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(共59張PPT)
7.3 三角函數的性質與圖象
7.3.3 余弦函數的性質與圖象
探究點一 求函數的解析式與“五點法”作圖
探究點二 余弦型函數的單調性問題
探究點三 值域與最值問題
探究點四 奇偶性、對稱性與周期性問題
【學習目標】
1.能用五點法畫出余弦函數的圖象，能利用誘導公式和正弦函數
圖象的平移得到余弦函數的圖象；
2.能利用圖象研究余弦函數的性質；
3.理解余弦函數的性質,會求余弦函數的最小正周期、單調區間
及最值，并會對比正弦型函數的圖象及性質求解余弦型函數的圖象
及性質.
知識點一 余弦函數的定義
余弦函數：因為對于任意一個角,都有唯一確定的余弦 與之對
應,所以是一個函數,一般稱為__________.函數 的
圖象稱為__________.
余弦函數
余弦曲線
知識點二 余弦函數的性質與圖象
函數
定義域 ___
值域 _______
奇偶性 __________
周期性 最小正周期為_____________________
單調性 當 _____________________時，單調遞增；
當 _____________________時，單調遞減
偶函數
最大值與最小值 當_____ 時，取得最大值_____；
當_________ 時，取得最小值_____
零點 ____________________
圖象
______________
圖象的對稱性 對稱軸：______________；
對稱中心：_________________
1
續表
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數的性質與 的性質不一樣. ( )
×
[解析] 因為 ，所以兩個函數的性質一樣.
（2）若直線是函數 的圖象的對稱軸，則函數
在處取得最大值或最小值.函數的圖象與 軸
的交點的橫坐標是函數的零點.( )
√
（3） .( )
×
[解析] 因為在 上單調遞減，且
，所以 .
（4）將余弦曲線向左平移 個單位可得到正弦曲線. ( )
√
（5）用五點法作余弦曲線的五個點分別為,， ，
， .( )
√
（6）函數的周期是 .( )
√
知識點三 余弦型函數 的性質
1.定義域為___，值域為__________.
2.余弦型函數也是周期函數，且其周期為____.
3.余弦型函數 的奇偶性
①當______________時，可化為 的
形式，是偶函數；
②當__________________時， 可化為
的形式，是奇函數；
③當______________時，函數 是非奇非偶函數.
4.余弦型函數圖象的對稱性
①對稱軸： 的圖象的對稱軸方程為
___________________，可化為________________；
)
②對稱中心： 的圖象的對稱中心的
橫坐標滿足_______________________，解得____________________，
故圖象的對稱中心為____________________.
5.余弦型函數的單調區間的求解方法：
（1）根據,化 為正數，得到形如
的函數.
（2）當 時，可由______________________________求解得到
單調遞增區間；由_____________________________求解得到單調
遞減區間（簡記為“增內求增，減內求減”）.
)
（3）當 時，可由_______________________________求解得到
單調遞減區間；由__________________________________求解得到
單調遞增區間（簡記為“增內求減，減內求增”）.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數的圖象是由函數 圖象上的所有點
的縱坐標不變，橫坐標變為原來的，再將所得圖象向左平移 個單
位得到的.( )
×
[解析] ，該函數的圖象是由
圖象上的所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的 ，再將
所得圖象向左平移 個單位得到的.
（2）若直線是函數 的圖象的一條對稱軸，
則滿足，且 , .( )
×
[解析] 若直線是函數 的圖象的一條對稱
軸，則滿足，且 , ，
即 , .
（3）函數的圖象的一個對稱中心為 .( )
×
[解析] 當時， ，
，
所以函數 的圖象的一個對稱中心為 .
探究點一 求函數的解析式與“五點法”作圖
［探索］ 用五點法作函數， 的圖象時，首先應描
出的五個點的橫坐標是________________.
，，，，
[解析] 分別令，， ，， ，得，，，， .
例1（1）函數
的部分圖象如圖所示，則函數 的解析式是
( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由題圖知， ，故.
由 ，
得 , ，
解得 ,,
又,所以，
故 . 故選D.
（2）[2024·河南商丘高一期末] 已知函數 ，填
寫下表，并作出在 上的圖象.
0
解：
0
0 0
變式 [2024·成都石室中學高一月考] 已知函
數 的部
分圖象如圖所示，則 ______________.
[解析] 由題圖可知， ，
則 ，又，所以.
因為 ，，所以 ，
所以 ,，解得, ，
，所以，所以 ，
所以 .
［素養小結］
（1）用五點法畫函數的圖象，令 ，
， ，, ，進而求出 的值，然后描點作圖即可.
（2）由函數圖象或性質求函數
的解析式的方法：
①， 可由圖象上最高點和最低點的縱坐標確定；
② ,可由圖象上最高點和最低點的橫坐標確定，先求出 ，再由
求出 ;
③ 可以由某一點處的函數值求得，要注意 的取值范圍.
探究點二 余弦型函數的單調性問題
例2（1） [2024·重慶南開中學高一期中] 已知函數，
將的圖象向左平移 個單位，得到函數的圖象，的圖象關于
原點對稱，且在 上單調遞減，則 ___．
3
[解析] 由題意知,因為 的圖象關于原點對稱，
所以 ,，解得,.
