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7.2 任意角的三角函數(shù)
7.2.2 單位圓與三角函數(shù)線
探究點(diǎn)一 作三角函數(shù)線
探究點(diǎn)二 利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小
探究點(diǎn)三 利用三角函數(shù)線證明、求解三角不等式
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.能夠準(zhǔn)確畫出正弦線、余弦線和正切線;
2.能夠通過三角函數(shù)線求解、判斷函數(shù)值的正負(fù),解三角不等式
等問題.
知識點(diǎn)一 單位圓
一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)滿足____________的點(diǎn)組成的集合
稱為單位圓.因此,如果角 的終邊與單位圓的交點(diǎn)為,則 的坐標(biāo)為
_____________, 這就是說，角 的余弦和正弦分別等于角 終邊與
單位圓交點(diǎn)的________和________.
橫坐標(biāo)
縱坐標(biāo)
知識點(diǎn)二 三角函數(shù)線
1.正弦線和余弦線的表示
（1）概念：如圖所示，如果過角 終邊與單位圓的
交點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則 可以直觀地表
示的方向與 軸的正方向相同時，表示
正數(shù)
負(fù)數(shù)
是______，且；的方向與 軸的正方向相反時，
表示 是______，且.習(xí)慣上，稱為角 的余弦
線.類似地，圖中的可以直觀地表示 ，因此稱為角 的正弦
線.
（2）幾何意義：利用角的正弦線和余弦線，可以直
觀地看出角的正弦和余弦的信息.如圖，角 的余弦
線是，正弦線是，由此可看出 ，
，而且還可以看出， .
2.正切線的表示
（1）概念：如圖所示,設(shè)直線與 軸交于點(diǎn)
，角 的終邊與直線交于點(diǎn),則 可以
直觀地表示 ,因此____稱為角 的正切線.
（2）幾何意義：當(dāng)角的終邊在第二、三象限或 軸的負(fù)半軸上時,終
邊與直線沒有交點(diǎn),但終邊的反向延長線與直線 有交點(diǎn),而
且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也正好是角的正切值,因此圖中角 的正切線為____.
3.三角函數(shù)線的特征
正弦線、余弦線和正切線都稱為____________.
（1）方向：正弦線由軸上的垂足指向 的終邊與單位圓的交點(diǎn)；
余弦線由原點(diǎn)指向軸上的垂足；正切線由切點(diǎn)（單位圓與 軸正半
軸的交點(diǎn)）指向切線與 的終邊（或其反向延長線）的交點(diǎn).
（2）書寫：起點(diǎn)(比如點(diǎn)在前，終點(diǎn)(比如點(diǎn)在后，寫為 .
（3）正負(fù)：三條三角函數(shù)線的正負(fù)可簡記為“同向?yàn)檎聪驗(yàn)樨?fù)”
（與坐標(biāo)軸正方向相同為正，與坐標(biāo)軸正方向相反為負(fù)）.
三角函數(shù)線
【診斷分析】
判斷正誤.（請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢保?br/>（1）若角 的余弦線的長度為0,則它的正弦線的長度為1.( )
√
（2）在單位圓中，有相同正弦線的角相等.( )
×
[解析] 在單位圓中，有相同正弦線的角可能不等，如與 有相同
的正弦線.
（3）三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值.( )
×
[解析] 三角函數(shù)線的長度是指有向線段的長,一定是非負(fù)實(shí)數(shù),而三角
函數(shù)值可正可負(fù)可為零,故三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值的絕對值.
（4）當(dāng)角 的終邊在 軸上時,正弦線、正切線都變成一個點(diǎn),此時角
的正弦值和正切值都為0.( )
√
（5）具有相同正切線的兩個角的終邊在同一條直線上.( )
√
探究點(diǎn)一 作三角函數(shù)線
［探索］ 三角函數(shù)線的方向與三角函數(shù)值有何關(guān)系
解：當(dāng)三角函數(shù)線的方向與軸（或 軸）的正方向相同時,所表示的
三角函數(shù)值的符號為正;
當(dāng)三角函數(shù)線的方向與軸（或 軸）的正方向相反時,所表示的三角
函數(shù)值的符號為負(fù).
