資源簡介

(共69張PPT)
7.1 任意角的概念與弧度制
7.1.1 角的推廣
探究點一 任意角的概念
探究點二 終邊相同的角的應用
探究點三 象限角的判斷
探究點四 區域角的表示
【學習目標】
1.了解任意角的概念,能區分正角、負角與零角；
2.理解并掌握終邊相同的角的含義及其表示方法；
3.掌握象限角的概念并能用集合表示各類象限角及區域角.
知識點一 角的概念的推廣
1.任意角的概念:一條射線繞其______旋轉到另一條射線所形成的圖
形稱為角，這兩條射線分別稱為角的______和______.
端點
始邊
終邊
2.角的分類
類型 定義 圖示
正角 按照________方向旋轉而成的角 ______________________________________
負角 按照________方向旋轉而成的角 _____________________________________
零角 射線______旋轉 __________________________________
逆時針
順時針
沒有
3.角的加減運算及其幾何意義
（1）角的加法的幾何意義
如圖①所示，射線逆時針方向旋轉到 所
形成的角為 ，逆時針方向旋轉到 所
形成的角為 ，則逆時針方向旋轉到
所形成的角為________________.
（2）角的減法的幾何意義
如圖②所示，射線逆時針方向旋轉到所形成的角為 ，
順時針方向旋轉到所形成的角為 ，則 逆時針方向旋轉到
所形成的角為_______________.
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）經過15分鐘，鐘表的分針轉過的角度為 .( )
×
[解析] 因為鐘表的分針是順時針方向旋轉的，所以轉過的角度應該
是 .
（2）兩個角的始邊相同，那么這兩個角的始邊和終邊的張角越大，
對應的角越大.( )
×
[解析] 兩個角的始邊相同，它們的終邊按逆時針方向旋轉而成的角
為正角，按順時針方向旋轉而成的角為負角，
所以張角大的角如果是順時針方向旋轉而成的，那么它反而小，
因此要考慮到形成角時的旋轉方向.
（3）一條射線也可以看成一個角.( )
√
[解析] 一條射線可以看成零角.
（4）角的始邊不變，角的終邊按逆時針方向旋轉，角變大，角的終
邊按順時針方向旋轉，角變小.( )
√
[解析] 角的終邊按逆時針方向旋轉而成的角是正角，角的終邊按順
時針方向旋轉而成的角為負角.
（5）若角的始邊和終邊重合，則該角為零角.( )
×
[解析] 零角是終邊和始邊重合的角，但終邊和始邊重合的角不一定
是零角，如 ， ， 等角，它們的終邊和始邊也重合.
2.圖中 ， ，如果不標明旋轉方向，那么這兩個
角還是 和 嗎？如果把圖中表示旋轉的絕對量的弧去掉，
那么這兩個角具有怎樣的關系？
解：因為角的終邊按逆時針方向旋轉而成的角為正角，角的終邊按
順時針方向旋轉而成的角為負角，
所以若沒有標明旋轉方向，則不知道這兩個角是怎樣旋轉得到的，
不一定是 ， .
當把圖中表示旋轉的絕對量的弧去掉時，這兩個角都表示無數個角，
且它們是終邊相同的角.
知識點二 象限角
1.象限角定義：__________與坐標原點重合,角的______落在 軸的正
半軸上.這時,角的______在第幾象限,就把這個角稱為第幾象限角.
角的頂點
始邊
終邊
2.終邊在坐標軸上的角（軸線角） 在平面直角坐標系中，角的頂點
與坐標原點重合，角的始邊落在 軸的正半軸上，角的終邊在______
__上,就認為這個角不屬于任何象限，可稱為軸線角.
坐標軸
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）銳角是第一象限角，鈍角是第二象限角，反之也成立.( )
×
[解析] 銳角 滿足 ，鈍角 滿足 ，
顯然角 是第一象限角，角 是第二象限角，反之不成立.
（2）小于 的角是銳角，也是第一象限角.( )
×
[解析] 小于 的角包含了零角和負角，零角和負角顯然不是銳角，
如 角，它既不是第一象限角也不是銳角.
（3）若角 的頂點與坐標原點重合，始邊落在 軸的正半軸上，終
邊經過點,則角 是第二象限角.( )
√
（4）若角 大于 小于 ，則角 是第一象限角或第二象限角.
( )
×
[解析] 角 也可能是軸線角，不屬于任何象限.
知識點三 終邊相同的角
1.終邊相同角的定義：一般地，角__________________與角 的終
邊相同，這只需把 看成逆時針或者順時針方向旋轉若干周
即可.任意兩個終邊相同的角，它們的差一定是 的______倍.因
此，所有與 終邊相同的角組成一個集合，這個集合可記為
_________________________.
整數
,
2.象限角與終邊在坐標軸上的角（軸線角）的表示：
（1）象限角的集合表示
象限角 角 的集合表示
第一象限角 ______________________________________
第二象限角 ____________________________________________
第三象限角 _____________________________________________
第四象限角 _____________________________________________
，
，
，
，
（2）軸線角的集合表示
角 的終邊位置 角 的集合表示
軸正半軸 ,
軸負半軸 ,
軸 ,
軸正半軸 ,
軸負半軸 ,
軸 ,
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）與 角終邊相同的角為 .( )
×
[解析] 與 角終邊相同的角為 .
（2）角表示與 角終邊相同的角.( )
×
[解析] 角表示與 角終邊共線的角.
（3）角表示與 角終邊互為反向延
長線的角.( )
√
[解析] ,
角表示與 角終邊相同的角，即與 角
終邊互為反向延長線的角.
（4）集合 , 中的元素所表示
的角是第四象限角.( )
×
[解析] 第四象限角的集合為
, .
