資源簡介

(共45張PPT)
7.2 任意角的三角函數
7.2.4 誘導公式
第2課時 誘導公式（二）
探究點一 利用誘導公式解決給角求值問題
探究點二 利用誘導公式解決給值（式）求值問題
探究點三 利用誘導公式化簡、證明
探究點四 誘導公式的綜合應用
【學習目標】
1.理解誘導公式⑤⑥⑦⑧的推導過程；
2.能應用角的旋轉對稱思想推導誘導公式；
3.能運用有關誘導公式解決一些三角函數的求值、化簡和證明問題.
知識點一 角與 的三角函數值之間的關系
1.如圖所示，角 的終邊與單位圓的交點 的坐標
為_____________, 的終邊與單位圓的交點
的坐標為______________________，且兩角終邊關
于__________對稱.
直線
2.誘導公式⑤：
______； ______.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）只有當角 為銳角時，才滿足角 的終邊與角 的終邊關
于直線 對稱.( )
×
[解析] 角 為任意角時，其終邊與角 的終邊都關于直線
對稱.
（2）若,則 .( )
√
（3）若角 的終邊經過點，則的值為 .( )
√
知識點二 角與， 的三角函數值之間的關系
1.誘導公式⑥：
______；
_______.
2.誘導公式⑦：
______；
_______.
3.誘導公式⑧：
_______;
_______.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）誘導公式⑥⑦⑧中的 對于任意角都是成立的.( )
√
（2）若 為第三象限角，則 ( )
×
[解析] 誘導公式中角 是任意角，所以即使 為第三象限角，
也可由誘導公式⑦得到 .
（3）由誘導公式⑥，能夠推導出 .( )
√
[解析] 當,時， .
探究點一 利用誘導公式解決給角求值問題
例1 求下列各三角函數值．
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
變式 ( )
A. B. C. D.
[解析] 原式 .故選C.
√
［素養小結］
注意觀察角，將角化成， ， 等形式，再
用誘導公式求解.注意函數前后的符號變化.
探究點二 利用誘導公式解決給值（式）求值問題
［探索］ 觀察下列各組角，在橫線上填寫“互補”“互余”中的一個
與 ， 與 ， 與 等滿足______關
系； 與 ， 與 等滿足______關系.
互余
互補
例2（1） [2024·江西新余高一期中]已知，則
( )
A. B. C. D.
[解析] .故選B.
√
（2）[2024·云南大理高一期末]已知 ，則
( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ,得
.故選B.
√
變式（1） [2024·山西朔州一中高一月考]已知 ，且
，則 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，，
又 ， ，
，
．故選D.
（2）已知，求 的值.
解：原式
因為，所以 ，
所以原式 .
［素養小結］
當已知式和待求式中的未知角的符號相同（反）時，要考慮括號內
的角的差（和）是否為特殊角，從而實現由未知角的三角函數向已
知角的三角函數的轉化.
探究點三 利用誘導公式化簡、證明
例3（1） [2024·上海閔行三中高一月考] 化簡：
_______.
[解析]
.
（2）求證： .
證明: 左邊
右邊，
原等式成立.
變式（1） 化簡： .
解：原式
.
（2）求證： .
證明: 左邊
右邊， 原等式成立.
［素養小結］
三角恒等式的證明常用的方法:定義法,化弦法,拆項拆角法,公式變形
法,“1”的代換法.
探究點四 誘導公式的綜合應用
例4（1） 如圖，已知,則 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 設終邊過點的角為 ，終邊過
點的角為，則 ，
由圖可知，，則 .故選B.
（2）已知，則 __.
[解析] 因為 ，
所以 ，
，
所以 .
變式（1） [2024·四川攀枝花高一期末] 已知角 的終邊經過點
，則 ____．
[解析] 角 的終邊經過點， ，
.
（2）已知，且，則
的值為_ ___.
[解析] 令，，則, ,
， ,
.
［素養小結］
（1）對于三角函數式的化簡求值問題，一般遵循誘導公式先行的原
則，即先用誘導公式化簡變形，達到角的統一，再進行三角函數名
稱轉化，以保證三角函數名稱最少.