因為 在上單調遞減，且當 時，
，所以 ，
解得，，
又,, ,所以 ．
（2）函數 的單調遞增區間是________________
_______.
，
[解析] 令 , ,
解得，，
所以函數 的單調遞增區間是， .
變式 比較下列各組三角函數值的大小:
（1）___ ;
[解析] ,
.
,且在上單調遞增，
,即 .
（2）___ .
[解析] ,,
和 均為銳角,且.
在區間 上單調遞減,
,即 .
［素養小結］
（1）確定函數 的單調區間的基本思想是整體換元
思想，即將 看作一個整體，利用基本三角函數的單調性來求
復合三角函數的單調區間.若 的系數為負，則通常利用誘導公式化
為正數再求解.有時還應兼顧函數的定義域.
（2）比較兩個函數值大小時，一般先利用誘導公式把它們化為同名
三角函數，再把它們轉化到同一單調區間上，利用函數單調性對它
們進行比較.
探究點三 值域與最值問題
例3（1） [2024·浙江金華十校高一期末] 函數
,2,3, , 為月份)近似表示
某地每年各個月份從事旅游服務工作的人數，游客流量越大所需旅
游服務工作人員越多，則可以推斷當 ___時游客流量最大．
8
[解析] 因為,2,3, , ，
所以 ，
所以當 ，即時，取最大值1，
所以當 時， 取最大值，
又游客流量越大所需旅游服務工作人員越多，
所以當 時游客流量最大．
（2）已知函數， 的最大值為4，求實
數 的值.
解：， ，
.
若，則當時，取得最大值 ，
，解得 ；
若，則當時，取得最大值 ，
，解得 .
綜上可知，實數的值為2或 .
變式（1） [2024·廣西玉林高一期末] 已知函數
，，則 的最小值為_ ____．
[解析] 因為，所以 ，
所以，所以的最小值為 .
（2）函數, 的值域是______.
[解析] .
因為,所以,所以當,即 時,函數
,取得最大值,最大值為3.
當 ,即時,函數,取得最小值,最小值為 . 所以函數,的值域是 .
［素養小結］
求三角函數最值的兩種方法：
（1）將三角函數式化為 的形式，
結合有界性求最值；
（2）將三角函數式化為關于(或 的二次函數的形式，利用
二次函數的性質求最值.
探究點四 奇偶性、對稱性與周期性問題
［探索］ 函數 的圖象的對稱中心為_________
_________，對稱軸方程為__________________.
[解析] 由，得 ，
故函數的圖象的對稱中心為 .
由，得 ，
故函數的圖象的對稱軸方程為 .
例4（1） [2023·上海閔行中學高一期末]函數 的圖象
可按向量的方向平移得到函數的圖象，當 為奇函
數時，向量 可以為( )
A. B. C. D.
[解析] 設，則，
因為 為奇函數，所以，
令 , ，得,，
所以可以為 .故選B.
√
（2）（多選題）[2024·貴州安順高一期末] 設函數
，則下列結論正確的是( )
A.的一個零點為
B.的圖象關于直線 對稱
C. 是周期函數
D.方程 有3個解
√
√
√
[解析] 對于A， ，故A錯誤.
對于B，因為 ，
，所以
，所以的圖象關于直線 對稱，故B正確.
對于C，設，則
，所以 是周期函數，故C正確.
對于D，作出與 的圖象，如圖所示，
由圖知，在 內兩函數的圖象有1個交點；
當 時，，且 ，又 ，
所以由圖可得在 內兩函數圖象有2個交點；
當時， ， ，兩函數圖象無交點.
綜上，方程 有3個解，故D正確.故選 .
變式（1） [2023·重慶八中高一月考]已知函數
，若直線 是函數 的圖象
的一條對稱軸，則 的圖象的一個對稱中心為( )
A. B. C. D.
[解析] 因為直線 是函數 的圖象的一條對稱軸，
所以，即，又 ，所以 .
令，解得 ，
所以函數的圖象的一個對稱中心為 .故選A.
√
（2）[2024·山西長治高一期末] 將函數 的圖象向
左平移個單位，得到函數的圖象，若 是偶函
數，則 ____．
[解析] 將函數的圖象向左平移 個單位，
得到函數 的圖象，
因為是偶函數，所以 ,，解得, ，
又，所以 ．
［素養小結］
（1）求余弦型函數 的圖象的對稱軸
或對稱中心時可以應用整體換元的思想，可令
（對稱中心）或 （對稱軸），其中，進而求解
的值.要注意對稱軸最后要寫成直線方程的形式，對稱中心要寫成點
的坐標的形式.
（2）判斷所給直線是否為圖象的對稱軸，只需將相應的 值代入三
角函數解析式，若對應的函數值為最值，則該直線為圖象的對稱軸；
判斷所給點是否為圖象的對稱中心，只需看該點坐標是否滿足函數
解析式，且該點的縱坐標是否為函數的最大值與最小值的平均數.函
數圖象與對稱軸的交點為圖象的最高（低）點，函數圖象與平衡位
置的交點為圖象的對稱中心.
