資源簡介 (共36張PPT)7.2 任意角的三角函數7.2.1 三角函數的定義探究點一 任意角的三角函數定義及應用探究點二 三角函數值的符號的判斷【學習目標】1.理解任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義;2.能夠根據定義求任意角的三角函數值;3.能夠判斷三角函數在各個象限的符號.知識點一 任意角的正弦、余弦與正切的定義前提 如圖,設 是一個任意角,是 終邊上異于原點的任意一點,_______________________________________定義 正弦 把稱為角 的正弦,記作______,即_________余弦 把稱為角 的余弦,記作______,即__________正切 把稱為角 的正切,記作______,即__________三角 函數 對于每一個角 ,都有唯一確定的____________與之對應;當 ______________時,有唯一的正切與之對應.角 的正弦、余弦與正切,都稱為 的三角函數正弦、余弦續表【診斷分析】判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩個角的終邊相同,則它們的正弦值一定相等,余弦值一定相等.( )√(2)三角函數值的大小只與角的終邊在坐標系內的位置有關,與終邊上選取的點的位置無關.( )√(3)若 ,則 .( )×(4)若角 終邊上的點的坐標為, 為坐標原點),則,且越大, 的值越大.( )×(5)終邊落在 軸上的角的正切值為0.( )×知識點二 正弦、余弦與正切在各象限、坐標軸上的符號① 的終邊在_________________________上.② 的終邊在_________________________上.③ 的終邊在_________________________上.④ 的終邊在_________________________上.⑤ 的終邊在______________上.⑥ 的終邊在______________上.第一、二象限或軸正半軸第三、四象限或軸負半軸第一、四象限或軸正半軸第二、三象限或軸負半軸第一、三象限第二、四象限上述結果用下圖直觀表示:記憶口訣:一全正、二正弦、三正切、四余弦.其含義是在第一象限各三角函數值全為正,在第二象限只有正弦值為正,在第三象限只有正切值為正,在第四象限只有余弦值為正.【診斷分析】判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若 是三角形的內角,則必有 .( )√(2)若 是第二象限角,且 是其終邊與半徑為1的圓的交點,則 .( )×(3)若,則 是第一或第二象限角.( )×(4)若,則角 為第一象限角.( )×探究點一 任意角的三角函數定義及應用[探索] 已知角 的終邊上異于原點的點的坐標為,點 的位置不同會影響角 的三角函數值嗎?解:不會,三角函數值是比值,是一個實數,這個實數的大小和點在終邊上的位置無關.例1(1) [2024·湖南岳陽平江三中高一期末]已知角 的終邊經過點,則 ( )A. B. C. D.[解析] 由題得 .故選A.√(2)[2024·河南平頂山高一期中]以坐標原點為頂點, 軸的正半軸為始邊的角 ,其終邊落在直線 上,則有( )A. B.C. D.√[解析] 因為角 的終邊落在直線上,所以 ,或 ,.當 ,時,在角 的終邊上取點,則, ;當 ,時,在角 的終邊上取點 ,則, .故選C.變式(1) [2024·重慶西南大學附中高一月考]已知角 的終邊經過點,且,則 ( )A. B.1 C.2 D.[解析] 因為角 的終邊經過點,且 ,所以,所以 .故選D.√(2)已知角 的終邊經過點,求 ,, 的值.解:由題易得 為坐標原點).若,則,角 是第二象限角,所以, ,;若,則,角 是第四象限角,所以,, .[素養小結](1)已知角 的終邊在直線上,求 的三角函數值時,通常在角的終邊上任選一點,點到原點的距離為 ,則,, .(2)利用三角函數的定義求值時應注意的問題①當角 的終邊上點的坐標以參數形式給出時,要根據問題的實際情況對參數進行分類討論;②當終邊在直線上時,因為角 的終邊是射線,所以應分兩種情況進行討論.