資源簡(jiǎn)介

(共49張PPT)
7.2 任意角的三角函數(shù)
7.2.4 誘導(dǎo)公式
第1課時(shí) 誘導(dǎo)公式（一）
探究點(diǎn)一 利用誘導(dǎo)公式解決給角求值問(wèn)題
探究點(diǎn)二 利用誘導(dǎo)公式解決給值（式）求值問(wèn)題
探究點(diǎn)三 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)和求值
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解誘導(dǎo)公式①②③④的推導(dǎo)過(guò)程；
2.能應(yīng)用角的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)思想推導(dǎo)誘導(dǎo)公式；
3.能運(yùn)用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明問(wèn)題.
知識(shí)點(diǎn)一 角與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系
1.終邊關(guān)系：角 與 的終邊______.
相同
2.誘導(dǎo)公式①：
______ ；
______ ；
______ .
上述公式①的作用：可以把絕對(duì)值大于 的任意角的三角函數(shù)值問(wèn)
題轉(zhuǎn)化為_(kāi)______角的同名三角函數(shù)值問(wèn)題.
【診斷分析】
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）任何角 都可以寫(xiě)成 ， ， 的形式,
且 就是角 旋轉(zhuǎn) 的整數(shù)倍后得到的.( )
√
（2）所有終邊相同的角的三角函數(shù)值都相等.( )
×
[解析] 所有終邊相同的角的“同名”三角函數(shù)值都相等.
（3） .( )
√
（4） .( )
√
知識(shí)點(diǎn)二 角的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)
1.角 的終邊和角 的終邊關(guān)于角___的終邊所在的直線對(duì)稱(chēng).
2.角 的終邊與角 的終邊關(guān)于角_____的終邊所在的直線對(duì)稱(chēng).
【診斷分析】
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）角 的終邊與角 的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).( )
√
（2）角 的終邊與角 的終邊關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng).( )
√
（3）角 的終邊與角 的終邊關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng).( )
√
（4）角 的終邊與角 , , , , 的終邊之間的
關(guān)系分別為終邊相同、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)、關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、
關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng).( )
√
知識(shí)點(diǎn)三 角與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系
1.角 與 的終邊關(guān)于_____對(duì)稱(chēng),如圖所示.
軸
2.誘導(dǎo)公式②：
_______；
______；
_______.
上述公式②的作用：可以用正角的三角函數(shù)值表示負(fù)角的三角函數(shù)值.
【診斷分析】
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
若點(diǎn),都在單位圓上，且， ，
則點(diǎn),不一定關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng).( )
×
[解析] 點(diǎn),一定關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng).
知識(shí)點(diǎn)四 角與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系
1.（1）角 與 的終邊關(guān)于_____對(duì)稱(chēng)，如圖所示.
軸
（2）誘導(dǎo)公式③：
______；
_______；
_______.
2.（1）角 與 的終邊關(guān)于______對(duì)稱(chēng)，如圖所示.
原點(diǎn)
（2）誘導(dǎo)公式④：
_______；
_______；
______.
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）只有當(dāng)角 是銳角時(shí)，才滿足角 與 的終邊關(guān)于 軸對(duì)
稱(chēng).( )
×
（2）誘導(dǎo)公式③可以把區(qū)間 內(nèi)的角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為
區(qū)間 內(nèi)的角的同名三角函數(shù)值問(wèn)題.( )
√
（3）由誘導(dǎo)公式③可得 ，
.( )
×
（4） .( )
√
[解析] .
（5） ，,， ,
， .( )
×
2.誘導(dǎo)公式中的角 只能是銳角嗎？
解：誘導(dǎo)公式中的角 可以是任意角，要注意在 中要求
， .
探究點(diǎn)一 利用誘導(dǎo)公式解決給角求值問(wèn)題
例1（1） [2024·山東菏澤高一期末] ( )
A. B. C. D.
[解析] .故選C.
√
（2）[2024·山西運(yùn)城高一期末] ( )
A. B. C. D.
[解析] .故選A.
√
變式（1） [2024·山東聊城高一期末]已知 ，
， ，則( )
A. B. C. D.
[解析] 因?yàn)? ,
，所以 .故選D.
