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(共49張PPT)
7.2 任意角的三角函數
7.2.3 同角三角函數的基本關系式
探究點一 已知一個三角函數值求另外兩個三角函數值
探究點二 “弦值”轉化為“切值”
探究點三 與的關系的應用
探究點四 三角函數式的化簡
探究點五 三角函數式的證明
【學習目標】
會運用同角三角函數的基本關系式進行三角函數式的化簡、求
值和證明.
知識點一 同角三角函數的基本關系
1.平方關系:_________________.
2.商數關系:____________.
這就是說,同一個角 的正弦、余弦的________等于1,商等于角 的
______.
平方和
正切
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1） .( )
×
（2）當角 的終邊與坐標軸重合時， .( )
×
（3）因為平方關系對任意角都成立，所以 也成立.
( )
×
（4）對一切恒成立，而 僅對
成立．( )
√
（5）應用同角三角函數的基本關系可以在已知角的某一個三角函數
值及角的終邊所在象限的情況下，唯一的確定其余兩個三角函數值.
( )
√
2. 成立嗎
解：不成立，前者是的正弦的平方，后者是 的正弦，兩者是不同的.
知識點二 同角三角函數的基本關系式的常用變形
基本關系式的變形公式：
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）當時， .( )
×
（2）當，時， .( )
√
探究點一 已知一個三角函數值求另外兩個三角函數值
［探索］ 已知，那么能否認為角 的終邊上有異于原點的
點，點的坐標為，且, ？為什么？
解：不能.因為，所以角 是第一象限角或第三象限角，
當 為第三象限角時，點不在角 的終邊上，此時 的正弦值、
余弦值的符號為負，
故不能認為點的坐標為， , .
例1（1） [2024·湖南株洲淥口三中高一月考]已知， 是
第三象限角，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因為， 是第三象限角，
所以 .故選A.
√
（2）已知，求 的值.
解：， 是第一象限角或第四象限角.
當 是第一象限角時， ，
；
當 是第四象限角時，
， .
（3）[2024·廣西貴港高一期末] 已知 為第四象限角，且
，求 的值.
解：由題意得 ，又 ，
所以，又 為第四象限角，所以 ．
變式 （多選題）下列結論中能成立的是( )
A.且
B.且
C.且
D.且
√
√
√
[解析] 對于A，當時，， ，故A正確；
對于B，因為,所以，所以 ，故B
正確；
對于C，因為，所以，即 ，又
因為，所以 ，故C正確；
對于D，因為，所以角 的終邊落在軸的正半軸上，
此時 無意義，故D錯誤.故選 ．
［素養小結］
利用同角三角函數的基本關系式解決給值求值問題的方法:
（1）當已知角 的某一種三角函數值，求角 的另兩種三角函數值
時，要注意公式的合理選擇，一般先選用平方關系，再選用商數關系.
（2）當角 的終邊所在的象限已經確定，求另兩種三角函數值時，
只有一組結果；當角 的終邊所在的象限不確定，求另兩種三角函
數值時，應分類討論，一般有兩組結果.
探究點二 “弦值”轉化為“切值”
［探索］ （1）表達式 如何將弦化成切？
解：當時，分子分母同時除以 ，應用商數關系，可以
將弦化成切.
（2）表達式 是否也能夠將弦化成切？那么結合上例，
怎樣的表達式能夠將弦化成切？
解：因為，所以當 時，分子
分母同時除以 ，應用商數關系，可以將弦化成切.只有齊次的分
式可以通過同時除以，, 來實現弦化切.
例2（1） [2024·山西晉中高一期末]已知 ，則
( )
A. B. C. D.
[解析] .故選A.
√
（2）[2024·湖南平江三中高一月考]已知，則 的
值為( )
A. B. C. D.
[解析] .故選B.
√
變式 [2024·南京高一期末]已知 ，則
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因為 ，所以
，所以 ，
所以，即 ，解得
或.
當 時，；
當 時， .故選C.
［素養小結］
化切求值的方法技巧：
（1）已知，可以求或
的值.求值時，將分子分母同時除以 或 ，則可化成關于
的式子，從而達到求值的目的.
（2）對于 的求值，可看成分母是1，
利用 進行代替后，分子分母同時除以 ，得
到關于 的式子，從而達到求值的目的.
探究點三 與 的關系的應用
［探索］ __________________________
_________________.
例3 已知 ，且，求 的值.
解：方法一：因為 ，
所以，所以 .