探究點二 三角函數值的符號的判斷例2(1) [2023·福建寧德高一期末]已知點 位于第二象限,則 的終邊位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[解析] 點位于第二象限,, .由可得 的終邊位于第二象限或第三象限或 軸的負半軸;由可得 的終邊位于第一象限或第三象限.綜上所述, 的終邊位于第三象限.故選C.√(2)判斷下列各式的符號:① ;解: 是第四象限角, ,是第三象限角, ,.② .解: ,,, ,, ,.變式(1) 若三角形的兩個內角 , 滿足 ,則此三角形必為( )A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.以上三種情況都有可能[解析] , ,,,, 是鈍角.故選B.√(2)[2024·遼寧葫蘆島一中高一月考]已知 ,且,則 是( )A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角[解析] 由,且,得 且,所以 是第二象限角,所以 ,,所以 ,.當為偶數時, 是第一象限角;當為奇數時,是第三象限角.所以 是第一或第三象限角.故選C.√[素養小結]判斷給定角的三角函數值正負的要點(1)準確確定三角函數值中角的終邊所在象限是基礎;(2)準確記憶三角函數在各象限的符號是解決這類問題的關鍵,可以利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來記憶.1.設集合,0,,, },則 ( )A. B. C. D.,[解析] ,,,, 故選D.√2.[2024·湖南株洲高一月考]設角 的終邊經過點,則( )A. B. C. D.1[解析] 因為角 的終邊經過點,所以 .故選C.√3.已知角 的頂點與坐標原點重合,始邊與 軸的正半軸重合,若是角 的終邊上的一點,且,則 ( )A. B.3 C. D.1[解析] 因為,是角 的終邊上的一點,所以,由三角函數的定義,得,解得 .故選A.√4.[2024·河南信陽高一期末]若,且 ,則是( )A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角[解析] 由,且,得 ,,,所以 是第四象限角.故選D.√5.已知,角 的終邊上有一點,則 ___.[解析] 因為,所以點 在第三象限,又,,所以 .1.對三角函數概念的理解應注意的問題(1) , , 分別是一個整體,離開“ ”,“”“”“ ”不表示任何意義,更不能把“ ”當成“”與“ ”的乘積.(2)在任意角的三角函數的定義中, 是使函數有意義的一個任意角, 而非只限于 ,而且終邊相同的角的同名三角函數值相等.2.要熟記角的終邊在坐標軸上時,各個三角函數的值.若角 的終邊在軸正半軸上,則,,;若角 的終邊在軸正半軸上,則,, 不存在.1.對三角函數定義的理解(1)三角函數值是比值,是一個實數,這個實數的大小和點在終邊上的位置無關,只由角 的終邊位置確定,即三角函數值的大小只與角有關.(2)①當角 的終邊在直線上時,因為角的終邊為射線,所以應分兩種情況討論.取一條射線上任意一點,求出它的坐標 ,則對應角的正弦值,余弦值 ,正切值.然后再用同樣的方法求解另一條射線上的角的三角函數值.②當角 終邊上的點的坐標以參數形式給出時,要根據問題的實際情況對參數進行分類討論.(3)要牢記 內特殊角的正弦、余弦、正切函數值,如下表.00 1 01 00 1 0例1 [2024·福建莆田八中高一期末]對任意且 ,函數的圖象都過定點,且點在角 的終邊上,則( )A. B. C. D.[解析] 對于函數,令,得 ,故的圖象過定點,又點在角 的終邊上,所以 .故選B.√2.對三角函數值符號的理解三角函數值的符號是根據三角函數定義和各象限內點的坐標的符號推導出的.從原點到角的終邊上任意一點的距離 總是正值.根據三角函數定義知:(1)正弦值的符號取決于縱坐標 的符號;(2)余弦值的符號取決于橫坐標 的符號;(3)正切值的符號是由,的符號共同決定的,即, 同號為正,異號為負.例2 已知,是第四象限角,則實數 可取的整數為( )A.1 B.2 C.3 D.5[解析] 由題意可得解得 ,則實數 可取的整數為2.