1.函數 的圖象的對稱軸方程可以是( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，，得， ，
所以的圖象的對稱軸方程為， .
結合選項知，令，得 .故選B.
√
2.下列函數中，既在區間上單調遞減又是以 為周期的偶函數
的是( )
A. B. C. D.
[解析] 對于A，函數的最小正周期 ，不符合題意；
對于B，函數的最小正周期 ，不符合題意；
對于C，函數的最小正周期 ，當 時，函數
單調遞增，不符合題意；
對于D，函數 的最小正周期 ，當時，函數
單調遞減，且為偶函數，符合題意.故選D.
√
3.已知函數 的部分
圖象如圖所示，直線與其交于， 兩
點．若，則 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
[解析] 令，可得 ， ，
，，則 ，
又，所以 .故選A.
√
4.[2023·內蒙古包頭高一期中]已知函數 在
上的大致圖象如圖所示，則 ( )
A. B. C. D.1
√
[解析] 設函數的最小正周期為 ，
由題圖可知，則 ，
所以，解得 ，
，所以 .故選A.
5.[2023·山西朔州懷仁一中高一月考] 函數 ，
的值域為______.
[解析] 當時，，則的值域為 .
1.用五點法或圖象變換法作函數， ，
, ， 為常數)的圖象，求這個函數的最大值、最小值、周期以及
單調區間等，方法與求正弦型函數 的相應性質是
類似的.
2.余弦曲線是把正弦曲線向左平移 個單位而得到的，相應
地，對稱中心、對稱軸、單調區間都向左平移 個單位，可以結合正
弦曲線來理解余弦曲線的特性.由于是曲線向左平移，故周期性不改
變，最值不改變.
3.與余弦函數相關的值域（最值）問題的解法：
（1）對于 的形式，借助余弦函數的有界性
求解.
（2）對于(其中， ，， 為常數，
,的形式，采用整體代換法求解，令 ，借助
的圖象及性質求解，注意的取值范圍對 的影響.
（3）對于的形式，采用分離常數法或反解出 ，再
利用余弦函數的有界性求解.
（4）對于 的形式，利用二次函數的
有關知識求解.
1.在研究，，, ， 為常數)的性
質時，應注意整體代換思想的應用.如當 ，
時，函數取得最大值，當 ，
時，函數取得最小值.
2.類比法
的圖象變換,可類比函數
的圖象變換,由 的圖象變換得到.
例1 [2024·天津南開區高一期中] 為得到函數 的圖
象，需將函數的圖象向左平移個單位，則 的
最小值為___．
[解析] 將函數的圖象向左平移 個單位，得到
的圖象，
由題可得,，解得,，
又，所以 的最小值為 .
3.余弦型函數周期的求解策略:
（1）定義法.
（2）公式法：對于簡單的周期求解問題，直接用周期公式求解即可.
的周期 .
的周期求法：當時,用公式 求
解;當時,用公式 求解.
（3）圖象法：畫圖象觀察求解周期.
例2 求下列函數的周期.
（1） ;
解：的周期是 ,且 的圖象是將
的圖象在軸下方的部分折到軸上方,并且保留 軸上方
的圖象而得到的,所以周期 .
（2） .
解： ,
所以其周期 .
4.解與余弦函數有關的最值（值域）問題
（1）求形如的函數的最值要注意對 進行討論.
（2）當函數可化為(其中, ,為常數, ,
的形式時,利用余弦函數的性質求最值,易得最大值為 ,
最小值為 .
（3）求形如 的函數的最大值、最小
值，可利用二次函數在區間 上的最大值、最小值來求.7.3.3　余弦函數的性質與圖象
【課前預習】
知識點一
余弦函數　余弦曲線
知識點二
R　[-1,1]　偶函數　2π　[2kπ-π,2kπ](k∈Z)　[2kπ,2kπ+π](k∈Z)　2kπ　1　2kπ+π　-1　kπ+(k∈Z)
　x=kπ(k∈Z)　(k∈Z)
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√
[解析] (1)因為y=sin=cos x,所以兩個函數的性質一樣.
(3)因為y=cos x在[0°,180°]上單調遞減,且0°<15°<35°<180°,所以cos 15°>cos 35°.
知識點三
1.R　[-|A|,|A|]　2.
3.①φ=kπ(k∈Z)?、讦?kπ+(k∈Z)　③φ≠(k∈Z)
4.①ωx+φ=kπ(k∈Z)　x=(k∈Z)?、讦豿+φ=kπ+(k∈Z)　x=(k∈Z)　(k∈Z)
5.(2)2kπ-π≤ωx+φ≤2kπ(k∈Z)　2kπ≤ωx+φ≤2kπ+π(k∈Z)　(3)2kπ-π≤ωx+φ≤2kπ(k∈Z)　2kπ≤ωx+φ≤2kπ+π(k∈Z)
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)y=cos=cos 2,該函數的圖象是由y=cos x圖象上的所有點的縱坐標不變,橫坐標變為原來的,再將所得圖象向左平移個單位得到的.
