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7.3 三角函數的性質與圖象
7.3.1 正弦函數的性質與圖象
第2課時 正弦函數的圖象
探究點一 利用“五點法”作圖
探究點二 正弦函數圖象的對稱性
探究點三 應用正弦函數圖象解簡單的三角不等式
探究點四 應用正弦函數圖象解決簡單的三角方程問題
【學習目標】
1.能用五點法畫出正弦函數的圖象；
2.借助圖象理解正弦函數的性質.
知識點一 正弦曲線
1.如圖為正弦函數 的圖象.
2. 的函數圖象稱為______曲線.
正弦
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）正弦函數，的圖象在 上
形狀相同,只是位置不同. ( )
√
（2）正弦函數,的圖象介于直線與直線 之
間. ( )
√
（3）正弦函數,的圖象關于 軸對稱. ( )
×
知識點二 用五點法作正弦曲線的簡圖
用“五點法”作函數， 的圖象的步驟如下.
（1）找關鍵的五個點，列表如下.
0
0 1 0 0
（2）描點作圖.
用光滑曲線順次連接五個關鍵點，，， ，
，得到正弦曲線的簡圖.
【診斷分析】
（1）作函數, 的圖象時，函數的自變量能用角度
制嗎？
解：作函數, 的圖象時，函數的自變量不能用角度
制，要用弧度制，以保證自變量與函數值都為實數.
（2）如果要作出函數， 的圖象，你認為應找出
哪些關鍵點？并根據關鍵點作出大致圖象.
解：應找出，，，， 這五個關
鍵點，大致圖象如圖所示.
知識點三 正弦函數圖象的對稱軸和對稱中心
由正弦曲線可以看出，正弦曲線既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖
形，其對稱軸為_________________，對稱中心為______________.
)
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）正弦函數圖象的對稱軸都垂直于 軸，且都過圖象的最高點或
最低點.( )
√
（2）正弦函數圖象的對稱中心都在軸上，就是正弦函數圖象與 軸
的交點.( )
√
（3）正弦函數圖象的對稱中心到對稱軸的距離為 .( )
×
[解析] 正弦函數圖象的對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為 .
（4）正弦函數相鄰的兩個對稱軸（或對稱中心）之間的距離為 .
( )
√
探究點一 利用“五點法”作圖
例1 用五點法作出下列函數在區間 上的簡圖.
（1） ;
解：列表如下.
0
0 1 0 0
2 3 2 1 2
描點作圖，如圖所示.
（2） .
解：列表如下.
0
0 1 0 0
0 3 0 0
描點作圖，如圖所示.
［素養小結］
作正弦曲線要掌握五點法作圖.“五點”即 的圖象在一個最小
正周期內的最高點、最低點和與 軸的交點.“五點法”是作簡圖的常用
方法.
探究點二 正弦函數圖象的對稱性
例2（1） 函數 圖象的一條對稱軸是 ( )
A.軸 B.軸 C.直線 D.直線
[解析] 函數 的圖象的對稱軸都經過圖象的最高點或最
低點，且與軸垂直，方程為 ，只有D選項符合，
故選D.
√
（2）函數的圖象在 內的對稱中心是
_____________________.
，，
[解析] 函數的圖象的對稱中心是 ,
故其在內的對稱中心是，， .
［素養小結］
正弦函數的圖象的對稱軸方程是 ，對稱
中心是 ,當在限定范圍內求圖象的對稱軸或對稱中心時，
只需對 進行合理賦值即可.
探究點三 應用正弦函數圖象解簡單的三角不等式
例3 作出函數， 的大致圖象，并寫出使得
和的 的取值范圍．
解：列表如下.
0
描點作圖，如圖所示.
令，則，因為 ，
所以或.
由圖可知，當 時， 或；
當時， .
變式 用“五點法”作出函數， 的大致圖象，并
寫出使得的 的取值范圍．
解：列表如下.
0
1 2 1 0 1
描點作圖，如圖所示.
令，則，因為，
所以或 或 .
由圖可知，當時， .