故選B.√7.2 任意角的三角函數7.2.1 三角函數的定義【課前預習】知識點一sin α sin α= cos α cos α= tan α tan α= 正弦、余弦 +kπ(k∈Z)診斷分析(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×知識點二①第一、二象限或y軸正半軸 ②第三、四象限或y軸負半軸 ③第一、四象限或x軸正半軸 ④第二、三象限或x軸負半軸 ⑤第一、三象限 ⑥第二、四象限診斷分析(1)√ (2)× (3)× (4)×【課中探究】探究點一探索 解:不會,三角函數值是比值,是一個實數,這個實數的大小和點P(x,y)在終邊上的位置無關.例1 (1)A (2)C [解析] (1)由題得tan α===-.故選A.(2)因為角α的終邊落在直線y=x上,所以α=+2kπ,k∈Z或α=+2kπ,k∈Z.當α=+2kπ,k∈Z時,在角α的終邊上取點P(1,1),則sin α=cos α==,tan α==1;當α=+2kπ,k∈Z時,在角α的終邊上取點Q(-1,-1),則sin α=cos α==-,tan α==1.故選C.變式 (1)D [解析] 因為角θ的終邊經過點M(m,4-m),且tan θ=,所以tan θ==,所以m=.故選D.(2)解:由題易得r=OP==5|a|(O為坐標原點).若a>0,則r=5a,角α是第二象限角,所以sin α===,cos α===-,tan α===-;若a<0,則r=-5a,角α是第四象限角,所以sin α=-,cos α=,tan α=-.探究點二例2 (1)C [解析] ∵點P(cos θ,tan θ)位于第二象限,∴cos θ<0,tan θ>0.由cos θ<0可得θ的終邊位于第二象限或第三象限或x軸的負半軸;由tan θ>0可得θ的終邊位于第一象限或第三象限.綜上所述,θ的終邊位于第三象限.故選C.(2)解:①∵285°是第四象限角,∴sin 285°<0,∵-105°是第三象限角,∴cos(-105°)<0,∴sin 285°cos(-105°)>0.②∵<3<π,π<4<,∴sin 3>0,cos 4<0,∵-=-6π+,∴tan>0,∴sin 3·cos 4·tan<0.變式 (1)B (2)C [解析] (1)∵sin αcos β<0,α,β∈(0,π),∴sin α>0,cos β<0,∴β是鈍角.故選B.(2)由sin θ·tan θ<0,且cos θ·sin θ<0,得cos θ<0且sin θ>0,所以θ是第二象限角,所以+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,所以+kπ<<+kπ,k∈Z.當k為偶數時,是第一象限角;當k為奇數時,是第三象限角.所以是第一或第三象限角.故選C.【課堂評價】1.D [解析] ∵B={sin 0,cos π}={0,-1},∴A∩B={0,-1}.故選D.2.C [解析] 因為角α的終邊經過點,所以cos α==.故選C.3.A [解析] 因為sin θ=-<0,A(1,y)是角θ的終邊上的一點,所以y<0,由三角函數的定義,得=-,解得y=-3.故選A.4.D [解析] 由sin αtan α>0,且cos αtan α<0,得sin α<0,cos α>0,tan α<0,所以α是第四象限角.故選D.5. [解析] 因為cos 2<0,所以點M(cos 2,cos 2)在第三象限,又tan α==1,α∈(0,2π),所以α=.7.2 任意角的三角函數7.2.1 三角函數的定義【學習目標】 1.理解任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義; 2.能夠根據定義求任意角的三角函數值; 3.能夠判斷三角函數在各個象限的符號.◆ 知識點一 任意角的正弦、余弦與正切的定義前提 如圖,設α是一個任意角,P(x,y)是α終邊上異于原點的任意點,r=定 義 正弦 把稱為角α的正弦,記作 ,即 余弦 把稱為角α的余弦,記作 ,即 正切 把稱為角α的正切,記作 ,即 三角 函數 對于每一個角α,都有唯一確定的 與之對應;當α≠ 時,有唯一的正切與之對應.