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浙教版（2024）八年級上冊 第2章 特殊三角形 單元測試
一、選擇題
1.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為面積為1的等腰三角形，則點C的個數(shù)是（　?。?br/>A.3 B.4 C.5 D.6
2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D，過點D作直線EF∥BC，交AB于E，交AC于F，圖中等腰三角形的個數(shù)共有（　?。?br/>A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
3.如圖，某同學(xué)在做物理實驗時，將一支細(xì)玻璃棒斜放入了一只盛滿水的燒杯中，已知燒杯高8cm，玻璃棒被水淹沒部分長10cm，這只燒杯的直徑約是（　　）
A.9cm B.8cm C.7cm D.6cm
4.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝CD，BD＝6cm，則AC的長為（　?。?br/>A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm
5.如圖，是四張形狀不同的紙片，用剪刀沿一條直線將它們分別剪開（只允許剪一次），不能夠得到兩個等腰三角形紙片的是（　　）
A. B. C. D.
6.在如圖的網(wǎng)格上，能找出幾個格點，使每一個格點與A、B兩點構(gòu)成等腰三角形（　　）
A.5 B.6 C.3 D.4
7.如圖，在△ABC中，∠ABC＝75°，∠BAC＝30°．點P為直線BC上一動點，若點P與△ABC三個頂點中的兩個頂點構(gòu)造成等腰三角形，那么滿足條件的點P的位置有（　?。?br/>A.4個 B.6個 C.8個 D.9個
8.“直角都相等”與“相等的角是直角”是（　　）
A.互為逆命題 B.互逆定理 C.公理 D.假命題
9.如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC于點E，∠A＝∠ABE．若AC＝10，BC＝6，則BD的長為（　　）
A.2.5 B.2 C.4 D.1
10.若實數(shù)m，n滿足等式|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長是（　?。?br/>A.12 B.15 C.12或15 D.18
11.一個等腰三角形的底邊長為5，一腰上中線把其周長分成的兩部分的差為3，則這個等腰三角形的腰長為（　　）
A.2 B.8 C.2或8 D.10
如圖，在和中，，，，，相交于點，點，分別是線段，的中點以下結(jié)論：；；是等邊三角形；連接，則平分其中正確的結(jié)論是 ．
12.
A. B. C. D.
二、填空題
13.如圖所示，一棵大樹折斷后倒在地上，請按圖中所標(biāo)的數(shù)據(jù)，計算大樹沒折斷前的高度的結(jié)果是 　 ?。?br/>14.如圖，一扇卷閘門用一塊寬18cm，長80cm的長方形木板撐住，用這塊木板最多可將這扇卷閘門撐起　　cm高．
15.如圖，是兩個完全相同且有一個角為60°的直角三角形所拼而成，則圖中等腰三角形有　 　個．
16.某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，道路AB∥CD，道路CD與DF的夾角∠CDF＝54°．城市規(guī)劃部門想新修一條道路BF，要求BE＝EF，則∠B的度數(shù)為 　 ?。?br/>17.如圖，△ABC的頂點A，C在直線l上，∠B＝130°，∠ACB＝30°，若點P在直線l上運動，當(dāng)△ABP是等腰三角形時，∠ABP的度數(shù)是 　 　．
三、解答題
18.三個半圓的面積分別為，，，這三個半圓拼成如圖所示的圖形，一定是直角三角形嗎？請說明理由．
19.如圖，直線l表示草原上的一條河．小明家為B處，小紅家為A處，小明從家出發(fā)到小紅家取釣魚工具再去河邊釣魚，問小明按怎樣的路線走能使總路程最短？請作出這條路線．
20.上午時，一條船從海島出發(fā)，以海里時，的速度向正北航行，時到達海島處．從，望燈塔，測得，求從海島到燈塔的距離．
21.如圖，已知AB∥CD，AD是∠CAB的平分線且交CD于點D．
（1）若∠ACD＝130°，求∠DAB的度數(shù)；
（2）若CE⊥AD，垂足為E，求證：AE＝ED．
22.如圖甲所示，已知點E在直線AB上，點F，G在直線CD上，且EG＝FG，EF平分∠AEG．
（1）判斷直線AB與直線CD是否平行，并說明理由．
（2）如圖乙所示，H是AB上點E右側(cè)一動點，∠EGH的平分線GQ交FE的延長線于點O，設(shè)∠Q＝α，∠EHG＝β．
①若β＝92°，∠QGE＝20°，求α的值，
