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(共48張PPT)
7.3 三角函數的性質與圖象
7.3.1 正弦函數的性質與圖象
第1課時 正弦函數的性質
探究點一 正弦函數的定義域與值域
探究點二 正弦函數的奇偶性與周期性的
綜合應用
探究點三 正弦函數的單調性及其應用
探究點四 正弦函數的零點
【學習目標】
1.依據正弦線理解正弦函數的性質；
2.會求正弦函數的最小正周期、奇偶性、單調性和零點.
知識點一 正弦函數、周期函數的定義
1.正弦函數：對于任意一個角,都有唯一確定的正弦 與之對應，
因此 是一個函數，一般稱為__________.
正弦函數
2.（1）周期函數：一般地,對于函數,如果存在一個______常數 ,
使得對定義域內的________ ,都滿足________________,那么就稱函
數為周期函數.非零常數 稱為這個函數的______.
非零
每一個
周期
（2）最小正周期：對于一個周期函數 ，如果在它的所有周期中存
在一個最小的正數,那么這個最小的正數就稱為 的_____________.
最小正周期
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）所有的周期函數都有最小正周期.( )
×
[解析] 不是所有的周期函數都有最小正周期，如
為常數)， 是周期函數，但是不存在最小正周期.
（2）一個周期函數的周期有很多，若有最小正周期，則最小正周期
只有一個.( )
√
（3）設周期為的函數的定義域為，若 ，則必有
且 ，因此周期函數的定義域一定是無限集.( )
√
（4）如果存在一個常數,使得對定義域內的每一個 ,都滿足
,那么就稱函數為周期函數， 為這個函數的周
期.( )
×
[解析] 應為非零常數.
（5）若存在一個非零常數，使得對定義域內的每一個 ，都滿足
，則是 的周期.( )
√
[解析] ，所以是 的周期.
2.（1）滿足條件為常數且的函數
是周期函數嗎？如果是，給出一個周期;如果不是，說明理由.
解：函數 是周期函數.
，
，
,
函數是周期函數，且 就是它的一個周期.
（2）滿足條件為常數且， 的函
數 是周期函數嗎？如果是，給出一個周期；如果不是，說
明理由.
解：函數 是周期函數.
，
，
,
函數是周期函數，且 就是它的一個周期.
知識點二 正弦函數 的性質
函數 性質
定義域
值域 _______
最值 當且僅當 ，時，函數
的最大值 ___；
當且僅當 ，時，函數
的最小值 ____
1
函數 性質
奇偶性 ____函數，其圖象關于______中心對稱
周期性 最小正周期為____
單調性 在____________________ 上單調遞增；在
___________________ 上單調遞減
零點
奇
原點
續表
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）若函數 的定義域不是全體實數，則它的值域就不可能
是 .( )
×
[解析] 當的定義域為 時，由正弦線可得函數的值域
為 ，故此說法錯誤.
（2）函數的值域為 .( )
√
（3）若,則的取值范圍為 .( )
√
（4）函數 不是奇函數.( )
×
[解析] 由誘導公式得 ，
因為，
所以函數 為奇函數,故此說法錯誤.
（5）正弦函數在定義域上是單調函數.( )
×
[解析] 正弦函數的定義域為，正弦函數在 上既有單調遞
增區間又有單調遞減區間，故此說法錯誤.
（6）正弦函數在 上是增函數.( )
×
[解析] 例如取,,則,但 ，不滿足
增函數的定義，故此說法錯誤.
探究點一 正弦函數的定義域與值域
例1（1） [2023·北理工附中高一月考]函數 的值域
是( )
A. B. C. D.
[解析] 正弦函數的值域為.
當 時，，
當 時，，
則函數 的值域為 ．故選D．
√
（2）函數 的定義域為( )
A. B.
C. D.
[解析] 要使有意義，需滿足解得且 ，
所以函數的定義域為 .故選B.
√
變式（1） [2024·四川眉山一中高一月考] 函數 的
最大值為___．
1
[解析] 因為的最大值為1,所以 的最大值為
.