角α的正弦、余弦與正切,都稱為α的三角函數 【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩個角的終邊相同,則它們的正弦值一定相等,余弦值一定相等. ( )(2)三角函數值的大小只與角的終邊在坐標系內的位置有關,與終邊上選取的點的位置無關.( )(3)若sin α=sin β,則α=β. ( )(4)若角α終邊上的點P的坐標為(x,y),r=OP≠0(O為坐標原點),則sin α=,且y越大,sin α的值越大. ( )(5)終邊落在y軸上的角的正切值為0. ( )◆ 知識點二 正弦、余弦與正切在各象限、坐標軸上的符號①sin α>0 α的終邊在 上. ②sin α<0 α的終邊在 上. ③cos α>0 α的終邊在 上. ④cos α<0 α的終邊在 上. ⑤tan α>0 α的終邊在 上. ⑥tan α<0 α的終邊在 上. 上述結果用下圖直觀表示:記憶口訣:一全正、二正弦、三正切、四余弦.其含義是在第一象限各三角函數值全為正,在第二象限只有正弦值為正,在第三象限只有正切值為正,在第四象限只有余弦值為正.【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若α是三角形的內角,則必有sin α>0. ( )(2)若α是第二象限角,且P(x,y)是其終邊與半徑為1的圓的交點,則cos α=-x. ( )(3)若sin α>0,則α是第一或第二象限角. ( )(4)若sin α·cos α>0,則角α為第一象限角. ( )◆ 探究點一 任意角的三角函數定義及應用[探索] 已知角α的終邊上異于原點的點P的坐標為(x,y),點P的位置不同會影響角α的三角函數值嗎 例1 (1)[2024·湖南岳陽平江三中高一期末] 已知角α的終邊經過點,則tan α= ( )A.- B.-C.- D.(2)[2024·河南平頂山高一期中] 以坐標原點為頂點,x軸的正半軸為始邊的角α,其終邊落在直線y=x上,則有 ( )A.sin α=-B.cos α=C.sin α+cos α=±D.tan α=±1變式 (1)[2024·重慶西南大學附中高一月考] 已知角θ的終邊經過點M(m,4-m),且tan θ=,則m= ( )A. B.1C.2 D.(2)已知角α的終邊經過點P(-4a,3a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α的值.[素養小結](1)已知角α的終邊在直線上,求α的三角函數值時,通常在角α的終邊上任選一點P(x,y)(x≠0),點P到原點的距離為r(r>0),則sin α=,cos α=,tan α=.(2)利用三角函數的定義求值時應注意的問題①當角α的終邊上點的坐標以參數形式給出時,要根據問題的實際情況對參數進行分類討論;②當終邊在直線上時,因為角α的終邊是射線,所以應分兩種情況進行討論.◆ 探究點二 三角函數值的符號的判斷例2 (1)[2023·福建寧德高一期末] 已知點P(cos θ,tan θ)位于第二象限,則θ的終邊位于 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)判斷下列各式的符號:①sin 285°cos(-105°);②sin 3·cos 4·tan.變式 (1)若三角形的兩個內角α,β滿足sin αcos β<0,則此三角形必為 ( )A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.以上三種情況都有可能(2)[2024·遼寧葫蘆島一中高一月考] 已知sin θ·tan θ<0,且cos θ·sin θ<0,則是 ( )A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角[素養小結]判斷給定角的三角函數值正負的要點(1)準確確定三角函數值中角的終邊所在象限是基礎;(2)準確記憶三角函數在各象限的符號是解決這類問題的關鍵,可以利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來記憶.1.