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(共45張PPT)
8.1 向量的數(shù)量積
8.1.1 向量數(shù)量積的概念
探究點(diǎn)一 向量數(shù)量積定義及其應(yīng)用
探究點(diǎn)二 向量的夾角
探究點(diǎn)三 向量的投影與向量數(shù)量積的
幾何意義
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義;
2.理解向量投影的數(shù)量的含義并會(huì)應(yīng)用；
3.掌握數(shù)量積的定義公式,并會(huì)利用其解決有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、垂
直等問(wèn)題.
知識(shí)點(diǎn)一 兩個(gè)向量的夾角
1.定義：給定兩個(gè)______向量， （如圖所示）,在平
面內(nèi)任選一點(diǎn)，作,,則稱(chēng) 內(nèi)的
為向量與向量的______ ,記作， .
非零
夾角
2.向量的夾角，的取值范圍是_______________.當(dāng)與 同向時(shí),
夾角，為_(kāi)__;當(dāng)與反向時(shí),夾角，為_(kāi)__.且,, .
3.當(dāng)，__時(shí)，稱(chēng)向量與向量 垂直,記作______.
，
0
【診斷分析】
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）當(dāng)兩個(gè)非零向量共線(xiàn)時(shí)，兩個(gè)向量的夾角為0.( )
×
[解析] 當(dāng)兩個(gè)非零向量同向時(shí)，夾角為0，反向時(shí)，夾角為 .
（2）零向量與任意向量垂直.( )
√
（3）在正三角形中，, .( )
×
[解析] , .
（4）, .( )
×
[解析] 兩個(gè)向量中存在零向量時(shí)，滿(mǎn)足垂直，但是零向量的方向不
確定.
知識(shí)點(diǎn)二 向量的數(shù)量積的定義
1.定義：一般地，當(dāng)與 都是非零向量時(shí)，稱(chēng)_______________為向
量與的數(shù)量積（也稱(chēng)為內(nèi)積）,記作_____,即_____ ____________.
特別地,零向量與任一向量的數(shù)量積為_(kāi)__.
，
0
（1）當(dāng)，時(shí)， ___0;
（2）當(dāng)，時(shí)， ___0；
（3）當(dāng)，時(shí)， ___0.
2.兩個(gè)向量的夾角公式：求兩個(gè)向量的夾角時(shí)可以利用數(shù)量積的變形
公式， _ ____.
【診斷分析】
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）向量,的數(shù)量積能表示為和，不能表示為 .( )
×
[解析] 向量,的數(shù)量積只能表示為，不能表示為和 .
（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積不同于兩個(gè)向量的線(xiàn)性運(yùn)算，結(jié)果是一個(gè)實(shí)
數(shù)而不是向量.( )
√
（3） .( )
√
（4）若,則向量,的夾角為鈍角；若，則向量,
的夾角為銳角.( )
×
[解析] 若,則向量,的夾角為鈍角或 ；
若 ，則向量, 的夾角為銳角或0.
知識(shí)點(diǎn)三 數(shù)量積的性質(zhì)
不等式
恒等式
向量垂直的充要條件
【診斷分析】
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）當(dāng)時(shí)， .( )
√
（2）在中，如果，那么 為直角三角形.
( )
√
（3）無(wú)論向量與是否為零向量，若，則一定有 .
( )
√
（4）如果向量與是兩個(gè)單位向量，那么 .( )
√
（5）若,，則 .( )
√
知識(shí)點(diǎn)四 向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義
1.投影定義：如圖所示，設(shè)非零向量,過(guò)，分別作直線(xiàn) 的
垂線(xiàn)，垂足分別為，，則稱(chēng)向量為向量在直線(xiàn) 上的______
____或______.
投影向量
投影
2.投影的數(shù)量定義:一般地，如果， 都是非零向量，則稱(chēng)
____________為向量在向量 上的投影的數(shù)量.投影的數(shù)量與投影
的長(zhǎng)度有關(guān)，但是投影的數(shù)量既可能是非負(fù)數(shù)，也可能是負(fù)數(shù).
特別地，當(dāng)為單位向量時(shí)，因?yàn)?，所以_________________，
即任意向量與單位向量的數(shù)量積，等于這個(gè)向量在單位向量 上的投
影的數(shù)量.
,
3.數(shù)量積的幾何意義：兩個(gè)非零向量，的數(shù)量積，等于 在
_____________________與_______的乘積.
向量上的投影的數(shù)量
的模
【診斷分析】
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）若,,與的夾角為 ,則向量在向量 上的投影
為 .( )
×
[解析] 投影是向量，向量在向量上的投影為 .
