資源簡介

(共45張PPT)
7.1 任意角的概念與弧度制
7.1.2 弧度制及其與角度制的換算
探究點一 弧度制的概念
探究點二 角度制與弧度制的互化
探究點三 扇形的弧長公式和面積公式的
應用
【學習目標】
1.能夠熟練地進行角度與弧度的互化,掌握常用特殊角的弧度制表示；
2.能用弧度制表示終邊相同的角；
3.掌握用弧度制表示的扇形的弧長公式和面積公式.
知識點一 弧度制
1.角度制的定義:用____作單位來度量角的制度稱為角度制.
2.弧度制的定義:長度等于________的圓弧所對的圓心角為1弧度的角，
記作 ,以弧度為單位來度量角的制度稱為弧度制.
3.計算公式：在半徑為的圓中,若弧長為的弧所對的圓心角為 ,
則 __.
度
半徑長
4.弧度制與角度制的區別與聯系
區別 （1）單位不同，弧度制以“弧度”為度量單位，角度制以“度”
為度量單位；（2）定義不同
聯系 不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與圓的
半徑大小無關的定值
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）的角和 的角大小相等. ( )
×
（2）用弧度來表示的角都是正角. ( )
×
（3）不論是以“弧度”為單位還是以“度”為單位的角的大小都是一個
與圓的半徑大小無關的值,僅與圓心角所對的弧長與半徑的比值有關.
( )
√
（4）表示 是 的角.( )
√
知識點二 弧度制與角度制的換算
1.弧度制與角度制的互化（換算）
2.特殊角的角度數與弧度數對應如下表，請填寫完整.
角度 ____ ____ ____
弧度 ___ ___ __ __ ___ __ ___
角度 ____ ____ ____
弧度 ___ ___ ___ ___ ____ ____
0
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位.( )
√
（2） 的角是周角的，的角是周角的 .( )
√
（3） 的角是的角的 .( )
√
（4）角度制和弧度制在角的集合與實數集 之間建立了一種一一對
應關系.( )
√
2.與 角終邊相同的角的集合寫為 ， ，
終邊在直線與 上的角的集合寫為
.這兩種表示方法正確嗎？為什么？
解：這兩種表示方法不正確.在同一個式子中，角度、弧度不能混用，
否則會產生混亂，
正確的表示方法應為 或
， ，
}或 .
知識點三 扇形的弧長公式與面積公式
設扇形的半徑為，弧長為，或 為其圓心角，則扇
形的弧長公式與面積公式如下：
角度制 弧度制
扇形的弧長公式
扇形的面積公式
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）弧長公式 中的角可以是弧度，也可以是角度.( )
×
[解析] 該弧長公式只適用于弧度制.
（2）若扇形的圓心角是 ,半徑是5,則它的弧長為 ,面積為 .
( )
√
（3）若扇形的圓心角為,則 可以為負數.( )
×
探究點一 弧度制的概念
例1（1） 下列說法中正確的是( )
A.1弧度就是1度的圓心角所對的弧
B.1弧度是長度為半徑長的弧
C.1弧度是1度的弧與1度的角之和
D.1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小
[解析] 根據弧度制的定義可知，1弧度是長度等于半徑長的弧所對的
圓心角的大小.故選D.
√
（2）下列說法中正確的是( )
A.在弧度制下,角的集合與正實數集之間建立起一一對應的關系
B.每個用弧度制表示的角,都有唯一的用角度制表示的角與之對應
C.用角度制和弧度制度量任意一個角,單位不同,數量也不同
D. 對應的弧度數是
[解析] 對于A,在弧度制下,角的集合與實數集之間建立起一一對應的
關系,不是正實數集,故A選項錯誤;B選項顯然正確;
對于C,用角度制和弧度制度量零角時,單位不同,但數量相同（都是0）,
故C選項錯誤;
對于D， 對應的弧度數是 ,故D選項錯誤.故選B.
√
［素養小結］
弧度制的引入便于角度與長度之間建立聯系，當應用弧度制時，角
度的大小可以直接用來表示表示弧長， 為扇形所在圓的半徑).