（2）對于誘導公式,要切記“奇變偶不變，符號看象限”的使用原則.
1.[2023·廣東佛山樂從中學高一月考] ( )
A. B. C. D.
[解析] .故選B.
√
2.[2024·廣東江門高一期末]已知角 的終邊上有一點 ，則
( )
A. B. C. D.
[解析] 因為角 的終邊上有一點，所以 ，
所以 .故選A.
√
3.（多選題）[2024·陜西渭南高一期末] 下列化簡正確的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，故A錯誤；
，故B正確；
，故C正確；
，故D錯誤.故選 .
√
√
4.
___.
1
[解析] 因為 ，
所以，所以
.
5.化簡： .
解：原式 .
誘導公式①～⑧中的角可歸納為 的形式，可概括為
“奇變偶不變，符號看象限”.
（1）“變”與“不變”是針對互余關系的函數而言的.
（2）“奇”“偶”是對誘導公式 中的整數 來講的.
（3）“象限”指中，將 看成銳角時，
的終邊所在的象限，根據“一全正，二正弦，三正切，
四余弦”的符號規律確定原三角函數值的符號.
1.誘導公式⑤推導
（1）公式內容：
, .
（2）公式推導：
方法一：（學了誘導公式⑥后）利用誘導公式②和誘導公式⑥可得
,
.
方法二：如圖所示，設角 與 的終邊分別與單
位圓交于點與，由圖可得角 與 的終邊關
于直線對稱，若設的坐標為，則 的坐
標為 .
由三角函數的定義得,, , ,
所以 , .
2.誘導公式⑥推導
（1）公式內容：
, .
（2）公式推導：
如圖所示，設角 的終邊與單位圓交于點，則點 的坐
標為 .
設點關于直線的對稱點為，則點 也在單位圓上，
且點坐標為 .
設點關于軸的對稱點為，則點也在單位圓上，且 點坐標為
.
另一方面，點經過以上兩次軸對稱變換到達點，等同于點 沿單
位圓按逆時針方向旋轉到點，設與直線交于點，與
軸交于點，則，因此點
是角的終邊與單位圓的交點，則點 的坐標為
，所以 ,
.
3.解決條件求值問題的策略
解答此類問題要學會發現它們的互余、互補關系，如 與
, 與 , 與 等均互余, 與 ,
與 等均互補.遇到此類問題,不妨考慮兩個角的和,要善于
利用角的變換來解決問題.
例 （1）[2024·浙江寧波高一期中]已知 ，則
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因為 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .故選B.
[解析] 因為 ，
，
所以 .
（2）[2024·河北張家口張北成龍高級中學高一月考] 已知
，則 ___．
4.誘導公式的綜合應用
綜合應用誘導公式時要做到“三看”
一看角:①化大為小;②看角與角間的聯系,可通過相加、相減分析兩
角的關系.
二看函數名稱:一般是弦切互化.
三看式子結構:通過分析式子,選擇合適的方法,如分式可對分子、分
母同乘一個式子變形.第2課時　誘導公式(二)
【課前預習】
知識點一
1.(cos α,sin α)　　直線y=x
2.cos α　sin α
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)角α為任意角時,其終邊與角-α的終邊都關于直線y=x對稱.
知識點二
1.cos α　-sin α　2.sin α　-cos α　3.-sin α　-cos α
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (2)誘導公式中角α是任意角,所以即使α為第三象限角,也可由誘導公式⑦得到cos=sin α.
(3)當α≠,k∈Z時,tan===-.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)sin(-1920°)=-sin 1920°=-sin(360°×5+120°)=-sin(90°+30°)=-cos 30°=-.
(2)cos(-1560°)=cos 1560°=cos(360°×4+120°)=cos 120°=cos(90°+30°)=-sin 30°=-.
變式　C　[解析] 原式=sin(180°+60°)cos(180°+30°)+tan(90°+71°)tan 71°=(-sin 60°)×(-cos 30°)+×tan 71°=×-×tan 71°=-.故選C.
探究點二
探索 互余　互補
例2　(1)B　(2)B　[解析] (1)cos=cos=-sin α=-.故選B.