（2）已知,，在向量上的投影的數(shù)量是 ,則
.( )
×
[解析] 向量與向量的數(shù)量積等于在向量上的投影的數(shù)量與
的積，所以 .
（3）已知,為兩個(gè)非零向量，則在上的投影一定與向量 同向.
( )
×
[解析] 在上的投影與向量 的方向相同或相反.
（4）已知，，且，則在 上的投影的數(shù)
量為，在上的投影的數(shù)量為 .( )
√
[解析] ，，所以向量在向量 上的投
影的數(shù)量為，；
向量在向量 上的投影的數(shù)量為， .
（5）若,都是非零向量，則向量在上的投影的數(shù)量為 .( )
√
（6）若,都是非零向量，則向量在上的投影向量為 .( )
√
（7）若是非零向量，則與同向的單位向量為 .( )
√
探究點(diǎn)一 向量數(shù)量積定義及其應(yīng)用
［探索］ 要求 ，需要知道哪些量？
解：要求，需要知道，及，的夾角， .
例1（1） [2023·遼寧盤(pán)錦遼東灣高一期末] 給出以下結(jié)論：
；；③；④若,則
或 ；⑤若，則 .
其中正確結(jié)論的序號(hào)是____.
⑤
[解析] ，故①錯(cuò)誤；
，故②錯(cuò)誤；
,，故③錯(cuò)誤；
④若，則 ，故④錯(cuò)誤；
⑤若，則，所以 ，故⑤正確.
故正確結(jié)論的序號(hào)是⑤.
（2）如圖，在中，， ，
，求：
① ；
解：因?yàn)椋遗c的方向相同，所以與 的夾角是 ，
所以 .
② .
解：因?yàn)榕c的夾角為 ，所以與的夾角為 ，
所以 .
變式（1） [2024·四川綿陽(yáng)高一期末]在半徑為的圓中，弦 的長(zhǎng)
度為，則 的值為( )
A. B.
C. D.與 有關(guān)
[解析] 如圖，取線(xiàn)段的中點(diǎn)D，連接，則 ，
所以 ，
所以 .故選B.
√
（2）已知正方形的邊長(zhǎng)為1，是邊 上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），
則的值為_(kāi)__， 的最大值為_(kāi)__.
1
1
[解析] 如圖所示，設(shè)與的夾角為 ，與 的夾角為
根據(jù)向量的數(shù)量積的定義可得
由圖可知， ，
，
而就是向量在上的投影的數(shù)量，
當(dāng)在 上的投影的數(shù)量最大，即投影的數(shù)量為時(shí)，取得
最大值，所以 的最大值為1.
［素養(yǎng)小結(jié)］
求向量數(shù)量積的步驟
（1）求與的夾角,，, ；
（2）求和 ；
（3）代入公式求 的值.
探究點(diǎn)二 向量的夾角
［探索］ 如何求與的夾角, ？
解：利用,求出,的值，然后借助,
求, .
例2（1） 已知向量,滿(mǎn)足,,,則與 的夾角
為_(kāi)__.
[解析] 由已知得,，
因?yàn)? ，所以, .
（2）若非零向量，滿(mǎn)足，，則與 夾角的
余弦值為_(kāi)_.
[解析] 由題得, .
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）求向量的夾角應(yīng)用數(shù)量積的變形公式, ,一般要求
兩個(gè)整體, ,不方便求出時(shí)，可尋求兩者之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化
條件解方程組，利用向量的幾何意義簡(jiǎn)捷直觀(guān)地得出.
（2）要注意向量夾角 的范圍為，當(dāng)時(shí)， ；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， .
探究點(diǎn)三 向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義
例3（1） [2024·江西宜春中學(xué)高一月考]已知向量與 的夾角為
，且，，則向量在向量 上的投影的數(shù)量為
( )
A.1 B. C.2 D.
[解析] 因?yàn)橄蛄颗c的夾角為 ，且， ，
所以，
所以向量在向量 上的投影的數(shù)量為 .故選B.
√
（2）[2024·安徽淮南二中高一期中]已知的外接圓圓心為 ，
且，，則向量在向量 上的投影為
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如圖，由可得為 的中點(diǎn)，
又因?yàn)闉?的外接圓圓心，所以，
又因?yàn)?，所以，
所以 為等邊三角形，即 ，
為等腰三角形，且 ，
所以向量在向量上的投影為 .故選B.
變式（1） [2024·上海嘉定一中高一期中] 已知向量 ，
，與的夾角為 ，則在 上的投影是____．
[解析] 因?yàn)橄蛄浚c的夾角為 ，
所以，
所以在上的投影是 .