［素養小結］
（1）利用正弦函數圖象解三角不等式的步驟
①作出相應的正弦函數在一個周期內的圖象；
②寫出不等式在一個周期內的解集；
③根據函數的周期性寫出符合題意的解集.
（2）解三角不等式的另一種方法是利用三角函數線.
探究點四 應用正弦函數圖象解決簡單的三角方程問題
例4 在同一平面直角坐標系中，作出函數和 的圖象，
根據圖象判斷出方程 的解的個數.
解：在同一平面直角坐標系中，作出函數與函數 的
圖象，如圖所示.
由圖可知，兩函數的圖象有3個交點，所以方程 的解有3個.
變式 [2023·上海建平中學高一月考]方程 的解的個數為
( )
A.5 B.6 C.7 D.8
[解析] 方程 的解的個數，即為
函數與 的圖象的交點個數，
如圖，作出函數與 的圖象.
由圖可知，函數與 的圖象有6個交點，所以方程
的解的個數為6.故選B.
√
［素養小結］
用正弦函數的圖象研究簡單的三角方程解的個數問題時，一般先把方
程等價變形，轉化為等號兩邊容易畫出圖象的函數形式，然后分別畫
出兩個函數的圖象，進而將方程解的個數問題轉化為研究兩個圖象交
點的個數問題.這種思想方法是研究函數零點個數問題的重要工具，通
過圖象可較簡便地解決問題，這正是數形結合思想方法的應用.
1.函數 的大致圖象是( )
A. B. C. D.
[解析] 作出函數的圖象，并將其圖象中 軸以
下的部分沿 軸進行翻折,由此可知C選項符合題意.
√
2.函數 的圖象關于( )
A. 軸對稱 B.原點對稱
C.軸對稱 D.直線 對稱
[解析] 因為，所以函數 為奇
函數，所以其圖象關于原點對稱.故選B.
√
3.設函數，則 ( )
A.在區間 上單調遞減
B.是周期為 的周期函數
C.在區間 上單調遞增
D.圖象的對稱中心為，
√
[解析] 在上單調遞減，故A正確；
不是周期函數，故B錯誤；
在 上單調遞減，故C錯誤；
的圖象無對稱中心，故D錯誤.故選A.
4.若函數的定義域為，值域為，則 的最
大值和最小值之和為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函數的最大值為1，最小值為，
而函數 的定義域為，值域為，
不妨假設中含有 ，如圖所示.
當取最大值時，，，此時 ；
當取最小值時，不妨取，，此時.
故 的最大值和最小值之和為 .故選D.
5.[2024·浙江溫州五十一中高一月考]已知 為常數，若滿足
且的的值只有一個，則實數 的值為( )
A.0 B.1 C.1或2 D.0或2
√
[解析] 列表如下.
0
1 0 1 2 1
描點作圖，如圖所示.
因為滿足 且的的值只
有一個，所以 或 .故選D.
1.作正弦函數的圖象時，函數自變量要用弧度制，以保證自變量與函
數值都為實數.
2.正弦曲線的對稱軸一定經過正弦曲線的最高點或最低點.
3.正弦曲線的對稱中心一定是正弦曲線與 軸的交點.
1.“五點法”作圖
“五點法”的步驟是:列表、描點、連線.作圖時要抓住關鍵點,連線時必
須用光滑的曲線連接五個關鍵點,并注意曲線的凹凸方向.
例1 用“五點法”畫出函數在區間 上的簡圖.
解：找關鍵的五個點，列表如下.
0
0 1 0 0
2 1 2 3 2
描點作圖,如圖所示.
2.利用翻折、對稱變換作圖
（1）由的圖象得到的圖象的方法：將 位
于軸上方的圖象保持不變，把軸下方的圖象沿軸翻折到 軸上方
即可.概括為“上不動，下翻上”.
（2）由的圖象得到的圖象的方法：將 位
于軸右側的圖象保持不變，再把軸右側的圖象沿軸翻折到 軸左
側，原來位于 軸左側的圖象去掉即可.概括為“右不動，右翻左”.