(2)若直線x=是函數f(x)=2cos(2x+φ)的圖象的一條對稱軸,則滿足f=±2,且2×+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z.
(3)當x=時,2×+=,y=cos+1=cos+1=1,所以函數y=cos+1的圖象的一個對稱中心為.
【課中探究】
探究點一
探索 0,,,,π　[解析] 分別令2x=0,,π,,2π,得x=0,,,,π.
例1　(1)D　[解析] 由題圖知,T=4×=π,故ω=2.由f=cos=-1,得+φ=π+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,故f(x)=cos.故選D.
(2)解:
2x+ π 2π
x 0 π
f(x) 0 - 0
變式　1　[解析] 由題圖可知,T=-=,則T=π,又ω>0,所以ω=2.因為=,f=2,所以2cos=2,所以+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ-,k∈Z,又|φ|<π,所以φ=-,所以f(x)=2cos,所以f(0)=2cos=1.
探究點二
例2　(1)3　(2),k∈Z　[解析] (1)由題意知g(x)=cos,因為g(x)的圖象關于原點對稱,所以=+kπ,k∈Z,解得ω=6k+3,k∈Z.因為g(x)在上單調遞減,且當x∈時,ωx+∈,所以k∈Z,解得≤ω≤,k∈Z,又ω>0,ω=6k+3,k∈Z,所以ω=3.
(2)令2kπ-π≤x+≤2kπ,k∈Z,解得4k-≤x≤4k-,k∈Z,所以函數f(x)的單調遞增區間是,k∈Z.
變式　(1)<　(2)<　[解析] (1)cos=cos=cosπ,cos=cos=cosπ.∵π<π<π<2π,且y=cos x在[π,2π]上單調遞增,∴cosπ(2)sin=cos,cos 6=cos(2π-6),-和2π-6均為銳角,且2π-6<-.∵y=cos x在區間[0,π]上單調遞減,∴cos探究點三
例3　(1)8　[解析] 因為n∈{1,2,3,…,12},所以+∈,所以當+=2π,即n=8時,cos取最大值1,所以當n=8時,f(n)取最大值,又游客流量越大所需旅游服務工作人員越多,所以當n=8時游客流量最大.
(2)解:∵x∈,∴2x+∈,∴-1≤cos≤.
若a>0,則當cos=時,y取得最大值a+3,
∴a+3=4,解得a=2;
若a<0,則當cos=-1時,y取得最大值-a+3,∴-a+3=4,解得a=-1.
綜上可知,實數a的值為2或-1.
變式　 (1)-　(2)　[解析] (1)因為x∈,所以2x-∈,所以cos∈,所以f(x)的最小值為-.
(2)y=sin2x-cos x+2=1-cos2x-cos x+2=-cos2x-cos x+3=-+3=-+.因為≤x≤,所以0≤cos x≤,所以當cos x=0,即x=時,函數y=sin2x-cos x+2,x∈取得最大值,最大值為3.當cos x=,即x=時,函數y=sin2x-cos x+2,x∈取得最小值,最小值為.所以函數y=sin2x-cos x+2,x∈的值域是.
探究點四
探索 (k∈Z)　x=+(k∈Z)　[解析] 由2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),故函數y=3cos+1的圖象的對稱中心為(k∈Z).由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),故函數y=3cos+1的圖象的對稱軸方程為x=+(k∈Z).
例4　(1)B　(2)BCD　[解析] (1)設d=(θ,0),則g(x)=cos,因為g(x)為奇函數,所以g(0)=cos=0,令-2θ=+kπ,k∈Z,得θ=--,k∈Z,所以d可以為.故選B.
(2)對于A,f=cos=1,故A錯誤.對于B,因為f=cos=cos x,f=cos=cos x,所以f=f,所以f(x)的圖象關于直線x=對稱,故B正確.對于C,設g(x)=,則g(x+2π)===g(x),所以y=是周期函數,故C正確.對于D,作出f(x)=cos與h(x)=-lg x的圖象,如圖所示,由圖知,在(0,1)內兩函數的圖象有1個交點;當x∈(1,10]時,h(x)∈[-1,0),且f=-1,又f(10)>-1=h(10),所以由圖可得在(1,10]內兩函數圖象有2個交點;當x∈(10,+∞)時,h(x)<-1,-1≤f(x)≤1,兩函數圖象無交點.綜上,方程f(x)=-lg x有3個解,故D正確.故選BCD.
變式　(1)A　(2)　[解析] (1)因為直線x=φ是函數f(x)的圖象的一條對稱軸,所以3φ=kπ(k∈Z),即φ=(k∈Z),又<φ<π,所以φ=.令2x+=+kπ(k∈Z),解得x=-+(k∈Z),所以函數f(x)的圖象的一個對稱中心為.故選A.
(2)將函數f(x)=cos的圖象向左平移φ個單位,得到函數g(x)=cos=cos的圖象,因為g(x)是偶函數,所以2φ-=kπ,k∈Z,解得φ=+,k∈Z,又0<φ<,所以φ=.