（2）已知非零向量,滿(mǎn)足，，且在 上的投影的數(shù)
量與在上的投影的數(shù)量相等，則, ___.
[解析] 設(shè)與的夾角為 ，因?yàn)樵谏系耐队暗臄?shù)量與在 上的
投影的數(shù)量相等，所以，即 ，
又，所以 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
求投影的數(shù)量的兩種方法
（1）向量在上的投影的數(shù)量為,,向量在 上的投影的
數(shù)量為, ；
（2）向量在上的投影的數(shù)量為,向量在上的投影的數(shù)量為 .
1.已知平面上有三個(gè)點(diǎn)，，，則“，，可以構(gòu)成一個(gè)角 為
鈍角的鈍角三角形”是“ ”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
[解析] 當(dāng)A，B，C可以構(gòu)成一個(gè)角A為鈍角的鈍角三角形時(shí)，
，則“A，B，C可以構(gòu)成一個(gè)角A為鈍角的鈍角三角形”
是“”的充分條件；
當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)且 時(shí)，滿(mǎn)足 ，
但是A，B，C不能構(gòu)成三角形，則“A，B，C可以構(gòu)成一個(gè)角A為
鈍角的鈍角三角形”不是“ ”的必要條件.
故“A，B，C可以構(gòu)成一個(gè)角A為鈍角的鈍角三角形”是“ ”
的充分不必要條件.故選A.
2.在中， ，，設(shè)點(diǎn) 滿(mǎn)足
，且，則向量在 上的投影的數(shù)量
為( )
A. B. C. D.
[解析] ，為 邊的中點(diǎn)，如圖所示，
，， ，
，，在 上的投影的數(shù)量為
.故選D.
√
3.[2023·江西宜春高一期末]已知向量在向量 上的投影的數(shù)量為
，，則與 的夾角為( )
A. B. C. D.
[解析] 設(shè)向量與向量的夾角為 ，則在 上的投影的數(shù)量為
，，
又， .故選B.
√
4.已知，為單位向量且與的夾角為 ，則在 上的投影為
( )
A. B. C. D.
[解析] 在上的投影為 .故選B.
√
5.在等腰梯形中，，，，點(diǎn)在邊
（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，則 的取值范圍為_(kāi)_____.
[解析] 如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn)
作的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，則 ，
因?yàn)辄c(diǎn)在上的射影在線(xiàn)段 （包括端點(diǎn)）上，
所以，，
故 的取值范圍為 .
1.在上的投影的數(shù)量也可以寫(xiě)成，它的符號(hào)取決于夾角，
的余弦值．
2.在運(yùn)用向量數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的取值范圍
是 .
3.的符號(hào)與與的夾角， 的關(guān)系
（1）， 為銳角或零角，
當(dāng)，時(shí)，與同向共線(xiàn)， .
（2），或與中至少有一個(gè)為 .
（3）， 為鈍角或平角，
當(dāng)， 時(shí)，與反向共線(xiàn)， .
特別要注意，同向共線(xiàn)與反向共線(xiàn)的特殊情況，即
時(shí)，向量, 的夾角不一定為銳角（鈍角）．
4.向量的數(shù)量積， 的主要應(yīng)用
（1）利用公式求數(shù)量積，應(yīng)先求向量的模，再正確求出向量的夾角
（向量的夾角由向量的方向確定）．
（2）利用變形公式， 求夾角，應(yīng)正確求出兩個(gè)整體：
數(shù)量積與模的積，同時(shí)注意， ．
（3）利用 證明垂直問(wèn)題．
1.求向量夾角的步驟
求兩個(gè)向量的夾角,關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合,然
后確定夾角,再依據(jù)平面圖形的知識(shí)求解向量的夾角.
例 [2024·湖南長(zhǎng)沙外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二月考] 設(shè)，若在 上的
投影為，且在上的投影為3，則和 的夾角為_(kāi)_．
[解析] 由已知得可得
,，又,，, .
2.求向量數(shù)量積的步驟
進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算,需分三步走:求模長(zhǎng) 求夾角 求數(shù)量積.
涉及圖形的向量數(shù)量積的運(yùn)算,要充分利用圖形特點(diǎn)及其含有的特殊
向量,這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長(zhǎng)度的向量.
3.求向量與的夾角, 的方法
（1）求出，，，代入公式, 求解.
（2）用同一個(gè)量表示，， ，代入公式求解.
（3）借助向量運(yùn)算的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求夾角.