例2（1） 如何由，的圖象得到 ，
的圖象？
解：如圖所示，將，位于 軸上方的圖象保持
不變，把軸下方的圖象沿軸翻折到 軸上方即可.
（2）如何由，的圖象得到 ，
的圖象？
解：如圖所示，將，位于 軸右側的圖象保持
不變，再把軸右側的圖象沿軸翻折到軸左側，原來位于 軸左側
的圖象去掉即可.
例3 關于三角函數的圖象,有下列四個說法:
（1）與 的圖象相同;
（2）與的圖象關于 軸對稱;
（3）與 的圖象相同;
（4）與 的圖象相同.
其中正確的說法的序號是_______.
[解析] 畫出草圖（圖略）知, 中說法錯誤.
由誘導公式知, ,所以（3）中說法正確.
又 ,所以（4）中說法正確.
3.確定方程根的個數
求方程根的個數問題可轉化為求兩個函數圖象的交點個數的問題,可
采用數形結合的方法,畫出兩個函數的圖象,觀察圖象并結合函數的性
質求解.
例4 [2023·新疆塔城一中高一月考] 函數 的零點個
數為___．
7
[解析] 函數的零點個數，即為 的圖象與
的圖象的交點個數，作出兩函數圖象如圖所示，
由圖可知的圖象與 的圖象有7個交點，
所以函數 的零點個數為7.第2課時　正弦函數的圖象
【課前預習】
知識點一
2.正弦
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)×
知識點二
診斷分析
解:(1)作函數y=sin x,x∈[0,2π]的圖象時,函數的自變量不能用角度制,要用弧度制,以保證自變量與函數值都為實數.
(2)應找出(-2π,0),,(-π,0),,(0,0)這五個關鍵點,大致圖象如圖所示.
知識點三
x=+kπ(k∈Z)　(kπ,0)(k∈Z)
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)×　(4) √　[解析] (3)正弦函數圖象的對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)列表如下.
x 0 π 2π
y=sin x 0 1 0 -1 0
y=2+sin x 2 3 2 1 2
描點作圖,如圖所示.
(2)列表如下.
x 0 π 2π
y=sin x 0 1 0 -1 0
y=3sin x 0 3 0 -3 0
描點作圖,如圖所示.
探究點二
例2　(1)D　(2)(0,0),(π,0),(2π,0)　[解析] (1)函數y=-sin x-2的圖象的對稱軸都經過圖象的最高點或最低點,且與x軸垂直,方程為x=kπ+(k∈Z),只有D選項符合,故選D.
(2)函數y=sin x(x∈R)的圖象的對稱中心是(kπ,0)(k∈Z),故其在(-π,3π)內的對稱中心是(0,0),(π,0),(2π,0).
探究點三
例3　解:列表如下.
x -π - 0 π
y=+sin x -
描點作圖,如圖所示.
令y=0,則sin x=-,因為x∈[-π,π],所以x=-或x=-.由圖可知,當y>0時,-變式　解:列表如下.
x 0 π 2π
y=1+sin x 1 2 1 0 1
描點作圖,如圖所示.
令y=1,則sin x=0,因為x∈[0,2π],所以x=0或x=π或x=2π.由圖可知,當y<1時,x∈(π,2π).
探究點四
例4　解:在同一平面直角坐標系中,作出函數y=sin x與函數y=lg x的圖象,如圖所示.由圖可知,兩函數的圖象有3個交點,所以方程sin x=lg x的解有3個.
變式　B　[解析] 方程sin x=lg|x|的解的個數,即為函數y=sin x與y=lg|x|的圖象的交點個數,如圖,作出函數y=sin x與y=lg|x|的圖象.由圖可知,函數y=sin x與y=lg|x|的圖象有6個交點,所以方程sin x=lg|x|的解的個數為6.故選B.
【課堂評價】
1.C　[解析] 作出函數y=sin x的圖象,并將其圖象中x軸以下的部分沿x軸進行翻折,由此可知C選項符合題意.
2.B　[解析] 因為y=sin(x+π)=-sin x,所以函數y=sin(x+π)為奇函數,所以其圖象關于原點對稱.故選B.
