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7.3 三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象
7.3.2 正弦型函數(shù)的性質(zhì)與圖象
第2課時(shí) 正弦型函數(shù)的性質(zhì)與圖象（二）
探究點(diǎn)一 與函數(shù)
的單調(diào)性有關(guān)的問題
探究點(diǎn)二 正弦型函數(shù)的最值問題
探究點(diǎn)三 函數(shù)
的奇偶性和對(duì)稱性問題
探究點(diǎn)四 函數(shù)
性質(zhì)的綜合應(yīng)用
探究點(diǎn)五 函數(shù)
的實(shí)際應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
能借助正弦型函數(shù)圖象求解與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題.
知識(shí)點(diǎn)一 正弦型函數(shù)的奇偶性
（1）當(dāng)______________時(shí)，正弦型函數(shù) 可化為
的形式，是奇函數(shù)；
（2）當(dāng)__________________時(shí)，正弦型函數(shù) 可化
為 的形式，是偶函數(shù)；
（3）當(dāng)______________時(shí)，正弦型函數(shù) 是非奇非
偶函數(shù).
【診斷分析】
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）對(duì)于函數(shù) ，當(dāng)
時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)是
偶函數(shù). ( )
×
（2）若正弦型函數(shù) 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則
，若關(guān)于軸對(duì)稱，則 .( )
√
（3）已知函數(shù),若 ，則函數(shù)一定是奇函
數(shù)，且，若 ，則函數(shù)一定是偶函數(shù)，且
.( )
√
知識(shí)點(diǎn)二 正弦型函數(shù) 圖象的
對(duì)稱性
（1）對(duì)稱軸： 的圖象的對(duì)稱軸方程為__________________,
故正弦型函數(shù) 的圖象的對(duì)稱軸方程
為_______________________，可化為____________________.
（2）對(duì)稱中心： 的圖象的對(duì)稱中心為______________,故正
弦型函數(shù) 的圖象的對(duì)稱中心的橫坐
標(biāo)滿足___________________，解得________________，故正弦型函
數(shù) 的圖象的對(duì)稱中心為
__________________.
【診斷分析】
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）若函數(shù)，則函數(shù) 的圖象的對(duì)稱軸方程
為，對(duì)稱中心為 ( )
√
（2）已知，若對(duì)任意的 ,
，則直線,是函數(shù) 圖象的對(duì)稱
軸.( )
√
（3）正弦型函數(shù)的圖象與 軸的交點(diǎn)為函數(shù)
的圖象的對(duì)稱中心.( )
√
（4）函數(shù) 的圖象的對(duì)稱中心為
.( )
×
[解析] 函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為 .
（5）若將正弦型函數(shù) 的圖象進(jìn)行左、右平移，
則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心可能發(fā)生改變，函數(shù)的值域不變；
若將函數(shù)的圖象進(jìn)行上、下平移，則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心
都不變，函數(shù)的值域發(fā)生改變. ( )
×
[解析] 將函數(shù)的圖象進(jìn)行上、下平移時(shí)，函數(shù)圖象的對(duì)稱中心也發(fā)
生改變.
知識(shí)點(diǎn)三 正弦型函數(shù)的單調(diào)性
正弦型函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間的求解方法
（以為例）
（1）當(dāng)時(shí)，把 看成一個(gè)整體，視為 .
①若把 代入到 的單調(diào)遞增區(qū)間，則得到
,從中解出 的取值區(qū)間
_____________________________________,就是正弦型函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間；
②若把 代入到 的單調(diào)遞減區(qū)間，則得到
,從中解出 的取值區(qū)間
____________________________________,就是正弦型函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間.
（2）當(dāng)時(shí)，先利用誘導(dǎo)公式把 的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再根據(jù)復(fù)
合函數(shù)的單調(diào)性確定單調(diào)區(qū)間.
【診斷分析】
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間是 .( )
√
（2）函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是
.( )
×
[解析] 由題意得 ，
令 ，
得，
故函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 .
（3）若當(dāng)時(shí),函數(shù) 取得最大值，則函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間為 .( )
√
（4）若正弦型函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間為 ，
則一定有 .( )
√
探究點(diǎn)一 與函數(shù) 的單調(diào)性有關(guān)
的問題
［探索］ 函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是
_______.
[解析] 由題意得 ,
求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間就是求 的單調(diào)遞
減區(qū)間.
由 ,得.
因?yàn)?所以取 ,
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 .
考向一 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例1（1） [2024·江西瑞昌一中高一月考]函數(shù)
的
部分圖象如圖所示，則函數(shù) 的
單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A., B.,
C., D.,
√
[解析] 依題意可得，解得 ，
設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則 ，
所以 ，又,所以 ，
，又的圖象過點(diǎn) ，
所以，即 ，
所以 ,，解得 ,，
又 ，所以 ， 所以
，
令 ,，
解得 ,，
則的單調(diào)遞減區(qū)間為, .故選C.
（2）[2023·東北師大附中高一月考]函數(shù)，
的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意得， .
令,，解得 , ，
所以函數(shù)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，
所以函數(shù)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為 .故選C.
√
考向二 已知單調(diào)區(qū)間求解參數(shù)問題
例2（1） [2024·山東聊城高一期末]若 是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且函
數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則 的取值范圍為
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)? 是三角形的一個(gè)內(nèi)角，所以 ，
所以 , ，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間 上單調(diào)，
所以解得，即 的取值范圍為 .故選B.
（2）[2023·遼寧錦州高一期中]已知函數(shù) 在區(qū)間
上單調(diào)遞減，則正實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由題意知，令 ， ，
解得,，
又函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
所以，解得, ，
所以， .故選C.
變式 [2024·廣東佛山石門中學(xué)高一月考] 已知
在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則 的值為
( )
A.2 B. C. D.
[解析] 因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
所以，解得，
即在上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，符合題意.故選D.
√
［素養(yǎng)小結(jié)］
正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解技巧：
（1）結(jié)合正弦函數(shù)的圖象,熟記其單調(diào)區(qū)間；
（2）將比較復(fù)雜的三角函數(shù)符號(hào)后的整體當(dāng)作一個(gè)角（或 ），再
利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性來求所要求的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這
就要求同學(xué)們熟練掌握基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，如 在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減；
（3）在求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一定要注意復(fù)合函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，
忽略復(fù)合函數(shù)的條件，是同學(xué)們?cè)诮忸}中常犯的錯(cuò)誤.
探究點(diǎn)二 正弦型函數(shù)的最值問題
［探索］ 已知函數(shù) .
（1）當(dāng)________________時(shí), ;
當(dāng)_________________時(shí), .
（2）若,則 ;
若,則 ________.