探究點二 角度制與弧度制的互化
［探索］ 角度制與弧度制的區別是什么？如何相互轉化？
解：弧度制單位是“弧度 ”,可省略不寫，角度制單位是“度”，不
可省略；
1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小，而 的角是周角
的 .
角度數弧度數,弧度數 角度數.
例2 把下列各角化為 的角加上 的形式，并指出它
們的終邊所在的象限.
（1） ；
解： ，終邊在第三象限.
（2） ；
解： ，終邊在第一象限.
（3） ；
解： ，終邊在第二象限.
（4） .
解： ，終邊在第四象限.
變式 設 ， ， ， .
（1）將， 用弧度制表示出來，并指出它們各自的終邊所在的象限；
解： ，
，
的終邊在第二象限， 的終邊在第一象限.
（2）將，用角度制表示出來，并在集合 }
中找出分別與， 的終邊相同的所有角.
解： ，設 ， ，
令 ，得 ， ，
解得或，所以在集合中與 終邊
相同的角是 和 .
同理 ，在集合中與 終邊
相同的角是 和 .
［素養小結］
（1）當進行角度制與弧度制的互化時，要牢記 ，并充
分利用和 進行互化.
（2）在同一個式子中，角度與弧度不能混合用，必須保持單位統一.
拓展 用弧度制表示頂點與坐標原點重合，始邊落在 軸的正半軸上，
終邊落在如圖所示的陰影部分內（不包括邊界）的角 的集合.
解：如題圖（1）所示，以為終邊的角為 ，
可看作 ，， ，
終邊落在陰影部分內的角的集合為
.
如題圖（2）所示，以為終邊的角為 ，可看作 ，
，， 終邊落在陰影部分內的角的集合為
.
如題圖（3）所示，， ，
終邊落在陰影部分內的角的集合為 .
探究點三 扇形的弧長公式和面積公式的應用
例3（1） [2024·江西宜春豐城九中高一期末]已知扇形的面積為4，
圓心角為2弧度，則此扇形的弧長為( )
A.4 B.6 C.8 D.10
[解析] 設扇形的弧長為，半徑為，圓心角為 ，
則扇形的面積，可得，
則 .故選A.
√
（2）[2024·山西呂梁高一期末]木雕是我國雕塑
的一種，在我們國家常常被稱為“民間工藝”.傳
統木雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣.如圖
所示，一扇環形木雕可視為將扇形 截去同心
A. B. C. D.
扇形所得圖形，已知，， ，
則該扇環形木雕的面積為( )
√
[解析] ，
因為， ，
所以該扇環形木雕的面積為
故選B.
變式（1） 如圖①是一款組合團圓拼盤，其示意圖如圖②所示，中
間是一個直徑為 的圓盤，四周是8個相同的扇環形小拼盤，組
拼后形成一個大圓盤，寓意“八方來財，闔家團圓”.若 的長為
，則每個扇環形小拼盤的面積為( )
①
②
A. B. C. D.
√
[解析] 如圖，設小圓的圓心為，連接， ，
則，設 ，
因為每個扇環形小拼盤對應的圓心角 ，
所以的長為，解得 ，
所以每個扇環形小拼盤的面積為
.故選C.
（2）[2024·江蘇鎮江揚中二中高一期中] 某中學
擬建一個扇環形的花壇（如圖），按設計要求扇
環的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10
米，小圓弧所在圓的半徑為米，圓心角 ，
則 ___.
[解析] 由題意可得，，
由 ，得 .
［素養小結］
用弧度制解決扇形相關問題的一般步驟：
（1）明確弧長公式和扇形的面積公式：，
（這里 必須是弧度制下的角）；
（2）分析題目中哪些是已知量，哪些是待求量，靈活選擇公式；
（3）根據條件列方程（組）求解.
1.[2024·陜西榆林高一期末]已知現在的時刻為 ，設150分鐘后時
針與分針的夾角為，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 150分鐘后是7：00整，時針指向7，分針指向12，
所以 ．故選B.
