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(共52張PPT)
7.3 三角函數的性質與圖象
7.3.4 正切函數的性質與圖象
探究點一 正切函數及其復合函數的定義域、值域、最值問題
探究點二 正切（型）函數的圖象及其應用
探究點三 正切（型）函數的單調性及其應用
探究點四 正切（型）函數性質的綜合應用
【學習目標】
1.掌握正切函數的定義域、值域；
2.會利用正切函數的圖象研究其單調性,并利用單調性解決相應問題；
3.掌握正切函數的周期性及奇偶性；
4.對比正弦型函數圖象的變化方式，對正切型函數圖象及性質進
行討論.
知識點一 正切函數的性質與圖象
函數
定義域 ____________________
值域
周期性 周期為___
奇偶性 ____函數
單調性 單調遞增區間：________________________，無單調遞減
區間
零點 __________
奇
圖象 正切曲線：
________________________________________________________
圖象的 對稱性 對稱中心： ，無對稱軸
續表
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數 在整個定義域上為增函數.( )
×
解：若，，則,但 .
（2）函數的圖象的對稱中心是圖象與 軸的交點.( )
×
解：函數的圖象的對稱中心為.
當 為奇數時，對稱中心不是函數圖象與軸的交點，
當 為偶數時，對稱中心是函數圖象與 軸的交點.
（3）函數的定義域為 , }.( )
×
解：可看作由， 復合而成，
故要考慮到自身的定義域，
所以所求函數的定義域為 .
（4）函數是周期函數，且 .( )
√
（5）正切函數既沒有最大值也沒有最小值.( )
√
知識點二 正切型函數 的性質
函數
定義域 ______________________
值域 ___
周期性 周期為___(若直線 為常數)與函數
的圖象的相鄰兩個交點為 和
，則該函數的周期為
奇偶性 ①當 時,____函數;
②當 時，__________函數
奇
非奇非偶
續表
單調性 單調遞增區間為___________________________，無單調
遞減區間
零點 ____________
圖象的 對稱性 對稱中心：_________________
續表
探究點一 正切函數及其復合函數的定義域、值域、最值問題
［探索］
（1）若，則 _____________________.
（2）函數 的定義域是____________________.
例1（1） 若，則函數 的定義域為
( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意得解得 ，
所以函數的定義域為 .故選C.
√
（2）[2024·江西九江高一期末]函數 ，
的值域為( )
A. B. C. D.
[解析] ,, ,
，即函數的值域為 .故選C.
√
變式（1） 函數， 的值域為( )
A. B. C. D.
[解析] 函數 ，
因為，所以，
所以函數 的值域為 .故選C.
√
（2）求函數 的定義域.
解：根據題意得 ，
解得 ，
所以所求函數的定義域為， .
［素養小結］
（1）求與正切函數有關的函數的定義域和值域的方法及注意點：
①求與正切函數有關的函數的定義域時，除了保證函數有意義外，
還要保證正切函數有意義，即 ， ；
②求與正切函數有關的函數的值域時，要注意函數的定義域，在定
義域內求值域.求由正切函數復合而成的函數的值域時，常利用換元
法，但要注意新“元”的取值范圍.
（2）解與正切函數有關的不等式的兩種方法：
①圖象法：先畫出相應的函數圖象，再寫出符合條件的自變量的集合；
②三角函數線法：先在單位圓中作出角的邊界值的正切線，得到邊界
角的終邊，在單位圓中畫出符合條件的區域.要特別注意函數的定義域.
探究點二 正切（型）函數的圖象及其應用
［探索］ 要得到函數的圖象，只需將函數
的圖象如何變化？
解：方法一：先將的圖象向右平移 個單位，得到
的圖象，
再將 的圖象上的所有點的縱坐標不變，
橫坐標變為原來的2倍，就可得到 的圖象.
方法二：先將 圖象上的所有點的縱坐標不變，橫坐標變為
原來的2倍，得到的圖象，
再將的圖象向右平移 個單位，就可得到 的
圖象.