2.如何區分“角”和“角 ”？
解：“角)”表示與角 終邊共線的角，其中包含了
兩種情況，
若為偶數，則表示終邊與角 終邊相同的角，
若 為奇數，則表示終邊與角 終邊互為反向延長線的角；
而“角”表示終邊與角 終邊相同的角，是前者的一種
情況.
探究點一 任意角的概念
例1（1） [2023·上海靜安區高一期末]在平面直角坐標系中，以下說
法中所表述的角都是頂點在坐標原點，始邊與 軸的正半軸重合的角.
①小于 的角一定是鈍角；
②第二象限角一定是鈍角；
③終邊重合的角一定相等；
④相等的角終邊一定重合.
其中說法正確的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 對于①， 角是小于 的角，但不是鈍角，故①錯誤；
對于②， 角是第二象限角，但不是鈍角，故②錯誤；
對于③， 角和 角的終邊重合，但不相等，故③錯誤；
對于④，相等的角終邊一定重合，故④正確.故選A.
（2）體操運動員按照逆時針方向旋轉 而成的角是______.若將
鐘表撥快10分鐘,則時針旋轉了_____,分針旋轉了______.
[解析] 因為按照逆時針方向旋轉而成的角是正角,所以體操運動員按
照逆時針方向旋轉 而成的角是 .
由題意可知,時針按照順時針方向旋轉了 ，即為 ,
分針按照順時針方向旋轉了 ，即為 .
［素養小結］
解決此類問題的關鍵在于正確理解角的概念，注意角的始邊在哪個
位置以及終邊是順時針還是逆時針方向旋轉.
探究點二 終邊相同的角的應用
［探索］ 如何判斷兩個角的終邊相同？
解：根據終邊相同的角的定義判斷，一般地,角 與
角 的終邊相同，且它們的差一定是 的整數倍.
例2（1） （多選題）[2024·太原高一期末] 下列選項中，與 角
終邊相同的角有( )
A. B. C. D.
[解析] 與 角終邊相同的角為.
當 時，有 ，故B正確；
當 時，有 ，故D正確；
其他選項檢驗均不成立.故選 .
√
√
（2）終邊在第一、三象限的角平分線上的角 的集合
______________________________.
，}
[解析] 易知終邊在第一、三象限的角平分線上的角 的集合
， .
變式 [2024·江蘇鹽城大豐中學高一月考] 若角 的終邊與角 的終
邊關于軸對稱，則角 的終邊落在( )
A. 軸的正半軸上 B.第一象限
C. 軸的正半軸上 D.第三象限
[解析] 因為角 的終邊與角 的終邊關于軸對稱，所以角 的
終邊與角 的終邊相同，即 ，
則有，所以角 的終邊落在 軸的正半軸
上．故選A.
√
［素養小結］
（1）寫出終邊相同的角的集合的一般步驟：
①寫出在 內相應的角；
②由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；
③根據條件，能合并的集合一定要合并，使結果簡潔.
（2）終邊問題常用的三個結論：
①終邊相同的角之間相差 的整數倍；
②終邊在同一條直線上的角之間相差 的整數倍；
③終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差 的整數倍.
探究點三 象限角的判斷
［探索］ 已知 ,如何判斷 所在象限？
解：設角 與角 的終邊相同,且 ,
則 ,
所以角 是第四象限角，所以角 是第四象限角.
例3（1） [2024·海南陵水中學高一期中]若 是第一象限角，則下列
各角為第四象限角的是( )
A. B. C. D.
[解析] 因為 是第一象限角，所以 是第四象限角，所以
是第一象限角，故A錯誤；
是第二象限角，故B錯誤；
是第四象限角，故C正確；
是第一象限角，故D錯誤.故選C.
√
（2）[2024·江蘇連云港灌南高級中學高一月考]如果 是第三象限角，
則 是( )
A.第一象限角 B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角
[解析] 因為 是第三象限角，所以
, ，
所以 ,.
當為偶數時， 是第三象限角；
當為奇數時， 是第一象限角.故選C.
√
變式（1） （多選題）[2024·江西萬安中學高一月考] 下列各角是第
二象限角的是( )
A. B. C. D.
[解析] 對于A， ， 角是第三象限角，
故A錯誤；
對于B， 角的終邊在 軸的負半軸上，故B錯誤；
對于C， ， 是第二象限角，故C正確；
對于D， ， 是第二象限角，故D正確.故選 .
√
√
（2）若角 是第一象限角,則角 的終邊落在____________________
___________.
第一象限、第二象限或第三象限
[解析] 角 是第一象限角， ，
.
當 時, ,
角 的終邊落在第一象限;
當時, ,
角的終邊落在第二象限;
當 時, ,
角 的終邊落在第三象限.
綜上,角 的終邊落在第一象限、第二象限或第三象限.
［素養小結］
（1）判斷象限角 的方法：①若角 為 內的角，則其終
邊與坐標系中過原點的射線可建立一一對應的關系，易于判斷象限
角；②若角 為之外的角，則可以通過 ,
將角 轉化到內的角 ，因為終邊相同的角所屬的象
限相同，所以判斷角 的終邊所在的象限即可.
（2）一般地,要確定的終邊所在的象限,可以先把各個象限都 等分,
再從軸正半軸的上方起,按逆時針方向把這 個區域依次循環標上
號碼1,2,3,4,則標號是幾的區域就是 為第幾象限角時 的終邊所在的
區域, 的終邊所在的象限就可以直觀地看出.
探究點四 區域角的表示
例4（1） [2023· 山西朔州懷仁一中高一期末]集合
, }中的角所表示的范圍
（陰影部分）是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 當,時，
,;
當, 時，
, .故選C.