【課堂評價】
1.B　[解析] 由2x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,所以y=cos的圖象的對稱軸方程為x=-,k∈Z.結合選項知,令k=0,得x=-.故選B.
2.D　[解析] 對于A,函數y=sin x的最小正周期T=2π,不符合題意;對于B,函數y=cos x的最小正周期T=2π,不符合題意;對于C,函數y=|sin x|的最小正周期T=π,當x∈時,函數y=|sin x|=sin x單調遞增,不符合題意;對于D,函數y=|cos x|的最小正周期T=π,當x∈時,函數y=|cos x|=cos x單調遞減,且為偶函數,符合題意.故選D.
3.A　[解析] 令cos(ωx+φ)=,可得ωxA+φ=+2kπ,k∈Z,ωxB+φ=+2kπ,k∈Z,則ω(xB-xA)=,又|AB|=xB-xA=,所以ω=4.故選A.
4.A　[解析] 設函數f(x)的最小正周期為T,由題圖可知=-=,則T=,所以=,解得ω=,所以f(x)=cos,所以f=cos=cos=.故選A.
5.　[解析] 當x∈時,x+∈,則f(x)的值域為.7.3.3　余弦函數的性質與圖象
【學習目標】
　　1.能用五點法畫出余弦函數的圖象,能利用誘導公式和正弦函數圖象的平移得到余弦函數的圖象;
　　2.能利用圖象研究余弦函數的性質;
　　3.理解余弦函數的性質,會求余弦函數的最小正周期、單調區間及最值,并會對比正弦型函數的圖象及性質求解余弦型函數的圖象及性質.
◆ 知識點一　余弦函數的定義
余弦函數:因為對于任意一個角x,都有唯一確定的余弦cos x與之對應,所以y=cos x是一個函數,一般稱為　　　　　　.函數y=cos x的圖象稱為　　　　　　.
◆ 知識點二　余弦函數的性質與圖象
函數 y=cos x
定義域 　　　
值域 　　　
奇偶性 　　　
(續表)
函數 y=cos x
周期性 最小正周期為　　　
單調性 當x∈　　　　　　　　　　時,單調遞增;當x∈　　　　　　　　時,單調遞減
最大值與 最小值 當x=　　　　(k∈Z)時,取得最大值　　　　;當x=　　　　　　(k∈Z)時,取得最小值　　　　
零點 　　　　　
圖象 　　　　　　　　　　　
圖象的 對稱性 對稱軸:　　　　　　; 對稱中心:　　　　　
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數y=cos x的性質與y=sin的性質不一樣. (　 )
(2)若直線x=a是函數y=cos x的圖象的對稱軸,則函數y=cos x在x=a處取得最大值或最小值.函數y=cos x的圖象與x軸的交點的橫坐標是函數的零點. (　 )
(3)cos 15°(4)將余弦曲線向左平移個單位可得到正弦曲線. (　 )
(5)用五點法作余弦曲線的五個點分別為(0,1),,(π,-1),,(2π,1). (　 )
(6)函數y=|cos x|的周期是π. (　 )
◆ 知識點三　余弦型函數y=Acos(ωx+φ)
(A≠0,ω≠0)的性質
1.定義域為　　　　,值域為　　　　　　.
2.余弦型函數也是周期函數,且其周期為　　　　.
3.余弦型函數y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的奇偶性
①當　　　　　　　　時,y=Acos(ωx+φ)可化為y=±Acos ωx的形式,是偶函數;
②當　　　　　　　　時,y=Acos(ωx+φ)可化為y=±Asin ωx的形式,是奇函數;
③當　　　　　　　　時,函數y=Acos(ωx+φ)是非奇非偶函數.
4.余弦型函數圖象的對稱性
①對稱軸:y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的圖象的對稱軸方程為　　　　　　　　,可化為　　　　　　;
②對稱中心:y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的圖象的對稱中心的橫坐標滿足　　　　　　　　,解得　　　　　　　　　　,故圖象的對稱中心為　　　　　　　　.
5.余弦型函數的單調區間的求解方法:
(1)根據cos(-x)=cos x,化ω為正數,得到形如y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的函數.
(2)當A>0時,可由　　　　　　　　　　　求解得到單調遞增區間;由　　　　　　　　　　求解得到單調遞減區間(簡記為“增內求增,減內求減”).
(3)當A<0時,可由　　　　　　　　　　求解得到單調遞減區間;由　　　　　　　　　求解得到單調遞增區間(簡記為“增內求減,減內求增”).
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數y=cos的圖象是由函數y=cos x圖象上的所有點的縱坐標不變,橫坐標變為原來的,再將所得圖象向左平移個單位得到的. (　 )
(2)若直線x=是函數f(x)=2cos(2x+φ)的圖象的一條對稱軸,則滿足f=2,且φ=-+2kπ,k∈Z. (　 )
(3)函數y=cos+1的圖象的一個對稱中心為. (　 )
◆ 探究點一　求函數的解析式與“五點法”作圖
[探索] 用五點法作函數y=cos 2x,x∈R的圖象時,首先應描出的五個點的橫坐標是　　　　　　　　.