例2（1） 函數 在一個周期內的大致圖象是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 方法一：由題意得函數的周期 ，故排除B，D；
當時， ，排除C.故選A.
方法二：令，由 , ，
得 ,，當時，，所以函數圖象與 軸的
一個交點的橫坐標為，故排除C，D；
由 , ，得 , ，故排除B.故選A.
（2）方程在區間 上的根的個數為___.
2
[解析] 由題意，在同一坐標系中畫出函數 與
的圖象，如圖所示.
由圖可得函數與的圖象在 上有2個
交點，即原方程有2個根.
變式 若直線與函數 的圖象不相交，
則 _______.
或
[解析] 要使有意義，則
直線與函數 的圖象不相交，
，整理得 ，且，.
當，時滿足條件；當， 時滿足條件；
當，時不滿足條件；當， 時，不滿足條件.
故滿足條件的的值為或 .
［素養小結］
（1）研究正切（型）函數的圖象問題時要注意與正弦函數、余弦函
數的圖象的不同之處是它的圖象不是連續的.
（2）正切函數只有單調遞增區間，圖象在一個周期內是單調遞增的.
探究點三 正切（型）函數的單調性及其應用
例3（1） 已知函數 ，則( )
A.該函數的單調遞增區間為，
B.該函數的單調遞增區間為，
C.該函數的單調遞減區間為，
D.該函數的單調遞減區間為，
[解析] 由 , ，可得
,，所以函數 的單調遞
減區間為， .故選C.
√
（2）， ， 的大小關系是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] ，因為函數在 上
單調遞增，所以 ,
所以 .故選B.
√
（3）[2024·湖北武漢華中師大附中高一期末] 已知函數
,，若函數在 上單調
遞減，則 的取值范圍為__________.
[解析] ，函數
的圖象是開口向上，對稱軸方程為 的拋物線.
若函數在上單調遞減，則，即 ，
又，所以 .
變式（1） [2024·浙江溫州高一期末] 若函數 在
上是增函數，則 的最大值是___．
[解析] 由已知得解得，即 的最大值是 .
（2）比較與 的大小.
解： ，
，
因為，且在 上單調遞增，
所以，所以 ，
即 .
［素養小結］
（1）利用正切函數的單調性比較大小的方法：
①利用函數的周期性或誘導公式將角化到同一單調區間內；
②運用函數的單調性比較大小.
（2）求函數，， 是常數)的單調區
間的方法：
①若，因為 在每一個單調區間上都是增函數，所以可
用“整體代換”的思想，令，，解得
的取值范圍即可；
②若，則可利用誘導公式先把 轉化為
，即把 的系數化為正值，
再利用“整體代換”的思想，求得 的取值范圍即可.
探究點四 正切（型）函數性質的綜合應用
［探索］ 若函數的圖象與直線 的兩個相鄰交
點間的距離為 ，則_____；若點是函數 的
圖象的一個對稱中心，則 _____________.
例4 （多選題）[2024·廣東肇慶高一期末] 如圖，函數
的圖象與軸相交于，兩點，與 軸
相交于點，且的面積為 ，則下列結論不正確的是( )
A.
B.函數的圖象的對稱中心為，
C.的單調遞增區間是，
D.將函數的圖象向右平移 個單位長度得到函數
的圖象
√
√
√
[解析] 對于A，當時， ，
又，所以 ，
得，即函數的最小正周期為，
由 得 ，故A中結論不正確；
對于B，由選項A可知，令， ，
解得，，即函數 的圖象的對稱中心為
， ，故B中結論不正確；
對于C，由 ，
得， ，故C中結論正確；
對于D，將函數的圖象向右平移 個單位長度，
得到函數的圖象，故D中結論不正確．
故選 .
變式 [2023·湖北荊州沙市中學高一月考]已知函數
,,其周期 ，
點是的圖象的一個對稱中心，則 的值為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得，即，
又 ，所以.
因為點是 的圖象的一個對稱中心，所以,，
解得,，因為 ，所以，
解得，所以 ，所以，
所以 .故選D.