（2）如圖，分別寫出適合下列條件的角的集合：
①終邊落在射線 上；
解：終邊落在射線上的角的集合為 , .
②終邊落在直線 上；
解：終邊落在直線上的角的集合為 , .
③終邊落在陰影區域內（含邊界）.
解：終邊落在直線 上的角的集合為
, ，
則終邊落在陰影區域內（含邊界）的角的
集合為 ,
.
變式 [2023·江西上饒一中高一月考] 如圖所示，
終邊落在陰影部分內（包括邊界）的角 的集
合為_____________________________________
____________．
,
[解析] 由題圖知，角 的集合為
,
}.
［素養小結］
表示區域角的三個步驟：
第一步：按照逆時針方向找到區域的起始邊界和終止邊界；
第二步：按由小到大的順序分別標出起始邊界和終止邊界對應的在
或內的角 和 ，寫出最簡區間
（注意是否包含邊界），其中 ；
第三步：區域的起始邊界、終止邊界對應角 ， 加上
即得區域角的集合，對頂區域起始邊界、終止邊界對
應角 ， 加上 即得區域角的集合.
1.[2024·福建德化一中高一月考]若角 與 角的終邊相同，則
( )
A. B.
C. D.
[解析] 因為角 與 角的終邊相同，所以
，
所以 .故選B.
√
2.[2024·湖南師大附中高一期末]下列說法正確的是( )
A.小于 的角是銳角
B.第二象限的角一定大于第一象限的角
C.與 角終邊相同的最小正角是
D.若 ，則 是第四象限角
√
[解析] ，但是由銳角的定義知 角不是銳角，故A錯誤；
是第二象限的角， 是第一象限的角，但 ，故B錯誤；
因為 ，所以與 角終邊相同的最小正角
是 ，故C正確；
若，則 是第三象限角，故D錯誤.故選C.
3.[2023·廣東汕尾華大實驗學校高一月考]設集合
， ，則
集合， 的關系為( )
A. B. C. D.無法確定
[解析] 集合 ,
.
對于集合，當,時， , ；
當,時， , .
.故選B.
√
4.已知兩個齒輪是互相嚙合的，大齒輪有64齒，小齒輪有24齒．當小
齒輪轉動 時，大齒輪轉動的角度為_______．
[解析] 當小齒輪轉動 時，大齒輪轉動的角度的大小為
，
因為兩齒輪轉動的方向相反，所以大齒輪轉動的角度為 .
5.如圖所示， ， 分別是終邊落在， 上的
兩個角，且 ， .
（1）終邊落在陰影區域內（不包括邊界）的角
的集合為___________________________________
_________；
，
[解析] 因為終邊與角 終邊相同的一個角可以表示為 ，
所以終邊落在陰影區域內（不包括邊界）的角 的集合為
， .
（2）終邊落在陰影區域內（不包括邊界）且在
內的角 的集合為___________________
_______________.
或
[解析] 由（1）知滿足條件的角 的集合為
或 .
1.終邊在坐標軸上的角的表示方法不唯一，要靈活掌握，例如：
終邊在 軸負半軸上的角的集合還可以表示為
, ；
終邊在 軸負半軸上的角的集合還可以表示為
, ；
終邊在軸上的角的集合還可以表示為 , .
2.“兩個角的終邊相同”是“兩個角相等”的必要不充分條件.
3.在 內找與給定角終邊相同的角的方法
（1）一般地，可以將所給的角 化成
的形式，其中的 就是所求的角.
（2）若所給的角的絕對值不是很大，則可以通過如下方法完成：當
所給角是負角時，采用連續加 的方式；當所給角是正角時，采
用連續減 的方式，直到所得結果達到要求為止.
1.任意角的概念
“旋轉”的關鍵點:①要明確旋轉的方向;②要明確旋轉的絕對量的大小;
③要明確射線未作任何旋轉時的位置.
例1（1） 經過2個小時,鐘表的時針和分針轉過的角度分別是( )
A. , B. , C. , D. ,
[解析] 因為鐘表的時針和分針都是按照順時針方向旋轉的,
所以轉過的角度都是負數,因為 , ,
所以鐘表的時針和分針轉過的角度分別是 , .故選B.
√
（2）如圖所示,若角 , 均是以為始邊,以為終邊的角,則
_______, ______.
[解析] 由圖易知 , .
2.若角 與 的終邊關于軸、軸、原點、直線對稱，則角
與 具有怎樣的關系？
（1）關于軸對稱：若角 與 的終邊關于 軸對稱，則
， .
（2）關于軸對稱：若角 與 的終邊關于 軸對稱，則
， .
（3）關于原點對稱：若角 與 的終邊關于原點對稱，則
， .
（4）關于直線對稱：若角 與 的終邊關于直線 對稱，
則 ， .
例2 若角 的終邊與 角的終邊關于 軸對稱，且
,則角 的值為_____________.
或
[解析] 方法一：如圖所示,設 角的終邊為射線
，與射線關于軸對稱的射線為 ，以射線
為終邊的一個角為 角，
故以射線 為終邊的角的集合為 ， }.
又 ,所以 的值為 或 .
方法二：由角 的終邊與 角的終邊關于 軸對稱，
得 ，.又 ,
所以 的值為 或 .
3.有關終邊相同的角、象限角及落在某取值范圍或某象限的角的問題
的解題方法
（1）借助于 ,},然后調整的值,使 的終邊
在所給取值范圍內即可.
（2）利用不等式求解此類題型是常見的方法,也可直接試探取
， ，0，1等值,看是否能使角的終邊落在所給區域內.
例3 已知 .
（1）把 寫成 的形式,并指出它
是第幾象限角.