3.A　[解析] f(x)=sin|x|在上單調遞減,故A正確;f(x)=sin|x|不是周期函數,故B錯誤;f(x)=sin|x|在上單調遞減,故C錯誤;f(x)=sin|x|的圖象無對稱中心,故D錯誤.故選A.
4.D　[解析] 函數y=sin x的最大值為1,最小值為-1,而函數y=2sin x的定義域為[a,b],值域為[-2,],不妨假設[a,b]中含有-,如圖所示.當b-a取最大值時,a=-,b=,此時b-a=;當b-a取最小值時,不妨取a=-,b=,此時b-a=.故b-a的最大值和最小值之和為+=.故選D.
5.D　[解析] 列表如下.
x -π - 0 π
y=sin x+1 1 0 1 2 1
描點作圖,如圖所示.因為滿足a=sin x+1且x∈[-π,π]的x的值只有一個,所以a=0或a=2.故選D.第2課時　正弦函數的圖象
【學習目標】
　　1.能用五點法畫出正弦函數的圖象;
　　2.借助圖象理解正弦函數的性質.
◆ 知識點一　正弦曲線
1.如圖為正弦函數y=sin x的圖象.
2.y=sin x的函數圖象稱為　　　　曲線.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)正弦函數y=sin x,x∈R的圖象在[2kπ,2(k+1)π](k∈Z)上形狀相同,只是位置不同. (　 )
(2)正弦函數y=sin x,x∈R的圖象介于直線y=1與直線y=-1之間. (　 )
(3)正弦函數y=sin x,x∈R的圖象關于x軸對稱. (　 )
◆ 知識點二　用五點法作正弦曲線的簡圖
用“五點法”作函數y=sin x,x∈[0,2π]的圖象的步驟如下.
(1)找關鍵的五個點,列表如下.
x 0 π 2π
y=sin x 0 1 0 -1 0
(2)描點作圖.
用光滑曲線順次連接五個關鍵點 (0,0),,(π,0),,(2π,0),得到正弦曲線的簡圖.
【診斷分析】 (1)作函數y=sin x,x∈[0,2π]的圖象時,函數的自變量能用角度制嗎
(2)如果要作出函數y=sin x,x∈[-2π,0]的圖象,你認為應找出哪些關鍵點 并根據關鍵點作出大致圖象.
◆ 知識點三　正弦函數圖象的對稱軸和對稱中心
由正弦曲線可以看出,正弦曲線既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,其對稱軸為　　　　　　　,對稱中心為　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)正弦函數圖象的對稱軸都垂直于x軸,且都過圖象的最高點或最低點. (　 )
(2)正弦函數圖象的對稱中心都在x軸上,就是正弦函數圖象與x軸的交點. (　 )
(3)正弦函數圖象的對稱中心到對稱軸的距離為.(　 )
(4)正弦函數相鄰的兩個對稱軸(或對稱中心)之間的距離為π. (　 )
◆ 探究點一　利用“五點法”作圖
例1 用五點法作出下列函數在區間[0,2π]上的簡圖.
(1)y=2+sin x;
(2)y=3sin x.
[素養小結]
作正弦曲線要掌握五點法作圖.“五點”即y=sin x的圖象在一個最小正周期內的最高點、最低點和與x軸的交點.“五點法”是作簡圖的常用方法.
◆ 探究點二　正弦函數圖象的對稱性
例2 (1)函數y=-sin x-2(x∈R)圖象的一條對稱軸是 (　 )
A.x軸 B.y軸
C.直線y=x D.直線x=
(2)函數y=sin x(x∈R)的圖象在(-π,3π)內的對稱中心是　　　　　　　.
[素養小結]
正弦函數y=sin x的圖象的對稱軸方程是x=+kπ(k∈Z),對稱中心是(kπ,0)(k∈Z),當在限定范圍內求圖象的對稱軸或對稱中心時,只需對k進行合理賦值即可.