［素養小結］
（1）求解正切（型）函數的性質問題時，首先要能夠準確記憶正切
函數的各個性質，其次是應用整體換元思想，令 滿足正切函
數的性質，最后是求解相應的 的取值范圍（或值）.
（2）檢驗問題時，可以將所給范圍代入 ，進而驗證正切函
數在 的取值范圍內是否具有相應的性質.
1.若函數為奇函數，則
( )
A. B.
C. D.
[解析] 若0在定義域內，由得， ；
若0不在定義域內，由時， 無意義，得 )．
綜上， )．故選C.
√
2.設，，，則，， 的大小關系為
( )
A. B. C. D.
[解析] 函數在上單調遞增且，在 上單
調遞增且.
因為 ，所以，，
所以 .故選A.
√
3.函數 的單調遞增區間是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由 ，
得，
所以函數 的單調遞增區間是 .
故選B.
4.[2024·陜西渭南富平一中高一月考] 函數 的定
義域為____________________.
[解析] 令,，解得, ，
所以函數的定義域為 .
5.[2024·福建莆田二十五中高一期中] 函數 ，
的值域為_______．
[解析] 當 時，
，
當時，；當時， .
故，的值域為 .
1.類似于正、余弦曲線的五點法作圖，作正切函數的圖象可以采用
“三點兩線法”，即由， ，
這三點及直線 ，
這兩條直線作出正切函數的圖象.
2.正、余弦曲線在整個定義域內是連續的，而正切曲線是由被互相平
行的直線 所隔開的無窮多支曲線組成的.因此，需
注意以下幾點：
（1）正切函數在 上不具有單調性.
（2）正切函數無單調遞減區間，有無數個單調遞增區間，在
，， 上都是增函數.
（3）正切函數的每個單調區間均為開區間，不能寫成閉區間，也不
能說正切函數在 上是增函數.
1.利用正切函數的圖象解不等式
解含有正切函數的簡單三角不等式時,可先畫出正切函數在一個周期
內的圖象,由圖象可得到在一個周期內滿足不等式的解集,然后再加上
周期的整數倍,即可得到滿足不等式的解集.
例1 先將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的 ，縱坐標
不變，再將所得圖象向左平移個單位長度后得到函數 的圖象，
若，且，則 的取值范圍是__________.
[解析] 將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的 ，縱坐標不
變，再將所得圖象向左平移 個單位長度后可得的圖象.
由，得 .
由，得，則 ，
解得 .
2.正切函數在 上單調遞增，不能寫成閉區間.
正切函數無單調遞減區間.
3.含正切函數的復合函數的單調性
因為正切函數在區間, 上是增函數,所以對每一
個由正切函數構成的復合函數的單調性要利用“同增異減”的法則求
解.其討論方法如下:從定義域出發,先確定內層函數的單調性,再判斷
外層函數的單調性,最后利用“同增異減”的法則得到復合函數的單調性.
例2 函數 的單調遞減區間為_________________
________.
[解析] ,,即 ,
解得，,
當 時，是增函數，
是減函數，即的單調遞減
區間為 .7.3.4　正切函數的性質與圖象
【課前預習】
知識點一
　π　奇　(k∈Z)　kπ(k∈Z)
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　[解析] (1)若x1=,x2=,則x1tan.
(2)函數y=tan x的圖象的對稱中心為(k∈Z).當k為奇數時,對稱中心不是函數圖象與x軸的交點,當k為偶數時,對稱中心是函數圖象與x軸的交點.
(3)y=可看作由y=,u=tan x復合而成,故要考慮到u=tan x自身的定義域,所以所求函數的定義域為.
知識點二
　R　　奇　非奇非偶
(k∈Z)　(k∈Z)
(k∈Z)
【課中探究】
探究點一
探索 (1)(-∞,-]∪[,+∞)　(2)
例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)由題意得解得π≤x<,所以函數y=+的定義域為.故選C.
(2)∵x∈,∴2x+∈,∴tan∈,∴3tan∈[,3],即函數f(x)的值域為[,3].故選C.
變式　(1)C　[解析] 函數y=tan2x-tan x+2=+,因為x∈,所以tan x∈[-1,1],所以函數y=tan2x-tan x+2的值域為.故選C.