要注意夾角,的范圍是，當(dāng),時(shí)，, ；
當(dāng),時(shí)，,；當(dāng),時(shí)，, .8.1　向量的數(shù)量積
8.1.1　向量數(shù)量積的概念
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.非零　夾角　2.0≤≤π　0　π　3.　a⊥b
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　[解析] (1)當(dāng)兩個(gè)非零向量同向時(shí),夾角為0,反向時(shí),夾角為π.
(3)<,>=π-=.
(4)兩個(gè)向量中存在零向量時(shí),滿(mǎn)足垂直,但是零向量的方向不確定.
知識(shí)點(diǎn)二
1.|a||b|cos　a·b　a·b　|a||b|cos　0
(1)>　(2)=　(3)<
2.
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　[解析] (1)向量a,b的數(shù)量積只能表示為a·b,不能表示為ab和a×b.
(4)若a·b<0,則向量a,b的夾角為鈍角或π;若a·b>0,則向量a,b的夾角為銳角或0.
知識(shí)點(diǎn)三
≤　|a|2　　a·b
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√
知識(shí)點(diǎn)四
1.投影向量　投影　2.|a|cos　a·e=|a|cos
3.向量b上的投影的數(shù)量　b的模
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√　(7)√
[解析] (1)投影是向量,向量a在向量e上的投影為2e.
(2)向量a與向量b的數(shù)量積等于a在向量b上的投影的數(shù)量與|b|的積,所以a·b=.
(3)a在b上的投影與向量b的方向相同或相反.
(4)a·b=|a|·|b|cos=-12,所以向量a在向量b上的投影的數(shù)量為|a|·cos==-;向量b在向量a上的投影的數(shù)量為|b|·cos===-4.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
探索 解:要求a·b,需要知道|a|,|b|及a,b的夾角.
例1　(1)⑤　[解析] ①0·0=0,故①錯(cuò)誤;②0·a=0,故②錯(cuò)誤;③|a·b|=|a||b||cos|,故③錯(cuò)誤;④若a·b=0,則a⊥b,故④錯(cuò)誤;⑤若a⊥b,則a·b=0,所以(a·b)·c=0·c=0,故⑤正確.故正確結(jié)論的序號(hào)是⑤.
(2)解:①因?yàn)椤?且與的方向相同,所以與的夾角是0°,所以·=||||·cos 0°=3×3×1=9.
②因?yàn)榕c的夾角為60°,所以與的夾角為120°,所以·=||||·cos 120°=4×3×=-6.
變式　(1)B　(2)1　1　[解析] (1)如圖,取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D,連接OD,則OD⊥AB,所以||cos∠OAB=||=||,所以·=||·||cos∠OAB==.故選B.
(2)如圖所示,設(shè)與的夾角為θ,與的夾角為α,根據(jù)向量的數(shù)量積的定義可得·=·=||||cos θ.由圖可知,||cos θ=||,因此·=||2=1.·=||||cos α=||cos α,而||cos α就是向量在上的投影的數(shù)量,當(dāng)在上的投影的數(shù)量最大,即投影的數(shù)量為||時(shí),·取得最大值,所以·的最大值為1.
探究點(diǎn)二
探索 解:利用cos=求出cos的值,然后借助∈[0,π]求.
例2　(1)　(2)　[解析] (1)由已知得cos===-, 因?yàn)?a,b>∈[0,π],所以=.
(2)由題得cos===.
探究點(diǎn)三
例3　(1)B　(2)B　[解析] (1)因?yàn)橄蛄縜與b的夾角為120°,且|a|=2,|b|=4,所以a·b=|a|·|b|cos 120°=2×4×=-4,所以向量a在向量b上的投影的數(shù)量為=-1.故選B.
(2)如圖,由2=+可得O為BC的中點(diǎn),又因?yàn)镺為△ABC的外接圓圓心,所以O(shè)A=OB=OC,又因?yàn)閨|=||,所以AC=OA=OB=OC,所以△ACO為等邊三角形,即∠ACO=60°,△AOB為等腰三角形,且∠OAB=∠OBA=30°,所以向量在向量上的投影為=.故選B.
變式　(1)b　(2)　[解析] (1)因?yàn)橄蛄縷a|=3,|b|=4,a與b的夾角為60°,所以a·b=3×4cos 60°=6,所以a在b上的投影是b=b=b.
(2)設(shè)a與b的夾角為θ,因?yàn)閍在b上的投影的數(shù)量與b在a上的投影的數(shù)量相等,所以|a|cos θ=|b|cos θ,即4cos θ=2cos θ,又θ∈[0,π],所以θ=.
