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單元素養測評卷(一)B
1.B　[解析] 因為角-α與角α的終邊關于x軸對稱,所以角β與角-α的終邊相同,即β=2kπ-α(k∈Z),所以α+β=α+2kπ-α=2kπ(k∈Z),故選B.
2.B　[解析] 因為sin=,cos=-,所以P,故點P在第四象限,即角α的終邊在第四象限,則角3π+α的終邊為角α的終邊的反向延長線,故3π+α是第二象限角.故選B.
3.D　[解析] 由題意知,=×200=50π(米),設兩人經過x分鐘后相遇,則300x-290x=50π+2π×200k,k∈Z,解得x=5π+40kπ,k∈Z,所以乙跑的總路程為300x=1500π+12 000kπ,k∈Z,當k=0時,乙跑的總路程為1500π米.故選D.
4.D　[解析] 對sin α+3cos α=兩邊平方得sin2α+9cos2α+6sin αcos α=5sin2α+5cos2α,∴2sin2α-3sin αcos α-2cos2α=0,∴2tan2α-3tan α-2=0,解得tan α=2或tan α=-,故充分性不成立;當tan α=2時,若α為第三象限角,則sin α+3cos α<0,故必要性不成立.故“sin α+3cos α=”是“tan α=2”的既不充分也不必要條件.故選D.
5.A　[解析] 由題意可得P,Q都在f(x)=sin(ωx+φ)的圖象上,故f(0)=sin φ=,又|φ|<,所以φ=,又f(π)=sin=,結合f(x)的圖象得,ωπ+=+2kπ,k∈Z,故ω=+2k,k∈Z.因為T>PQ,所以>π,故0<ω<1,所以ω=,故T==4π.故選A.
6.B　[解析] 因為函數f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為,所以=,解得ω=3,所以f(x)=sin(3x+φ),因為函數f(x)的圖象的一個對稱中心為,所以f=sin=0,又0<φ<π,所以φ=,所以g(x)=tan,令3x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,所以函數g(x)=tan(ωx+φ)的圖象的對稱中心為,k∈Z.故選B.
7.A　[解析] f(x)=1+=1+sin ax,顯然a≠0.對于A,由題圖知f(x)max>2,因為-1≤sin ax≤1,所以1+>2,所以0<|a|<1,所以f(x)的最小正周期T=>2π,其最小值為1-<0,故A正確;對于B,顯然不恒為0,故B錯誤;對于C,由題圖知f(x)max>2,由A可知T>2π,但圖C中其最小正周期小于2π,故C錯誤;對于D,由題圖知f(x)max∈(1,2),則1+∈(1,2),所以∈(0,1),所以f(x)的最小正周期T=<2π,但圖D中其最小正周期大于2π,故D錯誤.故選A.
8.B　[解析] 對于①,因為g(x)=x+tan x在(0,1)上單調遞增,且g(0)=0,g(1)=1+tan 1>1+tan=2,所以 x∈(0,1),x+tan x=2,故①正確;對于②,當x∈時,tan x>1,則tan x+=tan x-1++1≥2+1=3,當且僅當tan x=2時等號成立,故②錯誤;對于③,因為f(-x)=-xcos x-tan x=-f(x),所以f(x)=xcos x+tan x為奇函數, 所以f(x)的圖象關于原點對稱,故③正確;對于④,函數h(x)=tan的最小正周期T=,故④錯誤.故選B.
9.AB　[解析] 對于A,300°=300×=,故A正確;對于B,若α為第一象限角,則2kπ<α<2kπ+,k∈Z,則kπ<10.ABD　[解析] 對于A,函數f(x)的最大值為2,故A正確;對于B,將函數y=2sin x的圖象向右平移個單位可得y=2sin的圖象,故B正確;對于C,令x-=+kπ,k∈Z,解得x=π,k∈Z,故C錯誤;對于D,取x1=,x2=π,滿足x1f(x2)=,故D正確.故選ABD.
11.AD　[解析] ∵f=2,f(π)=0,∴+=π-=,k∈N,解得T=,k∈N,∴ω=,k∈N.∵f(x)在區間上單調,∴-≤,解得T≥,∴ω=≤12,即≤12,k∈N,解得k≤,k∈N,∴k=0,1,2,…,7,∴符合條件的ω的值有8個,故A正確,B錯誤;當k=0時,ω=,故C錯誤;當k=6時,ω=,故D正確.故選AD.