(2)解:根據題意得k∈Z,
解得k∈Z,所以所求函數的定義域為∪,k∈Z.
探究點二
探索 解:方法一:先將y=tan x的圖象向右平移個單位,得到y=tan的圖象,再將y=tan的圖象上的所有點的縱坐標不變,橫坐標變為原來的2倍,就可得到y=tan的圖象.
方法二:先將y=tan x圖象上的所有點的縱坐標不變,橫坐標變為原來的2倍,得到y=tan的圖象,再將y=tan 的圖象向右平移個單位,就可得到y=tan的圖象.
例2　(1)A　(2)2　[解析] (1)方法一:由題意得函數的周期T=2π,故排除B,D;當x=時,y=tan=0,排除C.故選A.
方法二:令y=tan=0,由x-=kπ,k∈Z,得x=+2kπ,k∈Z,當k=0時,x=,所以函數圖象與x軸的一個交點的橫坐標為,故排除C,D;由x-≠+kπ,k∈Z,得x≠+2kπ,k∈Z,故排除B.故選A.
(2)由題意,在同一坐標系中畫出函數y=與y=tan x的圖象,如圖所示.由圖可得函數y=與y=tan x的圖象在∪上有2個交點,即原方程有2個根.
變式　或-　[解析] 要使y=tan有意義,則2x+≠+mπ(m∈Z).∵直線x=(|k|≤1)與函數y=tan的圖象不相交,∴2×+=+mπ(m∈Z,|k|≤1),整理得4k=4m+1,且m∈Z,|k|≤1.當m=0,k=時滿足條件;當m=-1,k=-時滿足條件;當m=1,k=時不滿足條件;當m=-2,k=-時,不滿足條件.故滿足條件的k的值為或-.
探究點三
例3　(1)C　(2)B　(3)　[解析] (1)由-+kπ(2)tan(-40°)=-tan 40°<0,因為函數y=tan x在(0°,90°)上單調遞增,所以0tan 38°>tan(-40°).故選B.
(3)f(x)=x2+2xtan θ-1=(x+tan θ)2-1-tan2θ,函數f(x)的圖象是開口向上,對稱軸方程為x=-tan θ的拋物線.若函數f(x)在[-1,]上單調遞減,則-tan θ≥,即tan θ≤-,又 θ∈,所以θ∈.
變式　(1)　[解析] 由已知得解得0<ω≤,即ω的最大值是.
(2)解:tan=tan=tan=-tan,tan=-tan=-tan,
因為0<<<,且y=tan x在上單調遞增,
所以tan-tan,即tan>tan.
探究點四
探索 ±1　-(k∈Z)
例4　ABD　[解析] 對于A,當x=0時,|OC|=f(0)=2tan=2,又S△ABC=,所以S△ABC=|AB||OC|=×2|AB|=,得|AB|=,即函數f(x)的最小正周期為,由T==得ω=2,故A中結論不正確;對于B,由選項A可知f(x)=2tan,令2x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,即函數f(x)的圖象的對稱中心為,k∈Z,故B中結論不正確;對于C,由+kπ<2x+<+kπ,k∈Z,得+變式　D　[解析] 由f(0)=,得2tan φ=,即tan φ=,又|φ|<,所以φ=.因為點是f(x)的圖象的一個對稱中心,所以ω+=,k∈Z,解得ω=3k-1,k∈Z,因為T∈,所以<<,解得<ω<4,所以ω=2,所以f(x)=2tan,所以f=2tan=-.故選D.
【課堂評價】
1.C　[解析] 若0在定義域內,由f(0)=0得,φ=kπ(k∈Z);若0不在定義域內,由x=0時,tan φ無意義,得φ=+kπ(k∈Z).綜上,φ=(k∈Z).故選C.
2.A　[解析] 函數y=tan x在上單調遞增且tan x>0,在上單調遞增且tan x<0.因為<1<<2<3<π,所以tan 20,所以a>c>b.故選A.
