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7.2.1 三角函數的定義(課件 學案 練習)高中數學人教B版(2019)必修 第三冊

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7.2.1 三角函數的定義(課件 學案 練習)高中數學人教B版(2019)必修 第三冊

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(共36張PPT)
7.2 任意角的三角函數
7.2.1 三角函數的定義
探究點一 任意角的三角函數定義及應用
探究點二 三角函數值的符號的判斷
【學習目標】
1.理解任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義;
2.能夠根據定義求任意角的三角函數值;
3.能夠判斷三角函數在各個象限的符號.
知識點一 任意角的正弦、余弦與正切的定義
前提 如圖,設 是一個任意角,是 終邊上異于原
點的任意一點,
_______________________________________
定義 正弦 把稱為角 的正弦,記作______,即_________
余弦 把稱為角 的余弦,記作______,即__________
正切 把稱為角 的正切,記作______,即__________
三角 函數 對于每一個角 ,都有唯一確定的____________與之
對應;當 ______________時,有唯一的正切與之
對應.角 的正弦、余弦與正切,都稱為 的三角函

正弦、余弦
續表
【診斷分析】
判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩個角的終邊相同,則它們的正弦值一定相等,余弦值一定相
等.( )

(2)三角函數值的大小只與角的終邊在坐標系內的位置有關,與終
邊上選取的點的位置無關.( )

(3)若 ,則 .( )
×
(4)若角 終邊上的點的坐標為, 為坐標原點),
則,且越大, 的值越大.( )
×
(5)終邊落在 軸上的角的正切值為0.( )
×
知識點二 正弦、余弦與正切在各象限、坐標軸上的符號
① 的終邊在_________________________上.
② 的終邊在_________________________上.
③ 的終邊在_________________________上.
④ 的終邊在_________________________上.
⑤ 的終邊在______________上.
⑥ 的終邊在______________上.
第一、二象限或軸正半軸
第三、四象限或軸負半軸
第一、四象限或軸正半軸
第二、三象限或軸負半軸
第一、三象限
第二、四象限
上述結果用下圖直觀表示:
記憶口訣:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
其含義是在第一象限各三角函數值全為正,在第二象限只有正弦值
為正,在第三象限只有正切值為正,在第四象限只有余弦值為正.
【診斷分析】
判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若 是三角形的內角,則必有 .( )

(2)若 是第二象限角,且 是其終邊與半徑為1的圓的交點,
則 .( )
×
(3)若,則 是第一或第二象限角.( )
×
(4)若,則角 為第一象限角.( )
×
探究點一 任意角的三角函數定義及應用
[探索] 已知角 的終邊上異于原點的點的坐標為,點 的位
置不同會影響角 的三角函數值嗎?
解:不會,三角函數值是比值,是一個實數,這個實數的大小和點
在終邊上的位置無關.
例1(1) [2024·湖南岳陽平江三中高一期末]已知角 的終邊經過點
,則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由題得 .故選A.

(2)[2024·河南平頂山高一期中]以坐標原點為頂點, 軸的正半軸
為始邊的角 ,其終邊落在直線 上,則有( )
A. B.
C. D.

[解析] 因為角 的終邊落在直線上,所以 ,
或 ,.
當 ,時,在角 的終邊上取點,
則, ;
當 ,時,在角 的終邊上取點 ,
則, .故選C.
變式(1) [2024·重慶西南大學附中高一月考]已知角 的終邊經過
點,且,則 ( )
A. B.1 C.2 D.
[解析] 因為角 的終邊經過點,且 ,
所以,所以 .故選D.