√
（2） .
解：原式 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值的一般步驟
（1）“負(fù)化正”：用公式②或③來(lái)轉(zhuǎn)化.
（2）“大化小”：用公式①將角化為 內(nèi)的角.
（3）“小化銳”：用公式③或④將大于 的角轉(zhuǎn)化為銳角.
（4）“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值.
探究點(diǎn)二 利用誘導(dǎo)公式解決給值（式）求值問(wèn)題
例2（1） [2024· 北京東城區(qū)高一期末]若， ，則
的值為( )
A. B. C. D.
[解析] 因?yàn)?，，所?，
所以 .故選C.
√
（2）[2024·湖南株洲炎陵一中高一月考] 已知 ,且
，則 _ ____．
[解析] 因?yàn)?，所?，
因?yàn)椋?，
所以，所以 .
因?yàn)? ，所以，
.
變式（1） [2024·四川仁壽一中高一期中] 已知 為銳角，且
，則 ____.
[解析] 因?yàn)?，?為銳角，所以 ，
所以，所以 .
（2）[2024·上海位育中學(xué)高一月考] 已知，則
可用 表示為_(kāi)______.
[解析] 由，可得, ,
， ，且 ，
又, ，
又， .
［素養(yǎng)小結(jié)］
解決條件求值問(wèn)題的一般步驟
（1）首先要仔細(xì)觀察條件與所求式的角、函數(shù)名稱(chēng)及有關(guān)運(yùn)算之間
的差異及聯(lián)系.
（2）其次可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變
形向已知式轉(zhuǎn)化，從而求出值.
探究點(diǎn)三 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)和求值
［探索］ 若 是銳角,則 是第____象限角, 是第____象
限角, 是第____象限角, 是第____象限角.
四
三
二
四
例3（1） [2024·湖北黃岡大光華高級(jí)中學(xué)高一月考]
( )
A.1 B.0 C. D.2
[解析] ,
因?yàn)? ,所以原式 .故選C.
√
（2）已知點(diǎn)在角 的終邊上，則 _____．
[解析] 點(diǎn)在角 的終邊上，， ，
.
變式（1） （多選題）[2024·山東濟(jì)寧一中高一月考] 已知角 的頂
點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與 軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)
，則 的值可以為( )
A. B. C. D.2
[解析] 由題意得, ，所以
或
所以.故選 .
√
√
（2）[2023·南寧一中高一月考] 化簡(jiǎn) .
解：因?yàn)?, ,
，
, ,
所以原式 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
化簡(jiǎn)求值問(wèn)題中，一般先化簡(jiǎn)角，再根據(jù)式子結(jié)構(gòu)進(jìn)行化簡(jiǎn).化簡(jiǎn)結(jié)
果中，特殊角的三角函數(shù)要寫(xiě)出函數(shù)值，分式形式約分要徹底，盡
量不含分母、根式等.
拓展 證明：， .
證明:當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令， ，
左邊 ，
右邊 ， 左邊右邊， 原式成立.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令， ，
左邊
，右邊 ，
左邊右邊， 原式成立.
綜上所述， ， .
1.[2024·四川綿陽(yáng)南山中學(xué)高一月考] ( )
A. B.1 C. D.
[解析] .故選B.
√
2. ( )
A.1 B.2 C.0 D.
[解析] 原式 .故選B.
√
3.[2024·山西呂梁高一期末]已知角 的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊
與軸的正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn) ，則
( )
A. B. C. D.
[解析] 由題得， .故選D.
√
4.[2024·遼寧阜新一中高一期末] 已知 ，則
___．
3
[解析] 由，得 ，
所以 .
5.若，且 ，則
______.
[解析] 因?yàn)?，所以，因?yàn)? ，
所以，，所以 ，
所以 ，
所以 .
1.誘導(dǎo)公式表示的是三角函數(shù)的性質(zhì)與任意角的三角函數(shù)值之間的一
些特殊關(guān)系，適用于任意角或角的表達(dá)式.
2.誘導(dǎo)公式①的功能是“大角化小角”，誘導(dǎo)公式②的功能是“負(fù)角變
正角”，誘導(dǎo)公式③④可以分別將區(qū)間， 內(nèi)的角的三角函
數(shù)值轉(zhuǎn)為區(qū)間 內(nèi)的角的同名三角函數(shù)值.