例3（1） [2023·廣東佛山榮山中學(xué)高一期中]已知函數(shù)
，則函數(shù)在區(qū)間 上的最小值和最大
值分別為( )
A.,2 B.,2 C.,2 D. ,1
[解析] 因?yàn)椋?
當(dāng) ，即時(shí)，在區(qū)間 上取到最小值
；
當(dāng)，即 時(shí)，在區(qū)間上取到最大值
.故選B.
√
（2）若函數(shù)在區(qū)間 上恰有三個(gè)
零點(diǎn)，兩個(gè)最值點(diǎn)，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 當(dāng)時(shí)， ，
依題意可得，解得，
即 的取值范圍是 .故選A.
√
變式（1） 若函數(shù)在 上的取值范
圍為，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為( )
A. B. C. D.
[解析] 當(dāng)時(shí)，.
由 , ,，
在上的取值范圍為 ，可得，
解得 ，故選A.
√
（2）[2024·重慶育才中學(xué)高一月考]已知函數(shù)
在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間 上恰好取得一次最大值1，
則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函數(shù)，令 ，
得，則函數(shù)在 上單調(diào)遞增，
依題意知，，即解得.
當(dāng) 時(shí)，，由在 上恰好取得一次最大值1，
得，解得.
綜上， 的取值范圍是 .故選B.
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）求函數(shù)， 的值域分
兩步：①由求出 的取值范圍；②由
的取值范圍結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性或畫出函數(shù)圖象求出 的取值
范圍，從而求出函數(shù)的值域.
（2）解決利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)取值范圍的問題，關(guān)鍵是
能夠結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象求得角的取值范圍，從而得到關(guān)于參數(shù)
的不等式（組）.
探究點(diǎn)三 函數(shù) 的奇偶性和對(duì)
稱性問題
［探索］ 若直線是函數(shù) 的圖象的一條對(duì)稱
軸，則________________；若點(diǎn)是函數(shù)
的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則 ______________.
例4（1） （多選題）[2023·甘肅天水高一期末] 將函數(shù)
的圖象向左平移 個(gè)單位后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖
象，則 的可能取值為( )
A. B. C. D.
[解析] 將函數(shù)的圖象向左平移 個(gè)單位后得到
的圖象，
因?yàn)樵摵瘮?shù)為偶函數(shù)，所以 ,,
解得 ,.故選 .
√
√
√
（2）（多選題）[2023·武漢一中高一期中] 將函數(shù) 的圖
象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的 ，再將所得圖象向
右平移個(gè)單位后得到函數(shù) 的圖象，則下列說法正確的是
( )
A.函數(shù) 是奇函數(shù)
B.函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)
C.若，則
D.函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)
√
√
[解析] 因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，
所以 為奇函數(shù)，故A正確；
正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn) ，故B錯(cuò)誤；
根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換可得 ，令
，得，故 的圖象的對(duì)稱軸為直線
，若，則 ，故C正確；
令，得，故 的圖象的對(duì)稱中心
為點(diǎn)，無論 取何整數(shù)，，故D錯(cuò)誤.故選 .
變式（1） 已知函數(shù) 的
部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是( )
A.該圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為
B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱
C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱
D.函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞減
√
[解析] 由題圖可知,，即 ，
所以.由，可得 ，
所以 ,,得 , ，
,所以，所以 ，故A錯(cuò)誤；
,故B正確；
，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù) 不單調(diào)遞減,
故D錯(cuò)誤．故選B.
（2）[2023·江西九江一中高一月考]已知函數(shù)
的圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸之間的
距離為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到的圖象關(guān)于
軸對(duì)稱，則函數(shù) 圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由已知可得，所以 ，所以 ，
所以.
將函數(shù)的圖象向左平移 個(gè)單位后，得到函數(shù)
的圖象.因?yàn)榈玫降膱D象關(guān)于 軸對(duì)稱，所以,，
即,，又 ，所以，所以.
對(duì)于A，因?yàn)?，所以點(diǎn)不是函數(shù) 的圖象的對(duì)稱
中心，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以點(diǎn)不是函數(shù) 的圖象的對(duì)稱
中心，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以點(diǎn) 是函數(shù)的圖象的對(duì)稱
中心，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以點(diǎn)不是函數(shù) 的圖象的
對(duì)稱中心，故D錯(cuò)誤.故選C.
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）奇偶性：因?yàn)楹瘮?shù) 是奇函數(shù)，所以
判斷函數(shù) 是否為奇函數(shù)，關(guān)鍵是看
它能否利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為 的形式.若
,則 為奇函數(shù)；若
,則 為偶函數(shù).
（2）對(duì)稱性：當(dāng) 時(shí)，函數(shù)
取得最大值或最小值，因此函數(shù)
的圖象的對(duì)稱軸方程由 求出.同理，其圖象
的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由 求出.
探究點(diǎn)四 函數(shù) 性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例5 （多選題）[2024·西安三中高一期中] 已知函數(shù)
，則( )
A.的最小正周期為
B. 為奇函數(shù)
C.在 上單調(diào)遞增
D.的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱
√
√
√
[解析] 對(duì)于A，的最小正周期 ，故A正確；
對(duì)于B，，函數(shù)
為奇函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)， ，因?yàn)楹瘮?shù)在
上不單調(diào)，所以在 上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，則 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
故D正確.故選 .
變式 （多選題）[2024·河北張家口成龍高級(jí)中學(xué)高一月考] 將函數(shù)
的圖象向左平移 個(gè)單位后，其圖象關(guān)
于 軸對(duì)稱，則下列說法正確的是( )
A. 可能等于3 B.的周期可以是
C.一定為奇函數(shù) D.在 上單調(diào)遞減
√
√
[解析] 將函數(shù)的圖象向左平移 個(gè)單位
后得到 的圖象，
因?yàn)榈膱D象關(guān)于軸對(duì)稱，所以 ，
解得.若，則，解得，
因?yàn)?，所以不成立，故A錯(cuò)誤.
若的周期是 ，則 ，解得，又因?yàn)?，所以，符?，故B正確.
，因?yàn)椋?br/>，
令 ，則
，所以一定為奇函數(shù)，故C正確.
令，因?yàn)?，所以，所以在上不單調(diào)，
故D錯(cuò)誤.故選 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
求解與函數(shù) 的性質(zhì)有關(guān)的問題，關(guān)
鍵要注意三點(diǎn)：一是整體代換思想，即求解函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)、
奇偶性等問題時(shí)常常令，進(jìn)而將函數(shù) 的
問題轉(zhuǎn)化為函數(shù) 的問題，化“陌生”為“熟悉”，最后一定要
將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的問題；二是數(shù)形結(jié)合，具體問題能夠借助正弦
曲線求解；三是要充分理解“ ”的意義.