(2)已知角 的終邊經過點,求 ,
, 的值.
解:由題易得 為坐標原點).
若,則,角 是第二象限角,
所以, ,

若,則,角 是第四象限角,
所以,, .
[素養小結]
(1)已知角 的終邊在直線上,求 的三角函數值時,通常在角
的終邊上任選一點,點到原點的距離為 ,則
,, .
(2)利用三角函數的定義求值時應注意的問題
①當角 的終邊上點的坐標以參數形式給出時,要根據問題的實際
情況對參數進行分類討論;
②當終邊在直線上時,因為角 的終邊是射線,所以應分兩種情況
進行討論.
探究點二 三角函數值的符號的判斷
例2(1) [2023·福建寧德高一期末]已知點 位于第二
象限,則 的終邊位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 點位于第二象限,, .
由可得 的終邊位于第二象限或第三象限或 軸的負半軸;
由可得 的終邊位于第一象限或第三象限.
綜上所述, 的終邊位于第三象限.故選C.

(2)判斷下列各式的符號:
① ;
解: 是第四象限角, ,
是第三象限角, ,
.
② .
解: ,,, ,
, ,
.
變式(1) 若三角形的兩個內角 , 滿足 ,則此三角
形必為( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.以上三種情況都有可能
[解析] , ,,,, 是
鈍角.故選B.

(2)[2024·遼寧葫蘆島一中高一月考]已知 ,且
,則 是( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角
[解析] 由,且,得 且
,所以 是第二象限角,
所以 ,,所以 ,.
當為偶數時, 是第一象限角;
當為奇數時,是第三象限角.所以 是第一或第三象限角.故選C.

[素養小結]
判斷給定角的三角函數值正負的要點
(1)準確確定三角函數值中角的終邊所在象限是基礎;
(2)準確記憶三角函數在各象限的符號是解決這類問題的關鍵,可
以利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來記憶.
1.設集合,0,,, },則 ( )
A. B. C. D.,
[解析] ,,,, 故選D.

2.[2024·湖南株洲高一月考]設角 的終邊經過點,則
( )
A. B. C. D.1
[解析] 因為角 的終邊經過點,所以 .
故選C.

3.已知角 的頂點與坐標原點重合,始邊與 軸的正半軸重合,若
是角 的終邊上的一點,且,則 ( )
A. B.3 C. D.1
[解析] 因為,是角 的終邊上的一點,
所以,由三角函數的定義,得,解得 .故選A.

4.[2024·河南信陽高一期末]若,且 ,則
是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
[解析] 由,且,
得 ,,,所以 是第四象限角.故選D.

5.已知,角 的終邊上有一點,則 ___.
[解析] 因為,所以點 在第三象限,
又,,所以 .
1.對三角函數概念的理解應注意的問題
(1) , , 分別是一個整體,離開“ ”,“”“”“ ”
不表示任何意義,更不能把“ ”當成“”與“ ”的乘積.
(2)在任意角的三角函數的定義中, 是使函數有意義的一個任意
角, 而非只限于 ,而且終邊相同的角的同名三角函數值相等.
2.要熟記角的終邊在坐標軸上時,各個三角函數的值.若角 的終邊
在軸正半軸上,則,,;若角 的終邊在
軸正半軸上,則,, 不存在.
1.對三角函數定義的理解
(1)三角函數值是比值,是一個實數,這個實數的大小和點
在終邊上的位置無關,只由角 的終邊位置確定,即三角函數值的
大小只與角有關.
(2)①當角 的終邊在直線上時,因為角的終邊為射線,所以應分兩
種情況討論.取一條射線上任意一點,求出它的坐標 ,則對應角
的正弦值,余弦值 ,正切值
.然后再用同樣的方法求解另一條射線上的角的三角
函數值.
②當角 終邊上的點的坐標以參數形式給出時,要根據問題的實際情
況對參數進行分類討論.
(3)要牢記 內特殊角的正弦、余弦、正切函數值,如下表.
0
0 1 0
1 0
0 1 0
例1 [2024·福建莆田八中高一期末]對任意且 ,函數
的圖象都過定點,且點在角 的終邊上,則
( )
A. B. C. D.
[解析] 對于函數,令,得 ,
故的圖象過定點,
又點在角 的終邊上,所以 .故選B.