設集合A={-1,0,1},B={sin 0,cos π},則A∩B= ( )A.{0} B.{1}C.{0,1} D.{-1,0}2.[2024·湖南株洲高一月考] 設角α的終邊經過點,則cos α= ( )A. B.C. D.13.已知角θ的頂點與坐標原點重合,始邊與x軸的正半軸重合,若A(1,y)是角θ的終邊上的一點,且sin θ=-,則y= ( )A.-3 B.3C.-1 D.14.[2024·河南信陽高一期末] 若sin αtan α>0,且cos αtan α<0,則α是 ( )A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角5.已知α∈(0,2π),角α的終邊上有一點M(cos 2,cos 2),則α= . 7.2 任意角的三角函數7.2.1 三角函數的定義1.B [解析] 由sin α>0,得2kπ<α<2kπ+π,k∈Z,由α是第一象限角,得sin α>0,所以“sin α>0”不能推出“α是第一象限角”,但“α是第一象限角”能推出“sin α>0”.所以“sin α>0”是“α是第一象限角”的必要不充分條件.故選B.2.A [解析] 由題得sin θ=,cos θ=-,所以sin αcos α=-.故選A.3.B [解析] 由題可得tan θ==,所以x=-12.故選B.[易錯] 利用三角函數的定義及三角函數值列方程,解方程后需結合三角函數值的符號對結果進行檢驗取舍.4.B [解析] 因為α為鈍角,β為銳角,所以cos α<0,tan β>0,則點P(cos α,tan β)位于第二象限.故選B.5.D [解析] 因為α是第二象限角,所以+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以+kπ<<+kπ(k∈Z),π+4kπ<2α<2π+4kπ(k∈Z),所以的終邊位于第一或第三象限,2α的終邊位于第三、第四象限或y軸的負半軸上,所以tan>0,sin 2α<0,所以點P位于第四象限.故選D.[點撥] 本題關鍵是應用第二象限角的范圍求,2α的范圍,進而由象限角符號確定點所在象限,注意軸線角的存在.6.B [解析] 由三角函數的定義可得點P在第四象限,所以解得27.B [解析] 由題意得θ≠+kπ,k∈Z.當sin θ>0,cos θ>0時,y==1;當sin θ<0,cos θ>0或sin θ>0,cos θ<0時,y==0;當sin θ<0,cos θ<0時,y==-1.綜上,M={1,0,-1},又M=N,所以a=1,b=-1,所以ab=-1.故選B.[點撥] 去掉三角函數值的絕對值的關鍵是會分類討論,可以利用三角函數在各象限的符號進行分類討論,也可以根據正、余弦的符號進行分類討論.遇到與集合相交匯問題,注意集合元素互異性在解題中的應用.8.CD [解析] 由題可得cos α=,因為cos α=,所以=,解得x=0或x=或x=-.故選CD.9.AD [解析] 令|x-2|=1,得x=3或x=1,此時y=2,則A(3,2)或A(1,2).若點A(3,2)在角θ的終邊上,則sin θ==;若點A(1,2)在角θ的終邊上,則sin θ==.故選AD.10.> [解析] 因為<2<π,所以2對應的角的終邊在第二象限,所以sin 2>0.[易錯] 用弧度制給出角常常不寫單位,不要誤認為角度導致象限判斷錯誤.11. [解析] ∵cos x=|cos x|,∴cos x≥0,∴角x的取值范圍為.12.(-2,3] [解析] 因為cos α≤0,sin α>0,所以角α的終邊在第二象限或y軸的正半軸上,所以解得-213.解:(1)∵125°是第二象限角,-273°是第一象限角,∴tan 125°<0,sin(-273°)>0,∴原式為負.(2)∵108°是第二象限角,305°是第四象限角,∴tan 108°<0,cos 305°>0,∴原式為負.(3)∵是第三象限角,是第二象限角,是第四象限角,∴sin<0,cos<0,tan<0,∴原式為負.(4)∵是第二象限角,是第四象限角,是第二象限角,∴cos<0,tan<0,sin>0,∴原式為正.14.