例1 作出下列各角的正弦線、余弦線和正切線.
（1）;（2） .
解：如圖，正弦線、余弦線、正切線分別為,, .
變式 利用三角函數(shù)線確定滿足的角 的集合.
解：由題利用正弦線得出角 的終邊.如圖所示，
其中， ，
易知, .
在第一象限內(nèi)角的終邊與的終邊相同, .
在第二象限內(nèi)角的終邊與的終邊相同, .
滿足條件的角的集合為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）作正弦線、余弦線時，首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然
后過此交點(diǎn)作 軸的垂線，得到垂足，從而得到正弦線和余弦線.
（2）作正切線時,應(yīng)從點(diǎn) 引單位圓的切線,與角的終邊
（或反向延長線）交于點(diǎn),即可得到正切線 .要特別注意，當(dāng)角的
終邊在第二或第三象限時，應(yīng)將角的終邊反向延長，再按上述作法
來作正切線.
探究點(diǎn)二 利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小
［探索］ 利用三角函數(shù)線可知，不等式 的解集為
_____________________________.
[解析] 設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，過 作
軸，垂足為，如圖所示，
則, 分別為角 的余弦線、正弦線.
由圖可知，滿足，即的角 的終邊經(jīng)過
陰影區(qū)域（包括邊界），
所以滿足條件的角 的集合為 .
例2 利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小.
解：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，作出單位
圓，的終邊為，的終邊為，
過， 分別作軸的垂線，垂足分別為，，
延長 ，，分別交經(jīng)過的單位圓的切線于點(diǎn) ，.
由圖可知， ，
， .
（1）與 ；
（2）與 ；
解：由圖可知， ，
， .
（3）與 .
解：由圖可知， ，
， .
變式 [2024·福州羅源一中高一月考] 利用三角函數(shù)線比較下列各組
數(shù)的大小關(guān)系正確的是______.（填序號）
； ；
； ．
②④
[解析] 對于①，如圖a所示，根據(jù)三角函數(shù)線可得 ，
，因?yàn)?所以 ，故①不正確；
對于②，如圖b所示，根據(jù)三角函數(shù)線可得
，故②正確；
圖a
圖b
對于③，如圖c所示，根據(jù)三角函數(shù)線可得 ,
，因?yàn)?所以 ，故③不正確；
對于④，如圖d所示，根據(jù)三角函數(shù)線可得 ,
，因?yàn)?所以 ，故④正確.故填②④.
圖c
圖d
［素養(yǎng)小結(jié)］
當(dāng)利用三角函數(shù)線比較大小時，首先需要在直角坐標(biāo)系的單位圓中
作出所要比較的角的三角函數(shù)線，其次在比較大小時，既要注意三
角函數(shù)線的長短,又要注意三角函數(shù)線的方向.
探究點(diǎn)三 利用三角函數(shù)線證明、求解三角不等式
例3 試?yán)萌呛瘮?shù)線證明:當(dāng)時, .
證明:如圖所示,單位圓與 的終邊相交于點(diǎn),
過 作軸,垂足為,連接,過單位圓與 軸正半軸
的交點(diǎn)作直線,交于點(diǎn),
則 的正弦線為,為的長), 的正切線為 .
由,得，所以 .
又,所以
又,,,所以 .
例4 在單位圓中畫出滿足下列條件的角 的終邊的范圍，并由此寫
出滿足條件的角 的取值集合.
（1） ；
解：如圖所示，作直線交單位圓于， 兩點(diǎn)
在右側(cè))，連接，，
則角 的終邊經(jīng)過與 圍成的區(qū)域（如圖中陰影
部分所示），
故滿足條件的角 的集合為
.
（2） .
解：如圖所示，作直線交單位圓于， 兩
點(diǎn)，連接，，
則角 的終邊經(jīng)過與 圍成的區(qū)域（如圖中陰影
部分所示），
故滿足條件的角 的集合為
.
變式 已知,求證: .