（2）已知，當時， 的取值構成的集合為
_____________________.
[解析] 若,則或，則 的取值構成的集合
為 .
［素養小結］
當且僅當 ，時，函數 取得最大值，即
;當且僅當 ，時，函數 取得最
小值，即 .
探究點二 正弦函數的奇偶性與周期性的綜合應用
［探索］ 若函數 是周期為2的周期函數,也是奇函數,
則 的值是多少
解：由題意得 .
例2（1） [2023·湖南株洲高一期中]下列函數是偶函數的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 對于A，的定義域為 ，且
，則 為奇函數，故A錯誤；
對于B，的定義域為 ，且
，則 為奇函數，故B錯誤；
對于C，的定義域為 ，且
，則 為偶函數，故C正確；
對于D，的定義域為 ，且
，則 不是偶函數，故D錯誤.故選C.
（2）[2024·河南信陽高級中學高一期中] 定義在上的函數 滿足
，且，則 _ ______．
[解析] 因為 ，所
，
即，所以函數是以 為周期的周期函數，
所以.在 中，
令，可得，因為 ，
所以，所以 .
變式 已知在上是奇函數，且滿足 ，當
時，，求 的值.
解：， 是以4 為周期的函數，
.
又在上是奇函數， ，
當時， ，
， .
［素養小結］
解決此類問題的關鍵是綜合運用函數的周期性和奇偶性，把自變量
的值轉化到可求值的區間內.
探究點三 正弦函數的單調性及其應用
［探索］ 由正弦線可以看出，正弦函數在 上是如
何變化的？
解：正弦函數在上單調遞增，在 上單調遞減.
例3（1） 不求值，比較下列各組函數值的大小.
與；與 .
解：①因為，且正弦函數 在區間
上單調遞增，
所以 .
②因為，，且在
上單調遞減，
所以，即 .
（2）求函數 的單調遞增區間.
解：函數的單調遞增區間就是函數 的單調
遞減區間.
因為的單調遞減區間為 ，
所以函數的單調遞增區間為 .
變式（1） 下列關系式中正確的是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] ， ，且 在
上單調遞增， ，
即 .故選C.
√
（2）[2024·西安長安區一中高一期末]使得函數 為減函數且
函數值為負數的區間可以為( )
A. B. C. D.
[解析] 由的性質可知，當時，函數 為減
函數且函數值為負數.故選C.
√
［素養小結］
利用正弦函數的單調性比較大小的步驟
①異名函數化為同名函數;
②利用誘導公式把角化到同一單調區間上;
③利用函數的單調性比較大小.
探究點四 正弦函數的零點
例4 求函數 的最大值和最小值，并求出當
函數取得最大值和最小值時 的值.
解：由題可得 .
因為，所以當，即 或
時，函數取得最大值；
當 ，即時，函數取得最小值 .
變式 已知函數的最大值是1，最小值是 ，求函
數 的零點.
解：由題意得 .
當時，可得所以 此時函數，
則其零點為 或 .
當時，可得所以 此時函數，
則其零點為 或 .
［素養小結］
（1）正弦函數的零點為 ；
（2）在求解與正弦函數有關的零點問題時，要注意正弦函數的周期
性，在其定義域上可能不只一個零點.
1.下列是定義在 上的四個函數的圖象,其中不是周期函數的圖象的是
( )
A. B.
C. D.
[解析] 結合周期函數的定義可知A,B,C均為周期函數的圖象,D不是周
期函數的圖象.故選D.
√
2.[2024·四川綿陽高一期末]下列函數在區間 上單調遞增的是
( )
A. B.
C. D.
[解析] 在區間上單調遞減； 在區間
上單調遞減；
因為在區間 上單調遞增，所以在區間
上單調遞減；在區間 上單調遞增.故選D.
√
3.若且函數,為奇函數,則 ___.
0
[解析] 因為, 為奇函數,
所以,所以 .
4.___.（填“ ”或“ ”）
[解析] ，
，在上單調遞減，
，
， .
5.已知函數是定義在上的奇函數，且 ，
，求 的值.
解： ，
是周期函數，3就是它的一個周期.
又 ，
.