3.B　[解析] 由kπ-<+4.　[解析] 令2x+≠kπ+,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,所以函數f(x)的定義域為.
5.[-4,4]　[解析] 當x∈時,tan x∈[-1,1].∵y=tan2x+4tan x-1=(tan x+2)2-5,∴當tan x=-1時,ymin=-4;當tan x=1時,ymax=4.故y=tan2x+4tan x-1,x∈的值域為[-4,4].7.3.4　正切函數的性質與圖象
【學習目標】
　　1.掌握正切函數的定義域、值域;
　　2.會利用正切函數的圖象研究其單調性,并利用單調性解決相應問題;
　　3.掌握正切函數的周期性及奇偶性;
　　4.對比正弦型函數圖象的變化方式,對正切型函數圖象及性質進行討論.
◆ 知識點一　正切函數的性質與圖象
函數 y=tan x
定義域 　　　　　　　　　
值域 R
周期性 周期為　　　
奇偶性 　　　　函數
單調性 單調遞增區間:　　　　　　　　　　, 無單調遞減區間
(續表)
函數 y=tan x
零點 　　　　　
圖象 正切曲線:
圖象的 對稱性 對稱中心:(k∈Z),無對稱軸
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數y=tan x在整個定義域上為增函數.(　 )
(2)函數y=tan x的圖象的對稱中心是圖象與x軸的交點. (　 )
(3)函數y=的定義域為{x|x≠kπ,k∈Z}.(　 )
(4)函數y=|tan x|是周期函數,且T=π. (　 )
(5)正切函數既沒有最大值也沒有最小值. (　 )
◆ 知識點二　正切型函數y=Atan(ωx+φ)的性質
函數 y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)
定義域 　　　　　　　　　
值域 　　　
周期性 周期為　　　 (若直線y=a(a為常數)與函數y= Atan(ωx+φ)的圖象的相鄰兩個交點 為M(x1,a)和N(x2,a),則該函數的周期 為|x2-x1|)
奇偶性 ①當φ= (k∈Z)時,　　函數; ②當φ≠(k∈Z)時,　　　　　　函數
單調性 單調遞增區間為　　　　　　　　　　　　　　　,無單調遞減區間
零點 　　　　　　
圖象的 對稱性 對稱中心:　　　　　　　
◆ 探究點一　正切函數及其復合函數的定義
域、值域、最值問題
[探索] (1)若x∈,則y=tan x∈　　　　　　　.
(2)函數f(x)=tan的定義域是　　　　　　　　.
例1 (1)若x∈[0,2π],則函數y=+的定義域為 (　 )
A. B.
C. D.
(2)[2024·江西九江高一期末] 函數f(x)=3tan,x∈的值域為 (　 )
A. B.
C.[,3] D.
變式 (1)函數y=tan2x-tan x+2,x∈的值域為 (　 )
A. B.
C. D.[2,4]
(2)求函數y=的定義域.
[素養小結]
(1)求與正切函數有關的函數的定義域和值域的方法及注意點:
①求與正切函數有關的函數的定義域時,除了保證函數有意義外,還要保證正切函數y=tan x有意義,即x≠+kπ,k∈Z;
②求與正切函數有關的函數的值域時,要注意函數的定義域,在定義域內求值域.求由正切函數復合而成的函數的值域時,常利用換元法,但要注意新“元”的取值范圍.
(2)解與正切函數有關的不等式的兩種方法:
①圖象法:先畫出相應的函數圖象,再寫出符合條件的自變量的集合;
②三角函數線法:先在單位圓中作出角的邊界值的正切線,得到邊界角的終邊,在單位圓中畫出符合條件的區域.要特別注意函數的定義域.
◆ 探究點二　正切(型)函數的圖象及其應用
[探索] 要得到函數y=tan的圖象,只需將函數y=tan x的圖象如何變化


例2 (1)函數y=tan在一個周期內的大致圖象是 (　 )
A B C D
(2)方程-tan x=0在區間∪上的根的個數為　　　　.
變式 若直線x=(|k|≤1)與函數y=tan的圖象不相交,則k=　　　　.