又 ，所以， ，
所以 .
所以解得
所以 .
方法二：因為，所以 ，
所以 .
又 ，所以，，所以 .
因為，所以 ，
所以，由 ，
解得或 .
方法三：因為，所以 ，
所以 .
又 ，所以，，所以 .
由可得所以 .
變式 （多選題）[2024·江蘇揚州新華中學高一期末] 已知 ，
且 ，則下列結論正確的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由，得 ，
即，所以，又 ，
所以，，所以 ，故A正確，B正確；
因為，，所以 ，故C錯誤；
，故D錯誤.故選 .
［素養小結］
， ， 三個式子中，已知其中
一個，可以求其他兩個，即“知一求二”，它們的關系是
，
，
，
.
探究點四 三角函數式的化簡
例4 求下列各式的值：
（1） ；
解： .
（2） ．
解： .
變式 [2024·成都東競中學高一月考] 化簡： ___.
1
[解析] .
［素養小結］
解答此類題目的關鍵在于公式的靈活運用，化簡過程中常用的方法
有：①利用同角三角函數的基本關系及常用變形；②對于含高次的
三角函數式，往往借助因式分解化簡.
探究點五 三角函數式的證明
例5 求證: .
證明:
.
變式 求證： .
證明:左邊 右邊，故等式成立.
［素養小結］
（1）證明簡單的三角恒等式的思路：
①從一邊開始，證明它等于另一邊；
②證明左、右兩邊等于同一個式子；
③用作差法，證明等式兩邊之差等于零.
（2）證明三角恒等式的常用技巧及遵循的原則：
①常用技巧：切化弦、整體代換、“1”的代換等.
②遵循的原則：由繁到簡，變異為同.
1.[2023·安徽六安二中高一月考]已知 ，則
( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
又 ，，所以 .故選D.
√
2.[2024·江蘇鹽城八灘中學高一月考]已知 ，則
( )
A.0 B.1 C. D.
[解析] ，解得 .故選C.
√
3.[2024·湖南長沙高一期中]若，且 ，則
是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
[解析] ， ，
， 是第一象限角.故選A.
√
4.若 是三角形的一個內角，且 ，則該三角形的形
狀為( )
A.鈍角三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.無法確定
[解析] ，，
是三角形的一個內角，，， 為鈍角，
這個三角形為鈍角三角形.故選A.
√
5.若 ，且 ，則 __.
[解析] 因為 ，所以，
由 ,得，
則 ，
即，可得，
所以 ，
所以 .
（1）同角三角函數的基本關系式揭示了“同角不同名”的三角函數的
運算規律，這里的“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”
一個角（在使函數有意義的前提下）.關系式成立與角的表達形式無
關，如 .
（2）如果已知三角函數值，但沒有指定角在哪個象限，那么通常由
已知三角函數值的正負確定角的終邊可能在的象限，然后分別求解，
這種情況一般有兩組解.
證明三角恒等式就是通過轉化和消去等式兩邊的差異來促成統一的
過程，證明的方法在形式上顯得較為靈活，常用方法有以下幾種：
①直接法：從等式的一邊開始直接化為等式的另一邊，常從比較復
雜的一邊化簡到另一邊，其依據是相等關系的傳遞性；
②綜合法：由一個已知成立的等式（如公式等）恒等變形得到所要
證明的等式，其依據是等價轉化的思想；
③中間量法：證明等式左右兩邊都等于同一個式子，其依據是等于
同一個量的兩個量相等，即“若，，則 ”；
④分析法：從結論出發，逐步尋找所需的條件，其證明過程的書寫
格式為“要證明……只需……”，若所需的條件都已經具備，則結論
就成立；
⑤比較法：設法證明“左邊-右邊”或“ ”.
例 證明： .
證明：方法一：左邊
右邊，
原等式成立.
方法二：， ，
， .
方法三：右邊
左邊，
原等式成立.
方法四：
左邊 ，
右邊，
左邊右邊， 原等式成立.
方法五：
， .7.2.3　同角三角函數的基本關系式
【課前預習】
知識點一
1.sin2α+cos2α=1
2.tan α=　平方和　正切
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.解:不成立,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,兩者是不同的.
知識點二
診斷分析
(1)×　(2)√
【課中探究】
探究點一
探索 解:不能.因為tan α=>0,所以角α是第一象限角或第三象限角,當α為第三象限角時,點(2,1)不在角α的終邊上,此時α的正弦值、余弦值的符號為負,故不能認為點P的坐標為(2,1),sin α=,cos α=.