【課堂評(píng)價(jià)】
A　[解析] 當(dāng)A,B,C可以構(gòu)成一個(gè)角A為鈍角的鈍角三角形時(shí),·<0,則“A,B,C可以構(gòu)成一個(gè)角A為鈍角的鈍角三角形”是“·<0”的充分條件;當(dāng)A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)且∠BAC=180°時(shí),滿(mǎn)足·<0,但是A,B,C不能構(gòu)成三角形,則“A,B,C可以構(gòu)成一個(gè)角A為鈍角的鈍角三角形”不是“·<0”的必要條件.故“A,B,C可以構(gòu)成一個(gè)角A為鈍角的鈍角三角形”是“·<0”的充分不必要條件.故選A.
2.D　[解析] ∵=(+),∴O為BC邊的中點(diǎn),如圖所示,∵∠BAC=90°,||=||,BC=2,∴AC=AO=1,AB=,∴在上的投影的數(shù)量為||cos∠ABC=||·=×=.故選D.
3.B　[解析] 設(shè)向量a與向量b的夾角為θ,則a在b上的投影的數(shù)量為|a|cos θ=2cos θ=,∴cos θ=,又θ∈[0,π],∴θ=.故選B.
4.B　[解析] a在b上的投影為|a|cos 120°·=1×b=-b.故選B.
5.[1,3]　[解析] 如圖,過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)N,則BM=CN=MN=,因?yàn)辄c(diǎn)E在BC上的射影在線(xiàn)段MN(包括端點(diǎn))上,所以·≥||||=1,·≤||||=3,故·的取值范圍為[1,3].8.1　向量的數(shù)量積
8.1.1　向量數(shù)量積的概念
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.理解平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義;
　　2.理解向量投影的數(shù)量的含義并會(huì)應(yīng)用;
　　3.掌握數(shù)量積的定義公式,并會(huì)利用其解決有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、垂直等問(wèn)題.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　兩個(gè)向量的夾角
1.定義:給定兩個(gè)　　　　向量a,b(如圖所示),在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O,作=a,=b,則稱(chēng)[0,π]內(nèi)的∠AOB為向量a與向量b的　　　　 ,記作.
2.向量的夾角的取值范圍是　　　　　.當(dāng)a與b同向時(shí),夾角為　　　　;當(dāng)a與b反向時(shí),夾角為　　　　.且=.
3.當(dāng)=　　　　時(shí),稱(chēng)向量a與向量b垂直,記作　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)當(dāng)兩個(gè)非零向量共線(xiàn)時(shí),兩個(gè)向量的夾角為0. (　 )
(2)零向量與任意向量垂直. (　 )
(3)在正三角形ABC中,<,>=. (　 )
(4)a⊥b =. (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　向量的數(shù)量積的定義
1.定義:一般地,當(dāng)a與b都是非零向量時(shí),稱(chēng)　　　　　　　為向量a與b的數(shù)量積(也稱(chēng)為內(nèi)積),記作　　　　,即　　　　=　　　　　　　　　.特別地,零向量與任一向量的數(shù)量積為　　　　.
(1)當(dāng)∈時(shí),a·b　　　　0;
(2)當(dāng)=時(shí),a·b　　　　0;
(3)當(dāng)∈時(shí),a·b　　　　0.
2.兩個(gè)向量的夾角公式:求兩個(gè)向量的夾角時(shí)可以利用數(shù)量積的變形公式cos=　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)向量a,b的數(shù)量積能表示為a·b和ab,不能表示為a×b. (　 )
(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積不同于兩個(gè)向量的線(xiàn)性運(yùn)算,結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)而不是向量. (　 )
(3)a·0=0. (　 )
(4)若a·b<0,則向量a,b的夾角為鈍角;若a·b>0,則向量a,b的夾角為銳角. (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)三　數(shù)量積的性質(zhì)
不等式 |a·b|　　　　 |a||b|
恒等式 a·a=a2=　　　　, 即|a|=　　　　=
向量垂直的充要條件 a⊥b 　　　　=0
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)當(dāng)a∥b時(shí),|a·b|=|a|·|b|. (　 )
(2)在△ABC中,如果·=0,那么△ABC為直角三角形. (　 )
(3)無(wú)論向量a與b是否為零向量,若a·b=0,則一定有a⊥b . (　 )
(4)如果向量a與b是兩個(gè)單位向量,那么a2=b2.(　 )
(5)若|a|=2,|b|=3,則|a·b|≤6. (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)四　向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義
1.投影定義:如圖所示,設(shè)非零向量=a,過(guò)A, B分別作直線(xiàn)l的垂線(xiàn),垂足分別為A',B',則稱(chēng)向量 為向量a在直線(xiàn)l上的　　　　　　或　　　　.