[素養小結]
(1)研究正切(型)函數的圖象問題時要注意與正弦函數、余弦函數的圖象的不同之處是它的圖象不是連續的.
(2)正切函數只有單調遞增區間,圖象在一個周期內是單調遞增的.
◆ 探究點三　正切(型)函數的單調性及其應用
例3 (1)已知函數y=-2tan,則 (　 )
A.該函數的單調遞增區間為(6k-5,6k+1),k∈Z
B.該函數的單調遞增區間為(6k-1,6k+5),k∈Z
C.該函數的單調遞減區間為(6k-5,6k+1),k∈Z
D.該函數的單調遞減區間為(6k-1,6k+5),k∈Z
(2)tan(-40°),tan 38°,tan 56°的大小關系是 (　 )
A.tan(-40°)>tan 38°>tan 56°
B.tan 56°>tan 38°>tan(-40°)
C.tan 38°>tan(-40°)>tan 56°
D.tan 56°>tan(-40°)>tan 38°
(3)[2024·湖北武漢華中師大附中高一期末] 已知函數f(x)=x2+2xtan θ-1,θ∈,若函數f(x)在[-1,]上單調遞減,則θ的取值范圍為　　　　　　.
變式 (1)[2024·浙江溫州高一期末] 若函數f(x)=tan ωx在(-π,π)上是增函數,則ω的最大值是　　　　.
(2)比較tan與tan的大小.
[素養小結]
(1)利用正切函數的單調性比較大小的方法:
①利用函數的周期性或誘導公式將角化到同一單調區間內;
②運用函數的單調性比較大小.
(2)求函數y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω≠0,φ是常數)的單調區間的方法:
①若ω>0,因為y=tan x在每一個單調區間上都是增函數,所以可用“整體代換”的思想,令kπ-<ωx+φ②若ω<0,則可利用誘導公式先把y=Atan(ωx+φ)轉化為y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系數化為正值,再利用“整體代換”的思想,求得x的取值范圍即可.
◆ 探究點四　正切(型)函數性質的綜合應用
[探索] 若函數y=tan(ωx+φ)的圖象與直線y=1的兩個相鄰交點間的距離為π,則ω=　　　　;若點是函數y=tan(x+φ)的圖象的一個對稱中心,則φ=　　　　　　　.
例4 (多選題)[2024·廣東肇慶高一期末] 如圖,函數f(x)=2tan(ω>0)的圖象與x軸相交于A,B兩點,與y軸相交于點C,且△ABC的面積為,則下列結論不正確的是(　 )
A.ω=4
B.函數f(x)的圖象的對稱中心為,k∈Z
C.f(x)的單調遞增區間是,k∈Z
D.將函數f(x)的圖象向右平移個單位長度得到函數y=2tan ωx的圖象
變式 [2023·湖北荊州沙市中學高一月考] 已知函數f(x)=2tan(ωx+φ),f(0)=,其周期T∈,點是f(x)的圖象的一個對稱中心,則f的值為 (　 )
A.- B.
C. D.-
[素養小結]
(1)求解正切(型)函數的性質問題時,首先要能夠準確記憶正切函數的各個性質,其次是應用整體換元思想,令ωx+φ滿足正切函數的性質,最后是求解相應的x的取值范圍(或值).
(2)檢驗問題時,可以將所給范圍代入ωx+φ,進而驗證正切函數在ωx+φ的取值范圍內是否具有相應的性質.
1.若函數f(x)=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)為奇函數,則φ= (　 )
A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(2k+1)π(k∈Z)
2.設a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,則a,b,c的大小關系為 (　 )
A.a>c>b B.aC.a>b>c D.a3.函數y=tan的單調遞增區間是 (　 )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
4.[2024·陜西渭南富平一中高一月考] 函數f(x)=tan的定義域為　　　　　　.
5.[2024·福建莆田二十五中高一期中] 函數y=tan2x+4tan x-1,x∈的值域為　　　　. 7.3.4　正切函數的性質與圖象
1.B　[解析] 函數y=-3tan的最小正周期為.故選B.