例1 (1)函數f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則函數f(x)的解析式是 (　 )
A.f(x)=cos
B.f(x)=cos
C.f(x)=cos
D.f(x)=cos
(2)[2024·河南商丘高一期末] 已知函數f(x)=cos,填寫下表,并作出f(x)在[0,π]上的圖象.
2x+
x 0 π
f(x)
變式 [2024·成都石室中學高一月考] 已知函數f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,則f(0)=　　　　.
[素養小結]
(1)用五點法畫函數y=Acos(ωx+φ)的圖象,令ωx+φ=0,,π,,2π,進而求出x的值,然后描點作圖即可.
(2)由函數圖象或性質求函數y=Acos(ωx+φ)+b(A≠0,ω>0)的解析式的方法:
①A,b可由圖象上最高點和最低點的縱坐標確定;
②ω,T可由圖象上最高點和最低點的橫坐標確定,先求出T,再由T=求出ω;
③φ可以由某一點處的函數值求得,要注意φ的取值范圍.
◆ 探究點二　余弦型函數的單調性問題
例2 (1)[2024·重慶南開中學高一期中] 已知函數f(x)=cos ωx(ω>0),將f(x)的圖象向左平移個單位,得到函數g(x)的圖象,g(x)的圖象關于原點對稱,且g(x)在上單調遞減,則ω=　　　　.
(2)函數f(x)=2cos的單調遞增區間是　　　　　　　.
變式 比較下列各組三角函數值的大小:
(1)cos　　　　 cos;
(2)sin　　　　cos 6.
[素養小結]
(1)確定函數y=Acos(ωx+φ)的單調區間的基本思想是整體換元思想,即將ωx+φ看作一個整體,利用基本三角函數的單調性來求復合三角函數的單調區間.若x的系數為負,則通常利用誘導公式化為正數再求解.有時還應兼顧函數的定義域.
(2)比較兩個函數值大小時,一般先利用誘導公式把它們化為同名三角函數,再把它們轉化到同一單調區間上,利用函數單調性對它們進行比較.
◆ 探究點三　值域與最值問題
例3 (1)[2024·浙江金華十校高一期末] 函數f(n)=200cos+300(n∈{1,2,3,…,12}為月份)近似表示某地每年各個月份從事旅游服務工作的人數,游客流量越大所需旅游服務工作人員越多,則可以推斷當n=　　　　時游客流量最大.
(2)已知函數y=acos+3,x∈的最大值為4,求實數a的值.
變式 (1)[2024·廣西玉林高一期末] 已知函數f(x)=cos,x∈,則f(x)的最小值為　　　　.
(2)函數y=sin2x-cos x+2,x∈的值域是　　　　.
[素養小結]
求三角函數最值的兩種方法:
(1)將三角函數式化為y=Acos(ωx+φ)+k(A≠0,ω≠0)的形式,結合有界性求最值;
(2)將三角函數式化為關于cos x(或sin x)的二次函數的形式,利用二次函數的性質求最值.
◆ 探究點四　奇偶性、對稱性與周期性問題
[探索] 函數y=3cos+1的圖象的對稱中心為　　　　　　　　　　,對稱軸方程為　　　　　　　　.
例4 (1)[2023·上海閔行中學高一期末] 函數y=cos的圖象可按向量d的方向平移得到函數y=g(x)的圖象,當y=g(x)為奇函數時,向量d可以為 (　 )
A. B.
C. D.
(2)(多選題)[2024·貴州安順高一期末] 設函數f(x)=cos,則下列結論正確的是 (　 )
A.f(x)的一個零點為x=
B.f(x)的圖象關于直線x=對稱
C.y=是周期函數
D.方程f(x)=-lg x有3個解
變式 (1)[2023·重慶八中高一月考] 已知函數f(x)=cos(2x+φ),若直線x=φ是函數f(x)的圖象的一條對稱軸,則f(x)的圖象的一個對稱中心為 (　 )
A. B.
C. D.
(2)[2024·山西長治高一期末] 將函數f(x)=cos的圖象向左平移φ個單位,得到函數g(x)的圖象,若g(x)是偶函數,則φ=　　　　.
[素養小結]
(1)求余弦型函數y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的圖象的對稱軸或對稱中心時可以應用整體換元的思想,可令ωx+φ=+kπ(對稱中心)或ωx+φ=kπ(對稱軸),其中k∈Z,進而求解x的值.要注意對稱軸最后要寫成直線方程的形式,對稱中心要寫成點的坐標的形式.
(2)判斷所給直線是否為圖象的對稱軸,只需將相應的x值代入三角函數解析式,若對應的函數值為最值,則該直線為圖象的對稱軸;判斷所給點是否為圖象的對稱中心,只需看該點坐標是否滿足函數解析式,且該點的縱坐標是否為函數的最大值與最小值的平均數.函數圖象與對稱軸的交點為圖象的最高(低)點,函數圖象與平衡位置的交點為圖象的對稱中心.
