），點B在原點，點P是正六邊形的中心，現把正六邊形ABCDEF沿x軸正半軸作無滑動的連續翻轉，每次翻轉60°，經過2022次翻轉之后，則點P的坐標是（　　）
A.（2022，） B.（2021，） C.（4043，） D.（4044，）
【答案】C
【解析】由題意可知：
第一次翻轉，中點P移動到點C的位置，點A移動到點P的位置連接PC，與y軸交于點Q，過點P作PG⊥x軸，垂足為G，
∵A（﹣2，0），
∴OA＝OP＝OC＝2，
由正六邊形可知：
∠AOC＝＝120°，∠POG＝60°，∠POC＝60°，
∴△POC是等邊三角形，GO＝1，PG＝，
∴PC＝2，PQ＝CQ＝1，P（﹣1，），
∴第一次翻轉，點P的橫坐標增加 2，縱坐標不變，
∴經過 2022 次翻轉之后，點P的坐標是（﹣1+2×2022，），
即（4043，），
故選：C．
12.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，取正六邊形的對角線CF的中點為原點O，以直線OF為x軸建立平面直角坐標系，取EF的中點M，連接OM．將△OFM繞點O順時針旋轉，每次旋轉60°，則第2024次旋轉結束時，點F的坐標為（　　）
A.（﹣1，） B. C.（﹣1，﹣） D.（，1）
【答案】C
【解析】解：將△OFM繞點O順時針旋轉，每次旋轉60°，
第1次旋轉后，點F與點E重合，
第2次旋轉后，點F與點D重合，
第3次旋轉后，點F與點C重合，
第4次旋轉后，點F與點B重合，
第5次旋轉后，點F與點A重合，
第6次旋轉后，點F與點F重合，
……
由于2024÷6＝337……2，
所以第2024次旋轉后，點F與點D重合，
如圖，連接OD，在Rt△ODN中，OD＝2，∠ODN＝60°，
∴DN＝OD＝1，ON＝OD＝，
∴點D（﹣1，﹣），
即旋轉2024次后點F的坐標為（﹣1．﹣）．
故選：C．
二、填空題
13.用反證法證明：若a，b，c是不全為0的實數，且a+b+c＝0，那么a，b，c這三個數中至少有一個負數．
證明：假設a，b，c都不是 　 　，
∵a，b，c不全為0，
∴a，b，c中至少有一個為正數，
∴a+b+c 　 　0，這與已知相 　 　，
∴　 　，原命題成立，
即a，b，c這三個數中至少有一個負數．
【答案】負數；＞；矛盾；假設不成立
【解析】證明：假設a，b，c都不是負數．
∵a，b，c不全為0，
∴a，b，c中至少有一個為正數，
∴a+b+c＞0，這與已知相矛盾，
∴假設不成立，原命題成立，
即a，b，c這三個數中至少有一個負數．
故答案為：負數；＞；矛盾；假設不成立．
14.如圖，⊙O的半徑為4，四邊形ABCD內接于⊙O，連接AC，BD．若∠ADB＝50°，∠ACD＝80°，則劣弧BD的長為 　 　．
【答案】
【解析】解：如圖，連接OB，OD，
∵∠ACD和∠ABD為所對的圓周角，
∴∠ABD＝∠ACD＝80°，
∵∠ADB＝50°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝50°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝100°，
∵⊙O的半徑為4，
∴劣弧BD的長為．
故答案為：．
15.若直線l上有四點A，B，C，D，直線l外有一點P，則經過圖中的三個點作圓，最多可以作 　 　個．
【答案】6
【解析】解：①過點A、B、P可以確定一個圓；
②過點A、C、P可以確定一個圓；
③過點B、C、P可以確定一個圓；
④過點A、D、P可以確定一個圓；
⑤過點B、D、P可以確定一個圓；
⑥過點C、D、P可以確定一個圓．
綜上所述，最多可以作6個圓，
故答案為：6．
16.如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，若BC：AB：AD＝3：4：6，且四邊形ABCD的周長為72，則四邊形CD邊長為 　 　．
【答案】20
【解析】解：∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，
∴AB+CD＝BC+AD，
∵BC：AB：AD＝3：4：6，
∴設BC＝3x，AB＝4x，AD＝6x，
∵4x+CD＝3x+6x，
∴CD＝5x，
∵四邊形ABCD的周長為72，
∴3x+4x+5x+6x＝72，
解得x＝4，
∴CD＝5x＝20．