證明:如圖所示,設(shè)角 的終邊與單位圓交于點(diǎn)
,單位圓與軸、 軸的正半軸分別交于點(diǎn)
, .
過點(diǎn)分別作軸,軸,垂足分別為, ,連 接,.
易知, ,
在三角形中,,所以 .
因?yàn)?,
,
, ,
所以,即 .
綜上， .
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）利用三角函數(shù)線證明不等式時,一般先根據(jù)條件作出三角函數(shù)線,
再進(jìn)行證明,證明過程中往往需要借助三角形和扇形的面積.
（2）三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式、比較大小及求函數(shù)的
定義域，在求三角函數(shù)定義域時，一般轉(zhuǎn)化為不等式（組），因此
必須牢固掌握三角函數(shù)線的畫法及意義.
拓展 利用三角函數(shù)線,確定使不等式成立的 的取
值范圍.
解：如圖所示,作出單位圓,作直線與單位圓交于, 兩點(diǎn),作
直線與單位圓交于,兩點(diǎn),連接,,,.
在 范圍內(nèi),,,
則點(diǎn),, ,分別在角,,, 的終邊上.
表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示，
則 的取值范圍為,
或, .
1.關(guān)于三角函數(shù)線，下列說法中正確的是( )
A.對任何角都能作出正弦線、余弦線和正切線
B.有的角正弦線、余弦線和正切線都不存在
C.任何角的正弦線、正切線總是存在，但是余弦線不一定存在
D.任何角的正弦線、余弦線總是存在，但是正切線不一定存在
[解析] 任何角的正弦線、余弦線總是存在，終邊在 軸上的角的正切
線不存在.故選D.
√
2.若角 的正弦線的長度為1，則角 的終邊在( )
A.軸上 B. 軸上
C.軸的正半軸上 D. 軸的正半軸上
[解析] 若正弦線的長度為1，則，所以角 的終邊在 軸
上.故選B.
√
3.[2023·貴州遵義高一期中]已知，， ，
則( )
A. B. C. D.
[解析] 由三角函數(shù)線可知，當(dāng)時， ，
所以，即 .故選A.
√
4.[2023·江蘇常州華羅庚中學(xué)高一月考]下面四個不等式中正確的是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 如圖，作出單位圓，作出角的正弦線 、
余弦線、正切線，角的正弦線 、余
弦線、正切線.
易知角和角 的終邊關(guān)于軸對稱，由圖可得 ，
，，所以 .故選B.
5.若，則 , , 的大小關(guān)系是_________
_____________.（用“ ”連接）
[解析] 如圖，在單位圓中，作出內(nèi)的一個角
及其正弦線、余弦線、正切線 .
由圖知，，又,分別與軸、
軸的正方向相反，與 軸的正方向相同，
所以 .
1.正弦線、余弦線、正切線是有向線段，當(dāng)其方向與坐標(biāo)軸方向一致
時，對應(yīng)的三角函數(shù)值為正數(shù)，反之為負(fù)數(shù).
2.當(dāng)應(yīng)用三角函數(shù)線求解與函數(shù)值有關(guān)的問題時，正弦線對應(yīng)的函數(shù)
值在軸上找，余弦線對應(yīng)的函數(shù)值在 軸上找，正切線對應(yīng)的函數(shù)
值在軸上找，例如，若 ,利用三角函數(shù)線求其所對應(yīng)的角時，
在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作與 軸垂直的直線，直線與單
位圓交于,兩點(diǎn)，連接,并延長，則射線, 分別是兩個角
的終邊，這兩個角為 ,, , .
3.應(yīng)用三角函數(shù)線求角的取值范圍問題時，要注意角的取值范圍是
“按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)的，且由小到大”.
利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小
三角函數(shù)線是一個角的三角函數(shù)值的體現(xiàn),從三角函數(shù)線的方向可以
看出三角函數(shù)值符號的正負(fù),三角函數(shù)線的長度是三角函數(shù)值的絕對
值,因此,對于同名三角函數(shù)值的大小的比較,利用三角函數(shù)線求解比較
直觀、形象.