②判斷：點H在運動過程中，α和β的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，寫出α和β的數(shù)量關(guān)系并證明：若變化，請說明理由．
浙教版（2024）八年級上冊 第2章 特殊三角形 單元測試（參考答案）
一、選擇題
1.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為面積為1的等腰三角形，則點C的個數(shù)是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】如圖：分情況討論
①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有0個（不存在滿足△ABC為面積為1的情況）；
②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．
故選：B．
2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D，過點D作直線EF∥BC，交AB于E，交AC于F，圖中等腰三角形的個數(shù)共有（　　）
A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
【答案】C
【解析】∵AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠BCD＝∠DCF，
∴△EBD、△DBC、△FDC是等腰三角形，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，且△ABC是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝∠ABC，
∴△AEF是等腰三角形．
所以共有△EBD、△DBC、△FDC、△ABC、△AEF5個等腰三角形．
故選：C．
3.如圖，某同學(xué)在做物理實驗時，將一支細(xì)玻璃棒斜放入了一只盛滿水的燒杯中，已知燒杯高8cm，玻璃棒被水淹沒部分長10cm，這只燒杯的直徑約是（　?。?br/>A.9cm B.8cm C.7cm D.6cm
【答案】D
【解析】由題意，可得這只燒杯的直徑是： 6（cm）．
故選：D．
4.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝CD，BD＝6cm，則AC的長為（　　）
A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝CD，BD＝6cm，
則AC＝2BD＝2×6＝12（cm），
故選：D．
5.如圖，是四張形狀不同的紙片，用剪刀沿一條直線將它們分別剪開（只允許剪一次），不能夠得到兩個等腰三角形紙片的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、如圖所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
B、如圖所示，△ABC不能夠分成兩個等腰三角形；
C、如圖所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
D、如圖所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
故選：B．
6.在如圖的網(wǎng)格上，能找出幾個格點，使每一個格點與A、B兩點構(gòu)成等腰三角形（　?。?br/>A.5 B.6 C.3 D.4
【答案】A
【解析】如圖：
從圖中第一列中，可知當(dāng)格點在最下方時，△ABC為等腰三角形，
第二列中沒有構(gòu)成等腰三角形的格點；
第三列中第一個格點和第二個格點可以構(gòu)成等腰三角形△ABD，△ABE；
第四列中第二個格點和第四個格點可以構(gòu)成等腰三角形△ABF，△ABG；
第五列中沒有構(gòu)成等腰三角形的格點．
故選：A．
7.如圖，在△ABC中，∠ABC＝75°，∠BAC＝30°．點P為直線BC上一動點，若點P與△ABC三個頂點中的兩個頂點構(gòu)造成等腰三角形，那么滿足條件的點P的位置有（　?。?br/>A.4個 B.6個 C.8個 D.9個
【答案】C
【解析】如圖：
∵在△ABC中，∠ABC＝75°，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
當(dāng)∠CAP＝∠CPA時，△CAP為等腰三角形；
當(dāng)∠BAP＝∠APB時，△BAP為等腰三角形；
當(dāng)∠ABP＝∠BAP時，△BAP為等腰三角形；
當(dāng)P與C重合時，△APB為等腰三角形；
當(dāng)P與B重合時，△APC為等腰三角形；
當(dāng)∠ACP＝∠CAP時，△CAP為等腰三角形；