2.C　[解析] 由函數f(x)的最小正周期T==4,可得ω=,則f(x)=.令kπ3.B　[解析] 令3x-=(k∈Z),解得x=+(k∈Z),令k=-1,可得x=-,所以函數f(x)的圖象的一個對稱中心為.故選B.
4.A　[解析] f(0)=tan,f(-1)=tan,f(1)=tan=tan.∵>>-1>1->-,且y=tan x在區間上單調遞增,∴tan >tan>tan,即f(0)>f(-1)>f(1).故選A.
5.C　[解析] 函數y=2tan x+a在上單調遞增,則當x=時,ymax=2tan+a=2+a,因此2+a=4,解得a=2,所以實數a的值為2.故選C.
6.C　[解析] 由題意知,函數f(x)的最小正周期T=,則=,解得ω=3,所以f(x)=tan(3x-φ).將函數f(x)的圖象向左平移個單位,得到y=tan=tan的圖象,因為該圖象關于原點對稱,所以-φ=,k∈Z,解得φ=-,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=或φ=,故φ的最大值為.故選C.
7.A　[解析] f(x)=tan|x|+|tan x|的定義域為,因為f(-x)=tan|-x|+|tan(-x)|=tan|x|+|tan x|=f(x),所以f(x)是偶函數,故①正確.當08.AB　[解析] f=tan 0=0,故A正確;當x∈時,x+∈,所以f(x)在上單調遞增,故B正確;=0,但不存在,故C,D不正確.故選AB.
9.ABD　[解析] 對于A,由題圖可知,函數f(x)的最小正周期T=2×=,故A正確;對于B,由已知得ω===2,所以f(x)=Atan(2x+φ),因為f=Atan=0,所以+φ=kπ(k∈Z),則φ=kπ-(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,所以sin φ=,故B正確;對于C,f(x)=Atan,由10.　[解析] 由題意得-tan≥0,即tan≤,所以-+kπ[易錯點] 求解含有正切函數的定義域問題,容易忽視了正切函數本身的定義域而致誤.
11.　[解析] ∵當x≥0時,函數f(x)=∴函數f(x)在[0,+∞)上單調遞減.不等式f12.　[解析] 當x∈(0,π)時,ωx+∈.由題可得ωπ+∈(3π,4π],解得ω∈.
13.解:(1)令-≠kπ+,k∈Z,則x≠2kπ+,k∈Z,
故f(x)的定義域為;f(x)的最小正周期為T==2π.
令-=,k∈Z,則x=+kπ,k∈Z,故f(x)的圖象的對稱中心為,k∈Z.
(2)由f(x)≤,得tan≤,
則kπ-<-≤kπ+,k∈Z,所以2kπ-即不等式f(x)≤的解集為,k∈Z.
14.解:根據題意得a>0.當x=0時,y=-2,即-2=3tan+b,解得b=.
當x=時,y=0,即3tan+=0,所以-=kπ-(k∈Z),解得a=(k∈Z).
由題易知函數的周期T==aπ≥,即a=≥(k∈Z),
所以-15.6　[解析] 由題可得函數f(x)=tan(ωx+φ)的最小正周期為2,則=2,解得ω=,于是f(x)=tan.由f(1)=tan=-1,得+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<,所以φ=,因此f(x)=tan.顯然f=tan=0,則函數y=f(x)的圖象關于點對稱,易知函數y=的圖象也關于點對稱.在同一坐標系內作出函數y=f(x)和y=的圖象,由圖可知,兩個函數在上的圖象共有4個公共點,且關于點對稱,所以4個交點的橫坐標之和為×4=6.
16.解:(1)如圖,陰影部分的面積等價于矩形ABCO的面積.
令ωx=kπ,k∈Z,則x=,k∈Z,所以函數f(x)=tan ωx的圖象與x軸的交點坐標為,k∈Z,
所以過點C且垂直于x軸的直線的方程為x=,
又-1≤cos ωx≤1,所以S矩形ABCO=1×=4,解得ω=,
所以f(x)=tanx.由x≠+kπ,k∈Z,得x≠2+4k,k∈Z,
即函數f(x)的定義域為{x|x≠2+4k,k∈Z}.