探究點(diǎn)五 函數(shù) 的實(shí)際應(yīng)用
例6 [2024·江西新余高一期末] 春節(jié)前后，各地積極開展各種非遺展
演、文化廟會(huì)活動(dòng).某地廟會(huì)每天8點(diǎn)開始，17點(diǎn)結(jié)束.通過觀察發(fā)現(xiàn)，
游客數(shù)量（單位：人）與時(shí)間 之間可以近似地用函數(shù)
來刻畫，其中
點(diǎn)開始后，游客逐漸增多，10點(diǎn)時(shí)大約有350人，14點(diǎn)時(shí)
游客最多，大約有1250人，之后游客逐漸減少.
（1）求出函數(shù) 的解析式；
解：由題意得，，且 ，
,
則
即
又，所以, ，
所以， .
（2）為了營造幸福祥和的氛圍，該廟會(huì)籌辦方邀請(qǐng)本地書法家書寫
了950幅福字，計(jì)劃選一時(shí)段分發(fā)給每位游客，為了保證在場(chǎng)的游客
都能得到福字，應(yīng)選擇在什么時(shí)間段贈(zèng)送福字？
解：當(dāng)時(shí)， ，
令，可得或 ，
結(jié)合函數(shù)圖象及，可得或 .
為了保證在場(chǎng)的游客都能得到福字，應(yīng)選擇在12點(diǎn)前或16點(diǎn)之后兩
個(gè)時(shí)間段贈(zèng)送福字.
變式 [2024·河南南陽高一期中] 阻尼器是一種以提供運(yùn)動(dòng)的阻力從
而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置．某阻尼器模型的運(yùn)動(dòng)過程可近似
看為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開平衡位置的位移和時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系
式為，其中 ，若該阻尼器模型在擺動(dòng)過程
中連續(xù)三次位移為的時(shí)間分別為， ，
且， ，則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器
偏離平衡位置的位移的大小小于 的總時(shí)間為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由題意得， ，
故函數(shù)的周期，
所以 ，所以.
令 ，得 ，
所以 ， 或 ， ，
， 或
，．
故所求總時(shí)間為 ．故選D.
［素養(yǎng)小結(jié)］
解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟：
1.函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 由， ，
得，，
所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為, .故選A.
√
2.[2024·廣州鐵一中學(xué)高一月考]若將
的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則在
上的最小值為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函數(shù)的圖象向左平移 個(gè)單位后，
得到的圖象所對(duì)應(yīng)的解析式為，
因?yàn)?的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，，
解得， ，又，所以，所以.
當(dāng) 時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，
取得最小值 .故選C.
3.（多選題）[2024·湖南衡陽高一期末] 已知函數(shù)
的部分
圖象如圖所示，則( )
A.
B.函數(shù) 為奇函數(shù)
C.在 上單調(diào)遞增
D.的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱
√
√
√
[解析] 由題圖可知， ，
所以 ，所以 ，所以，
又函數(shù) 的圖象過點(diǎn)，
所以 ，
所以 ,，解得 ,，
又 ，所以，所以 ，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；
當(dāng) 時(shí)，，因?yàn)?br/>在 上單調(diào)遞增，所以在 上單調(diào)遞增，故C正確；
因?yàn)?，
所以的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，故D正確.
故選 .
4.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則 ___.
[解析] 依題意可得,解得 ，
又，所以 .
5.把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移 個(gè)單位，縱坐標(biāo)變?yōu)?br/>原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，對(duì)于函數(shù) 有
以下四個(gè)說法：
① ；
②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱；
③函數(shù)在 上單調(diào)遞增；
④若函數(shù)在上的最小值為，則 .
其中正確說法的序號(hào)是______.
②④
[解析] 把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移 個(gè)單位，縱坐標(biāo)
變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)
的圖象，
所以，故①不正確；
令 , ，得,，
故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn), 對(duì)稱，
故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，故②正確；
令,，得 ，，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為, ,
故函數(shù)在上不單調(diào)遞增，故③不正確；
當(dāng) 時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值 ，
因?yàn)楹瘮?shù)在上的最小值為,所以 ，
解得 ，故④正確.
故正確說法的序號(hào)是②④.
1.最值與單調(diào)性之間的關(guān)系
函數(shù), , 為常數(shù)，且, 的圖象上相
鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為最小正周期 ，相鄰兩個(gè)最高
點(diǎn)之間有一個(gè)最低點(diǎn).因此，若記從左至右第一個(gè)最大值點(diǎn)為 ,
最小值點(diǎn)為,第二個(gè)最大值點(diǎn)為 ,則函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間為
,單調(diào)遞增區(qū)間為
.
2.最值與奇偶性之間的關(guān)系
對(duì)于函數(shù), , 為常數(shù)，且, ,當(dāng)
且僅當(dāng)取得最值時(shí)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱， 為偶函數(shù)；
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 為奇函數(shù).
3.三角函數(shù)的最值與周期性之間的關(guān)系
由三角函數(shù)的圖象可知，相鄰兩個(gè)最大值點(diǎn)之間的區(qū)間長度為周期 ，
相鄰兩個(gè)最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)之間的區(qū)間長度為 ,相鄰的最值點(diǎn)與零
點(diǎn)之間的區(qū)間長度為 .
函數(shù) 性質(zhì)的運(yùn)用:
（1）①對(duì)稱性:函數(shù)圖象與 軸的交點(diǎn)是對(duì)稱中心,即函數(shù)圖象的對(duì)稱
中心是 ,對(duì)稱軸與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的
最值,即函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線 .
②對(duì)于函數(shù) 的圖象,相鄰的兩個(gè)對(duì)稱
中心或兩條對(duì)稱軸之間的水平距離為 個(gè)周期;相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心和
一條對(duì)稱軸之間的水平距離為 個(gè)周期.
③求函數(shù) 的性質(zhì),要善于采用整體策
略,即把 看成一個(gè)整體,將問題化歸為正弦函數(shù)的性質(zhì)來解決.
（2）函數(shù) 的性質(zhì)較為綜合,在歷年
高考題中都有所體現(xiàn)和考查，即圍繞著函數(shù)單調(diào)性、最值、奇偶性、
圖象的對(duì)稱性等都有所體現(xiàn)和考查.