◆ 探究點三　應用正弦函數圖象解簡單的三角不等式
例3 作出函數y=+sin x,x∈[-π,π]的大致圖象,并寫出使得y<0和y>0的x的取值范圍.
變式 用“五點法”作出函數y=1+sin x,x∈[0,2π]的大致圖象,并寫出使得y<1的x的取值范圍.
[素養小結]
(1)利用正弦函數圖象解三角不等式的步驟
①作出相應的正弦函數在一個周期內的圖象;
②寫出不等式在一個周期內的解集;
③根據函數的周期性寫出符合題意的解集.
(2)解三角不等式的另一種方法是利用三角函數線.
◆ 探究點四　應用正弦函數圖象解決簡單的
三角方程問題
例4 在同一平面直角坐標系中,作出函數y=sin x和y=lg x的圖象,根據圖象判斷出方程sin x=lg x的解的個數.
變式 [2023·上海建平中學高一月考] 方程sin x=lg|x|的解的個數為 (　 )
A.5 B.6
C.7 D.8
[素養小結]
用正弦函數的圖象研究簡單的三角方程解的個數問題時,一般先把方程等價變形,轉化為等號兩邊容易畫出圖象的函數形式,然后分別畫出兩個函數的圖象,進而將方程解的個數問題轉化為研究兩個圖象交點的個數問題.這種思想方法是研究函數零點個數問題的重要工具,通過圖象可較簡便地解決問題,這正是數形結合思想方法的應用.
1.函數f(x)=|sin x|的大致圖象是 (　 )
2.函數y=sin(x+π)的圖象關于 (　 )
A.x軸對稱 B.原點對稱
C.y軸對稱 D.直線y=x對稱
3.設函數f(x)=sin|x|,則f(x) (　 )
A.在區間上單調遞減
B.是周期為2π的周期函數
C.在區間上單調遞增
D.圖象的對稱中心為(kπ,0),k∈Z
4.若函數y=2sin x的定義域為[a,b],值域為[-2,],則b-a的最大值和最小值之和為(　 )
A.4π B. C.3π D.
5.[2024·浙江溫州五十一中高一月考] 已知a為常數,若滿足a=sin x+1且x∈[-π,π]的x的值只有一個,則實數a的值為 (　 )
A.0 B.1 C.1或2 D.0或2第2課時　正弦函數的圖象
A　[解析] 用五點法畫y=3sin x,x∈[0,2π]的圖象時,五個關鍵點分別為(0,0),,(π,0),,(2π,0),可知不是關鍵點.故選A.
2.A　[解析] 由題意f(x)=-sin|x|=所以函數f(x)=-sin|x|在區間[-π,π]上的圖象大致如圖所示,故選A.
3.D　[解析] 畫出函數y=sin x的圖象,如圖所示.由圖象可知,當x=時,ymax=1,當x=時,ymin=-,所以函數y=sin x的值域為.故選D.
4.D　[解析] f=-2,故A錯誤;因為f(x)的定義域為{x|x≠kπ,k∈Z},關于原點對稱,f(-x)=-sin x-≠f(x),所以f(x)不為偶函數,則f(x)的圖象不關于y軸對稱,故B錯誤;f(π-x)=sin x+,f(π+x)=-sin x-,f(π+x)≠f(π-x),則f(x)的圖象不關于直線x=π對稱,故C錯誤;f=cos x+,f=cos x+,則f=f,則f(x)的圖象關于直線x=對稱,故D正確.故選D.
5.D　[解析] 由正弦函數的圖象知,當+2kπ<α<+2kπ,k∈Z時,sin α>,所以“α>”是“sin α>”的既不充分也不必要條件.故選D.
6.B　[解析] 由題意可知,f(x)=sin x+sin|x|=作出函數f(x)的圖象,如圖所示.由圖可知,f(x)不是周期函數,故A錯誤;由圖可知,f(x)在區間上單調遞減,故B正確;f(x)的圖象不關于直線x=對稱,故C錯誤;f(x)的圖象不關于點(π,0)對稱,故D錯誤.故選B.