（1） 與作出以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓,分別作出角 ,
的終邊,與單位圓的交點(diǎn)分別為,,然后比較, 兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的
大小即可得到 與 的大小.
（2） 與作出以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓,分別作出角 ,
的終邊，與單位圓的交點(diǎn)分別為,,然后比較, 兩點(diǎn)橫坐標(biāo)
的大小即可得到 與 的大小.
（3） 與作出直線,設(shè)直線與角 , 的終邊或
其反向延長線分別交于點(diǎn),,然后比較, 兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小即可
得到 與 的大小.
例1 [2024·安徽蕪湖高一期末]已知 ，則以下四個數(shù)中
最大的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 設(shè)，，銳角 的終邊與單位圓交
于點(diǎn)B，設(shè)射線 交過點(diǎn)A且與單位圓相切的直線于點(diǎn)，
過點(diǎn)B作軸，垂足為 ，
則 ，，，
由 ，
得，即 .
因?yàn)椋裕?，
所以，，因?yàn)椋?，
所以 ，所以 .
故選D.
例2 比較下列各組數(shù)的大小.
（1）和 ;
解：如圖①所示, .
（2）和 ;
解：如圖②所示, .
（3）和 ;
解：如圖③所示, .
（4）和 .
解：如圖④所示, .7.2.2　單位圓與三角函數(shù)線
【課前預(yù)習(xí)】
知識點(diǎn)一
x2+y2=1　(cos α,sin α)　橫坐標(biāo)　縱坐標(biāo)
知識點(diǎn)二
1.(1)正數(shù)　負(fù)數(shù)　2.(1)　(2)
3.三角函數(shù)線
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　[解析] (2)在單位圓中,有相同正弦線的角可能不等,如與有相同的正弦線.
(3)三角函數(shù)線的長度是指有向線段的長,一定是非負(fù)實(shí)數(shù),而三角函數(shù)值可正可負(fù)可為零,故三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值的絕對值.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
探索 解:當(dāng)三角函數(shù)線的方向與x軸(或y軸)的正方向相同時,所表示的三角函數(shù)值的符號為正;當(dāng)三角函數(shù)線的方向與x軸(或y軸)的正方向相反時,所表示的三角函數(shù)值的符號為負(fù).
例1　解:如圖,正弦線、余弦線、正切線分別為,,.
變式　解:由題利用正弦線得出角x的終邊.如圖所示,
其中∠MOP=,∠MOP'=,易知sin∠MOP=,sin∠MOP'=.
在第一象限內(nèi)角x的終邊與的終邊相同,∴x=2kπ+(k∈Z).
在第二象限內(nèi)角x的終邊與的終邊相同,∴x=2kπ+(k∈Z).
∴滿足條件的角x的集合為.
探究點(diǎn)二
探索 　[解析] 設(shè)角x的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過P作PM⊥x軸,垂足為M,如圖所示,則 ,分別為角x的余弦線、正弦線.由圖可知,滿足|sin x|≥|cos x|,即||≥||的角x的終邊經(jīng)過陰影區(qū)域(包括邊界),所以滿足條件的角x的集合為.
例2　解:如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,作出單位圓,的終邊為OP1,的終邊為OP2,過P1,P2分別作x軸的垂線,垂足分別為M1,M2,延長P1O,P2O,分別交經(jīng)過A(1,0)的單位圓的切線于點(diǎn)T1,T2.
(1)由圖可知sin=||,sin=||,
∵||>||,∴sin>sin.
(2)由圖可知cos=-||,cos=-||,
∵-||>-||,∴cos>cos.
(3)由圖可知tan=-||,tan=-||,
∵-||<-||,∴tan變式　②④　[解析] 對于①,如圖a所示,根據(jù)三角函數(shù)線可得sin=||,sin=-||,因?yàn)閨|>-||,所以sin>sin,故①不正確;對于②,如圖b所示,根據(jù)三角函數(shù)線可得cos=cos=||,故②正確;對于③,如圖c所示,根據(jù)三角函數(shù)線可得tan=||,tan=||,因?yàn)閨|<||,所以tan||,所以sin>sin,故④正確.故填②④.