例1　(1)A　[解析] 因為sin α=-,α是第三象限角,所以cos α=-=-=-.故選A.
(2)解:∵cos α=>0,∴α是第一象限角或第四象限角.
當α是第一象限角時,sin α===,tan α==;當α是第四象限角時,sin α=-=-=-,tan α=-.
(3)解:由題意得sin α=-cos α,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,又α為第四象限角,所以cos α=.
變式　ABC　[解析] 對于A,當α=時,sin α=,cos α=-,故A正確;對于B,因為tan α=2024,所以=2024,所以=,故B正確;對于C,因為tan α=1,所以=1,即sin α=cos α,又因為sin2α+cos2α=1,所以cos α=±,故C正確;對于D,因為sin α=1,所以角α的終邊落在y軸的正半軸上,此時tan α無意義,故D錯誤.故選ABC.
探究點二
探索 解:(1)當cos x≠0時,分子分母同時除以cos x,應用商數關系,可以將弦化成切.
(2)因為sin2x-2cos2x=,所以當cos x≠0時,分子分母同時除以cos2x,應用商數關系,可以將弦化成切.只有齊次的分式可以通過同時除以cos x,cos2x,…來實現弦化切.
例2　(1)A　(2)B　[解析] (1)==-.故選A.
(2)sin αcos α====.故選B.
變式　C　[解析] 因為sin α+2cos α=,所以sin2α+4sin αcos α+4cos2α=,所以=,所以=,即3tan2α-8tan α-3=0,解得tan α=3或tan α=-.當tan α=3時,===-;當tan α=-時,===-.故選C.
探究點三
探索 sin2α+cos2α±2sin αcos α　(sin α±cos α)2
例3　解:方法一:因為sin θ-cos θ=,所以(sin θ-cos θ)2=,所以sin θcos θ=.
又0<θ<π,所以sin θ>0,cos θ>0,
所以sin θ+cos θ====.
所以解得所以tan θ==.
方法二:因為sin θ-cos θ=,所以(sin θ-cos θ)2=,所以sin θcos θ=.
又0<θ<π,所以sin θ>0,cos θ>0,所以0<θ<.因為sin θ-cos θ=>0,所以sin θ>cos θ,
所以tan θ>1,由sin θcos θ===,解得tan θ=或tan θ=(舍去).
方法三:因為sin θ-cos θ=,所以(sin θ-cos θ)2=,
所以sin θcos θ=.又0<θ<π,所以sin θ>0,cos θ>0,所以0<θ<.
由可得所以tan θ=.
變式　AB　[解析] 由sin α+cos α=,得(sin α+cos α)2=,即1+2sin αcos α=,所以sin αcos α=-,又α∈(0,π),所以sin α>0,cos α<0,所以<α<π,故A正確,B正確;因為cos α<0,sin α>0,所以cos α-sin α<0,故C錯誤;tan α+=+==-,故D錯誤.故選AB.
探究點四
例4　解: (1)sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β=sin2αcos2β+sin2β+cos2αcos2β=cos2β(sin2α+cos2α)+sin2β=cos2β+sin2β=1.
(2)(3sin θ+4cos θ)2+(3cos θ-4sin θ)2=9sin2θ+24sin θcos θ+16cos2θ+9cos2θ-24sin θcos θ+16sin2θ=25sin2θ+25cos2θ=25.
變式　1　[解析] =
===1.
探究點五
例5　證明:-===
=.
變式　證明:左邊====
==右邊,故等式成立.
【課堂評價】
1.D　[解析] 由tan α=2,得sin α=2cos α,又sin2α+cos2α=1,0<α<,所以sin α=.故選D.
2.C　[解析] ==,解得tan α=-.故選C.
3.A　[解析] ∵cos αtan α=cos α·=sin α>0,sin αtan α>0,∴tan α>0,∴α是第一象限角.故選A.
4.A　[解析] ∵(sin α+cos α)2=,∴2sin αcos α=-,∵α是三角形的一個內角,∴sin α>0,∴cos α<0,∴α為鈍角,∴這個三角形為鈍角三角形.故選A.
5.　[解析] 因為0<α<π,所以sin α>0,由3sin α=1+cos α,得cos α=3sin α-1,則cos2α+sin2α=(3sin α-1)2+sin2α=1,即10sin2α-6sin α=0,可得sin α=,所以cos α=3×-1=,所以tan α===.7.2.3　同角三角函數的基本關系式
【學習目標】
　　會運用同角三角函數的基本關系式進行三角函數式的化簡、求值和證明.