3.任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)值問(wèn)題的步驟口訣：
大角化小角，負(fù)角變正角，化到銳角為止.
4.誘導(dǎo)公式①~④可以根據(jù)口訣“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”來(lái)幫助記憶.
（1）記憶方法：， ， 的三角函數(shù)值，等
于 的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把 看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的
符號(hào)，可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”.
（2）解釋?zhuān)骸昂瘮?shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名；“符號(hào)”是
指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)；“看象限”是指假設(shè) 是銳角，要看原
三角函數(shù)值是取正值還是負(fù)值，如，若把 看成銳角，則
為第三象限角，正弦在第三象限取負(fù)值，故
.
5.（1）利用相關(guān)誘導(dǎo)公式，還可以得出如下公式：
， ，
.
（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， , ,
；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， , ,
.
1.明確各誘導(dǎo)公式的作用
誘導(dǎo)公式 作用
公式① 將角轉(zhuǎn)化到 內(nèi)求值
公式② 將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值
公式③ 鈍角化銳角求值
公式④ 與公式②結(jié)合將角轉(zhuǎn)化到 內(nèi)求值
2.誘導(dǎo)公式的拓展
（1） ， ，
， .
（2） ， ，
， .
3.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)方法:（1）利用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)
化為銳角三角函數(shù);（2）常用“切化弦”法,即通常將表達(dá)式中的切化
為弦;（3）注意“1”的變形應(yīng)用.
例 （1）[2024· 江西宜春中學(xué)高一月考]已知函數(shù) ，
則 ( )
A.2022 B.2023 C.2024 D.2025
√
[解析] 因?yàn)?，所以
，
令 ，
則，
所以，所以 ，
即 .故選B.
（2）[2024·湖南邵陽(yáng)綏寧一中高一期末] 已知 ，且滿足
．
①求 的值；
解：因?yàn)椋?，
由可得
所以 ．
②若角 的終邊與角 的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，求 的值．
解：方法一：因?yàn)榻?的終邊與角 的終邊關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)，所以
，
所以 ，
，
所以 ，
所以 ．
方法二：因?yàn)榻?的終邊與角 的終邊關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)，所以
，
所以 ，
所以 ．7.2.4　誘導(dǎo)公式
第1課時(shí)　誘導(dǎo)公式(一)
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.相同　2.sin α　cos α　tan α　0~2π
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　[解析] (2)所有終邊相同的角的“同名”三角函數(shù)值都相等.
知識(shí)點(diǎn)二
1.α　2.
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
知識(shí)點(diǎn)三
1.x軸　2.-sin α　cos α　-tan α
診斷分析
×　[解析] 點(diǎn)P1,P2一定關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).
知識(shí)點(diǎn)四
1.(1)y軸　(2)sin α　-cos α　-tan α
2.(1)原點(diǎn)　(2)-sin α　-cos α　tan α
診斷分析
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　[解析] (4)tan=tan=-tan=-.
2.解:誘導(dǎo)公式中的角α可以是任意角,要注意在tan α中要求α≠kπ+,k∈Z.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　(1)C　(2)A　[解析] (1)sin=-sin=-sin=-sin=-sin=sin=.故選C.
(2)cos(-1380°)=cos(-360°×4+60°)=cos 60°=.故選A.
變式　(1)D　[解析] 因?yàn)閍=log30.5log0.50.5=1,c=sin=sin=sin=∈(0,1),所以b>c>a.故選D.
(2)解:原式=sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)-cos(360°+0°)=sin 90°+tan 45°-cos 0°=1+1-1=1.
探究點(diǎn)二
例2　(1)C　(2)-　[解析] (1)因?yàn)閟in α=,α∈,所以cos α=-=-,所以cos(π-α)=-cos α=.故選C.
(2)因?yàn)?變式　(1)-　(2)　[解析] (1)因?yàn)閏os=,且α為銳角,所以0<α+<,所以sin=,所以sin=-sin=-.