圖a 圖b 圖c 圖d
探究點(diǎn)三
例3　證明:如圖所示,單位圓與α的終邊OP相交于點(diǎn)P,過P作PM⊥x軸,垂足為M,連接AP,過單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)A(1,0)作直線x=1,交OP于點(diǎn)T,則α的正弦線為,α=(為的長),α的正切線為.
由S扇形OAP又||<||<,所以||<<||.又sin α>0,α>0,tan α>0,所以sin α<α例4　解:(1)如圖所示,作直線y=交單位圓于A,B兩點(diǎn)(A在B右側(cè)),連接OA,OB,則角α的終邊經(jīng)過OA與OB圍成的區(qū)域(如圖中陰影部分所示),故滿足條件的角α的集合為.
(2)如圖所示,作直線x=-交單位圓于C,D兩點(diǎn),連接OC,OD,則角α的終邊經(jīng)過OC與OD圍成的區(qū)域(如圖中陰影部分所示),故滿足條件的角α的集合為.
變式　證明:如圖所示,設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),單位圓與x軸、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A(1,0),B(0,1).
過點(diǎn)P分別作PD⊥x軸,PE⊥y軸,垂足分別為D,E,連接AP,BP.易知sin α=y,cos α=x,
在三角形POD中,OD+DP>OP,所以sin α+cos α>1.
因?yàn)镾△POA=OA·DP=y=sin α,S△POB=OB·PE=x=cos α,S扇形AOB=××12=,S△POA+S△POB綜上,1拓展　解:如圖所示,作出單位圓,作直線x=-與單位圓交于P1,P2兩點(diǎn),作直線x=與單位圓交于P3,P4兩點(diǎn),連接OP1,OP2,OP3,OP4.在[-π,π)范圍內(nèi),cos =cos=-,cos =cos=,則點(diǎn)P1,P2,P3,P4分別在角,-,,-的終邊上.
-≤cos θ<表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示,則θ的取值范圍為2kπ-≤θ<2kπ-,k∈Z或2kπ+<θ≤2kπ+,k∈Z.
【課堂評價】
1.D　[解析] 任何角的正弦線、余弦線總是存在,終邊在y軸上的角的正切線不存在.故選D.
2.B　[解析] 若正弦線的長度為1,則sin α=±1,所以角α的終邊在y軸上.故選B.
3.A　[解析] 由三角函數(shù)線可知,當(dāng)0<α<時,sin α<α4.B　[解析] 如圖,作出單位圓,作出角的正弦線、余弦線、正切線,角的正弦線、余弦線、正切線.易知角和角的終邊關(guān)于y軸對稱,由圖可得sin=sin>0,cos>0>cos,tan>0>tan,所以sin>0>cos.故選B.
5.sin α【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.能夠準(zhǔn)確畫出正弦線、余弦線和正切線;
　　2.能夠通過三角函數(shù)線求解、判斷函數(shù)值的正負(fù),解三角不等式等問題.
◆ 知識點(diǎn)一　單位圓
一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)滿足　　　　的點(diǎn)組成的集合稱為單位圓.因此,如果角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P,則P的坐標(biāo)為　　　　, 這就是說,角α的余弦和正弦分別等于角α終邊與單位圓交點(diǎn)的　　　　和　　　　.
◆ 知識點(diǎn)二　三角函數(shù)線
1.正弦線和余弦線的表示
(1)概念:如圖所示,如果過角α終邊與單位圓的交點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為M,則可以直觀地表示cos α:的方向與x軸的正方向相同時,表示cos α是　　　　,且cos α=||;的方向與x軸的正方向相反時,表示cos α是　　　　,且cos α=-||.習(xí)慣上,稱為角α的余弦線.類似地,圖中的可以直觀地表示sin α,因此稱為角α的正弦線.
(2)幾何意義:利用角的正弦線和余弦線,可以直觀地看出角的正弦和余弦的信息.如圖,角β的余弦線是,正弦線是,由此可看出cos β<0,sin β<0,而且還可以看出|cos β|>|cos α|,|sin α|>|sin β|.