12.1或4　[解析] 設扇形的圓心角的弧度數為α,半徑為r,則由題可得解得或
13.-　[解析] 依題意得sin α==,又β=α+,所以cos β=cos=-sin α=-.
14.1(答案不唯一)　[解析] 因為T=,所以f(T)=f=cos=cos φ=,因為0<φ<,所以φ=,所以f(x)=cos(ω>0).將f(x)的圖象向右平移個單位得到y=cos的圖象,因為所得圖象關于y軸對稱,所以-ω+=kπ(k∈Z),則ω=1-3k(k∈Z),又ω>0,所以ω的值可以是1.
15.解:(1)由三角函數的定義可知sin α==,解得m=±1.
因為α為第一象限角,所以m=1.
(2)由(1)可知tan α=2,又tan β=,所以=
=-=-=-=-.
16.解:(1)列表:
x -
u=2x+ 0 π 2π
f(x) 0 3 0 -3 0
描點,連線,作圖,如圖所示.
(2)將函數y=sin x的圖象上所有點的橫坐標不變,縱坐標變為原來的3倍,得到y=3sin x的圖象;將y=3sin x的圖象向左平移個單位,得到y=3sin的圖象;將y=3sin的圖象上所有點的縱坐標不變,橫坐標變為原來的,得到f(x)=3sin的圖象.
(3)因為f(x0)=,所以3sin=,即sin=,
則2x0+=2kπ+,k∈Z或2x0+=2kπ+,k∈Z,
即x0=kπ,k∈Z或x0=kπ+,k∈Z.
又因為x0∈[2π,3π],所以x0的值為2π,3π,.
17.解:(1)建立如圖所示的直角坐標系,設y與t之間的函數式為y=Msin(ωt+φ)+N,其中ω>0,t>0.
依題意可知y的最大值為18,最小值為-2,則解得
因為水車每10分鐘轉一圈,所以水車每分鐘內所轉過的角度為=.所以y=10sin+8.
當t=0時,y=10sin φ+8=3,故sin φ=-,由圖可知φ∈,所以φ=-,故函數y=10sin+8(t≥0).
(2)由y>13,即10sin+8>13,整理得sin>.
令+2kπ18.解:(1)當m=2時,f(x)=2cos+1,令f(x)=0,
則cos=-,即2x-=2kπ+(k∈Z)或2x-=2kπ+(k∈Z),解得x=kπ+(k∈Z)或x=kπ+(k∈Z),
故f(x)的零點是x=kπ+(k∈Z)或x=kπ+(k∈Z).
(2)由0≤x≤可得-≤2x-≤,所以-≤cos≤1.
①當m>0時,可得-1≤f(x)≤2m-1,由-3≤f(x)≤4恒成立,可得解得0②當m<0時,可得2m-1≤f(x)≤-1,由-3≤f(x)≤4恒成立,可得解得-1≤m<0.
綜上可得,實數m的取值范圍是[-1,0)∪.
19.解:(1)由函數f(x)的最小正周期為π,可得ω==2,則f(x)=sin(2x+φ).
因為函數f(x)在上單調遞增,且-=,f(x)的最小正周期為π,所以2×+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又0≤φ<2π,所以φ=,所以f(x)=sin.
(2)由(1)得g(x)=2f+1=2sin+1=2sin+1,因為x∈,所以2x+∈,所以sin∈,所以g(x)∈[2,3].因為對任意的x∈,不等式[g(x)]2-mg(x)-1≤0恒成立,所以m≥對g(x)∈[2,3]恒成立,令t=g(x),則m≥=t-對t∈[2,3]恒成立,
令h(t)=t-(t∈[2,3]),易知h(t)在[2,3]上單調遞增,所以h(t)max=h(3)=,所以m≥.故實數m的取值范圍為.單元素養測評卷(一)B
第七章
(時間:120分鐘　分值:150分)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.在直角坐標系中,若角α與角β的終邊關于x軸對稱,則α與β的關系是 (　　)
A.α=-β B.α+β=2kπ(k∈Z)
C.α=β D.α-β=2kπ(k∈Z)
2.[2024·河南南陽高一期中] 已知角α的頂點在坐標原點,以x軸的正半軸為始邊,終邊經過點P,則3π+α是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.甲、乙兩人計劃每日繞著半徑為200米(為了計算方便,跑道的寬度忽略不計)的圓形跑道逆時針勻速跑步,以提高身體素質.圓形跑道示意圖如圖所示,O為圓形跑道的圓心.已知甲以290米/分鐘的速度從A點出發,乙以300米/分鐘的速度從B點出發,兩人同時出發.若∠AOB=,則當甲、乙相遇時,乙跑的總路程可能為(　　)
A.2700 π米 B.1050 π米
C.1800 π米 D.1500 π米
4. 已知α∈R,則“sin α+3cos α=”是“tan α=2”的 (　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
5.[2024·長沙高一期末] 如圖所示,P,Q是函數f(x)=sin(ωx+φ)的圖象與直線y=的兩個交點,且點P在y軸上,若PQ=π,則f(x)的最小正周期為 (　　)
A.4π B.