例 （多選題）[2024·陜西渭南高一期末] 已知函數(shù)
，則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱
C.為偶函數(shù) D. 是周期函數(shù)
√
√
√
[解析] 對(duì)于A，的最小正周期 ，
故A中說法正確；
對(duì)于B， ，
故B 中說法錯(cuò)誤；
對(duì)于C，
，因?yàn)?，所以
不為偶函數(shù)，故C中說法錯(cuò)誤；
對(duì)于D，顯然的圖象關(guān)于 軸對(duì)稱，作出的圖象如圖所示，
由圖可知 不是周期函數(shù)，故D中說法錯(cuò)誤.故選 .第2課時(shí)　正弦型函數(shù)的性質(zhì)與圖象(二)
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
(1)φ=kπ(k∈Z)　(2)φ=kπ+(k∈Z)
(3)φ≠(k∈Z)
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)√
知識(shí)點(diǎn)二
(1)x=kπ+(k∈Z)　ωx+φ=kπ+(k∈Z)
x=(k∈Z)
(2)(kπ,0)(k∈Z)　ωx+φ=kπ(k∈Z)　x=(k∈Z)
(k∈Z)
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　[解析] (4)函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱中心為(k∈Z).
(5)將函數(shù)的圖象進(jìn)行上、下平移時(shí),函數(shù)圖象的對(duì)稱中心也發(fā)生改變.
知識(shí)點(diǎn)三
(1)①(k∈Z)
②(k∈Z)
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　[解析] (2)由題意得f(x)=-sin,令-+2kπ≤x-≤+2kπ(k∈Z),得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z).
【課中探究】
探究點(diǎn)一
探索 　[解析] 由題意得y=3sin=-3sin(x∈[0,π]),求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間就是求y=sin(x∈[0,π])的單調(diào)遞減區(qū)間.由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).因?yàn)閤∈[0,π],所以取k=0,所以函數(shù)y=3sin(x∈[0,π])的單調(diào)遞增區(qū)間是.
例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)依題意可得A+1=3,解得A=2,設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T,則=-=,所以T=π,又ω>0,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ)+1,又f(x)的圖象過點(diǎn),所以f=2sin+1=3,即sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin+1.g(x)=f-1=2sin+1-1=2sin,令2kπ+≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,則g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,k∈Z.故選C.
(2)由題意得y=sin=-sin,x∈(0,π).令2kπ+<2x-<2kπ+,k∈Z,解得kπ+例2　(1)B　(2)C　[解析] (1)當(dāng)x∈時(shí),3x+φ∈,因?yàn)棣帐侨切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角,所以0<φ<π,所以-<-+φ<,<+φ<,因?yàn)楹瘮?shù)y=2sin(3x+φ)在區(qū)間上單調(diào),所以解得≤φ≤,即φ的取值范圍為.故選B.
(2)由題意知ω>0,令2kπ+≤ωx+≤+2kπ,k∈Z,解得+≤x≤+,k∈Z,又函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以k∈Z,解得6k+1≤ω≤+2k,k∈Z,所以k=0,1≤ω≤.故選C.
變式　D　[解析] 因?yàn)閒(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以y=sin x在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以=,解得ω=,即y=sin x在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,符合題意.故選D.
探究點(diǎn)二
探索 (1)+2kπ(k∈Z)　-+2kπ(k∈Z)
(2)
例3　(1)B　(2)A　[解析] (1)因?yàn)閤∈,所以2x+∈.當(dāng)2x+=-,即x=-時(shí),f(x)在區(qū)間上取到最小值f=2sin=2×=-1;當(dāng)2x+=,即x=時(shí),f(x)在區(qū)間上取到最大值f=2sin=2×1=2.故選B.
(2)當(dāng)x∈(0,π)時(shí),2ωx-∈,依題意可得2π<2ωπ-≤,解得<ω≤,即ω的取值范圍是.故選A.
變式　(1)A　(2)B　[解析] (1)當(dāng)x∈[0,π]時(shí),ωx+∈.由f(0)=sin=,sin=,sin=,f(x)在[0,π]上的取值范圍為,可得≤πω+≤,解得ω∈,故選A.
(2)函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0),令-≤ωx≤,得-≤x≤,則函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增,依題意知, ,即解得0<ω≤.當(dāng)x∈[0,π]時(shí),ωx∈[0,πω],由f(x)在[0,π]上恰好取得一次最大值1,得≤πω<,解得≤ω<.綜上,ω的取值范圍是.故選B.
探究點(diǎn)三
探索 --kπ(k∈Z)　-kπ(k∈Z)
例4　(1)ACD　(2)AC　[解析] (1)將函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象向左平移個(gè)單位后得到y(tǒng)=sin的圖象,因?yàn)樵摵瘮?shù)為偶函數(shù),所以+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z.故選ACD.
(2)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,且f(-x)=sin(-x)=-sin x=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),故A正確;正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)(kπ,0)(k∈Z),故B錯(cuò)誤;根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換可得g(x)=sin,令3x-=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),故g(x)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=+(k∈Z),若x1+x2=,則g(x1)=g(x2),故C正確;令3x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),故g(x)的圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)(k∈Z),無論k取何整數(shù),+≠,故D錯(cuò)誤.故選AC.
變式　(1)B　(2)C　[解析] (1)由題圖可知A=2,=-=,即T=π,所以ω==2.由f=2,可得2sin=2,所以+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin,故A錯(cuò)誤;f=2sin=2sin =-2,故B正確;f=2sin=2sin=-2≠0,故C錯(cuò)誤;當(dāng)x∈時(shí),2x+∈[-π,0],此時(shí)函數(shù)f(x)不單調(diào)遞減,故D錯(cuò)誤.故選B.
(2)由已知可得=,所以T=π,所以ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ).將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后,得到函數(shù)y=sin的圖象.因?yàn)榈玫降膱D象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以2×+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=sin.對(duì)于A,因?yàn)?×-=,所以點(diǎn)不是函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱中心,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)?×-=,所以點(diǎn)不是函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱中心,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)?×-=0,所以點(diǎn)是函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱中心,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)?×-=,所以點(diǎn)不是函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱中心,故D錯(cuò)誤.故選C.
探究點(diǎn)四
例5　ABD　[解析] 對(duì)于A,f(x)的最小正周期T==,故A正確;對(duì)于B,f=sin=sin 4x,函數(shù)y=f為奇函數(shù),故B正確;對(duì)于C,當(dāng)x∈時(shí),4x-∈,因?yàn)楹瘮?shù)y=sin x在上不單調(diào),所以f(x)在上不單調(diào),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,f=sin=1,則f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,故D正確.故選ABD.
變式　BC　[解析] 將函數(shù)f(x)=2sin(ω>0)的圖象向左平移個(gè)單位后得到g(x)=2sin=2sin的圖象,因?yàn)間(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以+=+kπ(k∈Z),解得ω=+3k(k∈Z).若ω=3,則+3k=3,解得k=,因?yàn)閗∈Z,所以k=不成立,故A錯(cuò)誤.若f(x)的周期是4π,則=4π,解得ω=,又因?yàn)棣?+3k,所以k=0,符合k∈Z,故B正確.f=2sin=2sin,因?yàn)棣?+3k(k∈Z),所以f=2sin=2sin=2sin=2sin,令h(x)=2sin,則h(-x)=2sin=-2sin=-h(x),所以f一定為奇函數(shù),故C正確.令t=ωx+,因?yàn)?探究點(diǎn)五
例6　解:(1)由題意得f(10)=350,f(14)=1250,且sin(14ω+φ)=1,≥9,
則即
又|φ|<,所以ω=,φ=,所以f(x)=600sin+650,x∈[8,17].