(2)由tan α=-3,得====-3-1.故選B.
變式　(1)D　[解析] ∵α∈,∴α+∈,又cos=,∴sin=,∴cos=cos=sin=,∴coscos-cossin=sincos-cossin =×-×=.故選D.
(2)解:原式=+=-sin α-sin α=-2sin α.因為cos=,所以-sin α=,
所以原式=-2sin α=.
探究點三
例3　(1)-　[解析] ===-.
(2)證明:∵左邊=+=
+====右邊,∴原等式成立.
變式　解:(1)原式==-=-tan α.
(2)證明:∵左邊=-=+====右邊,∴原等式成立.
探究點四
例4　(1)B　(2)　[解析] (1)設終邊過點Q的角為α,終邊過點P的角為β,則θ=α-β,由圖可知α=,sin β=,則cos=cos=cos=sin β=.故選B.
(2)因為cos=,所以sin=sin=cos=,cos=cos=-cos=-,所以sin-cos=-=.
變式　(1)-5　(2)　[解析] (1)∵角α的終邊經過點P(-3,4),∴tan α=-,∴==3tan α-1=-×3-1=-5.
(2)令t=-x,t∈,則+x=-t,+x=π-t,∵sin=sin t=,∴cos t=,∴sin-cos=sin-cos(π-t)=2cos t=.
【課堂評價】
1.B　[解析] cos 510°=cos(360°+150°)=cos 150°=cos(90°+60°)=-sin 60°=-.故選B.
2.A　[解析] 因為角α的終邊上有一點P,所以sin α=,所以cos=-sin α=-.故選A.
3.BC　[解析] sin(2024π-α)=sin(-α)=-sin α,故A錯誤;tan(α-2024π)=tan α,故B正確;sin=sin=-cos α,故C正確;cos=cos=sin α,故D錯誤.故選BC.
4.1　[解析] 因為tan α===,所以tan α×tan(90°-α)=1,所以tan 1°×tan 2°×…×tan 45°×tan 46°×…×tan 88°×tan 89°=(tan 1°×tan 89°)×…×(tan 44°×tan 46°)×tan 45°=1×1×…×1=1.
5.解:原式===1.第2課時　誘導公式(二)
【學習目標】
　　1.理解誘導公式⑤⑥⑦⑧的推導過程;
　　2.能應用角的旋轉對稱思想推導誘導公式;
　　3.能運用有關誘導公式解決一些三角函數的求值、化簡和證明問題.
◆ 知識點一　角α與-α的三角函數值之間的關系
1.如圖所示,角α的終邊與單位圓的交點P的坐標為　　　　　　,-α的終邊與單位圓的交點P'的坐標為　　　　　　　　　,且兩角終邊關于　　　　對稱.
2.誘導公式⑤:
sin=　　　　;cos=　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)只有當角α為銳角時,才滿足角α的終邊與角-α的終邊關于直線y=x對稱. (　 )
(2)若sin 25.7°=m,則cos 64.3°=m. (　 )
(3)若角α的終邊經過點P0(-3,-4),則cos的值為-. (　 )
◆ 知識點二　角α與+α,±α的三角函數值之間的關系
1.誘導公式⑥:
sin=　　　　;
cos=　　　　.
2.誘導公式⑦:
cos=　　　　;
sin=　　　　.
3.誘導公式⑧:
cos=　　　　;
sin=　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)誘導公式⑥⑦⑧中的α對于任意角都是成立的. (　 )
(2)若α為第三象限角,則cos=-sin α. (　 )
(3)由誘導公式⑥,能夠推導出tan=-. (　 )
◆ 探究點一　利用誘導公式解決給角求值問題
例1 求下列各三角函數值.
(1)sin(-1920°);
(2)cos(-1560°).
變式 sin 240°cos 210°+tan 161°tan 71°= (　 )
A.- B.
C.- D.
[素養小結]
注意觀察角,將角化成2kπ±α(k∈Z),π±α,±α等形式,再用誘導公式求解.注意函數前后的符號變化.