2.對三角函數值符號的理解
三角函數值的符號是根據三角函數定義和各象限內點的坐標的符號
推導出的.從原點到角的終邊上任意一點的距離 總是正值.根據三角
函數定義知:
(1)正弦值的符號取決于縱坐標 的符號;
(2)余弦值的符號取決于橫坐標 的符號;
(3)正切值的符號是由,的符號共同決定的,即, 同號為正,
異號為負.
例2 已知,是第四象限角,則實數 可取的整數為
( )
A.1 B.2 C.3 D.5
[解析] 由題意可得解得 ,
則實數 可取的整數為2.故選B.
√7.2 任意角的三角函數
7.2.1 三角函數的定義
【課前預習】
知識點一
sin α sin α= cos α cos α= tan α tan α= 
正弦、余弦 +kπ(k∈Z)
診斷分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×
知識點二
①第一、二象限或y軸正半軸 ②第三、四象限或y軸負半軸 ③第一、四象限或x軸正半軸 ④第二、三象限或x軸負半軸 ⑤第一、三象限 ⑥第二、四象限
診斷分析
(1)√ (2)× (3)× (4)×
【課中探究】
探究點一
探索 解:不會,三角函數值是比值,是一個實數,這個實數的大小和點P(x,y)在終邊上的位置無關.
例1 (1)A (2)C [解析] (1)由題得tan α===-.故選A.
(2)因為角α的終邊落在直線y=x上,所以α=+2kπ,k∈Z或α=+2kπ,k∈Z.當α=+2kπ,k∈Z時,在角α的終邊上取點P(1,1),則sin α=cos α==,tan α==1;當α=+2kπ,k∈Z時,在角α的終邊上取點Q(-1,-1),則sin α=cos α==-,tan α==1.故選C.
變式 (1)D [解析] 因為角θ的終邊經過點M(m,4-m),且tan θ=,所以tan θ==,所以m=.故選D.
(2)解:由題易得r=OP==5|a|(O為坐標原點).
若a>0,則r=5a,角α是第二象限角,所以sin α===,cos α===-,
tan α===-;
若a<0,則r=-5a,角α是第四象限角,所以sin α=-,cos α=,tan α=-.
探究點二
例2 (1)C [解析] ∵點P(cos θ,tan θ)位于第二象限,∴cos θ<0,tan θ>0.由cos θ<0可得θ的終邊位于第二象限或第三象限或x軸的負半軸;由tan θ>0可得θ的終邊位于第一象限或第三象限.綜上所述,θ的終邊位于第三象限.故選C.
(2)解:①∵285°是第四象限角,∴sin 285°<0,
∵-105°是第三象限角,∴cos(-105°)<0,
∴sin 285°cos(-105°)>0.
②∵<3<π,π<4<,∴sin 3>0,cos 4<0,
∵-=-6π+,∴tan>0,
∴sin 3·cos 4·tan<0.
變式 (1)B (2)C [解析] (1)∵sin αcos β<0,α,β∈(0,π),∴sin α>0,cos β<0,∴β是鈍角.故選B.
(2)由sin θ·tan θ<0,且cos θ·sin θ<0,得cos θ<0且sin θ>0,所以θ是第二象限角,所以+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,所以+kπ<<+kπ,k∈Z.當k為偶數時,是第一象限角;當k為奇數時,是第三象限角.所以是第一或第三象限角.故選C.
【課堂評價】