C.3π D.2π
6.已知函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為,其圖象的一個對稱中心為,則函數g(x)=tan(ωx+φ)的圖象的對稱中心為 (　　)
A.,k∈Z B.,k∈Z
C.,k∈Z D.,k∈Z
7.[2024·北京一零一中學高一期中] 已知a是實數,則函數f(x)=1+的圖象可能是 (　　)
A B C D
8.現有下列四個說法:
① x∈(0,1),x+tan x=2;
② x∈,tan x+≥4;
③函數f(x)=xcos x+tan x的圖象存在對稱中心;
④函數h(x)=tan的最小正周期為π.
其中正確說法的個數是 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.[2024·南昌十中高一月考] 下列說法中正確的是 (　　)
A.300°=
B.若α為第一象限角,則為第一或第三象限角
C.第一象限角都是銳角
D.終邊在直線y=-x上的角的集合是
10.[2024·湖南師大附中高一月考] 已知函數f(x)=2sin,x∈R,則下列說法正確的是(　　)
A.函數f(x)的最大值為2
B.函數y=f(x)的圖象可由函數y=2sin x的圖象向右平移個單位得到
C.函數f(x)的圖象的對稱軸方程為x=π(k∈Z)
D.存在x1,x2∈R,使得x1f(x2)
11.已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)滿足f=2,f(π)=0,且f(x)在區間上單調,則 (　　)
A.ω的可能取值有8個 B.ω的可能取值有無限個
C.ω不能為 D.ω可以為
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.已知扇形的周長是12,面積是8,則扇形的圓心角的弧度數是　　　　.
13.已知角α的終邊經過點(3,4),將角α的終邊繞原點O逆時針旋轉與角β的終邊重合,則cos β=　　　　.
14.已知函數f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期為T,且f(T)=,將f(x)的圖象向右平移個單位,所得圖象關于y軸對稱,則ω的值可以是　　　　(寫出符合條件的一個具體數值即可).
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)已知角α的終邊經過點P(m,2),sin α=且α為第一象限角.
(1)求m的值;
(2)若tan β=,求的值.
16.(15分)已知函數f(x)=3sin.
(1)用“五點法”畫出函數y=f(x)在一個周期內的簡圖.
(2)y=sin x的圖象經過怎樣的變換能得到函數y=f(x)的圖象
(3)若f(x0)=,x0∈[2π,3π],寫出x0的所有值.
17.(15分)[2024·黑龍江齊齊哈爾恒昌中學高一月考] 水車是古代中國勞動人民發明的灌溉工具,相傳為漢靈帝時華嵐造出雛形,經三國時孔明改造完善后在蜀國推廣使用.作為中國農耕文化的重要組成部分,它體現了中華民族的創造力,為中國農業文明和水利史研究提供了見證.被譽為“水車之都”的蘭州建起了一處水車博覽園,再現了以前黃河兩岸水車林立的壯觀景象.如圖為一架新制作的水車模型,其最高點距離水面為18米,最低點在水面下2米,該水車每10分鐘轉一圈,若從水輪左側距離水面3米的點處開始計算時間(假定水車逆時針方向旋轉).
(1)將水輪上的動點P距離水面的高度y(單位:m)表示為時間t(單位:min)的函數;
(2)在水輪轉動的一圈內,有多長時間點P距水面的高度超過13 m
18.(17分)設f(x)=mcos+m-1(m≠0).
(1)若m=2,求函數f(x)的零點;
(2)當x∈時,-3≤f(x)≤4恒成立,求實數m的取值范圍.
19.(17分)已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<2π),且f(x)的最小正周期為π,f(x)在上單調遞增.
(1)求f(x)的解析式;
(2)設函數g(x)=2f+1,若對任意的x∈,不等式[g(x)]2-mg(x)-1≤0恒成立,求實數m的取值范圍.

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