◆ 知識點一　同角三角函數的基本關系
1.平方關系:　　　　　　　　.
2.商數關系:　　　　　　　　.
這就是說,同一個角α的正弦、余弦的　　　　等于1,商等于角α的　　　　.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)tan 90°=. (　 )
(2)當角α的終邊與坐標軸重合時,sin2α+cos2α≠1. (　 )
(3)因為平方關系對任意角都成立,所以sin2α+cos2β=1也成立. (　 )
(4)sin2α+cos2α=1對一切α∈R恒成立,而tan α=僅對α≠+kπ(k∈Z)成立. (　 )
(5)應用同角三角函數的基本關系可以在已知角的某一個三角函數值及角的終邊所在象限的情況下,唯一的確定其余兩個三角函數值. (　 )
2.sin2α=sin α2成立嗎
◆ 知識點二　同角三角函數的基本關系式的常用變形
基本關系式的變形公式:
sin2α+cos2α=1
tan α=
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)當sin α=時,cos α=. (　 )
(2)當α≠kπ+,k∈Z時,cos2α=. (　 )
◆ 探究點一　已知一個三角函數值求另外兩個
三角函數值
[探索] 已知tan α=,那么能否認為角α的終邊上有異于原點的點P,點P的坐標為(2,1),且sin α=,cos α= 為什么


例1 (1)[2024·湖南株洲淥口三中高一月考] 已知sin α=-,α是第三象限角,則cos α=(　 )
A.- B.-
C. D.
(2)已知cos α=,求tan α的值.
(3)[2024·廣西貴港高一期末] 已知α為第四象限角,且tan α=-,求cos α的值.
變式 (多選題)下列結論中能成立的是 (　 )
A.sin α=且cos α=-
B.tan α=2024且=
C.tan α=1且cos α=±
D.sin α=1且tan α·cos α=1
[素養小結]
利用同角三角函數的基本關系式解決給值求值問題的方法:
(1)當已知角α的某一種三角函數值,求角α的另兩種三角函數值時,要注意公式的合理選擇,一般先選用平方關系,再選用商數關系.
(2)當角α的終邊所在的象限已經確定,求另兩種三角函數值時,只有一組結果;當角α的終邊所在的象限不確定,求另兩種三角函數值時,應分類討論,一般有兩組結果.
◆ 探究點二　“弦值”轉化為“切值”
[探索] (1)表達式如何將弦化成切
(2)表達式sin2x-2cos2x是否也能夠將弦化成切 那么結合上例,怎樣的表達式能夠將弦化成切

例2 (1)[2024·山西晉中高一期末] 已知tan α=-2,則= (　 )
A.- B.
C.- D.
(2)[2024·湖南平江三中高一月考] 已知tan α=2,則sin αcos α的值為 (　 )
A. B.
C. D.
變式 [2024·南京高一期末] 已知sin α+2cos α=,則= (　 )
A.-3 B.-
C.- D.
[素養小結]
化切求值的方法技巧:
(1)已知tan α=m,可以求或的值.求值時,將分子分母同時除以cos α或cos2α,則可化成關于tan α的式子,從而達到求值的目的.
(2)對于asin2α+bsin αcos α+ccos2α的求值,可看成分母是1,利用1=sin2α+cos2α進行代替后,分子分母同時除以cos2α,得到關于tan α的式子,從而達到求值的目的.
◆ 探究點三　sin α±cos α與sin αcos α的關系的應用
[探索] 1±2sin αcos α=　　　　　　　　　=　　　　　　.
例3 已知0<θ<π,且sin θ-cos θ=,求tan θ的值.
變式 (多選題)[2024·江蘇揚州新華中學高一期末] 已知α∈(0,π),且sin α+cos α=,則下列結論正確的是 (　 )
A.<α<π
B.sin αcos α=-
C.cos α-sin α=
D.tan α+=
[素養小結]
sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α三個式子中,已知其中一個,可以求其他兩個,即“知一求二”,它們的關系是(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α,(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α,(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2.
◆ 探究點四　三角函數式的化簡
例4 求下列各式的值:
(1)sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β;
(2)(3sin θ+4cos θ)2+(3cos θ-4sin θ)2.
變式 [2024·成都東競中學高一月考] 化簡:= 　　　　.