7.C　[解析] 函數y=(-2≤x≤4)的圖象與函數y=2|sin πx|(-2≤x≤4)的圖象都關于直線x=1對稱,作出兩個函數的圖象如圖所示,由圖可知,兩個函數共有12個交點,且關于直線x=1對稱,則所有交點的橫坐標之和為6×2=12.故選C.
8.BD　[解析] f(x)=sin(x+π)=-sin x,由正弦函數的圖象可知直線x=不是函數f(x)的圖象的一條對稱軸,故A錯誤;(π,0)是函數f(x)圖象的一個對稱中心,故B正確;f(x)=-sin x在上不單調遞增,故C錯誤;函數f(x)的最小正周期為2π,故D正確.故選BD.
9.AC　[解析] 因為f(x)=|sin x-1|=-sin x+1,所以f(x)的最小正周期為2π,故A正確;f(x)不是偶函數,圖象不關于y軸對稱,故B錯誤;因為sin x∈[-1,1],所以f(x)的值域為[0,2],故C正確;因為f(0)=|sin 0-1|=1,所以f(x)的圖象不關于原點對稱,故D錯誤.故選AC.
10.　[解析] 要使函數f(x)有意義,只需1-sin x>0,即sin x<.結合正弦函數的性質可得2kπ+[點撥] 求解三角不等式常見的兩種題型,一是已知函數值的范圍求解角的范圍,此類問題一般應用三角函數線求解;二是已知角的范圍求解函數值的范圍,此類問題常常應用三角函數的圖象求解.
11.4π　[解析] 作出函數y=2sin x的圖象和直線y=2,如圖所示,圖形S1與S2,S3與S4的面積分別相等,所以y=2sin x,x∈的圖象與直線y=2圍成的封閉平面圖形的面積相當于直線x=,x=,y=0,y=2圍成的矩形的面積,則所求面積為×2=4π.
12.3　[解析] 由f(x)=[x]-x+sin x=0,可得x-[x]=sin x.在同一平面直角坐標系中作出y=x-[x]和y=sin x的圖象,如圖所示,y=x-[x]與y=sin x的圖象在上有3個交點,所以f(x)=[x]-x+sin x在區間上有3個零點.
13.解:列表如下.
x - 0 π
y=1-2sin x 3 1 -1 1 3
描點作圖,如圖所示.
由圖可知,y=1-2sin x(x∈R)的單調遞減區間為,k∈Z.
14.解:(1)由題知f(x)的定義域為R.
當a=0時,f(x)=|sin x|,滿足f(-x)=|sin(-x)|=|sin x|=f(x),即函數f(x)是偶函數;
當a≠0時,f(-x)=|-sin x-a|=|sin x+a|,f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),故函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數.
(2)若a≥0,則當sin x=-1時,函數f(x)取得最大值1+a,此時自變量x的取值集合為;
若a<0,則當sin x=1時,函數f(x)取得最大值1-a,此時自變量x的取值集合為.
(3)當a=3時,f(x)=3-sin x,故f(x)的圖象的對稱中心為(kπ,3)(k∈Z).
15.AD　[解析] ∵函數f(x)=sin|x|+|sin x|的定義域為R,且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),∴f(x)為偶函數.當x≥0時,若2kπ≤x≤(2k+1)π(k∈N),則f(x)=2sin x∈[0,2],若(2k+1)π≤x<2(k+1)π(k∈N),則f(x)=0,作出函數f(x)的圖象,如圖所示.由圖可知,f(x)的值域為[0,2],∴g(x)=[f(x)]的值域是{0,1,2},故A正確;∵f(x)在R上不是周期函數,∴函數g(x)不是周期函數,故B錯誤;∵g=2,g=0,∴g(x)的圖象不關于直線x=對稱,故C錯誤;方程·g(x)=x,可化為g(x)=x,當x<0時,x<0,g(x)∈{0,1,2},當x=0時,g(x)=x=0,當0π時,x>2,g(x)∈{0,1,2},∴g(x)=x只有一個實根x=0,故D正確.故選AD.