(2)由tan 100°=k,可得tan(180°-80°)=k,∴tan 80°=-k,∴=-k,∴cos 80°=-sin 80°,且k<0,又cos280°+sin280°=sin280°=1,∴sin280°=,又sin 80°>0,∴sin 80°=.
探究點(diǎn)三
探索 四　三　二　四
例3　(1)C　(2)-　[解析] (1)===,因?yàn)閟in 80°>cos 80°,所以原式==-1.故選C.
(2)∵點(diǎn)P(2,5)在角α的終邊上,∴sin α=,cos α=,∴==-.
變式　(1)BD　[解析] 由題意得cos α==,sin α=,所以或所以2cos(-α)+sin(π+α)=2cos α-sin α=±2.故選BD.
(2)解:因?yàn)閟in(2π-α)=sin(-α)=-sin α,sin(π+α)=-sin α,cos(-π-α)=cos(π+α)=-cos α,sin(3π-α)=sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,
所以原式==sin α.
拓展　證明:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),令n=2k,k∈Z,
∵左邊====cos α,右邊=(-1)2kcos α=cos α,∴左邊=右邊,∴原式成立.
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),令n=2k-1,k∈Z,
∵左邊=====-cos α,右邊=(-1)2k-1cos α=-cos α,∴左邊=右邊,∴原式成立.
綜上所述,=(-1)ncos α,n∈Z.
【課堂評(píng)價(jià)】
1.B　[解析] tan=tan=tan=1.故選B.
2.B　[解析] 原式=(-sin α)2+(-cos α)·(-cos α)+1=sin2α+cos2α+1=1+1=2.故選B.
3.D　[解析] 由題得cos α=,∴cos(π+α)=-cos α=-.故選D.
4.3　[解析] 由tan(5π+α)=2,得tan α=2,所以===3.
5.-　[解析] 因?yàn)閏os(2π-α)=,所以cos α=,因?yàn)?α<2π,所以tan α<0,sin α<0,所以sin α=-=-,所以tan α==-,所以tan(π+α)+sin(π+α)=tan α-sin α=-+=-.7.2.4　誘導(dǎo)公式
第1課時(shí)　誘導(dǎo)公式(一)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.理解誘導(dǎo)公式①②③④的推導(dǎo)過(guò)程;
　　2.能應(yīng)用角的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)思想推導(dǎo)誘導(dǎo)公式;
　　3.能運(yùn)用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明問(wèn)題.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　角α與α+k·2π(k∈Z)的三角
函數(shù)值之間的關(guān)系
1.終邊關(guān)系:角α與α+k·2π(k∈Z)的終邊　　　　.
2.誘導(dǎo)公式①:
sin(α+k·2π)=　　　　(k∈Z);
cos(α+k·2π)=　　　　(k∈Z);
tan(α+k·2π)=　　　　(k∈Z).
上述公式①的作用:可以把絕對(duì)值大于2π的任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為　　　　角的同名三角函數(shù)值問(wèn)題.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)任何角θ都可以寫(xiě)成α+2kπ,0≤α<2π,k∈Z的形式,且α+2kπ就是角α旋轉(zhuǎn)2π的整數(shù)倍后得到的. (　 )
(2)所有終邊相同的角的三角函數(shù)值都相等.(　 )
(3)sin=sin=sin=. (　 )
(4)cos= cos=cos=.(　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　角的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)
1.角α+θ的終邊和角α-θ的終邊關(guān)于角　　　　的終邊所在的直線對(duì)稱(chēng).
2.角α的終邊與角β的終邊關(guān)于角　　　　的終邊所在的直線對(duì)稱(chēng).
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)角π+α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng). (　 )
(2)角-α的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng). (　 )
(3)角π-α的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng). (　 )
(4)角26°的終邊與角386°,-26°,154°,206°,64°的終邊之間的關(guān)系分別為終邊相同、關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)、關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng). (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)三　角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系
1.角α與-α的終邊關(guān)于　　　　對(duì)稱(chēng),如圖所示.
2.誘導(dǎo)公式②:
sin(-α)=　　　　;
cos(-α)=　　　　;
tan(-α)=　　　　.