2.正切線的表示
(1)概念:如圖所示,設(shè)直線x=1與x軸交于點(diǎn)A,角α的終邊與直線x=1交于點(diǎn)T,則可以直觀地表示tan α,因此　　　　稱為角α的正切線.
(2)幾何意義:當(dāng)角的終邊在第二、三象限或x軸的負(fù)半軸上時,終邊與直線x=1沒有交點(diǎn),但終邊的反向延長線與直線x=1有交點(diǎn),而且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也正好是角的正切值,因此圖中角β的正切線為　　　　.
3.三角函數(shù)線的特征
正弦線、余弦線和正切線都稱為　　　　　　.
(1)方向:正弦線由x軸上的垂足指向α的終邊與單位圓的交點(diǎn);余弦線由原點(diǎn)指向x軸上的垂足;正切線由切點(diǎn)(單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn))指向切線與α的終邊(或其反向延長線)的交點(diǎn).
(2)書寫:起點(diǎn)(比如點(diǎn)A)在前,終點(diǎn)(比如點(diǎn)B)在后,寫為.
(3)正負(fù):三條三角函數(shù)線的正負(fù)可簡記為“同向?yàn)檎?反向?yàn)樨?fù)”(與坐標(biāo)軸正方向相同為正,與坐標(biāo)軸正方向相反為負(fù)).
【診斷分析】 判斷正誤.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)若角α的余弦線的長度為0,則它的正弦線的長度為1. (　 )
(2)在單位圓中,有相同正弦線的角相等. (　 )
(3)三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值. (　 )
(4)當(dāng)角α的終邊在x軸上時,正弦線、正切線都變成一個點(diǎn),此時角α的正弦值和正切值都為0.(　 )
(5)具有相同正切線的兩個角的終邊在同一條直線上. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　作三角函數(shù)線
[探索] 三角函數(shù)線的方向與三角函數(shù)值有何關(guān)系


例1 作出下列各角的正弦線、余弦線和正切線.
(1);(2)-.
變式 利用三角函數(shù)線確定滿足sin x=的角x的集合.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)作正弦線、余弦線時,首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn),然后過此交點(diǎn)作x軸的垂線,得到垂足,從而得到正弦線和余弦線.
(2)作正切線時,應(yīng)從點(diǎn)A(1,0)引單位圓的切線,與角的終邊(或反向延長線)交于點(diǎn)T,即可得到正切線.要特別注意,當(dāng)角的終邊在第二或第三象限時,應(yīng)將角的終邊反向延長,再按上述作法來作正切線.
◆ 探究點(diǎn)二　利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小
[探索] 利用三角函數(shù)線可知,不等式|sin x|≥|cos x|的解集為　　　　　　　　　　　　.
例2 利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小.
(1)sin與sin;
(2)cos與cos;
(3)tan與tan.
變式 [2024·福州羅源一中高一月考] 利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小關(guān)系正確的是　　　　.(填序號)
①sin=sin;②cos=cos;
③tan>tan;④sin>sin.
[素養(yǎng)小結(jié)]
當(dāng)利用三角函數(shù)線比較大小時,首先需要在直角坐標(biāo)系的單位圓中作出所要比較的角的三角函數(shù)線,其次在比較大小時,既要注意三角函數(shù)線的長短,又要注意三角函數(shù)線的方向.
◆ 探究點(diǎn)三　利用三角函數(shù)線證明、求解三角
不等式
例3 試?yán)萌呛瘮?shù)線證明:當(dāng)0<α<時,sin α<α例4 在單位圓中畫出滿足下列條件的角α的終邊的范圍,并由此寫出滿足條件的角α的取值集合.
(1)sin α≥;
(2)cos α≤-.
變式 已知α∈,求證:1[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)利用三角函數(shù)線證明不等式時,一般先根據(jù)條件作出三角函數(shù)線,再進(jìn)行證明,證明過程中往往需要借助三角形和扇形的面積.
(2)三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式、比較大小及求函數(shù)的定義域,在求三角函數(shù)定義域時,一般轉(zhuǎn)化為不等式(組),因此必須牢固掌握三角函數(shù)線的畫法及意義.