√
2.已知集合 ，則
( )
A. B. C. D.
[解析] ，
，故 .故選B.
√
3.把 表示成的形式，使最小的 的值是
( )
A. B. C. D.
[解析] ，與 是終邊相同的角，
且此時是 的最小值.故選A.
√
4.[2024·浙江嘉興高一期末] 一個扇形的弧長和面積都是 ，則這個
扇形的半徑為___．
2
[解析] 設扇形的弧長為，半徑為，則 ，
，解得 .
5.[2024·上海七寶中學高一月考] 在半徑為1的圓中，長度為 的弦
所對的劣弧長是___.
[解析] 如圖，在半徑為1的圓中，弦 的長度為
，為的中點，
則有， ，，
由 ，得，
所以弦 所對的劣弧長是 .
1.用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數值相同（都是0）；
用角度制和弧度制來度量任意一個非零角，單位不同，數值也不同.
2.角度制與弧度制是兩種不同的度量單位，在表示角時不能混用，如
, 的寫法都是不規范的，
應寫成, .
3.應用公式 和 時，角 只限于弧度，角度不
能使用，而且在 ，,, 中，知道其中的兩個量可以求出另外的兩
個量.
公式 角度制 弧度制
弧長公式
面積公式
1.要準確掌握扇形的相關結構特征.如圖所示，
是三角形的中線，也是 的角平分線，延
長，交弧于點，因為三角形 是等腰三
角形，所以是弧的中點.弓形的面積 扇形
面積-三角形 面積.
例1 [2024· 河南駐馬店高一期中]如圖，
在菱形中， ，，
分別是邊，的中點，以點 為圓
心，以， 為半徑作出兩段圓弧，
A. B. C. D.
與分別交于點，，以為圓心，以, 為半徑作出兩段圓弧，
與分別交于,，其中. 若扇環 的周長為
，則扇環 的面積為( )
√
[解析] 設，則，
因為扇環 的周長為，所以,
解得 ，
所以扇環的面積為 .故選B.
2.解決扇形的周長或面積的最值問題，關鍵是運用函數思想，把所求
的最值問題轉化為求函數的最值問題求解，解題過程中要注意變量
的取值范圍.
例2 [2024·西安鄠邑區高一期末] 某農戶計劃圍建一塊扇形的菜地，
已知該農戶圍建菜地的籬笆的長度為24米.
（1）若該扇形菜地的圓心角為4弧度，求該扇形菜地的面積；
解：設該扇形菜地的半徑為，弧長為 ，
則解得
故該扇形菜地的面積 （平方米）.
（2）當該扇形菜地的圓心角為何值時，菜地的面積最大，最大值是
多少？
解：因為，所以 ，
則 .
當時， 取得最大值36，
此時，則 .
故該扇形菜地的圓心角為2弧度時，菜地的面積取得最大值36平方米.7.1.2　弧度制及其與角度制的換算
【課前預習】
知識點一
1.度　2.半徑長　3.
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
知識點二
1.2π　2π　π　π　　°
2.60°　120°　150°　0　　　　　　　240°
270°　300°　π　　　　　2π
診斷分析
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2.解:這兩種表示方法不正確.在同一個式子中,角度、弧度不能混用,否則會產生混亂,正確的表示方法應為A=或A={α|α=k·360°+30°,k∈Z}, B={β|β=45°+k·90°,k∈Z}或B=.
知識點三
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)該弧長公式只適用于弧度制.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)D　(2)B　[解析] (1)根據弧度制的定義可知,1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小.故選D.
(2)對于A,在弧度制下,角的集合與實數集之間建立起一一對應的關系,不是正實數集,故A選項錯誤;B選項顯然正確;對于C,用角度制和弧度制度量零角時,單位不同,但數量相同(都是0),故C選項錯誤;對于D,-120°對應的弧度數是-,故D選項錯誤.故選B.
探究點二
探索 解:弧度制單位是“弧度(rad)”,可省略不寫,角度制單位是“度”,不可省略;1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小,而1°的角是周角的.