上述公式②的作用:可以用正角的三角函數(shù)值表示負(fù)角的三角函數(shù)值.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
若點(diǎn)P1,P2都在單位圓上,且P1(cos(-α),sin(-α)),P2(cos α, sin α),則點(diǎn)P1,P2不一定關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng). (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)四　角α與π±α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系
1.(1)角α與π-α的終邊關(guān)于　　　　對(duì)稱(chēng),如圖所示.
(2)誘導(dǎo)公式③:
sin(π-α)=　　　　;
cos(π-α)=　　　　;
tan(π-α)=　　　　.
2.(1)角α與π+α的終邊關(guān)于　　　　對(duì)稱(chēng),如圖所示.
(2)誘導(dǎo)公式④:
sin(π+α)=　　　　;
cos(π+α)=　　　　;
tan(π+α)=　　　　.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)只有當(dāng)角α是銳角時(shí),才滿足角α與π-α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng). (　 )
(2)誘導(dǎo)公式③可以把區(qū)間內(nèi)的角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為區(qū)間內(nèi)的角的同名三角函數(shù)值問(wèn)題. (　 )
(3)由誘導(dǎo)公式③可得sin[π-(α+β)]=sin(α+β),cos[π-(α+β)]=cos(α+β). (　 )
(4)tan=-. (　 )
(5)sin(α+kπ)=-sin α,k∈Z,cos(α+kπ)=-cos α,k∈Z,tan(α+kπ)=tan α,k∈Z. (　 )
2.誘導(dǎo)公式中的角α只能是銳角嗎
◆ 探究點(diǎn)一　利用誘導(dǎo)公式解決給角求值問(wèn)題
例1 (1)[2024·山東菏澤高一期末] sin= (　 )
A.- B.-
C. D.
(2)[2024·山西運(yùn)城高一期末] cos(-1380°)= (　 )
A. B.- C. D.-
變式 (1)[2024·山東聊城高一期末] 已知a=log30.5,b=log0.50.3,c=sin,則 (　 )
A.c>b>a B.c>a>b
C.b>a>c D.b>c>a
(2)sin 810°+tan 765°-cos 360°.
[素養(yǎng)小結(jié)]
利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值的一般步驟
(1)“負(fù)化正”:用公式②或③來(lái)轉(zhuǎn)化.
(2)“大化小”:用公式①將角化為[0°,360°)內(nèi)的角.
(3)“小化銳”:用公式③或④將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角.
(4)“銳求值”:得到銳角的三角函數(shù)后求值.
◆ 探究點(diǎn)二　利用誘導(dǎo)公式解決給值(式)求值問(wèn)題
例2 (1)[2024·北京東城區(qū)高一期末] 若sin α=,α∈,則cos(π-α)的值為 (　 )
A.- B.- C. D.
(2)[2024·湖南株洲炎陵一中高一月考] 已知sin=,且0變式 (1)[2024·四川仁壽一中高一期中] 已知α為銳角,且cos=,則sin=　　　　.
(2)[2024·上海位育中學(xué)高一月考] 已知tan 100°=k,則sin 80°可用k表示為　　　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
解決條件求值問(wèn)題的一般步驟
(1)首先要仔細(xì)觀察條件與所求式的角、函數(shù)名稱(chēng)及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.
(2)其次可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化,或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化,從而求出值.
◆ 探究點(diǎn)三　三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)和求值
[探索] 若α是銳角,則2π-α是第　　　　象限角,π+α是第　　　　象限角,π-α是第　　　　象限角,-α是第　　　　象限角.
例3 (1)[2024·湖北黃岡大光華高級(jí)中學(xué)高一月考] = (　 )
A.1 B.0
C.-1 D.2
(2)已知點(diǎn)P(2,5)在角α的終邊上,則=　　　　.
變式 (1)(多選題)[2024·山東濟(jì)寧一中高一月考] 已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3a,-4a)(a≠0),則2cos(-α)+sin(π+α)的值可以為 (　 )
A.- B.-2
C. D.2
(2)[2023·南寧一中高一月考] 化簡(jiǎn).