解：由題意得 ,易知 是第二象限角.
（2）若角 與 的終邊相同,且 ，求 .
解：令 ,
,即,
或 ,
或 .
4.寫出終邊在某條過原點的直線上的角的集合有兩種方法:一是分別
寫出每條終邊所代表的角的集合,再取并集;二是在其中一條終邊上找
出一個角,然后再加上 的整數倍.
例4 分別寫出終邊在如圖①②③所示的平面直角坐標系中的直線上
的角的集合.
解：（1）在 范圍內，終
邊在軸上的角有兩個，即 和 ，
因此，所有與 角的終邊相同的角構成
集合 ， ，
而所有與 角的終邊相同的角構成集合
， ，
故終邊落在軸上的角的集合 ， .
（2）在 范圍內，終邊在直線
上的角有兩個，即 和 .
因此，終邊在直線 上的角的集合
， ，
， .
（3）終邊在直線 上的角的集合為
， ，
于是所求角的集合 ，
，
， ，
， .
5.區域角及其表示方法
區域角是指終邊在坐標系的某個區域內的角,其寫法可分為三步:（1）
按照逆時針方向找到區域的起始和終止邊界;（2）按由小到大的順
序分別標出起始和終止邊界對應的內的角 和 ,寫出
最簡集合;（3）角 , 分別加上 的整數倍,即得
區域角集合.
例5 寫出終邊落在陰影部分內的角的集合.
解：設終邊落在陰影部分內的角為 ，角 的集合由兩部分組成.
， ，
， ，
角 的集合應當是集合與的并集，
即角 的集合
，
，
， ， .7.1　任意角的概念與弧度制
7.1.1　角的推廣
【課前預習】
知識點一
1.端點　始邊　終邊　2.逆時針　順時針　沒有
3.(1)60°+90°=150°　(2)90°-30°=60°
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　[解析] (1)因為鐘表的分針是順時針方向旋轉的,所以轉過的角度應該是-90°.
(2)兩個角的始邊相同,它們的終邊按逆時針方向旋轉而成的角為正角,按順時針方向旋轉而成的角為負角,所以張角大的角如果是順時針方向旋轉而成的,那么它反而小,因此要考慮到形成角時的旋轉方向.
(3)一條射線可以看成零角.
(4)角的終邊按逆時針方向旋轉而成的角是正角,角的終邊按順時針方向旋轉而成的角為負角.
(5)零角是終邊和始邊重合的角,但終邊和始邊重合的角不一定是零角,如-360°,360°,720°等角,它們的終邊和始邊也重合.
2.解:因為角的終邊按逆時針方向旋轉而成的角為正角,角的終邊按順時針方向旋轉而成的角為負角,所以若沒有標明旋轉方向,則不知道這兩個角是怎樣旋轉得到的,不一定是450°,-630°.當把圖中表示旋轉的絕對量的弧去掉時,這兩個角都表示無數個角,且它們是終邊相同的角.
知識點二
1.角的頂點　始邊　終邊　2.坐標軸
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)銳角α滿足0°<α<90°,鈍角β滿足90°<β<180°,顯然角α是第一象限角,角β是第二象限角,反之不成立.
(2)小于90°的角包含了零角和負角,零角和負角顯然不是銳角,如-30°角,它既不是第一象限角也不是銳角.
(4)角α也可能是軸線角,不屬于任何象限.
知識點三
1.α+k·360°(k∈Z)　整數　{β|β=α+k·360°,k∈Z}
2.(1){α|k·360°<α診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)與90°角終邊相同的角為90°+k·360°(k∈Z).
(2)角30°+k·180°(k∈Z)表示與30°角終邊共線的角.
(3)30°+(2k-1)·180°=-150°+k·360°(k∈Z), 角-150°+k·360°(k∈Z)表示與-150°角終邊相同的角,即與30°角終邊互為反向延長線的角.
(4)第四象限角的集合為{α|k·360°+270°<α2.解:“角α+k·180°(k∈Z)”表示與角α終邊共線的角,其中包含了兩種情況,若k為偶數,則表示終邊與角α終邊相同的角,若k為奇數,則表示終邊與角α終邊互為反向延長線的角;而“角α+k·360°(k∈Z)”表示終邊與角α終邊相同的角,是前者的一種情況.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)A　(2)360°　-5°　-60°　[解析] (1)對于①,-60°角是小于90°的角,但不是鈍角,故①錯誤;對于②,480°角是第二象限角,但不是鈍角,故②錯誤;對于③,480°角和120°角的終邊重合,但不相等,故③錯誤;對于④,相等的角終邊一定重合,故④正確.故選A.
(2)因為按照逆時針方向旋轉而成的角是正角,所以體操運動員按照逆時針方向旋轉360°而成的角是360°.由題意可知,時針按照順時針方向旋轉了10×=5°,即為-5°,分針按照順時針方向旋轉了10×=60°,即為-60°.
探究點二
探索 解:根據終邊相同的角的定義判斷,一般地,角α+k·360°(k∈Z)與角α的終邊相同,且它們的差一定是360°的整數倍.
例2　(1)BD　(2){β|β=45°+k·180°,k∈Z}　[解析] (1)與-60°角終邊相同的角為-60°+360°·k(k∈Z).當k=-1時,有-60°+360°×(-1)=-420°,故B正確;當k=1時,有-60°+360°×1=300°,故D正確;其他選項檢驗均不成立.故選BD.
(2)易知終邊在第一、三象限的角平分線上的角β的集合S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}.
變式　A　[解析] 因為角α的終邊與角θ的終邊關于x軸對稱,所以角-α的終邊與角θ的終邊相同,即θ=-α+k·360°(k∈Z),則有α+θ=k·360°(k∈Z),所以角α+θ的終邊落在x軸的正半軸上.故選A.