1.函數y=cos的圖象的對稱軸方程可以是 (　 )
A.x=- B.x=-
C.x= D.x=
2.下列函數中,既在區間上單調遞減又是以π為周期的偶函數的是 (　 )
A.y=sin x
B.y=cos x
C.y=|sin x|
D.y=|cos x|
3.已知函數f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的部分圖象如圖所示,直線y=與其交于A,B兩點.若|AB|=,則ω=(　 )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.[2023·內蒙古包頭高一期中] 已知函數f(x)=cos(ω>0)在上的大致圖象如圖所示,則f= (　 )
A. B. C. D.1
5.[2023·山西朔州懷仁一中高一月考] 函數f(x)=cos,x∈的值域為　　　　　. 7.3.3　余弦函數的性質與圖象
1.B　[解析] 因為x∈,所以cos x∈,所以2cos x∈[-2,1],即a=-2,b=1,則b-a=3,故選B.
2.C　[解析] 要使函數y=有意義,只需cos x≥,解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,所以所求函數的定義域為,k∈Z.故選C.
3.B　[解析] 因為x∈,所以3x+∈,又函數f(x)=2cos在上單調遞減,所以解得04.C　[解析] 將函數y=cos(3x+φ)的圖象向左平移 個單位后得到函數y=cos=cos的圖象,因為函數y=cos的圖象關于原點對稱,所以+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ+,k∈Z,當k=0時,φ=.故選C.
5.D　[解析] f=sin=sin,cos ωx=sin,由題可知,-ω+=2kπ+,k∈Z,解得ω=-12k-1,k∈Z,又ω>0,∴當k=-1時,ω取得最小值11.故選D.
6.D　[解析] f(x)=2cos2x+2cos x-1-a=2--a,令f(x)=0,可得=+.因為x∈,所以cos x∈[0,1],所以cos x+>0,所以cos x=-.因為關于x的方程cos x=-對x∈有兩個解,所以≤-<1,解得≤a<3.故選D.
7.B　[解析] ∵f(x)在區間上單調,∴≥+=,∵-=≤,∴點,,在同一個周期內,又f=-f=-f,∴f(x)的圖象關于點對稱,f(x)的圖象關于直線x=對稱,且點與對稱軸x=相鄰,∴=-=,解得T=π.故選B.
8.AC　[解析] 對于B,f(x)=2|cos x|-cos|x|=2|cos x|-cos x,因為f(x+π)=2|cos(x+π)|-cos(x+π)=2|cos x|+cos x≠f(x),所以f(x)的最小正周期不為π,故B錯誤;對于A,當x∈時,f(x)=2|cos x|-cos x=2cos x-cos x=cos x∈[0,1],當x∈時,f(x)=2|cos x|-cos x=-2cos x-cos x=-3cos x∈[0,3],又f(x+2π)=2|cos(x+2π)|-cos(x+2π)=2|cos x|-cos x=f(x),所以函數f(x)的一個周期為2π,所以f(x)的最大值為3,故A正確;對于C,f(2π-x)=2|cos(2π-x)|-cos(2π-x)=2|cos x|-cos x=f(x),則函數f(x)的圖象關于直線x=π對稱,故C正確;對于D,由A得,當x∈時,f(x)=-3cos x不單調,故D錯誤.故選AC.
[結論] 若f(x+a)+f(-x+b)=c,則函數f(x)的圖象關于中心對稱;若f(x+a)=f(-x+b),則函數f(x)的圖象關于直線x=對稱.
9.AB　[解析] 由題意知,g(x)=f=cos=cos ωx.當0≤x≤時,0≤ωx≤,∵y=g(x)在上單調遞減,∴≤π,又ω>0,∴0<ω≤3,故選AB.
10.x=+(k∈Z)　[解析] 由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),所以f(x)的圖象的對稱軸方程為x=+(k∈Z).
11.,k∈Z　[解析] 令cos x>0,得-+2kπ12.22.5 ℃　[解析] 因為6月份的平均氣溫為30 ℃,12月份的平均氣溫為20 ℃,所以A+B=30且B-A=20,解得A=5,B=25,所以y=5cos+25,令x=10,得y=5cos+25=22.5,所以10月份的平均氣溫為22.5 ℃.
13.解:(1)令2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),
∴函數f(x)圖象的對稱中心為(k∈Z).
(2)∵函數y=cos x的單調遞增區間為[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),∴函數y=-3cos x的單調遞減區間為[-π+2kπ,2kπ](k∈Z).
令-π+2kπ≤2x+≤2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x≤-+kπ(k∈Z),∴函數f(x)的單調遞減區間為(k∈Z).
(3)∵函數f(x)的單調遞減區間為(k∈Z),
∴函數f(x)的一個單調遞減區間為.
又是的子集,∴函數f(x)在上單調遞減,
又f=-3cos=,f=-3cos=-,∴函數f(x)在上的取值范圍為.
14.解:(1)當ω=2時,f(x)=cos,
令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的單調遞增區間為,k∈Z.
(2)當x∈時,ωx-∈.若 [2kπ,π+2kπ],k∈Z,
則k∈Z,解得2+12k≤ω≤4+6k,k∈Z,可得2≤ω≤4;
若 [-π+2kπ,2kπ],k∈Z,則k∈Z,解得-4+12k≤ω≤1+6k,k∈Z,此時沒有滿足題設的k值.