(2)當(dāng)x∈[8,17]時(shí),x+∈,
令600sin+650=950,可得x=12或x=16,
結(jié)合函數(shù)圖象及x∈[8,17],可得x∈[8,12]或x∈[16,17].
為了保證在場(chǎng)的游客都能得到福字,應(yīng)選擇在12點(diǎn)前或16點(diǎn)之后兩個(gè)時(shí)間段贈(zèng)送福字.
變式　D　[解析] 由題意得(t1+t2)=1,(t2+t3)=3,故函數(shù)s(t)=3sin(ωt+φ)的周期T=2×(3-1)=4,所以ω==,所以s(t)=3sin.令<1.5,得-1.5<3sin<1.5,所以+2kπ【課堂評(píng)價(jià)】
1.A　[解析] 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.故選A.
2.C　[解析] 函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ)的圖象向左平移個(gè)單位后,得到的圖象所對(duì)應(yīng)的解析式為g(x)=2sin=2sin,因?yàn)間(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.當(dāng)x∈時(shí),2x+∈,所以當(dāng)2x+=,即x=時(shí),f(x)取得最小值f=2sin=2×=-1.故選C.
3.BCD　[解析] 由題圖可知A=4,=-=,所以T=π,所以ω==2,所以f(x)=4sin(2x+φ),又函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn),所以f=4sin=4,所以+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=4sin,故A錯(cuò)誤;因?yàn)閒=4sin=4sin 2x,所以函數(shù)f為奇函數(shù),故B正確;當(dāng)x∈時(shí),2x+∈,因?yàn)閥=sin x在上單調(diào)遞增,所以f(x)在上單調(diào)遞增,故C正確;因?yàn)閒=4sin=4sin=-4,所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,故D正確.故選BCD.
4.　[解析] 依題意可得2ω-=kπ(k∈Z),解得ω=+(k∈Z),又0<ω<,所以ω=.
5.②④　[解析] 把函數(shù)y=sin 2x圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)f(x)=2sin=2sin的圖象,所以f(x)=2sin,故①不正確;令2x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn),k∈Z對(duì)稱,故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故②正確;令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z,故函數(shù)f(x)在上不單調(diào)遞增,故③不正確;當(dāng)x∈時(shí),2x+∈,當(dāng)2x+=時(shí),f(x)取得最小值-,因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)+a在上的最小值為,所以-+a=,解得a=2,故④正確.故正確說法的序號(hào)是②④.第2課時(shí)　正弦型函數(shù)的性質(zhì)與圖象(二)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　能借助正弦型函數(shù)圖象求解與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　正弦型函數(shù)的奇偶性
(1)當(dāng)　　　　　　　　　時(shí),正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)可化為y=±Asin ωx的形式,是奇函數(shù);
(2)當(dāng)　　　　　　　　　　時(shí),正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)可化為y=±Acos ωx的形式,是偶函數(shù);
(3)當(dāng)　　　　　　　　　時(shí),正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是非奇非偶函數(shù).
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)對(duì)于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A≠0,ω≠0,b≠0),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí),函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)φ=kπ+(k∈Z)時(shí),函數(shù)是偶函數(shù). (　 )
(2)若正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則φ=kπ(k∈Z),若關(guān)于y軸對(duì)稱,則φ=kπ+(k∈Z). (　 )
(3)已知函數(shù)f(x)=2sin(x+φ),若f(0)=0,則函數(shù)一定是奇函數(shù),且φ=kπ(k∈Z),若f(0)=±2,則函數(shù)一定是偶函數(shù),且φ=+kπ(k∈Z). (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)
(A≠0,ω≠0)圖象的對(duì)稱性
(1)對(duì)稱軸:y=sin x的圖象的對(duì)稱軸方程為　　　　　　　　　　,故正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的圖象的對(duì)稱軸方程為　　　　　　　　,可化為　　　　　　　　.
(2)對(duì)稱中心:y=sin x的圖象的對(duì)稱中心為　　　　　　　　　　,故正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的圖象的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)滿足　　　　　　,解得　　　　　　　,故正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的圖象的對(duì)稱中心為　　　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若函數(shù)f(x)=2sin,則函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=+kπ(k∈Z),對(duì)稱中心為(k∈Z).(　 )
(2)已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),若對(duì)任意的x∈R,f(x1)≤f(x)≤f(x2),則直線x=x1,x=x2是函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸. (　 )
(3)正弦型函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象與x軸的交點(diǎn)為函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱中心. (　 )
(4)函數(shù)f(x)=sin+1的圖象的對(duì)稱中心為(k∈Z). (　 )
(5)若將正弦型函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象進(jìn)行左、右平移,則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心可能發(fā)生改變,函數(shù)的值域不變;若將函數(shù)的圖象進(jìn)行上、下平移,則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心都不變,函數(shù)的值域發(fā)生改變. (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)三　正弦型函數(shù)的單調(diào)性
正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的單調(diào)區(qū)間的求解方法(以A>0為例):
(1)當(dāng)ω>0時(shí),把ωx+φ看成一個(gè)整體,視為X.
①若把ωx+φ代入到y(tǒng)=sin X的單調(diào)遞增區(qū)間,則得到2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z),從中解出x的取值區(qū)間　　　　　　　　　　　　,就是正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的單調(diào)遞增區(qū)間;
②若把ωx+φ代入到y(tǒng)=sin X的單調(diào)遞減區(qū)間,則得到2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+π(k∈Z),從中解出x的取值區(qū)間　　　　　　　　　　　,就是正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)當(dāng)ω<0時(shí),先利用誘導(dǎo)公式把x的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù),再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定單調(diào)區(qū)間.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)函數(shù)f(x)=sin在[0,2π]內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間是. (　 )
(2)函數(shù)f(x)=sin的單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z). (　　)
(3)若當(dāng)x=時(shí),函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ)取得最大值,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z). (　 )
(4)若正弦型函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間為,則一定有T≥π. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　與函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0,
ω≠0)的單調(diào)性有關(guān)的問題
[探索] 函數(shù)y=3sin(x∈[0,π])的單調(diào)遞增區(qū)間是　　　　.