1.D [解析] ∵B={sin 0,cos π}={0,-1},∴A∩B={0,-1}.故選D.
2.C [解析] 因為角α的終邊經過點,所以cos α==.故選C.
3.A [解析] 因為sin θ=-<0,A(1,y)是角θ的終邊上的一點,所以y<0,由三角函數的定義,得=-,解得y=-3.故選A.
4.D [解析] 由sin αtan α>0,且cos αtan α<0,得sin α<0,cos α>0,tan α<0,所以α是第四象限角.故選D.
5. [解析] 因為cos 2<0,所以點M(cos 2,cos 2)在第三象限,又tan α==1,α∈(0,2π),所以α=.7.2 任意角的三角函數
7.2.1 三角函數的定義
【學習目標】
  1.理解任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義;
  2.能夠根據定義求任意角的三角函數值;
  3.能夠判斷三角函數在各個象限的符號.
◆ 知識點一 任意角的正弦、余弦與正切的定義
前提 如圖,設α是一個任意角,P(x,y)是α終邊上異于原點的任意點,r=
定 義 正弦 把稱為角α的正弦,記作    ,即     
余弦 把稱為角α的余弦,記作    ,即     
正切 把稱為角α的正切,記作    ,即     
三角 函數 對于每一個角α,都有唯一確定的    與之對應;當α≠       時,有唯一的正切與之對應.角α的正弦、余弦與正切,都稱為α的三角函數
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩個角的終邊相同,則它們的正弦值一定相等,余弦值一定相等. (  )
(2)三角函數值的大小只與角的終邊在坐標系內的位置有關,與終邊上選取的點的位置無關.(  )
(3)若sin α=sin β,則α=β. (  )
(4)若角α終邊上的點P的坐標為(x,y),r=OP≠0(O為坐標原點),則sin α=,且y越大,sin α的值越大. (  )
(5)終邊落在y軸上的角的正切值為0. (  )
◆ 知識點二 正弦、余弦與正切在各象限、坐標
軸上的符號
①sin α>0 α的終邊在                上.
②sin α<0 α的終邊在                上.
③cos α>0 α的終邊在                上.
④cos α<0 α的終邊在                上.
⑤tan α>0 α的終邊在        上.
⑥tan α<0 α的終邊在        上.
上述結果用下圖直觀表示:
記憶口訣:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
其含義是在第一象限各三角函數值全為正,在第二象限只有正弦值為正,在第三象限只有正切值為正,在第四象限只有余弦值為正.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若α是三角形的內角,則必有sin α>0. (  )
(2)若α是第二象限角,且P(x,y)是其終邊與半徑為1的圓的交點,則cos α=-x. (  )
(3)若sin α>0,則α是第一或第二象限角. (  )
(4)若sin α·cos α>0,則角α為第一象限角. (  )
◆ 探究點一 任意角的三角函數定義及應用
[探索] 已知角α的終邊上異于原點的點P的坐標為(x,y),點P的位置不同會影響角α的三角函數值嗎