探究點三
探索 解:設角β與角α的終邊相同,且0°≤β≤360°,則β=-1480°+5×360°=320°,所以角β是第四象限角,所以角α是第四象限角.
例3　(1)C　(2)C　[解析] (1)因為α是第一象限角,所以-α是第四象限角,所以90°-α是第一象限角,故A錯誤;90°+α是第二象限角,故B錯誤;360°-α是第四象限角,故C正確;360°+α是第一象限角,故D錯誤.故選C.
(2)因為α是第三象限角,所以180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z,所以-135°-k·180°<-<-90°-k·180°,k∈Z.當k為偶數時,-是第三象限角;當k為奇數時,-是第一象限角.故選C.
變式　(1)CD　(2)第一象限、第二象限或第三象限
[解析] (1)對于A,-120°=-360°+240°,240°角是第三象限角,故A錯誤;對于B,180°角的終邊在x軸的負半軸上,故B錯誤;對于C,-240°=-360°+120°,120°是第二象限角,故C正確;對于D,495°=360°+135°,135°是第二象限角,故D正確.故選CD.
(2)∵角α是第一象限角,∴k·360°<α探究點四
例4　(1)C　[解析] 當k=2n,n∈Z時,M={α|n·360°≤α≤n·360°+60°,n∈Z};當k=2n+1,n∈Z時,M={α|n·360°+180°≤α≤n·360°+240°,n∈Z}.故選C.
(2)解:①終邊落在射線OM上的角的集合為{α|α=45°+k·360°,k∈Z}.
②終邊落在直線OM上的角的集合為{α|α=45°+k·180°,k∈Z}.
③終邊落在直線ON上的角的集合為{α|α=60°+k·180°,k∈Z},則終邊落在陰影區域內(含邊界)的角的集合為{α|45°+k·180°≤α≤60°+k·180°,k∈Z}.
變式　{α|-120°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}
[解析] 由題圖知,角α的集合為{α|-120°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
【課堂評價】
1.B　[解析] 因為角2α與220°角的終邊相同,所以2α=220°+k·360°(k∈Z),所以α=110°+k·180°(k∈Z).故選B.
2.C　[解析] -10°<90°,但是由銳角的定義知-10°角不是銳角,故A錯誤;100°是第二象限的角,400°是第一象限的角,但100°<400°,故B錯誤;因為-2024°=-6×360°+136°,所以與-2024°角終邊相同的最小正角是136°,故C正確;若α=-100°,則α是第三象限角,故D錯誤.故選C.
3.B　[解析] 集合N=={x|x=k·180°±45°,k∈Z}.對于集合M,當k=2m,m∈Z時,x=m·180°-45°,m∈Z;當k=2m+1,m∈Z時,x=m·180°+45°,m∈Z.∴M=N.故選B.
4.-135°　[解析] 當小齒輪轉動360°時,大齒輪轉動的角度的大小為360°×=135°,因為兩齒輪轉動的方向相反,所以大齒輪轉動的角度為-135°.
5.(1){γ|k·360°-45°<γ(2)由(1)知滿足條件的角θ的集合為{θ|0°≤θ<60°或315°<θ<360°}.7.1　任意角的概念與弧度制
7.1.1　角的推廣
【學習目標】
　　1.了解任意角的概念,能區分正角、負角與零角;
　　2.理解并掌握終邊相同的角的含義及其表示方法;
　　3.掌握象限角的概念并能用集合表示各類象限角及區域角.
◆ 知識點一　角的概念的推廣
1.任意角的概念:一條射線繞其　　　　旋轉到另一條射線所形成的圖形稱為角,這兩條射線分別稱為角的　　　　和　　　　.
2.角的分類
類型 定義 圖示
正角 按照　　　　方向旋轉而成的角
負角 按照　　　　方向旋轉而成的角
零角 射線　　　　旋轉
3.角的加減運算及其幾何意義
(1)角的加法的幾何意義
如圖①所示,射線OA逆時針方向旋轉到OB所形成的角為60°,OB逆時針方向旋轉到OC所形成的角為90°,則OA逆時針方向旋轉到OC所形成的角為　　　　　　　　.
(2)角的減法的幾何意義
如圖②所示,射線OA逆時針方向旋轉到OB所形成的角為90°,OB順時針方向旋轉到OC所形成的角為-30°,則OA逆時針方向旋轉到OC所形成的角為　　　　　　　.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)經過15分鐘,鐘表的分針轉過的角度為90°. (　 )
(2)兩個角的始邊相同,那么這兩個角的始邊和終邊的張角越大,對應的角越大. (　 )
(3)一條射線也可以看成一個角. (　 )
(4)角的始邊不變,角的終邊按逆時針方向旋轉,角變大,角的終邊按順時針方向旋轉,角變小. (　 )
(5)若角的始邊和終邊重合,則該角為零角. (　 )
2.圖中α=450°,β=-630°,如果不標明旋轉方向,那么這兩個角還是450°和-630°嗎 如果把圖中表示旋轉的絕對量的弧去掉,那么這兩個角具有怎樣的關系
◆ 知識點二　象限角
1.象限角定義:　　　　　　與坐標原點重合,角的　　　落在x軸的正半軸上.這時,角的　　　　在第幾象限,就把這個角稱為第幾象限角.