當(dāng)∠PAC＝∠APC時，△CAP為等腰三角形；
當(dāng)∠BAP＝∠BPA時，△BAP為等腰三角形；
綜上，滿足條件的點P的位置有8個．
故選：C．
8.“直角都相等”與“相等的角是直角”是（　　）
A.互為逆命題 B.互逆定理 C.公理 D.假命題
【答案】A
【解析】“直角都相等”與“相等的角是直角”是互為逆命題；
故選：A．
9.如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC于點E，∠A＝∠ABE．若AC＝10，BC＝6，則BD的長為（　?。?br/>A.2.5 B.2 C.4 D.1
【答案】B
【解析】∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵BE⊥CD，
∴∠BDC＝∠EDC＝90°，
∵CD＝CD，
∴△BDC≌△EDC（ASA），
∴BC＝CE＝6，BD＝DE，
又∵∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE，
∵AC＝10，BC＝6，
∴AE＝AC﹣CE＝4，
∴BE＝AE＝4，
∴BDBE＝2，
故選：B．
10.若實數(shù)m，n滿足等式|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長是（　?。?br/>A.12 B.15 C.12或15 D.18
【答案】B
【解析】∵|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，
∴m﹣3＝0，n﹣6＝0，
解得m＝3，n＝6，
當(dāng)m＝3作腰時，三邊為3，3，6，不符合三邊關(guān)系定理；
當(dāng)n＝6作腰時，三邊為3，6，6，符合三邊關(guān)系定理，周長為：3+6+6＝15．
故選：B．
11.一個等腰三角形的底邊長為5，一腰上中線把其周長分成的兩部分的差為3，則這個等腰三角形的腰長為（　?。?br/>A.2 B.8 C.2或8 D.10
【答案】B
【解析】設(shè)腰長為2x，一腰的中線為y，
則（2x+x）﹣（5+x）＝3或（5+x）﹣（2x+x）＝3，
解得：x＝4，x＝1，
∴2x＝8或2，
①三角形ABC三邊長為8、8、5，符合三角形三邊關(guān)系定理；
②三角形ABC三邊是2、2、5，2+2＜5，不符合三角形三邊關(guān)系定理；
故選：B．
如圖，在和中，，，，，相交于點，點，分別是線段，的中點以下結(jié)論：；；是等邊三角形；連接，則平分其中正確的結(jié)論是 ．
12.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，，，，
在和中，故正確設(shè)與交于，
，，，，，故正確，，，
又點、分別是線段、的中點，，，，
在和中，，，
又，，，，不一定是等邊三角形，故不符合題意過作于，于，
，，，，，平分，故正確，
故選A．
二、填空題
13.如圖所示，一棵大樹折斷后倒在地上，請按圖中所標(biāo)的數(shù)據(jù)，計算大樹沒折斷前的高度的結(jié)果是 　 　．
【答案】18米
【解析】大樹折斷后形成直角△ABC，且BC為斜邊，
∴AB2+AC2＝BC2，
∵AB＝5米，AC＝12米，
∴BC13米，
大樹折斷前的高度為AB+BC＝5米+13米＝18米．
故答案為：18米．
14.如圖，一扇卷閘門用一塊寬18cm，長80cm的長方形木板撐住，用這塊木板最多可將這扇卷閘門撐起　　cm高．
【答案】82
【解析】設(shè)長方形的長為a，寬為b，對角線的長度為c，
∵a＝80cm，b＝18cm，
∴c82cm．
故最多可將這扇卷閘門撐起82cm．
15.如圖，是兩個完全相同且有一個角為60°的直角三角形所拼而成，則圖中等腰三角形有　 　個．
【答案】3
【解析】如圖所示，∵∠B＝∠C＝30°，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠D＝∠AMD＝60°，∠F＝∠ANF＝60°，
∴AD＝AM，AF＝AN，
∴△ADM、△ANF是等腰三角形，
△ADM，△AFN，△ABC均為等腰三角形，共有三個．
故填3．
16.某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，道路AB∥CD，道路CD與DF的夾角∠CDF＝54°．城市規(guī)劃部門想新修一條道路BF，要求BE＝EF，則∠B的度數(shù)為 　 ?。?br/>【答案】27°
【解析】∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠CDF＝54°，
∵BE＝EF，
∴∠B＝∠F，
∵∠AEF＝∠B+∠F，
∴∠B∠AEF54°＝27°．
故答案為：27°．
