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滾動習題(三)
1.A　[解析] T==π,f(-x)=3cos(-2x)+4=3cos 2x+4=f(x),所以函數f(x)是最小正周期為π的偶函數,故選A.
2.C　[解析] 令2x-≠kπ+,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,則函數y=tan的定義域為A=,顯然∈A, A,因此直線x=與函數y=tan的圖象相交,直線x=與函數y=tan的圖象不相交;函數y=tan的值域為R,因此直線y=,y=與函數y=tan的圖象相交.故選C.
3.A　[解析] 因為cos(π-x)=-cos x,tan(π-x)=-tan x,所以曲線y=6cos x 和曲線y=tan x 都關于點對稱,所以點M,N也關于點對稱,則線段MN的中點的坐標是.故選A.
4.D　[解析] 因為對任意的x∈R,都有f(x)≤,所以f=sin=±1,故+=+kπ,k∈Z,則ω=+2kπ,k∈Z,又f(x)在區間上單調,所以≥+=,所以≥,解得0<ω≤3,故ω=.故選D.
5.A　[解析] 由題意得f(x)=3cos+1,x∈的最小值是-,因為f=3cos+1=3cos+1=-,所以3cos+1≥-,得cos≥-,所以2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,當k=0時,-≤x≤,所以-6.B　[解析] 由題圖可知A=2,T=-=,則T=2π,故ω==1,所以f(x)=2sin(x+φ),又f=2sin=-2,所以+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.對于A,f=2sin=0≠±2,故A中說法錯誤;對于B,當x∈時,x+∈ ,則y=f(x)在上單調遞減,故B中說法正確;對于C,y=f=2sin=2sin=2cos x,所以y=f是偶函數,故C中說法錯誤;對于D,y=2cos x的圖象向左平移個單位得y=2cos=2cos=2sin的圖象,故D中說法錯誤.故選B.
7.AD　[解析] 對于A,f(x)=的最小正周期T==2π,故A正確;對于B,f(x)=的值域是[0,+∞),故B不正確;對于C,易知函數y=|tan x|的圖象的對稱軸方程為x=(k∈Z),當x=時,×-=≠(k∈Z),即直線x=不是函數f(x)的圖象的一條對稱軸,故C不正確;對于D,令-+kπ8.BD　[解析] 由題圖得A=2,f(x)的最小正周期T滿足=π-=,故T=3π,則ω=,所以f(x)=2cos,由題意得f=2,即+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z,又0<φ<2π,所以φ=,所以f(x)=2cos=2cos=2sin,故A錯誤;f=2cos=0,故B正確;令2kπ≤x-≤π+2kπ,k∈Z,解得+3kπ≤x≤+3kπ,k∈Z,所以函數f(x)的單調遞減區間是,k∈Z,故C錯誤;把函數y=2sin x的圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍,縱坐標不變,得到y=2sinx的圖象,再向左平移個單位得到y=2sin=2sin的圖象,故D正確.故選BD.
9.　[解析] 函數f(x)=sin(ωx+φ)的圖象相鄰對稱軸之間的距離為,則=,得T=π=,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),因為函數f(x)的圖象關于點(φ,0)對稱,所以f(φ)=sin 3φ=0,則3φ=kπ,k∈Z,即φ=,k∈Z,又φ∈,所以φ=.
10.(-π,0)(答案不唯一)　[解析] 將f(x)的圖象向左平移個單位后得到曲線C,則曲線C對應的函數解析式為y=sin=sin.由題意可知,函數y=sin(0<ω<1)為偶函數,則+=kπ+(k∈Z),解得ω=2k+(k∈Z),又0<ω<1,所以ω=,則f(x)=sin.令+=kπ(k∈Z),得x=(3k-1)π(k∈Z),所以函數f(x)的圖象的一個對稱中心為(-π,0).(答案不唯一)
11.2或3　[解析] 由5cos=(k∈N*),得cos=(k∈N*).∵函數y=cos x在每個周期內出現2次函數值,[a,a+3]的區間長度為3,∴為了使長度為3的區間內函數值出現的次數不少于4次且不多于8次,必須使3不小于2個周期且不大于4個周期,即2×≤3,且4×≥3,解得≤k≤.又k∈N*,∴k=2或k=3.
12.解:(1)取點列表如下.
x
u=x- 0 π 2π
y=3sin u=3sin 0 3 0 -3 0
描點作圖,如圖所示.
(2)由f(α)=3sin=,得sin=,
所以α-=+2kπ,k∈Z或α-=+2kπ,k∈Z,
即α=+4kπ,k∈Z或α=+4kπ,k∈Z,
又因為α∈,所以α=或α=.
13.解:(1)當f(x)為偶函數時,φ=kπ+,k∈Z,∵0<φ<,∴φ=.
(2)∵函數f(x)的最小正周期為π,∴=π,∴ω=±2.