考向一　求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例1 (1)[2024·江西瑞昌一中高一月考] 函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+1的部分圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=f-1的單調(diào)遞減區(qū)間為 (　 )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
(2)[2023·東北師大附中高一月考] 函數(shù)y=sin,x∈(0,π)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (　 )
A. B.
C. D.
考向二　已知單調(diào)區(qū)間求解參數(shù)問題
例2 (1)[2024·山東聊城高一期末] 若φ是三角形的一個(gè)內(nèi)角,且函數(shù)y=2sin(3x+φ)在區(qū)間上單調(diào),則φ的取值范圍為 (　 )
A. B.
C. D.
(2)[2023·遼寧錦州高一期中] 已知函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間上單調(diào)遞減,則正實(shí)數(shù)ω的取值范圍是 (　 )
A.0<ω≤ B.1≤ω≤
C.1≤ω≤ D.≤ω≤
變式 [2024·廣東佛山石門中學(xué)高一月考] 已知f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則ω的值為 (　 )
A.2 B.
C. D.
[素養(yǎng)小結(jié)]
正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解技巧:
(1)結(jié)合正弦函數(shù)的圖象,熟記其單調(diào)區(qū)間;
(2)將比較復(fù)雜的三角函數(shù)符號(hào)后的整體當(dāng)作一個(gè)角u(或t),再利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性來求所要求的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,這就要求同學(xué)們熟練掌握基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,如y=sin x在(k∈Z)上單調(diào)遞增,在(k∈Z)上單調(diào)遞減;
(3)在求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),一定要注意復(fù)合函數(shù)的有關(guān)知識(shí),忽略復(fù)合函數(shù)的條件,是同學(xué)們?cè)诮忸}中常犯的錯(cuò)誤.
◆ 探究點(diǎn)二　正弦型函數(shù)的最值問題
[探索] 已知函數(shù)f(x)=sin.
(1)當(dāng)x=　　　　　　時(shí),f(x)max=1;
當(dāng)x=　　　　　　時(shí),f(x)min=-1.
(2)若x∈,則f(x)∈;
若x∈[0,π],則f(x)∈　　　　.
例3 (1)[2023·廣東佛山榮山中學(xué)高一期中] 已知函數(shù)f(x)=2sin,則函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值和最大值分別為 (　 )
A.-2,2 B.-1,2
C.-,2 D.-2,1
(2)若函數(shù)f(x)=2sin(ω>0)在區(qū)間(0,π)上恰有三個(gè)零點(diǎn),兩個(gè)最值點(diǎn),則ω的取值范圍是 (　 )
A. B.
C. D.
變式 (1)若函數(shù)f(x)=sin(ω>0)在[0,π]上的取值范圍為,則實(shí)數(shù)ω的取值范圍為 (　 )
A. B.
C. D.
(2)[2024·重慶育才中學(xué)高一月考] 已知函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間上是增函數(shù),且在區(qū)間[0,π]上恰好取得一次最大值1,則ω的取值范圍是 (　 )
A. B.
C. D.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),x∈[m,n]的值域分兩步:①由x∈[m,n]求出t=ωx+φ的取值范圍;②由t=ωx+φ的取值范圍結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性或畫出函數(shù)圖象求出sin t的取值范圍,從而求出函數(shù)的值域.
(2)解決利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)取值范圍的問題,關(guān)鍵是能夠結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象求得角的取值范圍,從而得到關(guān)于參數(shù)的不等式(組).
◆ 探究點(diǎn)三　函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的奇偶性和對(duì)稱性問題
[探索] 若直線x=是函數(shù)f(x)=sin(2x-φ)的圖象的一條對(duì)稱軸,則φ=　　　　　　;若點(diǎn)是函數(shù)f(x)=sin(2x-φ)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,則φ=　　　　　　　　.
例4 (1)(多選題)[2023·甘肅天水高一期末] 將函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象向左平移個(gè)單位后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象,則φ的可能取值為 (　 )
A.- B.- C. D.
(2)(多選題)[2023·武漢一中高一期中] 將函數(shù)f(x)=sin x的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短到原來的,再將所得圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,則下列說法正確的是 (　 )
A.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
B.函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)
C.若x1+x2=,則g(x1)=g(x2)
D.函數(shù)g(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)
變式 (1)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則下列說法正確的是 (　 )
A.該圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為f(x)=2sin
B.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱
C.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
D.函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減
(2)[2023·江西九江一中高一月考] 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后,得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是 (　 )
A. B.
C. D.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)奇偶性:因?yàn)楹瘮?shù)y=Asin ωx(A≠0,ω≠0)是奇函數(shù),所以判斷函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)是否為奇函數(shù),關(guān)鍵是看它能否利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為y=±Asin ωx(A≠0,ω≠0)的形式.若φ=kπ(k∈Z),則y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)為奇函數(shù);若φ=kπ+(k∈Z),則y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)為偶函數(shù).
(2)對(duì)稱性:當(dāng)ωx+φ=kπ+(k∈Z)時(shí),函數(shù)y=Asin(ωx+φ)取得最大值或最小值,因此函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的對(duì)稱軸方程由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求出.同理,其圖象的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由ωx+φ=kπ(k∈Z)求出.
◆ 探究點(diǎn)四　函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例5 (多選題)[2024·西安三中高一期中] 已知函數(shù)f(x)=sin,則 (　 )
A.f(x)的最小正周期為
B.y=f為奇函數(shù)
C.f(x)在上單調(diào)遞增
D.f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱
變式 (多選題)[2024·河北張家口成龍高級(jí)中學(xué)高一月考] 將函數(shù)f(x)=2sin(ω>0)的圖象向左平移個(gè)單位后,其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則下列說法正確的是 (　 )
A.ω可能等于3
B.f(x)的周期可以是4π
C.f一定為奇函數(shù)
D.f(x)在上單調(diào)遞減
[素養(yǎng)小結(jié)]
求解與函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的性質(zhì)有關(guān)的問題,關(guān)鍵要注意三點(diǎn):一是整體代換思想,即求解函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)、奇偶性等問題時(shí)常常令ωx+φ=t,進(jìn)而將函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=Asin t的問題,化“陌生”為“熟悉”,最后一定要將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的問題;二是數(shù)形結(jié)合,具體問題能夠借助正弦曲線求解;三是要充分理解“k(k∈Z)”的意義.
◆ 探究點(diǎn)五　函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的實(shí)際應(yīng)用
例6 [2024·江西新余高一期末] 春節(jié)前后,各地積極開展各種非遺展演、文化廟會(huì)活動(dòng).某地廟會(huì)每天8點(diǎn)開始,17點(diǎn)結(jié)束.通過觀察發(fā)現(xiàn),游客數(shù)量f(x)(單位:人)與時(shí)間x之間可以近似地用函數(shù)f(x)=600sin(ωx+φ)+k來刻畫,其中x∈[8,17].8點(diǎn)開始后,游客逐漸增多,10點(diǎn)時(shí)大約有350人,14點(diǎn)時(shí)游客最多,大約有1250人,之后游客逐漸減少.