角度數×=弧度數,弧度數×=角度數.
例2　解:(1)π=6π+,終邊在第三象限.
(2)-1400°=-1440°+40°=-8π+,終邊在第一象限.
(3)-=-4π+,終邊在第二象限.
(4)682°3'=360°+300°+22.05°=2π++22.05×=2π+,終邊在第四象限.
變式　解:(1)α1=-570°=-π=-4π+π,
α2=750°=π=4π+,
α1的終邊在第二象限,α2的終邊在第一象限.
(2)β1=π=108°,設θ=β1+k·360°,k∈Z,
令-720°≤θ<0°,得-720°≤108°+k·360°<0°,k∈Z,
解得k=-2或k=-1,所以在集合{β|-720°≤β<0°}中與β1終邊相同的角是-612°和-252°.
同理β2=-π=-420°,在集合{β|-720°≤β<0°}中與β2終邊相同的角是-420°和-60°.
拓展　解:如題圖(1)所示,以OB為終邊的角為330°,
可看作-30°,∵-30°=-,75°=,
∴終邊落在陰影部分內的角的集合為.
如題圖(2)所示,以OD為終邊的角為225°,可看作-135°,
∵-135°=-,135°=,∴終邊落在陰影部分內的角的集合為.
如題圖(3)所示,∵30°=,210°=,
∴終邊落在陰影部分內的角的集合為∪=.
探究點三
例3　(1)A　(2)B　[解析] (1)設扇形的弧長為l,半徑為r,圓心角為α,則扇形的面積S=αr2=×2r2=4,可得r=2,則l=αr=2×2=4.故選A.
(2)∠AOB=100×=,因為OA=0.2 m,AC=0.4 m,所以該扇環形木雕的面積為××(0.62-0.22)=(m2).故選B.
變式　(1)C　(2)5　[解析] (1)如圖,設小圓的圓心為O,連接OC,OD,則OC=OD=12 cm,設OA=OB=R cm,因為每個扇環形小拼盤對應的圓心角α==,所以的長為αR=,解得R=30,所以每個扇環形小拼盤的面積為S扇形OAB-S扇形OCD=××302-××122=(cm2).故選C.
(2)由題意可得,30=xθ+10θ+2(10-x),由θ=,得x=5.
【課堂評價】
1.B　[解析] 150分鐘后是7:00整,時針指向7,分針指向12,所以α=2π-=.故選B.
2.B　[解析] M==,P==,故M P.故選B.
3.A　[解析] ∵-=-2π-,∴-與-是終邊相同的角,且此時=是|θ|的最小值.故選A.
4.2　[解析] 設扇形的弧長為l,半徑為r,則l=,S=rl=r×=,解得r=2.
5.　[解析] 如圖,在半徑為1的圓O中,弦AB的長度為,C為AB的中點,則有OC⊥AB,BC=,sin∠BOC==,由0<∠BOC<,得∠BOC=,所以弦AB所對的劣弧長是2××1=.7.1.2　弧度制及其與角度制的換算
【學習目標】
　　1.能夠熟練地進行角度與弧度的互化,掌握常用特殊角的弧度制表示;
　　2.能用弧度制表示終邊相同的角;
　　3.掌握用弧度制表示的扇形的弧長公式和面積公式.
◆ 知識點一　弧度制
1.角度制的定義:用　　　　作單位來度量角的制度稱為角度制.
2.弧度制的定義:長度等于　　　　的圓弧所對的圓心角為1弧度的角,記作1 rad,以弧度為單位來度量角的制度稱為弧度制.
3.計算公式:在半徑為r的圓中,若弧長為l的弧所對的圓心角為α rad,則α=　　　　.