1.對函數周期性的理解
若函數是周期函數, 是一個周期,則①定義域中含有無限個
實數;②對定義域內任意,均有,其中且 ;
的圖象每隔一個周期 重復出現一次.
2.正弦函數的周期性
（1）正弦函數所具有的周期性實質上是由終邊相同的角具有的周期
性所決定的;
（2）由誘導公式 也可以說明它們的周
期性.
3.抽象函數周期性常用結論
（1）若函數滿足 ,則函數
是周期函數， 為它的一個周期.
（2）若函數滿足 ,則函數
是周期函數，為它的一個周期，若,則 的一個
周期為 .
（3）若函數的圖象有兩條對稱軸, ,則
函數是周期函數, 為它的一個周期.
（4）若函數的圖象存在對稱中心, ,
則函數為周期函數,且 為它的一個周期.
（5）若函數的圖象存在對稱軸,和與 相鄰的對稱中
心,則函數為周期函數，且 為它的一個周期.
（6）若或,則為函數 的一個
周期.
4.判斷正弦函數的奇偶性可以直接應用奇偶性的定義，此法簡單，易
于理解，也可以應用正弦線判斷，即角與 的旋轉方向相反，終
邊關于 軸對稱，故二者正弦線的長度相等、方向相反，所以三角函
數值互為相反數.
1.函數周期性的應用與理解
（1）當用周期函數的定義討論非三角函數的周期性問題時,只需找到
一個非零實數,對定義域內任意總有 成立即可.
（2）解答利用周期性求值問題的關鍵是利用化歸轉化的思想,借助周
期性的定義把待求問題轉化到已知區間上求解.
（3）并不是每一個函數都是周期函數.若函數具有周期性,周期也不
一定唯一.一般地,若是函數的一個周期,則 也是
它的周期.
2.函數奇偶性的判斷
判斷函數的奇偶性應堅持“定義域優先”原則，即先求其定義域，看
它是否關于原點對稱.一些函數的定義域比較容易觀察，此時直接判
斷與 的關系即可；一些復雜的函數要防止沒有討論定義域
是否關于原點對稱而出錯.解決此類問題常分三步走:先求定義域,再
將 代入,最后得出結論.
例1 判斷下列函數的奇偶性.
（1） ；
解：的定義域為 ，
，
是偶函數.
（2） .
解：由題意得，其定義域為 .
，
是奇函數.
3.求與正弦函數 有關的最值（值域）問題
（1）求形如的函數的最值問題時要注意對 進行討論.
（2）求可化為 的函數的最大值、最
小值時,可利用換元法結合二次函數在區間 上的最大值、最小
值求解.
例2 [2024·河南駐馬店高一期中] 回答下列問題：
（1）求函數取得最大值、最小值時自變量 的集合，
并寫出函數的最大值、最小值；
解：當，即,時， 取得最大值5，
相應的自變量的集合為 ；
當，即,時， 取得最小值1，
相應的自變量的集合為 .
（2）求函數， 的值域.
解：令, .
,， ，
, ，
，
函數的值域為 .7.3　三角函數的性質與圖象
7.3.1　正弦函數的性質與圖象
第1課時　正弦函數的性質
【課前預習】
知識點一
1.正弦函數
2.(1)非零　每一個　f(x+T)=f(x)　周期
(2)最小正周期
診斷分析
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　[解析] (1)不是所有的周期函數都有最小正周期,如f(x)=C(C為常數),x∈R是周期函數,但是不存在最小正周期.
(4)T應為非零常數.
(5)f(2x+T)=f=f(2x),所以是f(2x)的周期.
2.解:(1)函數y=f(x)是周期函數.
∵f(x+a)=-f(x),∴f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=-[-f(x)]=f(x),∴f(x+2a)=f(x),
∴函數y=f(x)是周期函數,且2a就是它的一個周期.
(2)函數y=f(x)是周期函數.
∵f(x+a)=-,∴f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-=-=f(x),∴f(x+2a)=f(x),
∴函數y=f(x)是周期函數,且2a就是它的一個周期.