(1)求出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)為了營造幸福祥和的氛圍,該廟會(huì)籌辦方邀請(qǐng)本地書法家書寫了950幅福字,計(jì)劃選一時(shí)段分發(fā)給每位游客,為了保證在場(chǎng)的游客都能得到福字,應(yīng)選擇在什么時(shí)間段贈(zèng)送福字
變式 [2024·河南南陽高一期中] 阻尼器是一種以提供運(yùn)動(dòng)的阻力從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置.某阻尼器模型的運(yùn)動(dòng)過程可近似看為單擺運(yùn)動(dòng),其離開平衡位置的位移s(cm)和時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s(t)=3sin(ωt+φ),其中ω>0,若該阻尼器模型在擺動(dòng)過程中連續(xù)三次位移為s0(-3A. s B. s C.1 s D. s
[素養(yǎng)小結(jié)]
解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟:
1.函數(shù)f(x)=sin的單調(diào)遞增區(qū)間為 (　 )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
2.[2024·廣州鐵一中學(xué)高一月考] 若將f(x)=2sin(2x+φ)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則f(x)在上的最小值為 (　 )
A.-2 B.- C.-1 D.-
3.(多選題)[2024·湖南衡陽高一期末] 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則 (　 )
A.φ=
B.函數(shù)f為奇函數(shù)
C.f(x)在上單調(diào)遞增
D.f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱
4.若y=sin的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,則ω=　　　　.
5.把函數(shù)y=sin 2x圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)f(x)的圖象,對(duì)于函數(shù)f(x)有以下四個(gè)說法:
①f(x)=2sin;
②函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;
③函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增;
④若函數(shù)y=f(x)+a在上的最小值為,則a=2.
其中正確說法的序號(hào)是　　　　. 第2課時(shí)　正弦型函數(shù)的性質(zhì)與圖象(二)
1.D　[解析] 由題意得單擺來回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間為此函數(shù)的一個(gè)周期,ω=2π,則T==1,故選D.
2.A　[解析] 將函數(shù)y=2sin的圖象向左平移個(gè)單位,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=2sin=2sin.由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故選A.
3.C　[解析] 函數(shù)f(x)=2sin的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變,得到g(x)=2sin的圖象,故A錯(cuò)誤;當(dāng)x∈時(shí),x-∈,所以函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增,故B錯(cuò)誤;當(dāng)x=時(shí),g=2sin=2sin π=0,所以點(diǎn)是函數(shù)g(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,故C正確;當(dāng)x∈時(shí),x-∈,g(x)∈[-2,],故D錯(cuò)誤.故選C.
4.A　[解析] 設(shè)f(x)的最小正周期為T,則T=-=,則T=π,所以ω===2,所以f(x)=sin(2x+φ).因?yàn)閒(x)=sin(2x+φ)的圖象過點(diǎn),所以sin=sin=1,則+φ=2kπ+(k∈Z),所以φ=2kπ+(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin,所以f(0)=.故選A.
5.B　[解析] 由x∈,可得ωx-∈,由f(x)在上的取值范圍為[-1,2]及正弦函數(shù)的性質(zhì)可得≤ω-≤π+,解得≤ω≤.故選B.
6.A　[解析] 由2kπ-≤ωx+≤2kπ+(k∈Z)且ω>0,得≤x≤(k∈Z),所以(k∈Z),所以(k∈Z),又ω>0,所以0<ω≤.故選A.
[點(diǎn)撥] 已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍常用方法:求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,由已知區(qū)間是所求區(qū)間的子集,列不等式(組)求解.
7.C　[解析] 方法一: 函數(shù)f(x)=sin(ω>0)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)y=sin=sin的圖象,函數(shù)f(x)=sin(ω>0)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)y=sin=sin的圖象,由題可知-=2kπ(k∈Z),解得ω=k(k∈Z),又ω>0,所以ω的最小值為.故選C.
方法二: 函數(shù)f(x)=sin的最小正周期為,依題意有+=k·(k∈N*),解得ω=k(k∈N*),又ω>0,所以ω的最小值為.故選C.
8.AC　[解析] 由題意知,某噪聲的聲波曲線函數(shù)為f(x)=3sin,且經(jīng)過點(diǎn)(2,3),可得3sin=3,即sin=1,因?yàn)閨φ|<,所以φ=,所以f(x)=3sin.對(duì)于A,函數(shù)f(x)的最小正周期T==12,故A正確;對(duì)于B,φ=,故B不正確;對(duì)于C,當(dāng)x∈(2,8)時(shí),x+∈,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì),可得f(x)在(2,8)上單調(diào)遞減,故C正確;對(duì)于D,由f(x)=3sin,可得f(x+2)=3sin,此時(shí)函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù),故D不正確.故選AC.
9.AC　[解析] 當(dāng)x∈[0,2π]時(shí),ωx-∈,由題意可知≤2ωπ-<,解得≤ω<,故A正確;因?yàn)?ωπ-∈,所以f(x)在[0,2π]上可能有2個(gè)、3個(gè)或4個(gè)零點(diǎn),故B錯(cuò)誤;f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后,得到函數(shù)y=sin=sin的圖象,因?yàn)樵搱D象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以--=+kπ,k∈Z,解得ω=--12k,k∈Z,又ω∈,所以ω=,故C正確;將f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?得到函數(shù)g(x)=sin的圖象,當(dāng)x∈時(shí),2ωx-∈,因?yàn)棣亍?所以-∈,所以g(x)在上不一定單調(diào)遞增,故D錯(cuò)誤.故選AC.
[點(diǎn)睛] 本題綜合考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及最值、零點(diǎn)、奇偶性以及平移變換等,綜合性強(qiáng),解答時(shí)要能熟練應(yīng)用正弦函數(shù)的相關(guān)知識(shí),難點(diǎn)在于要注意采用整體處理的方法,另外就是計(jì)算較復(fù)雜,要十分細(xì)心.
10.f(x)=sin πx(答案不唯一)　[解析] 由題意,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù);又f(x+1)-f(-x)=0,所以f(x+1)=f(-x)=-f(x),即f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x),所以f(x)是以2為周期的周期函數(shù).故f(x)的解析式可以為f(x)=sin πx.
11.-　[解析] 因?yàn)閒=0,所以f=sin=0,所以ω-=kπ,k∈Z,解得ω=2+6k,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2,所以f(x)=sin.將f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=sin的圖象,再將得到的圖象向左平移個(gè)單位,得到g(x)=sin=sin的圖象.當(dāng)x∈時(shí),x-∈,g(x)∈,所以g(x)在區(qū)間上的最小值為-.