綜上,ω的取值范圍為[2,4].
15.或 　[解析] 當a∈時,2a∈[0,π],M[0,a]=1, M[a,2a]=cos a,由M[0,a]=2M[a,2a],可得cos a=, 此時a=.當a∈時,2a∈[π,2π],M[0,a]=1, M[a,2a]=cos a或M[a,2a]=cos 2a.若M[a,2a]=cos a,則由 M[0,a]=2M[a,2a],可得cos a=,又a∈,所以無解;若M[a,2a]=cos 2a,則由 M[0,a]=2M[a,2a],可得cos 2a=,此時2a=,即a=.當a∈[π,+∞)時,2a∈[2π,+∞),M[0,a]=1,M[a,2a]=1,所以M[0,a]=2M[a,2a]顯然不成立,舍去.綜上,a的值為或.
16.解:(1)由題圖知,A=3,=-=2π,則T=4π,所以ω==,將代入f(x)=3cos中,得cos=0,
結合題圖可知+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=3cos.
(2)方法一:將y=sin x=cos的圖象向左平移個單位,得到y=cos的圖象,再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到y=cos的圖象,再將所得圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變),得到f(x)=3cos的圖象.
方法二:將y=sin x=cos的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到y=cos的圖象,再將所得圖象向左平移個單位,得到y=cos的圖象,再將所得圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變),得到f(x)=3cos的圖象.
(3)因為x∈,所以x+∈,所以當x+=0,即x=-時,f(x)取得最大值3.
因為關于x的不等式f(x)-t2+2t≤0對x∈恒成立,
所以關于x的不等式f(x)≤t2-2t對x∈恒成立,所以f(x)max≤t2-2t,
即t2-2t-3≥0,解得t≤-1或t≥3.
故實數t的取值范圍為(-∞,-1]∪[3,+∞).7.3.3　余弦函數的性質與圖象
一、選擇題
1.已知函數y=2cos x的定義域為,值域為[a,b],則b-a的值是 (　 )
A.2 B.3
C.+2 D.2
2.函數y=的定義域為 (　 )
A.
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.R
3.[2024·廣州高一期中] 已知函數f(x)=2cos在上單調遞減,則實數a的最大值為 (　 )
A. B. C. D.
4.[2023·河南南陽高一期中] 將函數y=cos(3x+φ)的圖象向左平移 個單位后,得到的函數圖象關于原點對稱,則φ的值可能為 (　 )
A.- B.- C. D.
5.將函數f(x)=sin(ω>0)的圖象向右平移個單位后與函數g(x)=cos ωx的圖象重合,則ω的最小值為 (　 )
A.7 B.5
C.9 D.11
6.[2024·湖北宜昌高一期中] 若函數f(x)=2cos2x+2cos x-1-a在內有兩個零點,則a的取值范圍是 (　 )
A.[0,1] B.[1,2]
C. D.
7.[2023·四川內江威遠中學高一期中] 已知函數f(x)=cos(ωx+φ),若f(x)在區間上單調,且f=-f=-f,則函數f(x)的最小正周期是 (　 )
A. B.π
C.π D.2π
★8.(多選題)[2024·江蘇連云港高一期末] 已知函數f(x)=2|cos x|-cos|x|,則 (　 )
A.函數f(x)的最大值為3
B.函數f(x)的最小正周期為π
C.函數f(x)的圖象關于直線x=π對稱
D.函數f(x)在上單調遞減
9.(多選題)將函數f(x)=cos(ω>0)的圖象向右平移個單位,得到函數y=g(x)的圖象,若y=g(x)在上單調遞減,則ω的值可能為 (　 )
A.2 B.3
C.4 D.5
二、填空題
10.已知函數f(x)=cos,則函數f(x)的圖象的對稱軸方程為　　　　　　.
11.[2024·南昌十中高一月考] 函數f(x)=log2(cos x)的單調遞減區間為　　　　　　.
12.[2024·北京延慶區一中高一月考] 某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關系可近似地用三角函數y=Acos+B(x=1,2,…,12)來表示.已知6月份的平均氣溫為30 ℃,12月份的平均氣溫為20 ℃,則10月份的平均氣溫為　　　　.
三、解答題
13.已知函數f(x)=-3cos.
(1)求函數f(x)圖象的對稱中心;
(2)求函數f(x)的單調遞減區間;
(3)若x∈,求函數f(x)的取值范圍.
14.[2023·河北承德高一期中] 已知ω>1,函數f(x)=cos.
(1)當ω=2時,求f(x)的單調遞增區間;
(2)若f(x)在區間上單調,求ω的取值范圍.
15.對任意閉區間I,用MI表示函數 y=cos x在I上的最大值,若正實數 a 滿足 M[0,a]=2M[a,2a],則a的值為　　　　.
16.[2024·云南昭通一中高一期末] 已知函數f(x)=Acos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數f(x)的解析式.
(2)要得到函數f(x)的圖象,可由正弦曲線經過怎樣的變換得到
(3)若關于x的不等式f(x)-t2+2t≤0對x∈恒成立,求實數t的取值范圍.

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