知識點二
[-1,1]　1　-1　奇　原點　2π　
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)×
[解析] (1)當y=sin x的定義域為時,由正弦線可得函數的值域為[-1,1],故此說法錯誤.
(4)由誘導公式得f(x)=sin(x-3π)=-sin x,因為f(-x)=-sin(-x)=sin x=-f(x),所以函數f(x)為奇函數,故此說法錯誤.
(5)正弦函數的定義域為R,正弦函數在(-∞,+∞)上既有單調遞增區間又有單調遞減區間,故此說法錯誤.
(6)例如取x1=,x2=,則x1sin x2,不滿足增函數的定義,故此說法錯誤.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)D　(2)B　[解析] (1)正弦函數y=sin x的值域為[-1,1].當sin x∈[-1,0]時,y=sin x-|sin x|=2sin x∈[-2,0],當sin x∈(0,1]時,y=sin x-|sin x|=0,則函數y=sin x-|sin x|的值域為[-2,0].故選D.
(2)要使f(x)有意義,需滿足解得1變式　(1)1　(2)　[解析] (1)因為y=sin x的最大值為1,所以f(x)=3sin x-2的最大值為3×1-2=1.
(2)若f(x)=1,則sin x=1或sin x=-1,則x的取值構成的集合為.
探究點二
探索 解:由題意得f(2024)=f(0+1012×2)=f(0)=0.
例2　(1)C　(2)-　[解析] (1)對于A,f(x)=sin 3x的定義域為R,且f(-x)=sin(-3x)=-sin 3x=-f(x),則f(x)=sin 3x為奇函數,故A錯誤;對于B,g(x)=-sin 5x的定義域為R,且g(-x)=-sin(-5x)=sin 5x=-g(x),則g(x)=-sin 5x為奇函數,故B錯誤;對于C,h(x)=|sin x|的定義域為R,且h(-x)=|sin(-x)|=|sin x|=h(x),則h(x)=|sin x|為偶函數,故C正確;對于D,u(x)=sin x-3的定義域為R,且u(-x)=sin(-x)-3=-sin x-3≠u(x),則u(x)=sin x-3不是偶函數,故D錯誤.故選C.
(2)因為f(x+π)-f(x)=sin x,所以f(x+π+π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x+π)-sin x=f(x)+sin x-sin x=f(x),即f(x+2π)=f(x),所以函數f(x)是以2π為周期的周期函數,所以f=f=f.在f(x+π)-f(x)=sin x中,令x=,可得f-f=sin=,因為f=-,所以f=f-=-,所以f=f=-.
變式　解:∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4 為周期的函數,∴f(7)=f(2×4-1)=f(-1).
又∵f(x)在R上是奇函數,∴f(-x)=-f(x),∴f(-1)=-f(1).∵當x∈(0,2)時,f(x)=2sin2x,
∴f(1)=2sin21,∴f(7)=f(-1)=-f(1)=-2sin21.
探究點三
探索 解:正弦函數y=sin x在上單調遞增,在上單調遞減.
例3　解:(1)①因為-<-<-<0,且正弦函數y=sin x在區間上單調遞增,
所以sin>sin.
②因為cos=sin,<<+<,且y=sin x在上單調遞減,
所以sin>sin,即sin>cos.
(2)函數y=-2sin x-1的單調遞增區間就是函數y=sin x的單調遞減區間.
因為y=sin x的單調遞減區間為(k∈Z),所以函數y=-2sin x-1的單調遞增區間為(k∈Z).
變式　(1)C　(2)C　[解析] (1)∵cos 10°=sin 80°,sin 168°=sin 12°,且y=sin x在[0°,90°]上單調遞增,∴sin 80°>sin 12°>sin 11°,即cos 10°>sin 168°>sin 11°.故選C.
(2)由y=sin x的性質可知,當x∈時,函數y=sin x為減函數且函數值為負數.故選C.
探究點四
例4　解:由題可得y=-sin2x+sin x+=-+.因為-1≤sin x≤1,所以當sin x=,即x=+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z)時,函數取得最大值;當sin x=-1,即x=+2kπ(k∈Z)時,函數取得最小值--.