[素養(yǎng)小結(jié)]
化簡(jiǎn)求值問(wèn)題中,一般先化簡(jiǎn)角,再根據(jù)式子結(jié)構(gòu)進(jìn)行化簡(jiǎn).化簡(jiǎn)結(jié)果中,特殊角的三角函數(shù)要寫(xiě)出函數(shù)值,分式形式約分要徹底,盡量不含分母、根式等.
拓展 證明:=(-1)ncos α,n∈Z.
1.[2024·四川綿陽(yáng)南山中學(xué)高一月考] tan= (　 )
A. B.1
C. D.-
2.sin2(2π-α)+cos(π+α)·cos(π-α)+1= (　 )
A.1 B.2
C.0 D.2sin2α
3.[2024·山西呂梁高一期末] 已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊與單位圓交于點(diǎn)P,則cos(π+α)= (　 )
A.- B.
C. D.-
4.[2024·遼寧阜新一中高一期末] 已知tan(5π+α)=2,則=　　　　.
5.若cos(2π-α)=,且<α<2π,則tan(π+α)+sin(π+α)=　　　　. 7.2.4　誘導(dǎo)公式
第1課時(shí)　誘導(dǎo)公式(一)
1.A　[解析] 由誘導(dǎo)公式可得cos=cos=cos=cos=-cos=-.故選A.
2.D　[解析] 由誘導(dǎo)公式得sin(π+α)=-sin α=,所以sin α=-.故選D.
3.C　[解析] 由題意得=tan(nπ+α)=tan α.故選C.
4.B　[解析] 因?yàn)閍=tan=tan=tan=,b=sin=sin=sin=,c=cos=cos=cos=cos=,所以a>b>c.故選B.
5.A　[解析] 因?yàn)閟in 157°>0,cos 23°>0,所以點(diǎn)A在第一象限,由tan α===tan 23°,且0°<α<360°,得α=23°.故選A.
6.A　[解析] sin(π-α)=sin α=,故A正確;cos(π+α)=-cos α=,則cos α=-,故B錯(cuò)誤;tan(π+α)=tan α=-2,故C錯(cuò)誤;cos(π-α)=-cos α=,則cos α=-,故D錯(cuò)誤.故選A.
7.A　[解析] cos=cos=-cos=.故選A.
[點(diǎn)撥] 此類(lèi)題型為給值求值問(wèn)題,關(guān)鍵是看所求角與已知角間的和或差是否為特殊角,如本題+=π,所以+x=π-.
8.CD　[解析] ∵角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),∴α+β=π+2kπ(k∈Z).對(duì)于A,sin(α+π)=-sin α,sin β=sin(2kπ+π-α)=sin α(k∈Z),則sin(α+π)=sin β不恒成立,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,sin(α-π)=-sin α,sin β=sin(2kπ+π-α)=sin α(k∈Z),則sin(α-π)=sin β不恒成立,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,sin(2π-α)=-sin α,-sin β=-sin(2kπ+π-α)=-sin α(k∈Z),則sin(2π-α)=-sin β恒成立,故C正確;對(duì)于D,sin(2π+α)=sin α,sin β=sin(2kπ+π-α)=sin α(k∈Z),則sin(2π+α)=sin β恒成立,故D正確.故選CD.
9.AC　[解析] 當(dāng)n=2k,k∈Z時(shí),sin nπ+cos(n+1)π=sin 2kπ+cos(2k+1)π=0-1=-1;當(dāng)n=2k+1,k∈Z時(shí),sin nπ+cos(n+1)π=sin(2k+1)π+cos(2k+1+1)π=0+1=1.故選AC.
10.-　[解析] 由cos(π-α)=,得-cos α=,則cos α=-,又α∈(0,π),所以sin α==,所以tan α==-.
11.　[解析] 因?yàn)榻铅碌慕K邊上有一點(diǎn)P(-3,4),所以sin β==,又α+β=π,所以sin α=sin(π-β)=sin β=.
12.1　[解析] ∵f(2023)=asin(2023π+α)+bcos(2023π+β)=-1,∴f(2024)=asin(2024π+α)+bcos(2024π+β)=asin[π+(2023π+α)]+bcos[π+(2023π+β)]=-[asin(2023π+α)+bcos(2023π+β)]=1.
13.解:(1)原式=-sin+cos·tan 0-cos=sin+0-cos=+0-=0.