故答案為：20．
17.如圖，已知⊙O的半徑是8，點A，B在⊙O上，且∠AOB＝120°，動點P在⊙O上運動（不與A，B重合），點Q為線段BP的中點，連接AQ，則線段AQ長度的最小值是 　 　．
【答案】
【解析】解：如圖1，取OB的中點E，連接OE，OP，
∵點Q為線段BP的中點，點E為OB的中點，
∴QE為△BOP的中位線，
∴，
∴點Q的軌跡為以點E為圓心，4為半徑的圓，
如下圖所示，作AF⊥OB交BO的延長線于點F，當點Q位于線段AE與⊙E的交點時，AQ取最小值，
∵∠AOB＝120°，∠AOB＝∠F+∠OAF，
∴∠OAF＝∠AOB﹣∠F＝120°﹣90°＝30°，
∴，
∴，
在Rt△EFA中，EF＝OF+OE＝4+4＝8，，
∴，
∴，
∴線段AQ長度的最小值是，
故答案為：．
三、解答題
18.如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，已點C為圓心作⊙C，半徑為r．
（1）當r取什么值時，點A、B在⊙C外？
（2）當r取什么值時，點A在⊙C內，點B在⊙C外．
【答案】解：（1）若點A、B在⊙C外，則AC＞r，
∵AC＝3，
∴0＜r＜3，
（2）如點A在⊙C內，點B在⊙C外，則AC＜r＜BC，
∵AC＝3，BC＝4，
∴3＜r＜4．
【解析】
19.用反證法證明下列問題：
如圖，在△ABC中，點D、E分別在AC、AB上，BD、CE相交于點O．求證：BD和CE不可能互相平分．
【答案】證明：連接DE，
假設BD和CE互相平分，
∴四邊形EBCD是平行四邊形，
∴BE∥CD，
∵在△ABC中，點D、E分別在AC、AB上，
∴AB不可能平行于AC，與已知出現矛盾，
故假設不成立原命題正確，
即BD和CE不可能互相平分．
【解析】
20.如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，△AOB的頂點均在格點上，點A、B的坐標分別是A（3，2）、B（1，3）．求：
（1）△AOB繞點O逆時針旋轉90°后得到△A1OB1，并寫出A1的坐標；
（2）在旋轉過程中，點B經過的路徑為弧BB1，求弧BB1的長．
【答案】解：（1）如圖所示：
（2）由勾股定理得，OB＝＝，
弧BB1的長＝＝π．
【解析】
21.如圖△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于點D，以點D為圓心，BD為半徑作⊙D交AB于點E．
（1）求證：⊙D與AC相切；
（2）若AC＝5，BC＝3，試求AE的長．
【答案】（1）證明：過D作DF⊥AC于F，
∵∠B＝90°，
∴AB⊥BC，
∵CD平分∠ACB交AB于點D，
∴BD＝DF，
∴⊙D與AC相切；
（2）解：設圓的半徑為x，
∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，
∴AB＝＝4，
∵AC，BC，是圓的切線，
∴BC＝CF＝3，
∴AF＝AB﹣CF＝2，
∵AB＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣x，
在Rt△AFD中，（4﹣x）2＝x2+22，
解得：x＝，
∴AE＝4﹣3＝1．
【解析】
22.如圖所示，AB為⊙O的直徑，AC是⊙O的一條弦，D為的中點，作DE⊥AC于點E，交AB的延長線于點F，連接DA．
（1）若AB＝90cm，則圓心O到EF的距離是多少？說明你的理由．
（2）若，求陰影部分的面積（結果保留π）．
【答案】解：（1）如圖所示，連接OD，
∵D為的中點，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴OD的長是圓心O到EF的距離，
∵AB＝90cm，
∴．
（2）如圖所示，過點O作OG⊥AD交AD于點G．
∵DA＝DF，
∴∠F＝∠BAD，
由（1）得∠CAD＝∠BAD，
∴∠F＝∠CAD，
∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD，
∵在Rt△ODF中，OF2﹣OD2＝DF2，
∴，解得OD＝6，
在Rt△OAG中，OA＝OD＝6，∠OAG＝30°，，
∴，
∴．
【解析】

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