變式　解:由題意得a≠0.
當a>0時,可得所以
此時函數f(x)=2sin x-1,則其零點為x=+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z).
當a<0時,可得所以
此時函數f(x)=-2sin x-1,則其零點為x=+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z).
【課堂評價】
1.D　[解析] 結合周期函數的定義可知A,B,C均為周期函數的圖象,D不是周期函數的圖象.故選D.
2.D　[解析] y=sin x在區間上單調遞減;y=x2-4x+3在區間上單調遞減;因為y=log3x在區間上單調遞增,所以y=-log3x在區間上單調遞減;y=3x在區間上單調遞增.故選D.
3.0　[解析] 因為f(x)=sin x-|a|,x∈R為奇函數,所以f(0)=sin 0-|a|=0,所以a=0.
4.<　[解析] sin=sin=sin =-sin ,cos =cos=cos =cos=-sin .∵<<<,y=sin x在上單調遞減,∴sin >sin ,∴-sin <-sin ,∴sin5.解:∵f(x+3)=f(x),∴f(x)是周期函數,3就是它的一個周期.
又f(-x)=-f(x),∴f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.7.3　三角函數的性質與圖象
7.3.1　正弦函數的性質與圖象
第1課時　正弦函數的性質
【學習目標】
　　1.依據正弦線理解正弦函數的性質;
　　2.會求正弦函數的最小正周期、奇偶性、單調性和零點.
◆ 知識點一　正弦函數、周期函數的定義
1.正弦函數:對于任意一個角x,都有唯一確定的正弦sin x與之對應,因此y=sin x是一個函數,一般稱為　　　　　　　.
2.(1)周期函數:一般地,對于函數f(x),如果存在一個　　　　常數T,使得對定義域內的　　　　　x,都滿足　　　　　　,那么就稱函數f(x)為周期函數.非零常數T稱為這個函數的　　　　.
(2)最小正周期:對于一個周期函數f(x), 如果在它的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小的正數就稱為f(x)的　　　　　　　　.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)所有的周期函數都有最小正周期. (　 )
(2)一個周期函數的周期有很多,若有最小正周期,則最小正周期只有一個. (　 )
(3)設周期為T的函數的定義域為M,若x∈M,則必有x+nT∈M(n∈Z且n≠0),因此周期函數的定義域一定是無限集. (　 )
(4)如果存在一個常數T,使得對定義域內的每一個x,都滿足f(x+T)=f(x),那么就稱函數f(x)為周期函數,T為這個函數的周期. (　 )
(5)若存在一個非零常數T,使得對定義域內的每一個x,都滿足f(2x+T)=f(2x),則是f(2x)的周期. (　 )
2.(1)滿足條件f(x+a)=-f(x)(a為常數且a≠0)的函數y=f(x)是周期函數嗎 如果是,給出一個周期;如果不是,說明理由.
(2)滿足條件f(x+a)=-(a為常數且a≠0,f(x)≠0)的函數y=f(x)是周期函數嗎 如果是,給出一個周期;如果不是,說明理由.
◆ 知識點二　正弦函數y=sin x的性質
　　函數 性質　　 y=sin x
定義域 R
值域 　　　
最值 當且僅當x=+2kπ,k∈Z時,函數y=sin x的最大值ymax=　　　　; 當且僅當x=+2kπ,k∈Z時,函數y=sin x的最小值ymin=　　　
(續表)
　　函數 性質　　 y=sin x
奇偶性 　　　　函數,其圖象關于　　　　中心對稱
周期性 最小正周期為　　　
單調性 在　　　　　　　　　　(k∈Z)上單調遞增;在　　　　　　　　　　(k∈Z)上單調遞減
零點 kπ(k∈Z)
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若函數y=sin x的定義域不是全體實數,則它的值域就不可能是[-1,1]. (　 )
(2)函數y=sin x+3的值域為[2,4]. (　 )
(3)若sin α=m+3,則m的取值范圍為[-4,-2]. (　 )
(4)函數f(x)=sin(x-3π)不是奇函數. (　 )
(5)正弦函數在定義域上是單調函數. (　 )
(6)正弦函數在(0,+∞)上是增函數. (　 )
◆ 探究點一　正弦函數的定義域與值域
例1 (1)[2023·北理工附中高一月考] 函數y=sin x-|sin x|的值域是 (　 )
A.{0} B. [-1,1]
C. [0,1] D. [-2,0]
(2)函數f(x)=的定義域為 (　 )
A.∪ B.(1,π)∪(π,4)
C.∪ D.[1,π)∪(π,4]
變式 (1)[2024·四川眉山一中高一月考] 函數f(x)=3sin x-2的最大值為　　　　.