例1 (1)[2024·湖南岳陽平江三中高一期末] 已知角α的終邊經過點,則tan α= (  )
A.- B.-
C.- D.
(2)[2024·河南平頂山高一期中] 以坐標原點為頂點,x軸的正半軸為始邊的角α,其終邊落在直線y=x上,則有 (  )
A.sin α=-
B.cos α=
C.sin α+cos α=±
D.tan α=±1
變式 (1)[2024·重慶西南大學附中高一月考] 已知角θ的終邊經過點M(m,4-m),且tan θ=,則m= (  )
A. B.1
C.2 D.
(2)已知角α的終邊經過點P(-4a,3a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α的值.
[素養小結]
(1)已知角α的終邊在直線上,求α的三角函數值時,通常在角α的終邊上任選一點P(x,y)(x≠0),點P到原點的距離為r(r>0),則sin α=,cos α=,tan α=.
(2)利用三角函數的定義求值時應注意的問題
①當角α的終邊上點的坐標以參數形式給出時,要根據問題的實際情況對參數進行分類討論;
②當終邊在直線上時,因為角α的終邊是射線,所以應分兩種情況進行討論.
◆ 探究點二 三角函數值的符號的判斷
例2 (1)[2023·福建寧德高一期末] 已知點P(cos θ,tan θ)位于第二象限,則θ的終邊位于 (  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)判斷下列各式的符號:
①sin 285°cos(-105°);
②sin 3·cos 4·tan.
變式 (1)若三角形的兩個內角α,β滿足sin αcos β<0,則此三角形必為 (  )
A.銳角三角形
B.鈍角三角形
C.直角三角形
D.以上三種情況都有可能
(2)[2024·遼寧葫蘆島一中高一月考] 已知sin θ·tan θ<0,且cos θ·sin θ<0,則是 (  )
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第一或第三象限角
D.第二或第四象限角
[素養小結]
判斷給定角的三角函數值正負的要點
(1)準確確定三角函數值中角的終邊所在象限是基礎;
(2)準確記憶三角函數在各象限的符號是解決這類問題的關鍵,可以利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來記憶.
1.設集合A={-1,0,1},B={sin 0,cos π},則A∩B= (  )
A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.{-1,0}
2.[2024·湖南株洲高一月考] 設角α的終邊經過點,則cos α= (  )
A. B.
C. D.1
3.已知角θ的頂點與坐標原點重合,始邊與x軸的正半軸重合,若A(1,y)是角θ的終邊上的一點,且sin θ=-,則y= (  )
A.-3 B.3
C.-1 D.1
4.[2024·河南信陽高一期末] 若sin αtan α>0,且cos αtan α<0,則α是 (  )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
5.已知α∈(0,2π),角α的終邊上有一點M(cos 2,cos 2),則α=    . 7.2 任意角的三角函數
7.2.1 三角函數的定義
1.B [解析] 由sin α>0,得2kπ<α<2kπ+π,k∈Z,由α是第一象限角,得sin α>0,所以“sin α>0”不能推出“α是第一象限角”,但“α是第一象限角”能推出“sin α>0”.所以“sin α>0”是“α是第一象限角”的必要不充分條件.故選B.
2.A [解析] 由題得sin θ=,cos θ=-,所以sin αcos α=-.故選A.
3.B [解析] 由題可得tan θ==,所以x=-12.故選B.
[易錯] 利用三角函數的定義及三角函數值列方程,解方程后需結合三角函數值的符號對結果進行檢驗取舍.
4.B [解析] 因為α為鈍角,β為銳角,所以cos α<0,tan β>0,則點P(cos α,tan β)位于第二象限.故選B.
5.D [解析] 因為α是第二象限角,所以+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以+kπ<<+kπ(k∈Z),π+4kπ<2α<2π+4kπ(k∈Z),所以的終邊位于第一或第三象限,2α的終邊位于第三、第四象限或y軸的負半軸上,所以tan>0,sin 2α<0,所以點P位于第四象限.故選D.
[點撥] 本題關鍵是應用第二象限角的范圍求,2α的范圍,進而由象限角符號確定點所在象限,注意軸線角的存在.
6.B [解析] 由三角函數的定義可得點P在第四象限,所以解得27.B [解析] 由題意得θ≠+kπ,k∈Z.當sin θ>0,cos θ>0時,y==1;當sin θ<0,cos θ>0或sin θ>0,cos θ<0時,y==0;當sin θ<0,cos θ<0時,y==-1.綜上,M={1,0,-1},又M=N,所以a=1,b=-1,所以ab=-1.故選B.
[點撥] 去掉三角函數值的絕對值的關鍵是會分類討論,可以利用三角函數在各象限的符號進行分類討論,也可以根據正、余弦的符號進行分類討論.遇到與集合相交匯問題,注意集合元素互異性在解題中的應用.