17.如圖，△ABC的頂點A，C在直線l上，∠B＝130°，∠ACB＝30°，若點P在直線l上運動，當(dāng)△ABP是等腰三角形時，∠ABP的度數(shù)是 　 　．
【答案】10°，80°，140°或20°
【解析】∵∠B＝130°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝20°，
分三種情況：
當(dāng)AP＝AB時，點P在CA的延長線上，如圖：
∵∠BAC是ABP的一個外角，
∴∠BAC＝∠APB+∠ABP＝20°，
∵AB＝AP，
∴∠APB＝∠ABP＝10°；
當(dāng)AP＝AB時，點P在AC上，如圖：
∵AB＝AP，∠BAP＝20°，
∴∠ABP＝∠APB80°；
當(dāng)BA＝BP時，如圖：
∵BA＝BP，
∴∠BAP＝∠BPA＝20°，
∴∠ABP＝180°﹣∠BAP﹣∠BPA＝140°；
當(dāng)PA＝PB時，如圖：
∵PA＝PB，
∴∠BAP＝∠ABP＝20°；
綜上所述：當(dāng)△ABP是等腰三角形時，∠ABP的度數(shù)是10°，80°，140°或20°，
故答案為：10°，80°，140°或20°．
三、解答題
18.三個半圓的面積分別為，，，這三個半圓拼成如圖所示的圖形，一定是直角三角形嗎？請說明理由．
【答案】解：一定是直角三角形，理由如下：，，，，，，，一定是直角三角形．
【解析】
19.如圖，直線l表示草原上的一條河．小明家為B處，小紅家為A處，小明從家出發(fā)到小紅家取釣魚工具再去河邊釣魚，問小明按怎樣的路線走能使總路程最短？請作出這條路線．
【答案】解；如圖所示：
連接AB，是兩點之間線段最短；
作AC垂直于河岸，是垂線段最短．
【解析】
20.上午時，一條船從海島出發(fā)，以海里時，的速度向正北航行，時到達海島處．從，望燈塔，測得，求從海島到燈塔的距離．
【答案】解：
．
，．，． 答：從海島到燈塔的距離為．
【解析】
21.如圖，已知AB∥CD，AD是∠CAB的平分線且交CD于點D．
（1）若∠ACD＝130°，求∠DAB的度數(shù)；
（2）若CE⊥AD，垂足為E，求證：AE＝ED．
【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠D＝∠BAD，
∵AD是∠CAB的平分線，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACD＝130°，
∴∠D25°，
∴∠DAB＝25°；
（2）證明：∠CAD＝∠BAD，
∴CA＝CD，
∵CE⊥AD，
∴AE＝DE．
【解析】
22.如圖甲所示，已知點E在直線AB上，點F，G在直線CD上，且EG＝FG，EF平分∠AEG．
（1）判斷直線AB與直線CD是否平行，并說明理由．
（2）如圖乙所示，H是AB上點E右側(cè)一動點，∠EGH的平分線GQ交FE的延長線于點O，設(shè)∠Q＝α，∠EHG＝β．
①若β＝92°，∠QGE＝20°，求α的值，
②判斷：點H在運動過程中，α和β的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，寫出α和β的數(shù)量關(guān)系并證明：若變化，請說明理由．
【答案】解：（1）直線AB與直線CD平行，理由：
∵EF平分∠AEG，
∴∠AEF＝∠GEF，
又∵∠EFG＝∠FEG，
∴∠AEF＝∠GFE，
∴AB∥CD；
（2）①∵∠QGE＝20°，GQ是∠EGH的平分線，
∴∠QGH＝∠QGE＝20°．
∵β＝92°，
∴∠HMG＝180°﹣92°﹣20°＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠QGF＝∠HMG＝68°，
∴∠EGF＝∠QGF﹣∠QGE＝68°﹣20°＝48°，
∵EG＝FG，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴∠GEF66°，
∴∠Q＝∠GEF﹣∠QGE＝66°﹣20°＝46°；
②點H在運動過程中，α和β的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化，
∵∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角，
∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ，∠EHG＝∠AEG﹣∠EGH，
又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，
∴∠FEG∠AEG，∠EGQ∠EGH，
∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ
（∠AEG﹣∠EGH）
∠EHG，
即αβ．
【解析】

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