2.終邊在坐標軸上的角(軸線角):在平面直角坐標系中,角的頂點與坐標原點重合,角的始邊落在x軸的正半軸上,角的終邊在　　　　上,就認為這個角不屬于任何象限,可稱為軸線角.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)銳角是第一象限角,鈍角是第二象限角,反之也成立. (　 )
(2)小于90°的角是銳角,也是第一象限角. (　 )
(3)若角α的頂點與坐標原點重合,始邊落在x軸的正半軸上,終邊經過點A(-1,2),則角α是第二象限角. (　 )
(4)若角α大于0°小于180°,則角α是第一象限角或第二象限角. (　 )
◆ 知識點三　終邊相同的角
1.終邊相同角的定義:一般地,角　　　　　　與角α的終邊相同,這只需把k·360°看成逆時針或者順時針方向旋轉若干周即可.任意兩個終邊相同的角,它們的差一定是360°的　　　　倍.因此,所有與α終邊相同的角組成一個集合,這個集合可記為S=　　　　　　.
2.象限角與終邊在坐標軸上的角(軸線角)的表示:
(1)象限角的集合表示
象限角 角α的集合表示
第一象限角 　　　　　　　　　　　　　
第二象限角 　　　　　　　　　　　　　
第三象限角 　　　　　　　　　　　　　
第四象限角 　　　　　　　　　　　　　
(2)軸線角的集合表示
角β的終邊位置 角β的集合表示
x軸正半軸 {β|β=k·360°,k∈Z}
x軸負半軸 {β|β=k·360°+180°,k∈Z}
x軸 {β|β=k·180°,k∈Z}
y軸正半軸 {β|β=k·360°+90°,k∈Z}
y軸負半軸 {β|β=k·360°+270°,k∈Z}
y軸 {β|β=k·180°+90°,k∈Z}
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)與90°角終邊相同的角為-270°. (　 )
(2)角30°+k·180°(k∈Z)表示與30°角終邊相同的角. (　 )
(3)角30°+(2k-1)·180°(k∈Z)表示與30°角終邊互為反向延長線的角. (　 )
(4)集合{α|k·360°+270°<α2.如何區分“角α+k·180°(k∈Z)”和“角α+k·360°(k∈Z)”
◆ 探究點一　任意角的概念
例1 (1)[2023·上海靜安區高一期末] 在平面直角坐標系中,以下說法中所表述的角都是頂點在坐標原點,始邊與x軸的正半軸重合的角.
①小于90°的角一定是鈍角;
②第二象限角一定是鈍角;
③終邊重合的角一定相等;
④相等的角終邊一定重合.
其中說法正確的個數是 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)體操運動員按照逆時針方向旋轉360°而成的角是　　　　.若將鐘表撥快10分鐘,則時針旋轉了　　　　,分針旋轉了　　　　.
[素養小結]
解決此類問題的關鍵在于正確理解角的概念,注意角的始邊在哪個位置以及終邊是順時針還是逆時針方向旋轉.
◆ 探究點二　終邊相同的角的應用
[探索] 如何判斷兩個角的終邊相同


例2 (1)(多選題)[2024·太原高一期末] 下列選項中,與-60°角終邊相同的角有 (　 )
A.60° B.-420°
C.240° D.300°
(2)終邊在第一、三象限的角平分線上的角β的集合S=.
變式 [2024·江蘇鹽城大豐中學高一月考] 若角α的終邊與角θ的終邊關于x軸對稱,則角α+θ的終邊落在 (　 )
A.x軸的正半軸上 B.第一象限
C.y軸的正半軸上 D.第三象限
[素養小結]
(1)寫出終邊相同的角的集合的一般步驟:
①寫出在[0°,360°)內相應的角;
②由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合;
③根據條件,能合并的集合一定要合并,使結果簡潔.
(2)終邊問題常用的三個結論:
①終邊相同的角之間相差360°的整數倍;
②終邊在同一條直線上的角之間相差180°的整數倍;
③終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數倍.
◆ 探究點三　象限角的判斷
[探索] 已知α=-1480°,如何判斷α所在象限


例3 (1)[2024·海南陵水中學高一期中] 若α是第一象限角,則下列各角為第四象限角的是 (　 )
A.90°-α B.90°+α
C.360°-α D.360°+α
(2)[2024·江蘇連云港灌南高級中學高一月考] 如果α是第三象限角,則-是 (　 )
A.第一象限角
B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角
D.第二或第四象限角
變式 (1)(多選題)[2024·江西萬安中學高一月考] 下列各角是第二象限角的是 (　 )
A.-120° B.180°
C.-240° D.495°
(2)若角α是第一象限角,則角的終邊落在　　　　　　　　　　.
[素養小結]
(1)判斷象限角α的方法:①若角α為[0°,360°)內的角,則其終邊與坐標系中過原點的射線可建立一一對應的關系,易于判斷象限角;②若角α為[0°,360°)之外的角,則可以通過β=α+k·360°,k∈Z將角α轉化到[0°,360°)內的角β,因為終邊相同的角所屬的象限相同,所以判斷角β的終邊所在的象限即可.
(2)一般地,要確定的終邊所在的象限,可以先把各個象限都n等分,再從x軸正半軸的上方起,按逆時針方向把這4n個區域依次循環標上號碼1,2,3,4,則標號是幾的區域就是α為第幾象限角時的終邊所在的區域,的終邊所在的象限就可以直觀地看出.
◆ 探究點四　區域角的表示
例4 (1)[2023·山西朔州懷仁一中高一期末] 集合M={α|k·180°≤α≤k·180°+60°,k∈Z}中的角所表示的范圍(陰影部分)是 (　 )
A B C D
(2)如圖,分別寫出適合下列條件的角的集合:
①終邊落在射線OM上;
②終邊落在直線OM上;
③終邊落在陰影區域內(含邊界).
變式 [2023·江西上饒一中高一月考] 如圖所示,終邊落在陰影部分內(包括邊界)的角α的集合為　　　　　　　　.