2.投影的數(shù)量定義:一般地,如果a,b都是非零向量,則稱(chēng)　　　　　　為向量a在向量b上的投影的數(shù)量.投影的數(shù)量與投影的長(zhǎng)度有關(guān),但是投影的數(shù)量既可能是非負(fù)數(shù),也可能是負(fù)數(shù).
特別地,當(dāng)e為單位向量時(shí),因?yàn)閨e|=1,所以　　　　　　　　　　,即任意向量與單位向量的數(shù)量積,等于這個(gè)向量在單位向量e上的投影的數(shù)量.
3.數(shù)量積的幾何意義:兩個(gè)非零向量a,b的數(shù)量積a·b,等于a在　　　　　　　　　　　　與　　　　的乘積.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若|a|=4,|e|=1,a與e的夾角為30°,則向量a在向量e上的投影為2. (　 )
(2)已知|b|=3,|a|=9,a在向量b上的投影的數(shù)量是,則a·b=. (　 )
(3)已知a,b為兩個(gè)非零向量,則a在b上的投影一定與向量b同向. (　 )
(4)已知|a|=3,|b|=5,且a·b=-12,則a在b上的投影的數(shù)量為-,b在a上的投影的數(shù)量為-4. (　 )
(5)若a,b都是非零向量,則向量a在b上的投影的數(shù)量為. (　 )
(6)若a,b都是非零向量,則向量a在b上的投影向量為·. (　 )
(7)若a是非零向量,則與a同向的單位向量為. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　向量數(shù)量積定義及其應(yīng)用
[探索] 要求a·b,需要知道哪些量


例1 (1)[2023·遼寧盤(pán)錦遼東灣高一期末] 給出以下結(jié)論:
①0·0=0;②0·a=0;③|a·b|=|a||b|;④若a·b=0,則a=0或b=0;
⑤若a⊥b,則(a·b)·c=0.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是　　　　.
(2)如圖,在 ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:
①·;②·.
變式 (1)[2024·四川綿陽(yáng)高一期末] 在半徑為r的圓O中,弦AB的長(zhǎng)度為a(a<2r),則·的值為 (　 )
A. B.
C.ar D.與∠OAB有關(guān)
(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn)),則·的值為　　　　,·的最大值為　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求向量數(shù)量積的步驟
(1)求a與b的夾角,∈[0,π];
(2)求|a|和|b|;
(3)代入公式求a·b的值.
◆ 探究點(diǎn)二　向量的夾角
[探索] 如何求a與b的夾角


例2 (1)已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=4,|b|=3,a·b=-6,則a與b的夾角為　　　　.
(2)若非零向量a,b滿(mǎn)足|b|=2|a|,a·b=b2,則a與b夾角的余弦值為　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)求向量的夾角應(yīng)用數(shù)量積的變形公式cos =,一般要求兩個(gè)整體a·b,|a||b|,不方便求出時(shí),可尋求兩者之間的關(guān)系,轉(zhuǎn)化條件解方程組,利用向量的幾何意義簡(jiǎn)捷直觀(guān)地得出.
(2)要注意向量夾角θ的范圍為[0,π],當(dāng)cos θ>0時(shí),θ∈;當(dāng)cos θ<0時(shí),θ∈;當(dāng)cos θ=0時(shí),θ=.
◆ 探究點(diǎn)三　向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義
例3 (1)[2024·江西宜春中學(xué)高一月考] 已知向量a與b的夾角為120°,且|a|=2,|b|=4,則向量a在向量b上的投影的數(shù)量為 (　 )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
(2)[2024·安徽淮南二中高一期中] 已知△ABC的外接圓圓心為O,且2=+,||=||,則向量在向量上的投影為 (　 )
A. B.
C.- D.-
變式 (1)[2024·上海嘉定一中高一期中] 已知向量|a|=3,|b|=4,a與b的夾角為60°,則a在b上的投影是　　　　.
(2)已知非零向量a,b滿(mǎn)足|a|=4,|b|=2,且a在b上的投影的數(shù)量與b在a上的投影的數(shù)量相等,則=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求投影的數(shù)量的兩種方法
(1)向量b在a上的投影的數(shù)量為|b|cos,向量a在b上的投影的數(shù)量為|a|cos;
(2)向量b在a上的投影的數(shù)量為,向量a在b上的投影的數(shù)量為.