拓展 利用三角函數(shù)線,確定使不等式-≤cos θ<成立的θ的取值范圍.
1.關(guān)于三角函數(shù)線,下列說法中正確的是 (　 )
A.對任何角都能作出正弦線、余弦線和正切線
B.有的角正弦線、余弦線和正切線都不存在
C.任何角的正弦線、正切線總是存在,但是余弦線不一定存在
D.任何角的正弦線、余弦線總是存在,但是正切線不一定存在
2.若角α的正弦線的長度為1,則角α的終邊在 (　 )
A.x軸上 B.y軸上
C.x軸的正半軸上 D.y軸的正半軸上
3.[2023·貴州遵義高一期中] 已知a=sin 0.1,b=0.1,c=tan 0.1,則 (　 )
A.c>b>a B.b>c>a
C.b>a>c D.a>c>b
4.[2023·江蘇常州華羅庚中學(xué)高一月考] 下面四個不等式中正確的是 (　 )
A.sincos
C.cos5.若-<α<-,則sin α,cos α,tan α的大小關(guān)系是　　　　　　　.(用“<”連接) 7.2.2　單位圓與三角函數(shù)線
1.A　[解析] 如圖,角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M,由三角函數(shù)線的定義可知||=cos α.設(shè)角β的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P1,當(dāng)角β的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對稱時,過點(diǎn)P1作x軸的垂線,則垂足為點(diǎn)M,所以||=cos β,所以當(dāng)角α與β的終邊關(guān)于x軸對稱時,cos α=cos β.故選A.
2.B　[解析] 畫出1弧度的正弦線,余弦線和正切線,如圖所示.易知sin 1=||,cos 1=||,tan 1=||,由圖知||<||<||,所以cos 13.A　[解析] 由sin x≤cos x及三角函數(shù)線,可得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,結(jié)合選項(xiàng)可知A正確.
4.A　[解析] 由tan α-≥0,得tan α≥=tan,作出單位圓以及的正弦線和正切線,如圖所示.因?yàn)?<α<π,所以角α的終邊落在陰影區(qū)域內(nèi),所以≤α<,所以≤sin α<1,故sin α的取值范圍是.故選A.
5.B　[解析] 如圖所示,作出單位圓以及角θ的正弦線和余弦線,所以sin θ=||>0,cos θ=-||<0,且||>||,所以sin θ+cos θ>0,sin θ-cos θ>0,|sin θ|>|cos θ|,所以①錯誤,②正確,③錯誤,④正確.故選B.
6.A　[解析] 由三角函數(shù)線可知,當(dāng)0<θ<時,sin θ<θa>b.故選A.
7.D　[解析] 對于0≤x<2π,當(dāng)sin x≥時,由正弦線得x∈,當(dāng)cos x<時,由余弦線得x∈.因?yàn)椤?,所以使sin x≥且cos x<同時成立的x的取值范圍是.故選D.
8.AD　[解析] 對于A,當(dāng)α一定時,單位圓中的正弦線一定,故A正確.對于B,與有相同的正弦線,但≠,故B錯誤.對于C,α和α+π的余弦線相反,故C錯誤.對于D,有相同正切線的兩角的終邊一定在同一條直線上,故D正確.故選AD.
9.BD　[解析] 若α,β是第一象限角,如圖①,作出單位圓及角α的正弦線和余弦線,角β的正弦線和余弦線,易知sin α=||,sin β=||,cos α=||,cos β=||,因?yàn)閟in α>sin β,所以||>||,所以||<||,即cos αsin β,所以||>||,所以-||<-||,即tan αsin β,所以-||>-||,所以-||<-||,即cos αsin β,所以-||>-||,所以-||>-||,即tan α>tan β,故D正確.故選BD.
10.cos0,sin>0,由||<||,可得sin11.||>||>||　[解析] 如圖所示,由圖可知,當(dāng)α∈時,cos α1,所以||>||>||.