(2)已知f(x)=|sin x|,當f(x)=1時,x的取值構成的集合為　　　　　　　　　.
[素養小結]
當且僅當x=+2kπ,k∈Z時,函數y=sin x取得最大值,即ymax=1;當且僅當 x=+2kπ,k∈Z時,函數y=sin x取得最小值,即ymin=-1.
◆ 探究點二　正弦函數的奇偶性與周期性的綜合應用
[探索] 若函數y=f(x)(x∈R)是周期為2的周期函數,也是奇函數,則f(2024)的值是多少


例2 (1)[2023·湖南株洲高一期中] 下列函數是偶函數的是 (　 )
A.y=sin 3x B.y=-sin 5x
C.y=|sin x| D.y=sin x-3
(2)[2024·河南信陽高級中學高一期中] 定義在R上的函數f(x)滿足f(x+π)-f(x)=sin x,且f=-,則f=　　　　.
變式 已知f(x)在R上是奇函數,且滿足f(x+4)=f(x),當x∈(0,2)時,f(x)=2sin2x,求f(7)的值.
[素養小結]
解決此類問題的關鍵是綜合運用函數的周期性和奇偶性,把自變量x的值轉化到可求值的區間內.
◆ 探究點三　正弦函數的單調性及其應用
[探索] 由正弦線可以看出,正弦函數y=sin x在上是如何變化的


例3 (1)不求值,比較下列各組函數值的大小.
①sin與sin;②sin與cos.
(2)求函數y=-2sin x-1的單調遞增區間.
變式 (1)下列關系式中正確的是 (　 )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°(2)[2024·西安長安區一中高一期末] 使得函數y=sin x為減函數且函數值為負數的區間可以為 (　 )
A. B.
C. D.
[素養小結]
利用正弦函數的單調性比較大小的步驟
①異名函數化為同名函數;
②利用誘導公式把角化到同一單調區間上;
③利用函數的單調性比較大小.
◆ 探究點四　正弦函數的零點
例4 求函數y=-sin2x+sin x+的最大值和最小值,并求出當函數取得最大值和最小值時x的值.
變式 已知函數f(x)=asin x+b的最大值是1,最小值是-3,求函數f(x)的零點.
[素養小結]
(1)正弦函數y=sin x的零點為kπ(k∈Z);
(2)在求解與正弦函數有關的零點問題時,要注意正弦函數的周期性,在其定義域上可能不只一個零點.
1.下列是定義在R上的四個函數的圖象,其中不是周期函數的圖象的是 (　 )
A B C D
2.[2024·四川綿陽高一期末] 下列函數在區間上單調遞增的是 (　 )
A.y=sin x B.y=x2-4x+3
C.y=-log3x D.y=3x
3.若a∈R且函數f(x)=sin x-|a|,x∈R為奇函數,則a=　　　　.
4.sin　　　　cos .(填“>”或“<”)
5.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8)的值.7.3　三角函數的性質與圖象
7.3.1　正弦函數的性質與圖象
第1課時　正弦函數的性質
1.C　[解析] y=cos=-sin x,其最小正周期是2π.故選C.
2.D　[解析] 由題意,a=log20.3log0.30.3=1,03.B　[解析] 方法一:f(x)==-+,因為-1≤sin x≤1,sin x≠-,所以-1≤3sin x+2≤5,3sin x+2≠0,所以≤-或≥,所以-+≤-2或-+≥0,故f(x)=的值域為(-∞,-2]∪[0,+∞).