(2)由(1)知f(x)=tanx,所以h(x)=3tanx+x2-4,x∈(-2,2).
由h(x)≤0得3tanx≤-x2+4,x∈(-2,2).
設v(x)=3tanx,x∈(-2,2),u(x)=-x2+4,x∈(-2,2).
在同一個平面直角坐標系中作出函數y=u(x),y=v(x)的圖象,如圖,當x=1時,u(1)=v(1),所以當-2一、選擇題
1.[2024·貴州安順高一期末] 函數y=-3tan的最小正周期為 (　 )
A. B. C.π D.2π
2.[2023·河北衡水中學高一月考] 若函數f(x)=|tan(ωx-ω)|(ω>0)的最小正周期為4,則下列區間中f(x)單調遞增的是 (　 )
A. B.
C. D.(3,4)
3.[2024·山西長治高一期末] 函數f(x)=tan的圖象的一個對稱中心是 (　 )
A. B.
C. D.
4.若f(x)=tan,則 (　 )
A.f(0)>f(-1)>f(1)
B.f(0)>f(1)>f(-1)
C.f(1)>f(0)>f(-1)
D.f(-1)>f(0)>f(1)
5.[2024·黑龍江哈爾濱一中高一期末] 函數y=2tan x+a在上的最大值為4,則實數a的值為 (　 )
A.0 B.-2
C.2 D.4
6.[2023·沈陽一二○中學高一月考] 已知函數f(x)=tan(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象與直線y=a的交點中,任意兩點間的距離的最小值為,若將函數f(x)的圖象向左平移個單位后恰好關于原點對稱,則φ的最大值為 (　 )
A. B.
C. D.
7.[2023·沈陽高一期中] 已知f(x)=tan|x|+|tan x|有下述四個結論:
①f(x)是偶函數;
②f(x)在區間上是增函數;
③f(x)在[-π,π]上有3個零點;
④f(x)的最小正周期為π.
其中所有正確結論的序號是 (　 )
A.①② B.②④
C.①④ D.①③
8.(多選題)[2023·遼寧鐵嶺清河中學高一月考] 已知函數f(x)=tan,則下列敘述中正確的是 (　 )
A.函數f(x)的圖象關于點對稱
B.函數f(x)在上單調遞增
C.函數y=|f(x)|的最小正周期為
D.函數y=|f(x)|是偶函數
9.(多選題)已知函數f(x)=Atan(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則下列說法正確的是 (　 )
A.函數f(x)的最小正周期為
B.sin φ=
C.函數f(x)在上單調遞增
D.方程f(x)=sin(0≤x≤π)的解為,
二、填空題
★10.已知函數f(x)=,則函數f(x)的定義域為　　　　　　　　.
11.已知f(x)是定義在R上的偶函數,當x≥0時,函數f(x)=則滿足f12.[2024·四川眉山仁壽二中高一期中] 若函數f(x)=tan(ω>0)在(0,π)上有且僅有三個零點,則ω的取值范圍是　　　　　　.
三、解答題
13.[2024·江西南昌十中高一月考] 設函數f(x)=tan.
(1)求函數f(x)的定義域、最小正周期及其圖象的對稱中心;
(2)解不等式f(x)≤.
14.已知函數y=3tan+b,x∈是增函數,值域為[-2,0],求a,b的值.
15.[2024·安徽部分重點中學高一期末] 已知直線y=a與函數f(x)=tan(ωx+φ)的圖象所有交點之間的最小距離為2,且其中一個交點為(1,-1),則函數y=f(x)的圖象與函數y=的圖象所有交點的橫坐標之和為　　　　.
16.[2024·江西部分高中高一聯考] 已知函數f(x)=tan ωx(ω>0)與函數g(x)=cos ωx的部分圖象如圖所示,圖中陰影部分的面積為4.
(1)求f(x)的定義域;
(2)若h(x)=3f(x)+x2-4是定義在上的函數,求關于x的不等式h(x)≤0的解集.

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