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2025年下期寧遠二中高二開學考試
數學
選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．給出下列表述：①聯合國常任理事國；②充分接近的實數的全體；③方程的實數根④全國著名的高等院校.以上能構成集合的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
2．在下列函數中，定義域和值域不同的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知角的終邊與單位圓交于點,則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．根據統計，一名工人組裝第x件某產品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)＝(A，c為常數)．已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第A件產品用時15分鐘，那么c和A的值分別是
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
5．函數的一個單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
6．若，則化簡的結果是（ ）
A． B． C． D．
7．若為奇函數，且是 的一個零點，則一定是下列哪個函數的零點（ ）
A． B．
C． D．
8，已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則·()的最小值是(　　)
A．－2 　 B．－
C．－ 　 D．－1
選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．已知二次函數圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．在區間上單調遞減
B．不等式的解集為
C．若，則在上的值域為
D．不等式的解集為
10，已知點A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)，則下列說法正確的是(　　)
A．||＝
B．若⊥，則m＝－2
C．若∥，則m＝－
D．若的夾角為銳角，則m<2且m≠－
11．已知函數（），，（），則下列結論正確的是（ ）
A．，恒成立，則實數的取值范圍是
B．，恒成立，則實數的取值范圍是
C．，，則實數的取值范圍是
D．，，
填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．若，，則函數的圖象恒過定點______．
13．設，，，，求的取值范圍是______．
14．已知恒成立，.如果中有且僅有一個為真命題，求實數的取值范圍______.
四，解答題：本題共5個小題，共77分。
15．已知函數．
（1）求的值；
（2）求證：是定值；
（3）求的值．
16．已知函數的最小正周期為．
（1）求函數的單調遞增區間；
（2）將函數的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數的圖像，若在上至少含有10個零點，求b的最小值．
17．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F在BB1上．
(1)求證：C1D⊥平面AA1B1B；
(2)在下列給出的三個條件中選取哪兩個條件可使AB1⊥平面C1DF？并證明你的結論．
①F為BB1的中點；②AB1＝；③AA1＝.
18，在△ABC中，b sin A－a cos ＝0.
(1)求角B；
(2)若b＝3，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求a及△ABC的面積．
條件①：sin A＋sin C＝2sin B；
條件②：c＝；
條件③：ac＝10.
19，已知f (x)＝ax2－2x＋1.
(1)若f (x)在[0，1]上單調，求實數a的取值范圍；
(2)若x∈[0，1]，求f (x)的最小值g(a)．
答案
選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．給出下列表述：①聯合國常任理事國；②充分接近的實數的全體；③方程的實數根④全國著名的高等院校.以上能構成集合的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【解析】
① 聯合國的常任理事國有：中國、法國、美國、俄羅斯、英國.所以可以構成集合.
② 中的元素是不確定的，不滿足集合確定性的條件，不能構成集合.
③ 方程的實數根是確定，所以能構成集合.
④ 全國著名的高等院校.不滿足集合確定性的條件，不構成集合.
故選：A
2．在下列函數中，定義域和值域不同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由可知，,，定義域、值域相同；
由可知，，定義域、值域相同；
由可知，,，定義域、值域相同；
由可知，，，定義域、值域不相同.
故選：D
3．已知角的終邊與單位圓交于點,則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根據三角函數的定義可知，．
故選：B．
4．根據統計，一名工人組裝第x件某產品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)＝(A，c為常數)．已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第A件產品用時15分鐘，那么c和A的值分別是
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
【答案】D
【詳解】
由題意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30，
可得出=30故=4，可得A=16
從而c=15=60
故答案為D
5．函數的一個單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
函數
圖象如圖所示：
由圖可知：函數在單調遞減
故選：C
6．若，則化簡的結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：.
∵，∴，
∴，∴.
故選：.
7．若為奇函數，且是 的一個零點，則一定是下列哪個函數的零點（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
是奇函數，且是的一個零點，，，把分別代入下面四個選項，
對于A，，故A正確；
對于B，不一定為0，故B不正確；
對于C，，故C不正確；
對于D，，故D不正確；
故選：A.
8，已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則·()的最小值是(　　)
A．－2 　 B．－
C．－ 　 D．－1
B　[法一：結合題意畫出圖形，如圖①所示，設BC的中點為D，連接AD，設AD的中點為E，連接PE，PD，則有＝2，
則·()＝2＝2()·()＝－)．而＝＝，當點P與點E重合時，有最小值0，故此時·()取得最小值，最小值為－2＝－2×＝－.故選B.
法二(坐標法)：如圖②，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以邊BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，設P(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·()＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－，當x＝0，y＝時，·()取得最小值，最小值為－.故選B.]
選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．已知二次函數圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．在區間上單調遞減
B．不等式的解集為
C．若，則在上的值域為
D．不等式的解集為
【答案】ABD
【解析】
由圖象可知，二次函數的圖象開口向上，則，對稱軸為直線.
對于A選項，函數在區間上單調遞減，A對；
對于B選項，不等式的解集為，B對；
對于C選項，由圖可知，則，可得，
所以，，
當時，，C錯；
對于D選項，對于二次方程，該方程的兩根分別為、，
由韋達定理可得，所以且，
由得，即為，解得，D對.
故選：ABD.
10，已知點A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)，則下列說法正確的是(　　)
A．||＝
B．若⊥，則m＝－2
C．若∥，則m＝－
D．若的夾角為銳角，則m<2且m≠－
AC　[因為A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)，
所以＝(2，－1)，＝(1，m)(m∈R)，
選項A：||＝＝，故A正確；
選項B：因為⊥，所以＝0，所以2－m＝0，即m＝2，所以B錯誤；
選項C：因為∥，所以2×m＝(－1)×1，所以m＝－，所以C正確；
選項D：因為的夾角為銳角，且＝(－2，1)，
所以解得m>2，所以D錯誤．故選AC.]