[素養小結]
解答此類題目的關鍵在于公式的靈活運用,化簡過程中常用的方法有:①利用同角三角函數的基本關系及常用變形;②對于含高次的三角函數式,往往借助因式分解化簡.
◆ 探究點五　三角函數式的證明
例5 求證:-=.
變式 求證:=.
[素養小結]
(1)證明簡單的三角恒等式的思路:
①從一邊開始,證明它等于另一邊;
②證明左、右兩邊等于同一個式子;
③用作差法,證明等式兩邊之差等于零.
(2)證明三角恒等式的常用技巧及遵循的原則:
①常用技巧:切化弦、整體代換、“1”的代換等.
②遵循的原則:由繁到簡,變異為同.
1.[2023·安徽六安二中高一月考] 已知tan α=2,則sin α= (　 )
A. B.-
C.- D.
2.[2024·江蘇鹽城八灘中學高一月考] 已知=,則tan α= (　 )
A.0 B.1
C.- D.-3
3.[2024·湖南長沙高一期中] 若sin αtan α>0,且cos αtan α>0,則α是 (　 )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
4.若α是三角形的一個內角,且sin α+cos α=,則該三角形的形狀為 (　 )
A.鈍角三角形 B.銳角三角形
C.直角三角形 D.無法確定
5.若0<α<π,且3sin α=1+cos α,則tan α=　　　　. 7.2.3　同角三角函數的基本關系式
1.B　[解析] ∵α是第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,∴x=+=1-1=0.故選B.
2.B　[解析] 由sin2α+cos2α=1,tan α==-,得cos2α=,又角α為第二象限角,所以cos α=-.故選B.
3.B　[解析] 由=,可知1-sin x≠0,所以=====-.故選B.
4.A　[解析] 由已知可得tan α=-<0,∴α為第二或第四象限角,∴sin αcos α<0,∴==|sin α·cos α|=-sin αcos α=-=-=.故選A.
5.D　[解析] 因為sin α,cos α是關于x的方程x2-x+m=0的兩個實根,所以sin α+cos α=,sin αcos α=m,且Δ=-4m≥0,即m≤.因為(sin α+cos α)2==1+2sin αcos α=1+2m,所以m=-,所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=.因為sin αcos α=m=-<0,0<α<π,所以sin α>0,cos α<0,所以<α<π,所以sin α-cos α>0,所以sin α-cos α=.故選D.
[易錯] 本題易忽略Δ=-4m≥0.
6.C　[解析] 由cos α+3sin α=,得(cos α+3sin α)2=5,則cos2α+6sin αcos α+9sin2α=5(sin2α+cos2α),即2sin2α+3sin αcos α-2cos2α=0,則2tan2α+3tan α-2=0,解得tan α=或tan α=-2,∵α∈,∴tan α<0,∴tan α=-2.故選C.
7.A　[解析] 由=,得2sin α-1×(-2cos α)=,化簡得sin α+cos α=,與sin2α+cos2α=1聯立,解得或又α∈(0,π),所以所以tan α==-.故選A.
8.CD　[解析] 因為關于x的方程x2+m=0有兩個不相等的實數根sin θ,cos θ,所以Δ=-4m>0,解得m<0,所以sin θ+cos θ=0,sin θcos θ=m,故C正確;由sin2θ+cos2θ=(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=-2m=1,解得m=-,故B錯誤,D正確;因為sin θ+cos θ=0,所以sin θ=-cos θ,所以tan θ=-1,故A錯誤.故選CD.
9.CD　[解析] f(α)=-=-=-=-=-.若α是第一象限角,則原式=cos2α-sin2α;若α是第二象限角,則原式=-cos2α+sin2α;若α是第三象限角,則原式=-cos2α-sin2α=-1;若α是第四象限角,則原式=cos2α+sin2α=1.故選CD.
10.-　[解析] 因為sin α=,tan α=<0,所以cos α<0,所以cos α=-=-=-.
[點撥] 已知正弦值求余弦值,一般利用公式cos α=±,需注意角的位置對正、負進行取舍.
11.0　[解析] 由得∴tan θ==-1,所以tan θ-=-1-=0.
12.(-∞,9]　[解析] 由θ∈,得0[技巧] 破解此類題的關鍵:一是會轉化,把恒成立問題利用分離參數法轉化為最值問題;二是平方關系“sin2α+cos2α=1”具有“隱身”特性,一些問題中要想到其存在并能夠準確應用其解題.