[素養小結]
表示區域角的三個步驟:
第一步:按照逆時針方向找到區域的起始邊界和終止邊界;
第二步:按由小到大的順序分別標出起始邊界和終止邊界對應的在[-180°,180°)(或[0°,360°))內的角α和β,寫出最簡區間(注意是否包含邊界),其中β-α<360°;
第三步:區域的起始邊界、終止邊界對應角α,β加上k·360°(k∈Z)即得區域角的集合,對頂區域起始邊界、終止邊界對應角α,β加上k·180°(k∈Z)即得區域角的集合.
1.[2024·福建德化一中高一月考] 若角2α與220°角的終邊相同,則α= (　 )
A.110°+k·360°(k∈Z) B.110°+k·180°(k∈Z)
C.220°+k·360°(k∈Z) D.220°+k·180°(k∈Z)
2.[2024·湖南師大附中高一期末] 下列說法正確的是 (　 )
A.小于90°的角是銳角
B.第二象限的角一定大于第一象限的角
C.與-2024°角終邊相同的最小正角是136°
D.若α=-100°,則α是第四象限角
3.[2023·廣東汕尾華大實驗學校高一月考] 設集合M=,N=,則集合M,N的關系為 (　 )
A.M N B.M=N
C.N M D.無法確定
4.已知兩個齒輪是互相嚙合的,大齒輪有64齒,小齒輪有24齒.當小齒輪轉動360°時,大齒輪轉動的角度為　　　　.
5.如圖所示,α,β分別是終邊落在OA,OB上的兩個角,且α=60°,β=315°.
(1)終邊落在陰影區域內(不包括邊界)的角γ的集合為　　　　　　　　　;
(2)終邊落在陰影區域內(不包括邊界)且在[0°,360°)內的角θ的集合為　　　　　　. 7.1　任意角的概念與弧度制
7.1.1　角的推廣
1.C　[解析] 因為-2024°=-44°-11×180°,所以集合A={α|α=-2024°+k·180°,k∈Z}中的最大負角為-44°.故選C.
2.C　[解析] 因為鈍角是大于90°且小于180°的角,一定是第二象限角,所以A B,故A錯誤,C正確;若β是第二象限角,則90°+k·360°<β<180°+k·360°,k∈Z,不妨取β=480°,此時β是第二象限角,但480°>180°,故B,D均錯誤.故選C.
3.B　[解析] 春分往下依次順延為清明、谷雨、立夏、小滿、芒種等,所以芒種為黃經75度.
4.A　[解析] 對于①,當α=k·360°+90°,k∈Z時,角α的終邊在y軸的正半軸上,此時角α不是第一或第二象限的角,故①為假命題;對于②,角150°為第二象限角,角390°為第一象限角,但150°<390°,故②為假命題;對于③,將表的分針撥快10分鐘,則分針轉過的角為-60°,故③為假命題;對于④,角480°為第二象限角,但角240°的終邊在第三象限,故④為假命題.綜上,真命題的個數為0,故選A.
[易錯] 象限角只與角的終邊的位置有關,而與角的大小無關;時鐘的時針、分針、秒針都是順時針轉動,故其轉過的角都是負角.
5.D　[解析] {α|α=90°+k·180°,k∈Z}表示終邊在y軸上的角的集合,{α|α=k·180°,k∈Z}表示終邊在x軸上的角的集合,所以A={α|α=90°+k·180°,k∈Z}∪{α|α=k·180°,k∈Z}表示終邊在坐標軸上的角的集合,B={β|β=k·90°,k∈Z}表示終邊在坐標軸上的角的集合,所以A=B.故選D.
6.D　[解析] 角α的終邊和60°角的終邊相同,角β的終邊和120°角的終邊相同,∵180°-120°=60°,∴角α與β的終邊關于y軸對稱.故選D.
7.C　[解析] 對于A,負角小于84°但負角不是銳角,故A錯誤;對于B,2024°=360°×5+224°,2024°角與224°角的終邊相同,224°角是第三象限角,24°角是第一象限角,故B錯誤;對于C,將時鐘撥快30分鐘,分針轉過的角為負角,且是整個表盤的一半,為-180°,故C正確;對于D,因為α是第一象限角,所以k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z,所以k·180°<<45°+k·180°,k∈Z,所以是第一或第三象限角,故D錯誤.故選C.
8.AC　[解析] 由題得k·360°+40°≤α≤k·360°+100°,k∈Z,所以k·180°+20°≤≤k·180°+50°,k∈Z.當k為偶數時,角的終邊在第一象限;當k為奇數時,角的終邊在第三象限.故選AC.
9.BD　[解析] 結合終邊相同的角的概念,可得α+β=k·360°+180°=(2k+1)·180°(k∈Z).故選BD.
10.1110°　[解析] 終邊按逆時針方向旋轉得到的角是正角,所以30°角的終邊按逆時針方向旋轉三周后得到的角為30°+3×360°=1110°.
11.{-126°,-36°,54°,144°}　[解析] 由-180°12.-30°+k·360°,k∈Z　[解析] 因為-60°角與-30°角的終邊關于直線y=-x對稱,所以β的終邊與-30°角的終邊相同,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.
13.解:∵-2024°=-6×360°+136°,∴與-2024°角終邊相同的角就是與136°角終邊相同的角,∴與-2024°角終邊相同的角的集合S={α|α=136°+k·360°,k∈Z}.
(1)當k=0時,α=136°,∴與-2024°角終邊相同的最小正角是136°角.
(2)當k=-1時,α=-224°,∴與-2024°角終邊相同的最大負角是-224°角.