當ω=2時,f(x)=sin(2x+φ),若f(x)的圖象過點,則sin=,
∵0<φ<,∴<+φ<π,∴φ=,則f(x)=sin,
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),∴函數f(x)的單調遞增區間是(k∈Z);當ω=-2時,f(x)=sin(-2x+φ),
若f(x)的圖象過點,則sin=,
∵0<φ<,∴-<-+φ<,φ的值不存在.
綜上,f(x)的單調遞增區間為(k∈Z).
14.解:(1)∵f(x)的圖象與x軸的兩個相鄰交點之間的距離為,
∴f(x)的最小正周期T==π,解得ω=2.
∵f(x)的圖象上一個最低點的坐標為,
∴A=2,f=2sin=-2,
則+φ=-+2kπ(k∈Z),∴φ=-+2kπ(k∈Z),
又0<φ<,∴φ=,故f(x)=2sin.
(2)由(1)知h(x)=4sin+1-m.
∵函數h(x)=2f(x)+1-m在上僅有一個零點,
∴方程2f(x)=m-1對x∈有且僅有一個解,即y=2f(x)的圖象與直線y=m-1在上有且僅有一個交點.
作出y=2f(x)在上的圖象與直線y=m-1,如圖所示,
由圖可知-4≤m-1<2或m-1=4,解得-3≤m<3或m=5,
故實數m的取值范圍為[-3,3)∪{5}.(時間:45分鐘　分值:100分)
一、單項選擇題:本題共6小題,每小題5分,共30分.
1.函數f(x)=3cos 2x+4(x∈R)是 (　 )
A.最小正周期為π的偶函數
B.最小正周期為2π的偶函數
C.最小正周期為π的奇函數
D.最小正周期為2π的奇函數
2.[2024·安徽馬鞍山高一期末] 下列直線中,與函數y=tan的圖象不相交的是 (　 )
A.x= B.y=
C.x= D.y=
3.函數y=6cos x(0A. B.
C. D.
4.[2024·山東青島二中高一月考] 已知函數f(x)=sin(ω>0),對任意的x∈R,都有f(x)≤,且f(x)在區間上單調,則ω的值為 (　 )
A. B. C. D.
5.對于函數f(x),在使f(x)≥M成立的所有常數M中,我們把M的最大值稱為函數f(x)的“下確界”.若函數f(x)=3cos+1,x∈的“下確界”為-,則m的取值范圍是 (　 )
A. B.
C. D.
6.[2024·湖北咸寧崇陽二中高一月考] 已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則下列說法正確的是 (　 )
A.函數y=f(x)的圖象關于直線x=-對稱
B.函數y=f(x)在上單調遞減
C.函數y=f是奇函數
D.該函數的圖象可由y=2cos x的圖象向左平移個單位得到
二、多項選擇題:本題共2小題,每小題6分,共12分.
7.已知函數f(x)=,則下列說法正確的是 (　 )
A.f(x)的最小正周期是2π
B.f(x)的值域是{y|y∈R,且y≠0}
C.直線x=是f(x)的圖象的一條對稱軸
D.f(x)的單調遞減區間是(k∈Z)
8.[2023·南京師大附中高一期中] 函數f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)在一個周期內的圖象如圖所示,則 (　 )
A.f(x)=2cos
B.點是函數f(x)圖象的一個對稱中心
C.函數f(x)的單調遞減區間是,k∈Z
D.把函數y=2sin x的圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍,縱坐標不變,再向左平移個單位可得到函數f(x)的圖象
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
9.已知函數f(x)=sin(ωx+φ)的圖象關于點(φ,0)對稱,且其相鄰對稱軸之間的距離為,則φ=　　　　.
10.[2023·山東德州高一期中] 將函數f(x)=sin(0<ω<1)的圖象向左平移個單位后得到曲線C,若曲線C關于y軸對稱,則函數f(x)的圖象的一個對稱中心為　　　　.
11.對于任意實數a,要使函數y=5cos(k∈N*)在區間[a,a+3]上的函數值出現的次數不少于4次,又不多于8次,則k的值是　　　　.
四、解答題:本題共3小題,共43分.
12.(13分)[2024·江西瑞昌一中、修水一中高一月考] 已知函數f(x)=3sin,x∈R.
(1)用五點法畫出函數y=f(x)在上的圖象;
(2)已知f(α)=,若α∈,求α的值.
13.(15分)已知函數f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π.
(1)求當f(x)為偶函數時φ的值;
(2)若f(x)的圖象過點,求f(x)的單調遞增區間.
14.(15分)在函數f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象與x軸的交點中,兩個相鄰交點之間的距離為,且圖象上一個最低點的坐標為.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若當x∈時,函數h(x)=2f(x)+1-m僅有一個零點,求實數m的取值范圍.

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