方法二:由y=,得(3y+1)sin x=1-2y,易知y≠-,所以sin x=,則≤1,解得y≥0或y≤-2,故f(x)=的值域為(-∞,-2]∪[0,+∞).故選B.
[技巧] 求解由三角函數所構建的函數的值域問題時,通常借助三角函數值域的有界性.
4.C　[解析] 函數f(x)=x+的定義域為{x|-1≤x≤1},且不是周期函數,當x=h(t)時,-1≤h(t)≤1.對于A,當t∈時,0≤sin t≤1,即0≤h(t)≤1,不滿足-1≤h(t)≤1,故A不成立;對于B,當t∈[0,π]時,0≤sin t≤1,即0≤h(t)≤1,不滿足-1≤h(t)≤1,故B不成立;對于C,當t∈時,-1≤sin t≤1,即-1≤h(t)≤1,故C成立;對于D,當t∈[0,2π]時,-1≤sin t≤1,即-≤h(t)≤,不滿足-1≤h(t)≤1,故D不成立.故選C.
5.D　[解析] 令f(x)=0,得sin x=,則x=+2kπ,k∈Z或x=+2kπ,k∈Z.故選D.
6.A　[解析] ∵-1≤sin x≤1,∴當a>0時,a+b=5,-a+b=-1,解得a=3,b=2,此時的值為;當a<0時,-a+b=5,a+b=-1,解得a=-3,b=2,此時的值為-.故選A.
7.A　[解析] ∵f(x)是定義在[-5,5]上的偶函數,∴其圖象關于y軸對稱.結合圖象可知,當x∈[-5,-2)∪(2,5]時,f(x)>0;當x∈(-2,2)時,f(x)<0.由<0,得或可得-π8.CD　[解析] 由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)對任意的x∈R恒成立,不難發現f(x1),f(x2)分別為f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的值為函數f(x)=2sin x的最小正周期的的奇數倍且為正數.因為f(x)=2sin x的最小正周期為2π,所以|x1-x2|的值可能為π,3π.故選CD.
9.ABD　[解析] 對于A,f(x)的定義域為R,因為f(-x)=2sin(-x)+=+2sin x=f(x),所以f(x)是偶函數,所以f(x)的圖象關于y軸對稱,故A正確;對于B,對任意的x∈R,f(π-x)=2sin(π-x)+=2sin x+=f(x),所以函數f(x)的圖象關于直線x=對稱,故B正確;對于C,因為f(π+x)=2sin(π+x)+=2-sin x+=+2sin x=f(x),所以π是函數f(x)的周期,故C錯誤;對于D,設t=2sin x∈,則2sin x+=t+,因為t+≥2,當且僅當t=,即t=1,即x=kπ,k∈Z時等號成立,所以函數f(x)的最小值為2,故D正確.故選ABD.
10.　[解析] 由題意知sin(π+x)=-sin x,則求y=sin(π+x),x∈的單調遞增區間,也就是求y=sin x,x∈的單調遞減區間,易知所求區間為.
11.0　[解析] 若函數f(x)=ax2-sin x是奇函數,則f(x)=-f(-x),即ax2-sin x=-[a(-x)2-sin(-x)],即2ax2=0恒成立,所以a=0.
12.　[解析] ∵cos x+sin y=,∴cos x=-sin y,∴cos x-cos2y=-sin y-(1-sin2y)=-,∵sin y=-cos x∈,∴當sin y=-時,-取得最大值.
13.解:(1)因為x∈,所以sin x∈,
即y=sin x,x∈的值域為.
(2)因為x∈,所以sin x∈.
令t=sin x,則t∈,所以y=t2-t+1=+,t∈單調遞增.
當t=時,取得最小值,當t=1時,取得最大值1.
故函數y=sin2x-sin x+1,x∈的值域為.
14.解:(1)∵函數f(x)=,∴sin x≠0,∴x≠kπ,k∈Z,
故函數f(x)的定義域為{x|x≠kπ,k∈Z}.