4.弧度制與角度制的區別與聯系
區別 (1)單位不同,弧度制以“弧度”為度量單位,角度制以“度”為度量單位;(2)定義不同
聯系 不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關的定值
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)1 rad的角和1°的角大小相等. (　 )
(2)用弧度來表示的角都是正角. (　 )
(3)不論是以“弧度”為單位還是以“度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關的值,僅與圓心角所對的弧長與半徑的比值有關. (　 )
(4)α=60表示α是60 rad的角. (　 )
◆ 知識點二　弧度制與角度制的換算
1.弧度制與角度制的互化(換算)
2.特殊角的角度數與弧度數對應如下表,請填寫完整.
角度 0° 15° 30° 45° 　 75° 90° 　 135° 　
弧度 　 　 　 　 　 　 　
角度 180° 210° 225° 　 　 　 315° 330° 360°
弧度 　 　 　 　 　 　
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位. (　 )
(2)1°的角是周角的,1 rad的角是周角的. (　 )
(3)1°的角是1 rad的角的. (　 )
(4)角度制和弧度制在角的集合與實數集R之間建立了一種一一對應關系. (　 )
2.與30°角終邊相同的角的集合寫為A={α|α=30°+2kπ,k∈Z},終邊在直線y=x與y=-x上的角的集合寫為B=.這兩種表示方法正確嗎 為什么
◆ 知識點三　扇形的弧長公式與面積公式
設扇形的半徑為r,弧長為l,α(0<α<2π)或n°為其圓心角,則扇形的弧長公式與面積公式如下:
角度制 弧度制
扇形的弧長公式 l= l=αr
扇形的面積公式 S= S=lr=αr2
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)弧長公式l=αr中的角可以是弧度,也可以是角度. (　 )
(2)若扇形的圓心角是72°,半徑是5,則它的弧長為2π,面積為5π. (　 )
(3)若扇形的圓心角為α rad,則α可以為負數. (　 )
◆ 探究點一　弧度制的概念
例1 (1)下列說法中正確的是 (　 )
A.1弧度就是1度的圓心角所對的弧
B.1弧度是長度為半徑長的弧
C.1弧度是1度的弧與1度的角之和
D.1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小
(2)下列說法中正確的是 (　 )
A.在弧度制下,角的集合與正實數集之間建立起一一對應的關系
B.每個用弧度制表示的角,都有唯一的用角度制表示的角與之對應
C.用角度制和弧度制度量任意一個角,單位不同,數量也不同
D.-120°對應的弧度數是
[素養小結]
弧度制的引入便于角度與長度之間建立聯系,當應用弧度制時,角度的大小可以直接用來表示(l表示弧長,r為扇形所在圓的半徑).
◆ 探究點二　角度制與弧度制的互化
[探索] 角度制與弧度制的區別是什么 如何相互轉化
　　　　　 　　　　　 　　　　　
例2 把下列各角化為0~2π的角加上2kπ(k∈Z)的形式,并指出它們的終邊所在的象限.(1)π;(2)-1400°;(3)-;(4)682°3'.
變式 設α1=-570°,α2=750°,β1=π,β2=-π.
(1)將α1,α2用弧度制表示出來,并指出它們各自的終邊所在的象限;
(2)將β1,β2用角度制表示出來,并在集合{β|-720°≤β<0°}中找出分別與β1,β2的終邊相同的所有角.
[素養小結]
(1)當進行角度制與弧度制的互化時,要牢記180°=π rad,并充分利用1°= rad和1 rad=°進行互化.
(2)在同一個式子中,角度與弧度不能混合用,必須保持單位統一.
拓展 用弧度制表示頂點與坐標原點重合,始邊落在x軸的正半軸上,終邊落在如圖所示的陰影部分內(不包括邊界)的角θ的集合.