◆ 探究點二　利用誘導公式解決給值(式)求值問題
[探索] 觀察下列各組角,在橫線上填寫“互補”“互余”中的一個.-α與+α,+α與-α,-α與+α等滿足　　　　關系;+θ與-θ,+θ與-θ等滿足　　　　關系.
例2 (1)[2024·江西新余高一期中] 已知sin α=,則cos= (　 )
A. B.-
C. D.-
(2)[2024·云南大理高一期末] 已知tan α=-3,則= (　 )
A.-3- B.-1-3
C. D.
變式 (1)[2024·山西朔州一中高一月考] 已知cos=,且α∈,則coscos-cossin= (　 )
A. B.
C. D.
(2)已知cos=,求+的值.
[素養小結]
當已知式和待求式中的未知角的符號相同(反)時,要考慮括號內的角的差(和)是否為特殊角,從而實現由未知角的三角函數向已知角的三角函數的轉化.
◆ 探究點三　利用誘導公式化簡、證明
例3 (1)[2024·上海閔行三中高一月考] 化簡:=　　　　.
(2)求證:+=.
變式 (1)化簡:.
(2)求證:-=.
[素養小結]
三角恒等式的證明常用的方法:定義法,化弦法,拆項拆角法,公式變形法,“1”的代換法.
◆ 探究點四　誘導公式的綜合應用
例4 (1)如圖,已知θ=∠QOP,則cos= (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B. C.- D.
(2)已知cos=,則sin-cos=　　　　.
變式 (1)[2024·四川攀枝花高一期末] 已知角α的終邊經過點P(-3,4),則= 　　　　.
(2)已知sin=,且0[素養小結]
(1)對于三角函數式的化簡求值問題,一般遵循誘導公式先行的原則,即先用誘導公式化簡變形,達到角的統一,再進行三角函數名稱轉化,以保證三角函數名稱最少.
(2)對于誘導公式,要切記“奇變偶不變,符號看象限”的使用原則.
1.[2023·廣東佛山樂從中學高一月考] cos 510°= (　 )
A. B.-
C. D.-
2.[2024·廣東江門高一期末] 已知角α的終邊上有一點P,則cos= (　 )
A.- B.
C.- D.
3.(多選題)[2024·陜西渭南高一期末] 下列化簡正確的是 (　 )
A.sin(2024π-α)=sin α
B.tan(α-2024π)=tan α
C.sin=-cos α
D.cos=-sin α
4.tan 1°×tan 2°×…×tan 45°×tan 46°×…×tan 88°×tan 89°=　　　　.
5.化簡:.第2課時　誘導公式(二)
1.D　[解析] sin=-sin=-cos θ.對于A,sin=cos θ,故A錯誤;對于B,cos=-sin θ,故B錯誤;對于C,sin=cos θ,故C錯誤;對于D,cos(π-θ)=-cos θ,故D正確.故選D.
2.C　[解析] ∵x∈,∴x+∈,又sin=-,∴x+∈,∴cos=-=-,故A錯誤;tan==,故B錯誤;cos=cos=sin=-,故C正確;sin=sin=cos=-,故D錯誤.故選C.
3.A　[解析] cos=cos=-sin=-.故選A.
4.D　[解析] 因為sin=,-cos=-,所以角α的終邊經過點P,所以sin=cos α==.故選D.
5.B　[解析] 由題可得β=α+=+,所以cos β=cos=-sin=-.故選B.
6.D　[解析] 由sin(π+α)=-,得sin α=,若β=-α,則cos β=sin α=,sin β=cos α=±,tan β=±,故A,C錯誤;對于B,若cos(π-β)=,則cos β=-,故B錯誤;對于D,若cos(2π-β)=,則cos β=,故D正確.故選D.
7.B　[解析] ∵θ為第二象限角,∴2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,∴kπ+<8.BD　[解析] 因為cos·cos β=sin β·cos β>0,所以sin β與cos β同號,所以角β的終邊在第一象限或第三象限.故選BD.