12.　[解析] 由g(x)≤g,可知當(dāng)x=時(shí),g(x)取得最大值,即+=+2kπ,k∈Z,解得ω=+3k,k∈Z,因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在上單調(diào),所以T≥π,則=T≥π,解得ω≤2,所以ω=.
13.解:(1)由圖象可得A=3,且函數(shù)f(x)的最小正周期T=-=π,∴ω==2.
∵函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn),∴f=3sin=3sin=3,即sin=1,
∴+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,∴φ=.故f(x)=3sin.
(2)∵≤x≤π,∴≤2x+≤,
∴當(dāng)2x+=,即x=時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,最小值為-3;當(dāng)2x+=,即x=π時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,最大值為.故函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為,最小值為-3.
(3)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.
14.解:(1)因?yàn)橹本€x=π是函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸,所以sin=±1,
所以ωπ-=+kπ,k∈Z,解得ω=+k,k∈Z,
又ω∈,所以ω=,所以T==.
(2)由(1)可得,f(x)=sin,f(0)=sin=-,f(3π)=sin=,作出函數(shù)f(x)在[0,3π]內(nèi)的圖象,如圖所示.
方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)f(x)的圖象與直線y=2+m有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
則-1<2+m<-或<2+m<1,解得-315.D　[解析] 由題知,f(x)∈[-2,2],因?yàn)閒(2)-f(4)=4,且f(x)在[2,4]上單調(diào),所以f(2)=2,f(4)=-2,且=4-2=2,所以T==4,解得ω=,所以sin(2π+φ)=sin φ=-1,又|φ|<π,所以φ=-,所以f(x)=2sin(x-1).g(x)=f(x)-=2sin(x-1)-,令g(x)=0,得2sin(x-1)=,所以g(x)的零點(diǎn)即為函數(shù)y=sin(x-1)的圖象與y=的圖象在x∈(-5,8)上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).作出兩函數(shù)的圖象,如圖所示,由圖可知共有6個(gè)零點(diǎn),從左到右依次設(shè)為x1,x2,x3,x4,x5,x6,則=-2,=2,=6,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=12.故選D.
16.解:(1)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.
(2)將f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再將所得圖象向左平移個(gè)單位,得到g(x)=sin的圖象.
由f(x1)+g(x2)=m,得g(x2)=m-f(x1),
因?yàn)閤1∈,所以2x1+∈,
所以sin∈[0,],
因?yàn)閤2∈,所以x2+∈,
所以sin∈[-,],
因?yàn)閷?duì)任意的x1∈,總存在x2∈,使得f(x1)+g(x2)=m,
所以[-+m,m] [-,],解得0≤m≤.
故m的取值范圍為[0,].第2課時(shí)　正弦型函數(shù)的性質(zhì)與圖象(二)
選擇題
1.如圖所示,單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng),離開平衡位置O的距離s(cm)和時(shí)間t(s)的函數(shù)解析式為s=6sin,那么單擺來回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間為 (　 )
A.2π s B.π s
C.0.5 s D.1 s
2.將函數(shù)y=2sin的圖象向左平移個(gè)單位,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (　 )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
3.[2023·南京高淳高級(jí)中學(xué)高一月考] 將函數(shù)f(x)=2sin的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)的圖象,則下列結(jié)論正確的是 (　 )
A.g(x)=2sin
B.函數(shù)g(x)在上不單調(diào)
C.點(diǎn)是函數(shù)g(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
D.當(dāng)x∈時(shí),函數(shù)g(x)的最大值為2
4.[2024·安徽蚌埠高一期中] 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)在區(qū)間上單調(diào)遞減,且函數(shù)值從1減小到-1,那么此函數(shù)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 (　 )
A. B. C. D.
5.[2024·福建莆田四中高一期末] 已知函數(shù)f(x)=2sin(ω>0)在上的取值范圍為[-1,2],則ω的取值范圍為 (　 )
A. B.
C. D.
★6.[2024·廣東肇慶高一期末] 已知函數(shù)y=sin(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則ω的取值范圍為 (　 )
A. B.
C. D.
7.已知將函數(shù)f(x)=sin(ω>0)的圖象僅向左平移個(gè)單位和僅向右平移個(gè)單位都能得到同一個(gè)函數(shù)的圖象,則ω的最小值為(　 )
A. B. C. D.
8.(多選題)主動(dòng)降噪耳機(jī)的工作原理是:先通過微型麥克風(fēng)采集周圍的噪聲,然后降噪芯片生成與振幅相同的反相位聲波來抵消噪聲,已知某噪聲的聲波曲線函數(shù)為f(x)=3sin,且經(jīng)過點(diǎn)(2,3),則下列說法正確的是 (　 )
A.函數(shù)f(x)的最小正周期T=12
B.φ=-
C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,8)上單調(diào)遞減
D.函數(shù)y=f(x+2)是奇函數(shù)
★9.(多選題)[2023·內(nèi)蒙古赤峰二中高一月考] 設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ω>0),若f(x)的圖象與直線y=-1在[0,2π]上有且僅有1個(gè)交點(diǎn),則下列說法正確的是 (　 )
A.ω的取值范圍是
B.f(x)在[0,2π]上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)
C.若f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱,則ω=
D.若將f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?得到函數(shù)g(x)的圖象,則g(x)在上單調(diào)遞增
二、填空題
10.[2024·浙江臨平蕭山學(xué)校高一期末] 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足f(x)+f(-x)=0,f(x+1)-f(-x)=0,則f(x)的解析式可以是　　　　.(寫出一個(gè)即可)
11.[2023·山東青島高一期中] 設(shè)函數(shù)f(x)=sin,其中0<ω<3,且f=0,將f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移個(gè)單位,得到g(x)的圖象,則g(x)在區(qū)間上的最小值為　　　　.
12.[2023·遼寧錦州高一期中] 已知函數(shù)g(x)=2sin,若ω>0,g(x)≤g,且函數(shù)g(x)在上單調(diào),則ω=　　　　.
三、解答題
13.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值;
(3)寫出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
14.已知函數(shù)f(x)=sin的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱,其中ω為實(shí)數(shù).
(1)若ω∈,求函數(shù)f(x)的周期;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)x∈[0,3π]時(shí),關(guān)于x的方程f(x)=2+m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
15.[2024·河北滄州高一期中] 已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π),f(2)-f(4)=4,且f(x)在[2,4]上單調(diào).設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-,且g(x)的定義域?yàn)?-5,8),則函數(shù)g(x)的所有零點(diǎn)之和為 (　 )
A.7 B.9
C.10 D.12
16.已知函數(shù)f(x)=sin,將f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再將所得圖象向左平移個(gè)單位,得到g(x)的圖象.
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若對(duì)任意的x1∈,總存在x2∈,使得f(x1)+g(x2)=m,求m的取值范圍.

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