16.解:當x∈[0,π]時,f(x)=sin x;
當x∈(π,2π]時,x-π∈(0,π],f(x)=2f(x-π)=2sin(x-π)=-2sin x;當x∈(2π,3π]時,x-π∈(π,2π],f(x)=2f(x-π)=-4sin(x-π)=4sin x;當x∈(-π,0]時,x+π∈(0,π],f(x)=f(x+π)=sin(x+π)=-sin x.
則函數f(x)的部分圖象如圖所示.當x∈(2π,3π]時,由f(x)=4sin x=2,解得x=或x=.由圖可知,若對任意的x∈(-∞,m],都有f(x)≤2,則m≤.第2課時　正弦函數的圖象
一、選擇題
1.用五點法畫y=3sin x,x∈[0,2π]的圖象時,下列各點中不是關鍵點的是 (　 )
A. B.
C.(π,0) D.(2π,0)
2.[2024·四川綿陽高一期末] 函數f(x)=-sin|x|在區間[-π,π]上的圖象大致是 (　 )
A B C D
3.函數y=sin x的值域為 (　 )
A. B.
C. D.
4.[2023·浙江臺州高一期中] 已知函數f(x)=sin x+,則 (　 )
A.f(x)的最小值為2
B.f(x)的圖象關于y軸對稱
C.f(x)的圖象關于直線x=π對稱
D.f(x)的圖象關于直線x=對稱
5.[2024·太原高一期末] “α>”是“sin α>”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
6.已知函數f(x)=sin x+sin|x|,則 (　 )
A.f(x)是周期函數
B.f(x)在區間上單調遞減
C.f(x)的圖象關于直線x=對稱
D.f(x)的圖象關于點(π,0)對稱
7.函數y=(-2≤x≤4)的圖象與函數y=2|sin πx|(-2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和為(　 )
A.8 B.10
C.12 D.14
8.(多選題)已知函數f(x)=sin(x+π),則下列說法中正確的是 (　 )
A.函數f(x)的圖象關于直線x=對稱
B.函數f(x)的圖象關于點(π,0)對稱
C.函數f(x)在區間上單調遞增
D.函數f(x)的最小正周期是2π
9.(多選題)已知函數f(x)=|sin x-1|,則 (　 )
A.f(x)的最小正周期為2π
B.f(x)的圖象關于y軸對稱
C.f(x)的值域為[0,2]
D. f(x)的圖象關于原點對稱
二、填空題
★10.[2023·遼寧盤錦遼東灣實驗中學高一月考] 函數f(x)=ln(1-sin x)的定義域為　　　　　.
11.若函數y=2sin x的圖象和直線y=2圍成一個封閉的平面圖形,則這個封閉圖形的面積為　　　　.
12.已知[x]表示不超過x的最大整數,則函數f(x)=[x]-x+sin x在區間上的零點有　　　　個.
三、解答題
13.[2024·石家莊高一期中] 用“五點法”列表并畫出y=1-2sin x在上的簡圖,并根據所畫圖象寫出函數y=1-2sin x(x∈R)的單調遞減區間.
14.已知函數f(x)=|sin x-a|,a∈R.
(1)討論函數f(x)的奇偶性;
(2)求當f(x)取最大值時,自變量x的取值集合;
(3)若a=3,求f(x)的圖象的對稱中心.
15.(多選題)[2023·湖北孝感高一期中] 高斯是德國著名的數學家,近代數學奠基者之一,享有“數學王子”稱號,他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家.設x∈R,用[x]表示不超過x的最大整數,則y=[x]稱為高斯函數,例如[-2.1]=-3,[2.1]=2.已知函數f(x)=sin|x|+|sin x|,函數g(x)=[f(x)],則 (　 )
A.函數g(x)的值域是{0,1,2}
B.函數g(x)是周期函數
C.函數g(x)的圖象關于直線x=對稱
D.方程·g(x)=x只有一個實數根
16.已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x+π)=2f(x),且當x∈[0,π]時,f(x)=sin x.若對任意的x∈(-∞,m],都有f(x)≤2,求實數m的取值范圍.

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