設f(x)=的最小正周期為T,
則f(x+T)==f(x)=,
則sin(x+T)=sin x,∴f(x)的周期即為y=sin x的周期,
又y=sin x的最小正周期為2π,
∴f(x)的最小正周期為2π.
(2)證明:設0∴f(x1)-f(x2)=-=>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在區間上單調遞減.
15.　[解析] 當0≤x≤時,由f(x)=Asin x單調遞增,可得A>0①;當x>時,顯然f(x)=-A單調遞增.要使函數f(x)在[0,+∞)上單調遞增,需使A≤1-A②,由①②可得016.解:由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函數f(x)是周期函數,且2是它的一個周期.
因為函數f(x)在[-4,-3]上是增函數,
所以函數f(x)在[0,1]上是增函數.
因為α,β是銳角三角形的兩個內角,
所以α+β>,所以>α>-β>0.
因為y=sin x在上為增函數,
所以sin α>sin=cos β,
又sin α∈[0,1],cos β∈[0,1],所以f(sin α)>f(cos β).
[結論] 若α,β是銳角三角形的兩個內角,則sin α>cos β.7.3　三角函數的性質與圖象
7.3.1　正弦函數的性質與圖象
第1課時　正弦函數的性質
一、選擇題
1.函數y=cos的最小正周期是 (　 )
A. B. C.2π D.π
2.[2024·安徽六安一中高一期末] 已知a=log20.3,b=log0.30.2,c=sin 37°,則a,b,c之間的大小關系是 (　 )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
★3.[2023·河南南陽高一期中] 函數f(x)=的值域為 (　 )
A.(-∞,-2)∪(0,+∞)
B.(-∞,-2]∪[0,+∞)
C.(-∞,-2)∪[0,+∞)
D.(-∞,-2]∪(0,+∞)
4.對函數f(x)=x+作x=h(t)的代換,則不改變函數f(x)的值域的代換是 (　 )
A.h(t)=sin t,t∈
B.h(t)=sin t,t∈[0,π]
C.h(t)=sin t,t∈
D.h(t)=sin t,t∈[0,2π]
5.函數f(x)=2sin x-1的所有零點組成的集合為 (　 )
A.
B.
C.
D.
6.若f(x)=asin x+b(a,b為常數)的最大值是5,最小值是-1,則= (　 )
A.或- B.-
C.- D.
7. 已知f(x)是定義在[-5,5]上的偶函數,當-5≤x≤0時,f(x)的圖象如圖所示,則不等式<0的解集為(　 )
A.(-π,-2)∪(0,2)∪(π,5]
B.(-π,-2)∪(π,5]
C.[-5,-2)∪(0,π)∪(π,5]
D.[-5,-2)∪(π,5]
8.(多選題)已知函數f(x)=2sin x對任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),則|x1-x2|的取值可以為(　 )
A. B. C.π D.3π
9.(多選題)[2023·江西上饒高一期末] 關于函數f(x)=2sin x+,下列說法正確的有 (　 )
A.函數f(x)的圖象關于y軸對稱
B.函數f(x)的圖象關于直線x=對稱
C.函數f(x)的最小正周期為2π
D.函數f(x)的最小值為2
二、填空題
10.函數y=sin(π+x),x∈的單調遞增區間為　　　　.
11.[2024·遼寧大連高一期末] “函數f(x)=ax2-sin x是奇函數”的充要條件是實數a=　　　　.
12.已知cos x+sin y=,則cos x-cos2y的最大值為　　　　.
三、解答題
13.求下列函數的值域:
(1)y=sin x,x∈;
(2)y=sin2x-sin x+1,x∈.
14.[2024·黑龍江綏化一中高一月考] 設函數f(x)=.
(1)請寫出函數f(x)的定義域和最小正周期;
(2)請以正弦函數y=sin x的性質為依據,并運用函數的單調性定義證明:y=f(x)在區間上單調遞減.
15.[2024·西安高一期末] 已知函數f(x)=在[0,+∞)上單調遞增,則A的取值范圍是　　　　.
★16.已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且f(x)在[-4,-3]上是增函數,α,β是銳角三角形的兩個內角,試判斷f(sin α)與f(cos β)的大小關系.

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