(2)證明:左邊= ===
=右邊,所以原等式成立.
[總結(jié)] 利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值的關(guān)鍵:一是 “負(fù)化正”,用公式①或②來(lái)轉(zhuǎn)化;二是 “大化小”,用公式①將角化為[0,2π)內(nèi)的角;三是“角化銳”,用公式③或④將大于的角轉(zhuǎn)化為銳角;四是“銳求值”,得到銳角的三角函數(shù)后求值.
14.證明:∵sin(α+β)=1,∴α+β=2kπ+(k∈Z),
∴α=2kπ+-β (k∈Z),∴tan(2α+β)+tan β=tan+tan β=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β=tan(4kπ+π-β)+tan β=tan(π-β)+tan β=-tan β+tan β=0(k∈Z),故原等式成立.
15.C　[解析] 由題得β=180°-α+k·360°,k∈Z,所以cos β=cos(180°-α+k·360°)=-cos α=-.故選C.
16.解:由sin(3π-α)=sin(π-β),可得sin α=sin β,所以sin2α=2sin2β,所以cos2α=1-2sin2β,
由cos(-α)=-cos(π+β),可得cos α=cos β,所以3cos2α=2cos2β,
所以3×(1-2sin2β)=2×(1-sin2β),所以sin2β=,
又α,β∈,所以sin β=,sin α=sin β=,所以α=,β=.7.2.4　誘導(dǎo)公式
第1課時(shí)　誘導(dǎo)公式(一)
一、選擇題
1.[2024·石家莊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期末] cos= (　 )
A.- B.
C.- D.
2.[2024·浙江嘉興高一期末] 已知sin(π+α)=,則sin α= (　 )
A. B.
C.- D.-
3.若n為整數(shù),則化簡(jiǎn)所得的結(jié)果是 (　 )
A.tan nα B.-tan nα
C.tan α D.-tan α
4.[2024·河南駐馬店高一期中] 已知a=tan,b=sin,c=cos,則 (　 )
A.a>c>b B.a>b>c
C.b>c>a D.c>a>b
5.[2023·江西贛撫吉十一校高一期中] 已知點(diǎn)A(cos 23°,sin 157°)是角α終邊上的一點(diǎn),若0°<α<360°,則α= (　 )
A.23° B.157°
C.293° D.337°
6.下列說(shuō)法中正確的是 (　 )
A.若sin(π-α)=,則sin α=
B.若cos(π+α)=,則cos α=
C.若tan(π+α)=-2,則tan α=2
D.若cos(π-α)=,則cos α=
★7.[2023·浙江寧波高一期中] 已知cos=-,則cos= (　 )
A. B.
C.- D.-
8.(多選題)在平面直角坐標(biāo)系中,若角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則下列等式恒成立的是 (　 )
A.sin(α+π)=sin β
B.sin(α-π)=sin β
C.sin(2π-α)=-sin β
D.sin(2π+α)=sin β
9.(多選題)[2024·安徽宣城高一期末] 若n∈Z,則sin nπ+cos(n+1)π的可能取值是 (　 )
A.-1 B.0
C.1 D.2
二、填空題
10.[2024·上海川沙中學(xué)高一月考] 若α∈(0,π),cos(π-α)=,則tan α=　　　　.
11.[2023·南昌高一期中] 已知角β的終邊上有一點(diǎn)P(-3,4),且α+β=π,則sin α=　　　　.
12.若函數(shù)f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零實(shí)數(shù),且滿足f(2023)=-1,則f(2024)的值為　　　　.
三、解答題
★13.(1)[2024·杭州四中高一期中] 計(jì)算:sin+cos·tan 2024π-cos.
(2)已知tan=m,求證:=.
14.已知sin(α+β)=1,求證:tan(2α+β)+tan β=0.
15.[2024·北京育才學(xué)校高一月考] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β的頂點(diǎn)均與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊均落在x軸的正半軸上,它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若cos α=,則cos β=(　 )
A. B.-
C.- D.
16.[2023·上海進(jìn)才中學(xué)高一月考] 已知sin(3π-α)=sin(π-β),cos(-α)=-cos(π+β),且α,β∈,求α,β.

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