解:(1)因為P(3a,-4a),a≠0,所以r==5|a|.當a>0時,cos θ===;當a<0時,cos θ===-.(2)因為θ為第二象限角,所以a<0,所以cos θ=-,sin θ===,tan θ==-,所以cos θ+tan θ=×+×=-×3+×=-.15.C [解析] 由點P的坐標為,不妨設點P在角的終邊上,因為-=,且sin=,cos=,所以點Q的坐標為.故選C.16.解:(1)∵θ是第二象限角,∴00,tan(cos θ)<0,∴tan(sin θ)·tan(cos θ)的符號為負.(2)∵-<-1≤cos θ≤1<,-<-1≤sin θ≤1<,∴cos(sin θ)>0.若要使sin(cos θ)·cos(sin θ)<0,則sin(cos θ)<0,∴cos θ<0,∴角θ的終邊在第二象限或第三象限或x軸的負半軸上.7.2 任意角的三角函數7.2.1 三角函數的定義一、選擇題1.[2024·浙江溫州高一期末] “sin α>0”是“α是第一象限角”的 ( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.[2024·湖南平江三中高一期中] 在平面直角坐標系中,角α的頂點與坐標原點重合,始邊落在x軸的正半軸上,終邊經過點,則sin αcos α= ( )A.- B.-C. D.★3.[2024·南京高一期末] 已知角θ的終邊經過點P(x,-5),且tan θ=,則x的值是 ( )A.-13 B.-12C.12 D.134.已知α為鈍角,β為銳角,則點P(cos α,tan β)位于 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限★5.[2023·重慶育才中學高一月考] 已知α是第二象限角,則點P位于 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6.[2024·南昌高一期中] 已知角θ的終邊經過點P(3a-9,log2a-2),若cos θ>0,且sin θ<0,則實數a的取值范圍是 ( )A.(1,3) B.(2,4)C.(3,4) D.(4,6)★7.[2024·河南洛陽高一期末] 已知集合M=,N={a,b,lg a},若M=N,則ab= ( )A.-4 B.-1C.1 D.48.(多選題)[2023·山東威海高一期末] 已知點P(x,1)在角α的終邊上,且cos α=,則x的值可以是 ( )A.± B.±1C.± D.09.(多選題)[2024·吉林延邊高一期末] 已知函數f(x)=loga|x-2|+2(a>0且a≠1)的圖象經過定點A,且點A在角θ的終邊上,則sin θ的值可能是 ( )A. B.C. D.二、填空題★10.[2024·浙江金華十校高一期末] sin 2 0.(填“>”或“<”) 11.如果cos x=|cos x|,那么角x的取值范圍為 . 12.若角α的終邊經過點(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,則a的取值范圍是 . 三、解答題13.確定下列式子的符號.(1)tan 125°sin(-273°);(2);(3)sincostan;(4).14.[2024·江蘇蘇州高一期末] 在平面直角坐標系xOy中,已知角θ的終邊經過點P(3a,-4a),其中a≠0.(1)求cos θ的值;(2)若θ為第二象限角,求cos θ+tan θ的值.★15.一質點從點P出發,沿著以原點為圓心,1為半徑的圓順時針運動到達點Q,則點Q的坐標為 ( )A. B.C. D.16.(1)已知θ是第二象限角,試判斷tan(sin θ)·tan(cos θ)的符號.(2)若sin(cos θ)·cos(sin θ)<0,則角θ的終邊在哪些位置 展開更多...... 收起↑ 資源列表 7.2.1 三角函數的定義.pptx 7.2.1三角函數的定義 導學案正文.docx 7.2.1三角函數的定義 導學案答案.docx 7.2.1三角函數的定義 練習冊正文.docx 7.2.1三角函數的定義 練習冊答案.docx 縮略圖、資源來源于二一教育資源庫