8.CD [解析] 由題可得cos α=,因為cos α=,所以=,解得x=0或x=或x=-.故選CD.
9.AD [解析] 令|x-2|=1,得x=3或x=1,此時y=2,則A(3,2)或A(1,2).若點A(3,2)在角θ的終邊上,則sin θ==;若點A(1,2)在角θ的終邊上,則sin θ==.故選AD.
10.> [解析] 因為<2<π,所以2對應的角的終邊在第二象限,所以sin 2>0.
[易錯] 用弧度制給出角常常不寫單位,不要誤認為角度導致象限判斷錯誤.
11. [解析] ∵cos x=|cos x|,∴cos x≥0,∴角x的取值范圍為.
12.(-2,3] [解析] 因為cos α≤0,sin α>0,所以角α的終邊在第二象限或y軸的正半軸上,所以解得-213.解:(1)∵125°是第二象限角,-273°是第一象限角,
∴tan 125°<0,sin(-273°)>0,∴原式為負.
(2)∵108°是第二象限角,305°是第四象限角,
∴tan 108°<0,cos 305°>0,∴原式為負.
(3)∵是第三象限角,是第二象限角,是第四象限角,∴sin<0,cos<0,tan<0,∴原式為負.
(4)∵是第二象限角,是第四象限角,是第二象限角,∴cos<0,tan<0,sin>0,∴原式為正.
14.解:(1)因為P(3a,-4a),a≠0,所以r==5|a|.
當a>0時,cos θ===;
當a<0時,cos θ===-.
(2)因為θ為第二象限角,所以a<0,所以cos θ=-,
sin θ===,tan θ==-,
所以cos θ+tan θ=×+×=-×3+×=-.
15.C [解析] 由點P的坐標為,不妨設點P在角的終邊上,因為-=,且sin=,cos=,所以點Q的坐標為.故選C.
16.解:(1)∵θ是第二象限角,∴00,tan(cos θ)<0,
∴tan(sin θ)·tan(cos θ)的符號為負.
(2)∵-<-1≤cos θ≤1<,-<-1≤sin θ≤1<,∴cos(sin θ)>0.
若要使sin(cos θ)·cos(sin θ)<0,則sin(cos θ)<0,
∴cos θ<0,∴角θ的終邊在第二象限或第三象限或x軸的負半軸上.7.2 任意角的三角函數
7.2.1 三角函數的定義
一、選擇題
1.[2024·浙江溫州高一期末] “sin α>0”是“α是第一象限角”的 (  )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.[2024·湖南平江三中高一期中] 在平面直角坐標系中,角α的頂點與坐標原點重合,始邊落在x軸的正半軸上,終邊經過點,則sin αcos α= (  )
A.- B.-
C. D.
★3.[2024·南京高一期末] 已知角θ的終邊經過點P(x,-5),且tan θ=,則x的值是 (  )
A.-13 B.-12
C.12 D.13
4.已知α為鈍角,β為銳角,則點P(cos α,tan β)位于 (  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
★5.[2023·重慶育才中學高一月考] 已知α是第二象限角,則點P位于 (  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.[2024·南昌高一期中] 已知角θ的終邊經過點P(3a-9,log2a-2),若cos θ>0,且sin θ<0,則實數a的取值范圍是 (  )
A.(1,3) B.(2,4)
C.(3,4) D.(4,6)
★7.[2024·河南洛陽高一期末] 已知集合M=,N={a,b,lg a},若M=N,則ab= (  )
A.-4 B.-1
C.1 D.4
8.(多選題)[2023·山東威海高一期末] 已知點P(x,1)在角α的終邊上,且cos α=,則x的值可以是 (  )
A.± B.±1
C.± D.0
9.(多選題)[2024·吉林延邊高一期末] 已知函數f(x)=loga|x-2|+2(a>0且a≠1)的圖象經過定點A,且點A在角θ的終邊上,則sin θ的值可能是 (  )
A. B.
C. D.
二、填空題
★10.[2024·浙江金華十校高一期末] sin 2   0.(填“>”或“<”)
11.如果cos x=|cos x|,那么角x的取值范圍為             .
12.若角α的終邊經過點(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,則a的取值范圍是    .
三、解答題
13.確定下列式子的符號.
(1)tan 125°sin(-273°);
(2);
(3)sincostan;
(4).
14.[2024·江蘇蘇州高一期末] 在平面直角坐標系xOy中,已知角θ的終邊經過點P(3a,-4a),其中a≠0.
(1)求cos θ的值;
(2)若θ為第二象限角,求cos θ+tan θ的值.
★15.一質點從點P出發,沿著以原點為圓心,1為半徑的圓順時針運動到達點Q,則點Q的坐標為 (  )
A. B.
C. D.
16.(1)已知θ是第二象限角,試判斷tan(sin θ)·tan(cos θ)的符號.
(2)若sin(cos θ)·cos(sin θ)<0,則角θ的終邊在哪些位置

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