◆ 探究點三　扇形的弧長公式和面積公式的應用
例3 (1)[2024·江西宜春豐城九中高一期末] 已知扇形的面積為4,圓心角為2弧度,則此扇形的弧長為 (　 )
A.4 B.6
C.8 D.10
(2)[2024·山西呂梁高一期末] 木雕是我國雕塑的一種,在我們國家常常被稱為“民間工藝”.傳統木雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣.如圖所示,一扇環形木雕可視為將扇形OCD截去同心扇形OAB所得圖形,已知OA=0.2 m,AC=0.4 m,∠AOB=100°,則該扇環形木雕的面積為 (　 )
A. m2 B. m2
C. m2 D. m2
變式 (1)如圖①是一款組合團圓拼盤,其示意圖如圖②所示,中間是一個直徑為24 cm的圓盤,四周是8個相同的扇環形小拼盤,組拼后形成一個大圓盤,寓意“八方來財,闔家團圓”.若的長為 cm,則每個扇環形小拼盤的面積為 (　 )
① ②
A.45 cm2 B. cm2
C. cm2 D.189 cm2
(2)[2024·江蘇鎮江揚中二中高一期中] 某中學擬建一個扇環形的花壇(如圖),按設計要求扇環的周長為30米,其中大圓弧所在圓的半徑為10米,小圓弧所在圓的半徑為x米,圓心角θ=,則x=　　　　.
[素養小結]
用弧度制解決扇形相關問題的一般步驟:
(1)明確弧長公式和扇形的面積公式:l=αr,S=αr2=lr(這里α必須是弧度制下的角);
(2)分析題目中哪些是已知量,哪些是待求量,靈活選擇公式;
(3)根據條件列方程(組)求解.
1.[2024·陜西榆林高一期末] 已知現在的時刻為4:30,設150分鐘后時針與分針的夾角為α(0<α≤π),則α= (　 )
A. B.
C. D.
2.已知集合M=,則 (　 )
A.M=P B.M P
C.M P D.M∩P=
3.把-π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ的值是 (　 )
A.- B.-
C. D.
4.[2024·浙江嘉興高一期末] 一個扇形的弧長和面積都是,則這個扇形的半徑為　　　　.
5.[2024·上海七寶中學高一月考] 在半徑為1的圓中,長度為的弦所對的劣弧長是　　　　. 7.1.2　弧度制及其與角度制的換算
1.B　[解析] -的終邊在第三象限,則α=-+kπ,k∈Z的終邊在第一、三象限.故選B.
2.C　[解析] 對于A,B,α=2kπ+45°(k∈Z),α=k·360°+(k∈Z)中角度和弧度混用,故A,B錯誤;對于C,因為與-315°是終邊相同的角,所以與角的終邊相同的角可表示為α=k·360°-315°(k∈Z),故C正確;對于D,α=kπ+(k∈Z),不妨取k=0,則α=,與的終邊不相同,故D錯誤.故選C.
3.D　[解析] 設扇形所對的圓心角為α,α所對的密位為n,則α×32=,解得α=,由題意可得=,解得n=200,因此該扇形圓心角的密位制表示為2-00.故選D.
4.A　[解析] 設扇形的半徑為r,圓心角為α,則S1=r2·α,S2=πr2-r2·α=r2(2π-α),由==,得α=(3-)π.故選A.
5.C　[解析] 因為圓弧AC所對的圓心角α=,所以△OAC為等邊三角形,所以OA=OC=AC=10 cm,所以圓弧AC的長l=×10= (cm).故選C.
6.B　[解析] 設扇形的半徑為R,弧長為l.由扇形的周長為100 cm,得2R+l=100,則l=100-2R,所以扇形的面積S=lR=R(100-2R)=-R2+50R,當R=25 cm時,S取得最大值,最大值為-252+50×25=625 (cm2).故選B.
[點撥] 求解扇形面積的最值問題可以轉化為關于半徑的二次函數問題,進而應用二次函數的方法求解最值.
7.A　[解析] 由題知B=∪,又A=,所以A∩B=.故選A.
8.CD　[解析] 易知A錯誤;三角形的內角可以為,不是象限角,故B錯誤;若α是第三象限角,則π+2kπ<α<+2kπ,k∈Z,則+kπ<<+kπ,k∈Z,當k為偶數時,是第二象限角,當k為奇數時,是第四象限角,故C正確;終邊在y軸正半軸上的角的集合為,故D正確.故選CD.