13.解:(1)====1.
(2)因為sin αcos α=,且α是第三象限角,所以sin α+cos α=-=
-=-,所以-=-
==sin α+cos α=-.
14.證明:(1)由1-asin α=cos α,得1-cos α=asin α,
則(1-cos α)(1+cos α)=absin2α,
即1-cos2α=absin2α,即absin2α=sin2α,
因為α≠kπ,k∈Z,所以sin α≠0,所以ab=1.
(2)因為所以tan α=,sin α=.
當tan α=0時,α=kπ,k∈Z,則sin α=0,此時m=n=0,顯然等式(m2-n2)2=16mn成立;
當tan α≠0時,由tan α=,得cos α==,
又sin2α=1-cos2α,所以=1-==,所以(m2-n2)2=16mn.
綜上,(m2-n2)2=16mn.
15.BC　[解析] 當α=,β=時,sin α=sin=>sin β=sin=sin=,但α<β,故A錯誤;易知sin α>sin β>0,所以sin2α>sin2β,因為sin2α+cos2α=1,所以1-cos2α>1-cos2β,所以cos2α,所以sin2α·>sin2β·,即tan2α>tan2β,故B正確;當α=,β=時,sin2α+sin2β=+=<1,故D錯誤.故選BC.
16.解:(1)由題意知EH=,FH=,EF==.
∵BE=10·tan θ≤10,AF=≤10,
∴≤tan θ≤,∴θ∈,∴L=++,θ∈.
(2)當sin θ+cos θ=時,sin θcos θ==,
∴此時管道的長度為++=10=20(+1)(m).7.2.3　同角三角函數的基本關系式
一、選擇題
1.[2024·河南南陽高一期中] 已知α為第二象限角,則x=+的值是 (　 )
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.[2024·河北邯鄲高一期末] 若角α為第二象限角,tan α=-,則cos α= (　 )
A. B.-
C. D.-
3.[2023·河南焦作四中高一月考] 已知=,則= (　 )
A. B.-
C.2 D.-2
4.若5sin α+2cos α=0,則的值為 (　 )
A. B.
C. D.±
★5.[2024·成都高一期末] 若0<α<π,且sin α,cos α是關于x的方程x2-x+m=0的兩個實根,則sin α-cos α的值是 (　 )
A. B.-
C.± D.
6.已知α∈且cos α+3sin α=,則tan α= (　 )
A. B.-
C.-2 D.-3
7.定義運算:=a1a4-a2a3.若=,α∈(0,π),則tan α= (　 )
A.- B.
C. D.-
8.(多選題)[2024·鄭州宇華實驗學校高一月考] 已知關于x的方程x2+m=0有兩個不相等的實數根sin θ,cos θ,其中0≤θ<2π,則下列選項正確的是 (　 )
A.tan θ=1
B.sin θcos θ=
C.sin θ+cos θ=0
D.m=-
9.(多選題)設f(α)=-,當f(α)取定值時,α可能是 (　 )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
二、填空題
★10.[2024·山東濟寧嘉祥一中高一月考] 若sin α=,且tan α<0,則cos α=　　　　.
11.[2024·福建廈門二中高一月考] 若sin θ-cos θ=,則tan θ-=　　　　.
★12.[2024·山東鄒城二中高一月考] 若對任意的θ∈,不等式+≥m恒成立,則實數m的取值范圍為　　　　.
三、解答題
13.(1)[2024·江蘇錫東高級中學高一月考] 化簡:
;
(2)已知sin αcos α=,且α是第三象限角,求-的值.
14.(1)已知1-asin α=cos α,1+cos α=bsin α(α≠kπ,k∈Z),求證:ab=1.
(2)已知求證:(m2-n2)2=16mn.
15.(多選題)[2023·安徽馬鞍山一中月考] 已知α,β是第一象限角,且sin α>sin β,則下列關系正確的是 (　 )
A.α>β B.tan2α>tan2β
C.cos2α1
16.如圖,某污水處理廠要在一個矩形污水處理池ABCD的池底水平鋪設污水凈化管道來處理污水,設計要求管道的接口H是AB的中點,接口E,F分別落在BC,AD上.已知AB=20 m,AD=10 m,△FHE是直角三角形且H是直角頂點,記∠BHE=θ.
(1)試將污水凈化管道的長度L(單位:m)表示為θ的函數,并寫出定義域;
(2)若sin θ+cos θ=,求此時管道的長度.

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