11．已知函數（），，（），則下列結論正確的是（ ）
A．，恒成立，則實數的取值范圍是
B．，恒成立，則實數的取值范圍是
C．，，則實數的取值范圍是
D．，，
【答案】AC
【解析】
在A中，因為是減函數，所以當時，函數取得最小值，最小值為，因此，A正確；
在B中，因為減函數，所以當時，函數取得最大值，最大值為，因此，B錯誤；
在C中，，所以當時，函數取得最小值，最小值為，當時，函數取得最大值，最大值為，故函數的值域為，由有解，知，C正確；
在D中，等價于的值域是的值域的子集，而的值域是，的值域，D錯誤.
故選：AC
填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．若，，則函數的圖象恒過定點______．
【解析】
，解得：，此時，，
所以函數的圖象恒過定點.
故答案為：
13．設，，，，求的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
令，
則，解得.
∵，，
∴．
即，
所以的取值范圍是
故答案為：.
14．已知恒成立，.如果中有且僅有一個為真命題，求實數的取值范圍______.
【答案】
【解析】
若為真命題，當時，可得恒成立，滿足題意；
當時，則，解得，
當為真命題，實數的取值范圍是.
若為真命題，則有，解得，
當為真命題，實數的取值范圍是.
中有且僅有一個為真命題，
當為真命題，為假命題時，實數的取值范圍是;
當為假命題，為真命題時，實數的取值范圍是.
綜上，當中有且僅有一個為真命題時，實數的取值范圍是.
四，解答題：本題共5個小題，共77分。
15．已知函數．
（1）求的值；
（2）求證：是定值；
（3）求的值．
【答案】
（1）1；1
（2）證明見解析
（3）
【解析】
【分析】
（1），，.
（2）.
（3）
.
16．已知函數的最小正周期為．
（1）求函數的單調遞增區間；
（2）將函數的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數的圖像，若在上至少含有10個零點，求b的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
解：（1）
.
由最小正周期為，得，所以，
由，
整理得，
所以函數的單調遞增區間是．
（2）將函數的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，可得到
的圖像，所以．
令，得或，
所以在上恰好有兩個零點，若在上至少有10個零點，則b不小于第10個零點的橫坐標即可，
所以b的最小值為.
17．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F在BB1上．
(1)求證：C1D⊥平面AA1B1B；
(2)在下列給出的三個條件中選取哪兩個條件可使AB1⊥平面C1DF？并證明你的結論．
①F為BB1的中點；②AB1＝；③AA1＝.
[解]　(1)證明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
又D是A1B1的中點，∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，
∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)選①③能證明AB1⊥平面C1DF.
如圖，連接DF，A1B，∴DF∥A1B，
在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，則AB＝，
又AA1＝，
則A1B⊥AB1，∴DF⊥AB1.
∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，
∴C1D⊥AB1.
∵DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.
18，在△ABC中，b sin A－a cos ＝0.
(1)求角B；
(2)若b＝3，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求a及△ABC的面積．
條件①：sin A＋sin C＝2sin B；
條件②：c＝；
條件③：ac＝10.
[解]　(1)由正弦定理得b sin A＝a sin B，
得a sin B－a cos ＝0，
2a sin cos －a cos ＝0，
因為0＜＜，所以a cos ≠0.
則sin ＝.
所以＝，所以B＝.
(2)選條件①：sin A＋sin C＝2sin B.
因為b＝3，B＝，sin A＋sin C＝2sin B，
由正弦定理得a＋c＝2b＝6，
由余弦定理得9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，
解得ac＝9，則解得
所以△ABC存在且唯一確定，
則S△ABC＝ac sin B＝.
選條件②：c＝.
已知B＝，b＝3，c＝，
由正弦定理得sin C＝sin B＝，
因為c＜b，
所以C＝，A＝，a＝＝2.
所以△ABC存在且唯一確定，
則S△ABC＝bc＝.
選條件③：ac＝10.
由余弦定理得9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，
即a＋c＝，
所以a(－a)＝10，即a2－a＋10＝0，
因為()2－4×10＝－1＜0，
所以不存在a使得△ABC存在．
19，已知f (x)＝ax2－2x＋1.
(1)若f (x)在[0，1]上單調，求實數a的取值范圍；
(2)若x∈[0，1]，求f (x)的最小值g(a)．
[解]　(1)當a＝0時，f (x)＝－2x＋1單調遞減；
當a>0時，f (x)圖象的對稱軸為x＝，且>0，
∴≥1，即0當a<0時，f (x)圖象的對稱軸為x＝且<0，
∴a<0符合題意．
綜上，實數a的取值范圍是(－∞，1].
(2)①當a＝0時，f (x)＝－2x＋1在[0，1]上單調遞減，
∴f (x)min＝f (1)＝－1.
②當a>0時，f (x)＝ax2－2x＋1的圖象開口方向向上，且對稱軸為x＝.
(ⅰ)當<1，即a>1時，f (x)＝ax2－2x＋1圖象的對稱軸在[0，1]內，
∴f (x)在上單調遞減，在上單調遞增．
∴f (x)min＝f ＝＋1＝－＋1.
(ⅱ)當≥1，即0∴f (x)min＝f (1)＝a－1.
③當a<0時，f (x)＝ax2－2x＋1的圖象開口方向向下，且對稱軸x＝<0，在y軸的左側，
∴f (x)＝ax2－2x＋1在[0，1]上單調遞減．
∴f (x)min＝f (1)＝a－1.
綜上所述，g(a)＝

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