1.已知平面上有三個(gè)點(diǎn)A,B,C,則“A,B,C可以構(gòu)成一個(gè)角A為鈍角的鈍角三角形”是“·<0”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=2,設(shè)點(diǎn)O滿(mǎn)足=(+),且||=||,則向量在上的投影的數(shù)量為 (　 )
A.- B.
C.- D.
3.[2023·江西宜春高一期末] 已知向量a在向量b上的投影的數(shù)量為,|a|=2,則a與b的夾角為 (　 )
A. B.
C. D.
4.已知a,b為單位向量且a與b的夾角為120°,則a在b上的投影為 (　 )
A.b B.-b
C.a D.-a
5.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=2,點(diǎn)E在邊AD(包括端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),則·的取值范圍為　　　　. 8.1　向量的數(shù)量積
8.1.1　向量數(shù)量積的概念
1.B　[解析] 由m·n<0,可得m,n的夾角為鈍角或180°,不能推出m=λn(λ<0).由存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn,可得m,n反向共線(xiàn),它們的夾角為180°,則m·n=-|m||n|<0.所以“m·n<0”是“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”的必要不充分條件,故選B.
2.A　[解析] 由a·b=|a|·|b|,可得=0,此時(shí)a與b共線(xiàn);由a與b共線(xiàn),可得=0或=π,此時(shí)有a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|.故“a·b=|a|·|b|”是“a與b共線(xiàn)”的充分不必要條件.故選A.
3.B　[解析] 由題意可得與的夾角為180°-∠ABC=180°-60°=120°,故A錯(cuò)誤;如圖,作DE∥CB,交AB于點(diǎn)E,則∠ADE=60°,故<,>=∠ADE=60°,故B正確;由于∥,因此與的夾角等于與的夾角,即為180°-∠ABC=180°-60°=120°,故C錯(cuò)誤;與的夾角為∠ADC=180°-60°=120°,故D錯(cuò)誤.故選B.
4.A　[解析] 由題意知,向量a在b上的投影為·=×=b.故選A.
[易錯(cuò)點(diǎn)] 解此類(lèi)題需注意:一是向量的投影與向量的投影的數(shù)量不要混淆,向量a在b上的投影是一個(gè)向量,向量a在b上的投影的數(shù)量是一個(gè)實(shí)數(shù);二是a在b上的投影與b在a上的投影不一樣,審題時(shí)要看清楚.
5.D　[解析] 因?yàn)閨a|=5,且a,b的夾角θ滿(mǎn)足cos θ=-,所以向量a在向量b上的投影的數(shù)量為|a|cos=|a|·cos θ=5×=-4,故選D.
6.A　[解析] 依題意過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,則AE=ADcos 60°=.設(shè)與的夾角為θ,因?yàn)辄c(diǎn)P為直角梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn)(不包含邊界),所以在方向上的投影的數(shù)量為||cos θ,又-<||cos θ<1,所以·=||·||cos θ=1×||cos θ∈.故選A.
7.C　[解析] 由題意易知△ADE∽△CBE,則=,=.如圖,過(guò)E作EF⊥AD于F,則·=3·=27,∴·=9=||·||.·=2·3=24,∴·=4=||·||,則=.不妨設(shè)||=4x,則||=9x,||=13x,則9x·13x=9,即x2=,∴||==3,故||=9.故選C.
8.ACD　[解析] 因?yàn)橄蛄縜,b滿(mǎn)足|a|=4,|b|=2,a·b≥3,所以|b|cos=≥,且|b|cos≤|b|=2,所以向量b在向量a上的投影的數(shù)量的取值范圍為.故選ACD.
9.ABD　[解析] 對(duì)于A(yíng),根據(jù)投影的定義可知,向量a在向量b上的投影為·,故A正確;對(duì)于B,由a·b=|a||b|cos θ<0,可知cos θ<0,所以a與b的夾角θ的取值范圍是,故B正確;對(duì)于C,由向量夾角的定義可知,,的夾角為135°,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若非零向量a,b滿(mǎn)足a·b=0,則cos=0,即a⊥b,故D正確.故選ABD.
10.-5　[解析] 由已知得向量a在向量b上的投影的數(shù)量是==-5.
11.-b　[解析] 設(shè)a,b的夾角為θ,則a·b=|a||b|cos θ=-,又|b|=2,∴|a|cos θ=-,又=,所以向量a在向量b上的投影為|a|cos θ·=-b.
12.32　[解析] 由已知得BC2+CA2=AB2,所以∠C=90°,則點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),所以·=·==32.
13.解:連接AD,因?yàn)锳B=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.