9.BC　[解析] 設原扇形的半徑為r,弧長為l,圓心角為α,則原扇形的面積S1=lr.扇形的弧長變為原來的2倍,半徑變為原來的2倍后,其面積S2=·2l·2r=2lr,故S2=4S1,故A錯誤,C正確;由α==,可知扇形的圓心角不變,故B正確,D錯誤.故選BC.
10.1或4　[解析] 設扇形的半徑為r,弧長為l,面積為S,圓心角為α,則l+2r=12,S=lr=8,解得r=2,l=8或r=4,l=4,則α==4或α==1.
11.　[解析] 設時針轉過的弧度數的絕對值為α,因為分針的角速度是時針角速度的12倍,所以分針轉過的弧度數的絕對值為12α,由題意可知12α=α+2π,解得α=,所以時針轉過的弧度數的絕對值為.
12.2-　[解析] 設AB=a,∠EAD=α,由題可知a2-πa2=αa2,解得α=2-.
13.解:(1)∵-1725°=75°-5×360°,∴-1725°=-10π.
∵0<<,α的終邊與的終邊相同,∴α是第一象限角.
(2)與α的終邊相同的角可以寫為γ=+2kπ,k∈Z,令-5π≤+2kπ<0,k∈Z,解得k=-2或k=-1.
當k=-2時,γ=-;
當k=-1時,γ=-.
故在區間[-5π,0)內與α終邊相同的角是-,-.
14.解:(1)由題意得L=2+π·=+2x+(x>0).
(2)L=+2x+=+x≥2=≈≈8.1,
當且僅當=x,即x≈1.5時,L取得最小值,
因為8.1<10,所以10米的鋁合金材料夠用.
15.　[解析] 因為△ABC是等腰直角三角形,∠C=,AC=1,所以S△ABC=,S扇形BCD=××12=,S扇形ABA'=××()2=, S扇形DBC'=××12=,所以S陰影=S△ABC+S扇形ABA'-S扇形BCD-S扇形DBC'-S△ABC=+---=.
16.解:(1)設弧AB的長度為l1 cm,弧CD的長度為l2 cm,
因為OD=2OA,所以==,所以l1=l2.
因為OD=2OA=80 cm,所以AD=BC=40 cm,
因為該扇環形玉雕壁畫的周長為320 cm,所以l1+l2=240,
所以l2+l2=240,解得l2=160,
故弧CD的長度為160 cm.
(2)因為AD=2OA,所以=,所以==,
則扇形OCD的面積S1=·OD·l2=·OA·l1,扇形OAB的面積S2=·OA·l1,
所以該扇環形玉雕壁畫的面積S=S1-S2=4·OA·l1.
因為該扇環形玉雕壁畫的周長為320 cm,
所以l1+l2+AD+BC=4l1+4OA=320,
所以l1+OA=80,
所以2≤OA+l1=80,所以OA·l1≤1600,當且僅當OA=l1=40時,等號成立,
故S=4·OA·l1≤6400,即該扇環形玉雕壁畫的面積的最大值為6400 cm2.7.1.2　弧度制及其與角度制的換算
一、選擇題
1.若α=-+kπ,k∈Z,則α的終邊在 (　 )
A.第一象限 B.第一、三象限
C.第二象限 D.第二、四象限
2.[2023·湖北十堰天河英才高中高一月考] 下列表達式中與角的終邊相同的是 (　 )
A.α=2kπ+45°(k∈Z)
B.α=k·360°+(k∈Z)
C.α=k·360°-315°(k∈Z)
D.α=kπ+(k∈Z)
3.[2023·遼寧凌源高一期末] 密位制是度量角的一種方法,把一周角等分為6000份,每一份叫作1密位的角.以密位作為角的度量單位,這種度量角的單位制叫作角的密位制.在角的密位制中,采用四個數碼表示角的大小,單位名稱密位二字可以省去不寫.密位的寫法是在百位數與十位數之間畫一條短線,如7密位寫成“0-07”,478密位寫成“4-78”,1周角等于6000密位,記作1周角=60-00,1直角=15-00.若一個半徑為3的扇形的面積為,則其圓心角的密位制表示為(　 )
A.14-40 B.12-50
C.4-00 D.2-00