(3)令-720°≤k·360°+136°<720°,k∈Z,得k=-2,-1,0,1.
當k=-2時,α=-584°;當k=-1時,α=-224°;
當k=0時,α=136°;當k=1時,α=496°.
∴在[-720°,720°)內與-2024°角終邊相同的角有-584°角,-224°角,136°角,496°角.
14.解:(1)與α=-1910°的終邊相同的角β的集合為{β|β=-1910°+k·360°,k∈Z}.
因為-720°≤β<360°,所以k=4,5,6.
當k=4時,β=-470°;
當k=5時,β=-110°;當k=6時,β=250°.
所以滿足不等式-720°≤β<360°的β有-470°,-110°,250°.
(2)①S1={α|α=k·180°,k∈Z}.
②S2={α|α=135°+k·180°,k∈Z}.
③S3={α|α=45°+k·180°,k∈Z}∪{α|α=135°+k·180°,k∈Z}={α|α=45°+k·90°,k∈Z}.
(3)與角60°,-135°終邊相同的角分別為60°+k·360°(k∈Z),-135°+k·360°(k∈Z),因此終邊落在陰影區域(包括邊界)的角的集合為{α|-135°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z}.
15.D　[解析] 設α+60°=k·360°+130°,k∈Z,解得α=k·360°+70°,k∈Z,所以與角α的終邊相同的角的集合為{β|β=k·360°+70°,k∈Z}.故選D.
16.解:根據題意知,14秒后點P在角14θ+45°的終邊上,
∴45°+k·360°=14θ+45°,k∈Z,
即θ=,k∈Z,
又180°<2θ+45°<270°,∴67.5°<θ<112.5°,
則67.5°<<112.5°,k∈Z,
∴k=3或k=4,∴θ的值為°或°.
∵0°<°<90°,90°<°<180°,∴θ的終邊在第一象限或第二象限.7.1　任意角的概念與弧度制
7.1.1　角的推廣
一、選擇題
1. 集合A={α|α=-2024°+k·180°,k∈Z}中的最大負角為 (　 )
A.-2024° B.-224°
C.-44° D.-24°
2.[2024·山東棗莊高一期末] 已知集合A={鈍角},B={第二象限角},C={小于180°的角},則(　 )
A.A=B B.B=C
C.A B D.B C
3.如圖所示,地球繞太陽的軌道稱為黃道,而二十四節氣正是按照太陽在黃道上的位置來劃分的.當太陽垂直照射赤道時定為“黃經0度”,即春分點.從這里出發,每前進15度就為一個節氣,從春分往下依次順延為清明、谷雨、立夏等.待運行一周后就又回到春分點,此為一回歸年,共360度,則芒種為黃經 (　 )
A.60度 B.75度
C.270度 D.285度
★4.[2023·陜西西北農林科技大學附中高一月考] 給出下列命題:
①第一、二象限的角組成的集合為{α|k·360°<α②第二象限角大于第一象限角;
③將表的分針撥快10分鐘,則分針轉過的角為60°;
④若α是第二象限角,則的終邊在第一象限.
其中真命題的個數是 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
5.設集合A={α|α=90°+k·180°,k∈Z}∪{α|α=k·180°,k∈Z},集合B={β|β=k·90°,k∈Z},則 (　 )
A.A B B.B A
C.A∩B= D.A=B
6.若角α=m·360°+60°,m∈Z,β=k·360°+120°,k∈Z,則角α與β的終邊的位置關系是 (　 )
A.重合
B.關于原點對稱
C.關于x軸對稱
D.關于y軸對稱
7.[2024·武漢二中高一期末] 下列說法正確的是 (　 )
A.小于84°的角是銳角
B.24°角與2024°角的終邊相同
C.將時鐘撥快30分鐘,則分針轉過的角為-180°
D.若α是第一象限角,則是第二或第四象限角
8.(多選題)[2024·江西九江高一期末] 如圖,若角α的終邊落在陰影部分(包括邊界),則角的終邊可能在 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.(多選題)下列條件中,能使α和β的終邊關于y軸對稱的是 (　 )
A.α+β=90°
B.α+β=180°
C.α+β=k·360°+90°(k∈Z)
D.α+β=(2k+1)·180°(k∈Z)
二、填空題
10.30°角的終邊按逆時針方向旋轉三周后得到的角為　　　　.
11.已知集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},則A∩B=　　　　　　　.
12.已知角α與β的終邊關于直線y=-x對稱,且α=-60°,則β=　　　　　　　　.
三、解答題
13.在與-2024°角終邊相同的角中,求滿足下列條件的角.
(1)最小的正角;
(2)最大的負角;
(3)在[-720°,720°)內的角.
14.(1)寫出與α=-1910°的終邊相同的角β的集合,并把集合中滿足不等式-720°≤β<360°的元素β寫出來.
(2)分別寫出終邊在如圖①②③所示的直線上的角的集合.
(3)如圖,求終邊落在陰影區域(包括邊界)的角的集合.
15.[2024·安徽蚌埠高一期中] 將角α的終邊繞坐標原點O逆時針旋轉60°后與130°角的終邊重合,則與角α的終邊相同的角的集合為 (　 )
A.{β|β=k·180°+90°,k∈Z}
B.{β|β=k·360°+90°,k∈Z}
C.{β|β=k·180°+150°,k∈Z}
D.{β|β=k·360°+70°,k∈Z}
16.如圖,半徑為1的圓的圓心位于坐標原點O,點P從點A出發,按逆時針方向勻速沿圓周運動.已知P在1秒內轉過的角度為θ(0°<θ<180°),經過2秒到達第三象限,經過14秒后又恰好回到出發點A,求θ,并判斷θ的終邊所在的象限.

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