12.(k∈Z)　[解析] 要使函數(shù)有意義,必須有即由三角函數(shù)線得不等式組的解為所以函數(shù)y=lg(2sin x-1)+的定義域?yàn)?k∈Z).
13.解:(1)如圖①所示,-的正弦線、余弦線和正切線分別為,和.由圖①可知sin=-,cos=-,tan=.
(2)如圖②所示,-的正弦線、余弦線和正切線分別為,和.由圖②可知sin=-,cos=,tan=-.
14.解:由三角函數(shù)線知,在[0,2π)內(nèi)滿足sin x>cos x的x的取值范圍為,滿足sin x>tan x的x的取值范圍為∪,所以不等式組的解集是.
15.A　[解析] 如圖所示,設(shè)單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)為A,角θ的正弦線為,即sin θ=||或sin θ=-||.在單位圓中,=θ,若sin θ=θ,則=||,因?yàn)閨|≤||≤,當(dāng)且僅當(dāng)θ=0時等號成立,所以方程sin x=x有且僅有1個實(shí)數(shù)解,故選A.
[點(diǎn)撥] 可結(jié)合單位圓進(jìn)行三角函數(shù)和實(shí)數(shù)間的大小比較.
16.證明:由三角函數(shù)線可知,當(dāng)0因?yàn)?,,…,均為小于的正數(shù),
所以0所以sin·sin·sin·…·sin<×××…×=,即sin·sin·sin·…·sin<.7.2.2　單位圓與三角函數(shù)線
一、選擇題
1.若cos α=cos β,則角α與β的終邊除了可能重合外,還有可能 (　 )
A.關(guān)于x軸對稱
B.關(guān)于y軸對稱
C.關(guān)于直線y=x對稱
D.關(guān)于原點(diǎn)對稱
2.下列關(guān)系式中正確的是 (　 )
A.sin 1B.cos 1C.tan 1D.cos 13.下列區(qū)間中,使sin x≤cos x恒成立的是 (　 )
A. B.
C. D.[0,π]
4.已知α是△ABC的一個內(nèi)角,且tan α-≥0,則sin α的取值范圍是 (　 )
A. B.
C. D.
5.若θ∈,則下列各式中正確的個數(shù)是(　 )
①sin θ+cos θ<0;
②sin θ-cos θ>0;
③|sin θ|<|cos θ|;
④sin θ+cos θ>0.
A.1 B.2 C.3 D.4
6.若a=1.2,b=sin 1.2,c=tan 1.2,則 (　 )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>c>b D.b>c>a
7.[2023·合肥廬陽中學(xué)高一月考] 已知0≤x<2π,則使sin x≥且cos x<同時成立的x的取值范圍是 (　 )
A. B.
C. D.
8.(多選題)[2023·遼寧葫蘆島高一期末] 下列說法正確的是 (　 )
A.α一定時,單位圓中的正弦線也一定
B.在單位圓中,有相同正弦線的角相等
C.α和α+π有相同的余弦線
D.有相同正切線的兩角的終邊在同一條直線上
9.(多選題)已知sin α>sin β,那么下列說法正確的是 (　 )
A.若α,β是第一象限角,則cos α>cos β
B.若α,β是第二象限角,則tan αC.若α,β是第三象限角,則cos α>cos β
D.若α,β是第四象限角,則tan α>tan β
二、填空題
10.sin,cos,tan的大小關(guān)系是　　　　　　　　　　　　　　.
11.若α∈,在單位圓中,角α的正弦線、余弦線、正切線分別是,,,則||,||,||的大小關(guān)系為　　　　　　　　.
12.函數(shù)y=lg(2sin x-1)+的定義域?yàn)椤　　　　　　　?
三、解答題
13.分別作出下列各角的正弦線、余弦線和正切線,并利用它們求出各角的正弦、余弦和正切.
(1)-;(2)-.
14.利用單位圓和三角函數(shù)線解不等式組(0≤x<2π).
★15.[2023·山東東營高一期末] 方程sin x=x的實(shí)數(shù)解的個數(shù)為 (　 )
A.1 B.3
C.5 D.7
16.證明:sin·sin· sin·…·sin<.

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