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滾動習題(四)
1.D　[解析] 由tan x=0,得x=k1π,k1∈Z,所以A={x|x=k1π,k1∈Z}.由cos x=0,得x=+k2π,k2∈Z,所以B=,所以A∩B= .故選D.
2.B　[解析] 因為P,所以θ是第二象限角,且tan θ==-,又θ∈[0,2π),所以θ=.故選B.
3.A　[解析] 由α=arccos 可得α∈,且cos α=,故sin α=,充分性成立;由sin α=可得cos α=±,不能得到α=arccos ,必要性不成立.故“α=arccos ”是“sin α=”的充分不必要條件.故選A.
4.A　[解析] 設f(a)=f(b)=f(c)=t,作出f(x)的圖象,如圖.不妨設a5.D　[解析] 因為sin2α+cos2α=1,所以點P(sin α,cos α)在單位圓上,-≤sin α≤,≤cos α≤1.記點B,C,所以點P的軌跡是劣弧CB,如圖所示,所以動線段AP所形成的圖形為圖中陰影部分區域.因為S△ABC=S△OBC,所以陰影部分區域的面積為π×12=.故選D.
6.C　[解析] 設當質點Q與P第二次相遇時,用時為t(s).依題意有5t-3t=2π+,解得t=,此時質點Q轉過的角度為π,則第二次相遇時,質點Q在角的終邊與圓的交點處,又圓的半徑為1,所以Q的坐標為.故選C.
7.AC　[解析] 對于選項A,因為1.72.5>1.70.3>1>0.93.1,所以a>b>c,故A滿足;對于選項B,因為tan 1>0>tan 3>tan 2,所以a>c>b,故B不滿足;對于選項C,如圖所示,單位圓中,設∠BOA=1>,則tan 1=AD,OA=1,BC=sin 1,因為AD>OA>BC,所以a>b>c,故C滿足;對于選項D,由a=log45=log25=log2,c=log23,可知log28.CD　[解析] 因為x∈[0,2π],所以ωx+∈,設t=ωx+,則t∈,畫出函數y=cos t的圖象如圖所示,由圖可知,若方程f(x)=-1在[0,2π]上有且僅有3個解,則5π≤2πω+<7π,故f(x)在(0,2π)上可能有5個、6個或7個零點,故A錯誤;方程f(x)=1在(0,2π)上可能有2個或3個解,故B錯誤;由5π≤2πω+<7π,可得≤ω<,故D正確;當x∈時,ωx+∈,因為≤ω<,所以≤ω+<,則f(x)在上單調遞減,故C正確.故選CD.
9.　[解析] 由tan α=3可知sin α=3cos α.由α是第三象限角,可知sin α<0,cos α<0,又sin2α+cos2α=1,所以sin α=-,cos α=-,則cos2α-sin α=.
10.2π-arcsin 或π+arcsin 　[解析] 由題知arcsin=-arcsin ∈,所以x=2π-arcsin 或x=π+arcsin .
11.f(x)=2000sinx+7000[解析] 作出函數f(x)的大致圖象如圖.∵3月份達到最高價9000元,9月份達到最低價5000元,∴A+B=9000,-A+B=5000,解得A=2000,B=7000.由題意知f(x)的周期T=2×(9-3)=12,∴ω==,故f(x)=2000sin+7000.∵f(3)=9000,∴9000=2000sin+7000,得sin=1,∴+φ=2kπ+(k∈Z),即φ=2kπ(k∈Z),又|φ|<,∴φ=0,故f(x)=2000sinx+7000.
12.解:(1)由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.取k=0,可得-≤x≤.
∵函數f(x)=sin-在區間[0,a]上單調遞增,∴0(2)由f(x)=sin-=0,得sin=,則x+=+2kπ,k∈Z或x+=+2kπ,k∈Z,
即x=2kπ,k∈Z或x=+2kπ,k∈Z.又x∈[0,2π],∴x=0,,2π.
故函數f(x)在區間[0,2π]上的所有零點是0,,2π.
13.解:(1)當f(x)取得最大值時,有2x+=2kπ,k∈Z,
所以x=kπ-,k∈Z,所以x的取值集合為.