又因?yàn)镈是BC邊的中點(diǎn),所以AD⊥BC,∠ABD=45°,所以BD=2.
延長(zhǎng)AB至E(如圖所示),則與的夾角為∠DBE=180°-45°=135°.
(1)在上的投影的數(shù)量是||cos 135°=4×=-2.
(2)在上的投影的數(shù)量是||cos 135°=2×=-2.
14.解:(1)a·b=|a|·|b|cos=5×4×=-10.
(2)a·b=|a|·|b|cos=0.
(3)a·b=|a|·|b|cos=5×4×=10.
(4)當(dāng)a,b同向共線(xiàn)時(shí),a·b=|a|·|b|cos=5×4×1=20;當(dāng)a,b反向共線(xiàn)時(shí),a·b=|a|·|b|cos=5×4×(-1)=-20.
15.D　[解析] 如圖,在正八邊形ABCDEFGH中,連接HC,則HC∥AB.又∠ABC=135°,所以∠BCH=45°,則∠HCD=90°.在等腰梯形ABCH中,CH=1+2×1×cos 45°=1+,所以·=||×||cos∠CHD=||=1+.故選D.
16.解:∵·=||||cos θ=6>0,∴cos θ>0,∴θ為銳角.如圖,延長(zhǎng)AB,過(guò)C作CD⊥AB,垂足為D,則CD=BCsin θ.·=||||cos θ=6①,
S=AB×CD=||||sin θ②,
由②÷①得=tan θ,即3tan θ=S.
∵≤S≤3,∴≤3tan θ≤3,即≤tan θ≤1,
又θ為銳角,∴θ∈.8.1　向量的數(shù)量積
8.1.1　向量數(shù)量積的概念
一、選擇題
1.[2024·江蘇張家港高一期末] 設(shè)m,n為非零向量,則“m·n<0”是“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.若a,b均為非零向量,則“a·b=|a|·|b|”是“a與b共線(xiàn)”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.[2023·江西上饒高一期末] 在等腰梯形ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=∠ABC=60°,則下列各組向量夾角為60°的是 (　 )
A.與 B.與
C.與 D.與
★4.[2024·云南師大附中高一月考] 已知向量a與b的夾角為,|a|=2,|b|=1,則向量a在b上的投影為 (　 )
A.b B.b
C.a D.a
5.已知|a|=5,|b|=3,且a,b的夾角θ滿(mǎn)足cos θ=-,則向量a在向量b上的投影的數(shù)量等于 (　 )
A. B.4
C.- D.-4
6.如圖,已知四邊形ABCD為直角梯形,AB⊥BC,AB∥DC,AB=1,AD=3,∠BAD=,設(shè)點(diǎn)P為直角梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn)(不包含邊界),則·的取值范圍是 (　 )
A. B.
C. D.
第6題圖 第7題圖
7.[2024·江蘇泰州高一期中] 如圖,在平面圖形ABCD中,=2,||=6.若·=27,·=24,則||= (　 )
A. B.3
C.9 D.13
8.(多選題)[2023·長(zhǎng)沙高一期中] 已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=4,|b|=2,a·b≥3,則向量b在向量a上的投影的數(shù)量可能是 (　 )
A.1 B. C. D.2
9.(多選題)[2024·山東泰安高一期末] 下列說(shuō)法正確的是 (　 )
A.向量a在向量b上的投影為·
B.若a·b<0,則a與b的夾角θ的取值范圍是
C.若△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則,的夾角為45°
D.若非零向量a,b滿(mǎn)足a·b=0,則a⊥b
二、填空題
10.設(shè)向量a,b滿(mǎn)足|a|=6,|b|=4,且a·b=-20,則向量a在向量b上的投影的數(shù)量是　　　　.
11.已知|a|=1,|b|=2,a·b=-,則向量a在向量b上的投影為　　　　.
12.在△ABC中,AB=10,BC=6,CA=8,且O是△ABC的外心,則·=　　　　.
三、解答題
13.如圖,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是BC邊的中點(diǎn),求:
(1)在上的投影的數(shù)量;
(2)在上的投影的數(shù)量.
14.已知|a|=5,|b|=4,當(dāng)a與b滿(mǎn)足下列條件時(shí),分別求a·b.
(1)a與b的夾角為π;
(2)a⊥b;
(3)a與b的夾角為;
(4)a∥b.
15.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形ABCDEFGH,其中AB=1,O為正八邊形的中心,則·= (　 )
A.-1 B.1
C. D.1+
16.已知△ABC的面積S滿(mǎn)足≤S≤3,且·=6,設(shè)與的夾角為θ,求θ的取值范圍.

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