4.[2024·陜西渭南高一期末] 從一個圓面中剪下一個扇形,設扇形的面積為S1,圓面中剩下部分的面積為S2,當S1與S2的比值為時,扇形看上去較為美觀,此時扇形的圓心角為(　 )
A.(3-)π B.(-1)π
C.(+1)π D.(-2)π
5.[2024·貴州六盤水高一期末] 如圖①,達·芬奇的經典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名,畫中女子神秘的微笑,數百年來引無數觀賞者對其進行研究.某業余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行粗略測繪,將畫中女子的嘴唇近似看作一段圓弧,并測得圓弧AC所對的圓心角α=(O為圓心),弦AC的長為10 cm,如圖②.根據測量得到的數據計算《蒙娜麗莎》縮小影像作品中圓弧AC的長為 (　 )
圖① 圖②
A.600π cm B.π cm
C.π cm D.π cm
★6.[2023·陜西漢中龍崗中學高一期中] 已知某扇形的周長為100 cm,則該扇形的面積S的最大值為 (　 )
A.100 cm2 B.625 cm2
C.1250 cm2 D.2500 cm2
7.[2024·江西新余高一期末] 已知集合A=,集合B=,則A∩B= (　 )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
8.(多選題)[2024·重慶育才中學高一月考] 下列說法正確的是 (　 )
A.1弧度的角與1°的角一樣大
B.三角形的內角必是第一或第二象限角
C.若α是第三象限角,則是第二或第四象限角
D.終邊在y軸正半軸上的角的集合為
9.(多選題)若扇形的弧長變為原來的2倍,半徑變為原來的2倍,則 (　 )
A.扇形的面積不變
B.扇形的圓心角不變
C.扇形的面積變為原來的4倍
D.扇形的圓心角變為原來的2倍
二、填空題
10.[2023·遼寧盤錦遼東灣實驗中學高一月考] 已知扇形的周長是12,面積是8,則扇形的圓心角的弧度數可能是　　　　　　.
11.走時精確的鐘表在中午12時分針與時針重合于表面上12的位置,則當下一次分針與時針重合時,時針轉過的弧度數的絕對值為　　　　.
12.如圖所示,以正方形ABCD中的點A為圓心,AB為半徑作扇形AEB,若圖中兩塊陰影部分的面積相等,則∠EAD的弧度數為　　　　.
三、解答題
13.已知角α=-1725°.
(1)將α改寫成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第幾象限角;
(2)在區間[-5π,0)內找出與α終邊相同的角.
14.[2024·廣東佛山南海區藝術高級中學高一月考] 小明準備用鋁合金材料制成如圖所示的窗架,窗架的下部是矩形,上部是半圓形,要求窗架圍成的總面積為3平方米.設窗架的周長為L米,矩形下緣為x米.
(1)建立L關于x的函數表達式;
(2)要制成上述窗架,10米的鋁合金材料是否夠用 (不計算損耗)
參考數據:π≈3,≈2.45,≈3.32,精確到0.1.
15.[2024·山東青島高一期末] 如圖,已知△ABC是等腰直角三角形,∠C=,AC=1,在平面內△ABC繞點B逆時針旋轉到△A'BC'的位置,使C,B,A'在同一條直線上,其中弧AA',弧CC'分別為A,C的旋轉軌跡,AB與弧CC'交于點D,則圖中陰影部分的面積為　　　　.
16.[2024·河南南陽高一期中] 玉雕具有悠久的發展歷史,擁有深厚的文化底蘊,數千年來始終以其獨特的內涵與魅力深深吸引著世人.如圖①是一幅扇環形玉雕壁畫,其平面圖為如圖②所示的扇環形(由扇形OCD挖去扇形OAB后構成).已知該扇環形玉雕壁畫的周長為320 cm.
圖① 圖②
(1)若OD=2OA=80 cm,求該扇環形玉雕壁畫的弧CD的長度;
(2)若AD=2OA,求該扇環形玉雕壁畫的面積的最大值.

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