(2)取點列表如下.
x 0 π
a=2x+ π 2π
y=f(x) 0 -2 0 2
描點作圖,如圖所示.
14.解:(1)由f=0=f,可得f+f=0,故f(x)=|cos x|(x≠0)是“G函數”.
(2)因為f(x)為“G函數”,所以存在x∈∪,使f(x)+f(-x)=0,即log2(tan x+m)+1+log2(-tan x+m)+1=0,整理得關于x的方程m2-tan2x=在∪上有解.
因為tan x∈[-,0)∪(0,],所以m2=tan2x+∈,可得<|m|≤,
又tan x+m>0對x∈∪恒成立,所以m>(-tan x)max=.綜上所述,即實數m的取值范圍是.(時間:45分鐘　分值:100分)
一、單項選擇題:本題共6小題,每小題5分,共30分.
1.[2024·湖北十四校協作體高一月考] 已知集合A={x|tan x=0},B={x|cos x=0},則 (　 )
A.A=B B.A B
C.A B D.A∩B=
2.已知點P在角θ的終邊上,且θ∈[0,2π),則角θ的大小為 (　 )
A. B. C. D.
3.“α=arccos”是“sin α=”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
4.[2024·北京延慶區高一期中] 已知函數f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則a+b+c的取值范圍是 (　 )
A. B.
C. D.
5.在平面上,已知定點A(,0),動點P(sin α,cos α),當α∈時,動線段AP所形成的圖形的面積為 (　 )
A.1+ B.1-
C. D.
6.[2023·遼寧省實驗中學高一月考] 質點P和Q在以坐標原點O為圓心,半徑為1的圓周上順時針做勻速圓周運動,它們同時出發.P的角速度為3 rad/s,起點為射線y=-x(x≥0)與圓的交點;Q的角速度為5 rad/s,起點為圓與x軸正半軸的交點,則當質點Q與P第二次相遇時,Q的坐標為 (　 )
A. B.
C. D.
二、多項選擇題:本題共2小題,每小題6分,共12分.
7.[2024·廣東深圳實驗學校高一期末] 下列四組數中,滿足a>b>c的有 (　 )
A.a=1.72.5,b=1.70.3,c=0.93.1
B.a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3
C.a=tan 1, b=1,c=sin 1
D.a=log45,b=log34,c=log23
8.已知函數f(x)=cos(ω>0),若方程f(x)=-1在[0,2π]上有且僅有3個解,則(　 )
A.f(x)在(0,2π)上有且僅有5個零點
B.方程f(x)=1在(0,2π)上有且僅有2個解
C.f(x)在上單調遞減
D.ω的取值范圍是
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
9.[2023·北京師范大學第二附屬中學高一月考] 已知tan α=3,α是第三象限角,則cos2α-sin α的值為　　　　.
10.若sin x=-,x∈[0,2π],則x=　　　　　　.
11.根據市場調查,某種商品一年內每件的出廠價格在7000元的基礎上,按f(x)=Asin(ωx+φ)+B的模型波動,已知3月份達到最高價9000元,9月份達到最低價5000元.根據以上條件可確定f(x)的解析式為　.
四、解答題:本題共3小題,共43分.
12.(13分)已知函數f(x)=sin-.
(1)若函數f(x)在區間[0,a]上單調遞增,求實數a的取值范圍;
(2)求函數f(x)在區間[0,2π]上的所有零點.
13.(15分)[2024·湖北十堰高一期中] 已知函數f(x)=2cos.
(1)當f(x)取得最大值時,求x的取值集合;
(2)畫出函數f(x)在[0,π]上的圖象.
14.(15分)[2024·上海浦東復旦附中高一月考] 對于函數f(x),若f(x)的圖象上存在關于原點對稱的點,則稱f(x)為定義域上的“G函數”.
(1)試判斷f(x)=|cos x|(x≠0)是否為“G函數”,簡要說明理由;
(2)若f(x)=log2(tan x+m)+1是定義在區間∪上的“G函數”,求實數m的取值范圍;

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