9.ABC　[解析] 對于A,sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,故A正確;對于B,cos=cos=sin,故B正確;對于C,sin(2A+2B)+sin 2C=sin 2(A+B)+sin 2C=sin 2(π-C)+sin 2C=sin(2π-2C)+sin 2C=-sin 2C+sin 2C=0,故C正確;對于D,cos(2A+2B)+cos 2C=cos 2(A+B)+cos 2C=cos 2(π-C)+cos 2C=cos(2π-2C)+cos 2C=cos 2C+cos 2C=2cos 2C,故D錯誤.故選ABC.
[點撥] 在△ABC中,A+B+C=π,B+C=π-A,=-.
10.　[解析] cos=cos=sin=.
11.-　-　[解析] 由題意得sin=-sin=-sin=-.∵cos=sin=sin=,∴θ-是第四象限角,∴sin=-=-=-,∴tan=tan===-.
12.-cos α　[解析] ==-cos α.
13.解:(1)由題知tan α==2,則===-1.
(2)2sin2α+sin αcos α====2.
14.解:(1)因為sin(53°-α)=,所以sin(127°+α)=sin[180°-(53°-α)]=sin(53°-α)=.
(2)因為-270°<α<-90°,所以143°<53°-α<323°,又sin(53°-α)=>0,所以143°<53°-α<180°,
所以cos(53°-α)=-=-=-,所以sin(37°+α)=cos(53°-α)=-.
15.　-　[解析] 由題知,角α的終邊OP逆時針旋轉至OP'得到的角為α+.∵點P'在單位圓上,且點P'的坐標為,∴sin=-,cos=,∴sin=sin=cos=,sin=sin=sin=-.
16.解:原式=sin+cos(k∈Z).當k為奇數時,設k=2n+1(n∈Z),
則原式=sin+cos=sin+cos=sin+=sin-cos=sin-sin=0;
當k為偶數時,設k=2n(n∈Z),則原式=sin+cos=-sin+cos=-sin+cos=-sin+sin=0.綜上所述,原式=0.第2課時　誘導公式(二)
一、選擇題
1.與sin一定相等的是 (　 )
A.sin B.cos
C.sin D.cos(π-θ)
2.已知sin=-,x∈,則下列結論正確的是 (　 )
A.cos= B.tan=2
C.cos=- D.sin=
3.[2024·河南駐馬店高一期末] 已知sin=,則cos= (　 )
A.- B.
C. D.-
4.[2024·河南開封高一期末] 在平面直角坐標系中,若角α的終邊經過點P,則sin= (　 )
A.- B.
C.- D.
5.在平面直角坐標系中,角α的頂點與原點重合,始邊落在x軸的正半軸上,將角α的終邊逆時針旋轉得到角β,若sin=,則cos β= (　 )
A. B.-
C.- D.
6.已知角θ與φ都是任意角,若滿足θ+φ=,則稱θ與φ “廣義互余”.已知sin(π+α)=-,則下列角β中可能與角α“廣義互余”的是 (　 )
A.sin β= B.cos(π-β)=
C.tan β= D.cos(2π-β)=
7.當θ為第二象限角,且sin=時,的值是 (　 )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
8.(多選題)[2024·河南商丘高一期末] 已知cos·cos β>0,則角β的終邊可能在 (　 )
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
★9.(多選題)[2023·廣州五中高一月考] 在△ABC中,A,B,C為其內角,則下列關系式恒成立的有 (　 )
A.sin(A+B)=sin C
B.cos=sin
C.sin(2A+2B)+sin 2C=0
D.cos(2A+2B)+cos 2C=0
二、填空題
10.[2023·河南豫東高一期中] 若sin=,則cos=　　　　.
11.已知θ是第四象限角,sin=,則sin=　　　　,tan=　　　　.
12.=　　　　.
三、解答題
13.[2024·陜西渭南一中高一月考] 已知角α的終邊經過點(1,2).
(1)求的值;
(2)求2sin2α+sin αcos α的值.
14.已知sin(53°-α)=,且-270°<α<-90°.
(1)求sin(127°+α)的值;
(2)求sin(37°+α)的值.
15.[2024·黑龍江大慶鐵人中學高一期末] 如圖所示,角α的終邊OP與單位圓交于點P,將角α的終邊OP逆時針旋轉至OP'的位置,若P',則sin=　　　　,sin=　　　　　.
16.化簡:sin+cos(k∈Z).

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