資源簡介

(共37張PPT)
8.1 向量的數(shù)量積
8.1.2 向量數(shù)量積的運算律
探究點一 向量數(shù)量積運算律的理解
探究點二 利用向量數(shù)量積運算律求夾角、模
探究點三 利用向量數(shù)量積運算律解決幾何問題
【學習目標】
掌握向量數(shù)量積的運算律,并會利用其解決有關(guān)長度、夾角、垂
直等問題.
知識點 兩個向量數(shù)量積的運算律
（1）交換律： _____.
（2）________ ．
（3）分配律： ___________.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1） .( )
×
（2） .( )
×
（3） .( )
√
（4）若，則 .( )
×
探究點一 向量數(shù)量積運算律的理解
例1 下列各式中正確的個數(shù)是( )
① ；
② ；
③若，則 ；
④若，則或 ．
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 對于①，由向量數(shù)量積的運算律知①正確；
對于②，由向量數(shù)量積的運算律可得②正確；
對于③，若 ，則，
所以，無法說明 ，故③錯誤；
對于④，若，則 ，無法說明一定滿足或 ，
故④錯誤.
綜上，正確的為①②，故選B.
變式 設，， 是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列
結(jié)論：
① ；
②不與 垂直；
③ ；
④ .
其中正確結(jié)論的序號是________．
①③④
[解析] 根據(jù)向量數(shù)量積的分配律知①正確；
因為 ，
所以與垂直，②錯誤；
因為， 不共線，所以，，構(gòu)成三角形的三條邊，
所以 成立，③正確；④顯然正確．
［素養(yǎng)小結(jié)］
向量的數(shù)量積與實數(shù)，的乘積 有聯(lián)系，同時也有許多不同
之處.例如，由不能得出或 0.特別是向量的數(shù)量積
不滿足結(jié)合律，即一般情況下 .
探究點二 利用向量數(shù)量積運算律求夾角、模
例2（1） [2024·福建廈門外國語學校高一月考]已知
，則與 的夾角的余弦值為( )
A. B. C.0 D.1
[解析] 因為，所以 ，
即，則，
故 , .故選A.
√
（2）[2024·貴州仁懷四中高一月考] 如圖，已知向量
,滿足,,與的夾角為 ，則
____.
[解析] 因為,,, ，
, ，
則 .
變式（1） [2024·安徽合肥中科大附中高一月考] 已知向量, 滿足
,,，則向量與 的夾角的余弦值
為_ ___.
[解析] 由,可得,則 ，
所以 ，
，
所以, .
（2）已知，,，,，且， ，
，則 ____________.
[解析] 因為，所以 ，
所以，
故 ．
［素養(yǎng)小結(jié)］
利用向量數(shù)量積的運算律解決有關(guān)夾角和模的問題的關(guān)鍵是將已知
條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于和 的值.
探究點三 利用向量數(shù)量積運算律解決幾何問題
［探索］ 設平面上有四個互異的點,,, ,已知
,則 是______三角形
（填“等腰”或“等邊”或“直角”）.
等腰
[解析] 因為 ，
所以，所以 是等腰三角形.
例3（1） 已知滿足 ，則
是( )
A.等邊三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形
[解析] 由題意得，故 ，
則，所以 是直角三角形.故選C.
√
（2）[2024·遼寧沈陽同澤中學高一月考] 已知點為外接圓
上的任意一點， ，，，則 ___，
的最大值為__.
1
[解析] 因為,
所以
,
顯然是向量在向量 上的投影的數(shù)
量，則當為銳角時，取得最大值.
如圖，當過 延長線上一點，且垂直的直線與圓
相切時，設切點為，連接， ，此時在向
量上的投影的數(shù)量最大，等于線段的長度.
由 與圓相切，且得,又 ,
所以四邊形是菱形.
又 ，所以菱形 中， ,則，所以直角三角形 中，，故的最大值為 .
變式（1） [2023·海口高一期末]已知在中，向量， ，
滿足且，則 為( )
A.等腰直角三角形 B.非等腰的直角三角形
C.等腰非等邊三角形 D.等邊三角形
√
[解析] 由得，即 ，
則.由得，
而, 分別為與,方向相同的單位向量，則的角平分線
與 垂直，可得，則 為等腰直角三角形.故選A．
（2）（多選題）[2023·蘇州高一期中] 點在 所在的平面內(nèi)，
則以下說法正確的有( )
A.若，則點為 的重心
B.若，則點為 的垂心
C.若 ，則點
為 的外心
D.若，則點為 的內(nèi)心
√
√
[解析] 對于A，設邊，，的中點分別為D，， ，則
,即，所以，所以A， ，
D三點共線，即點在中線上，
同理點在中線,上，則 是的重心，故A正確;
對于B，若 ，則，
所以，所以為 的外心，故B錯誤;
對于C，因為 ,所以為線段的中垂線，
同理可得，，分別為線段， 的中垂線，所以是 的
外心，故C正確;
對于D，，即
垂直于，則點在邊的高上，
同理可得，點也在邊， 的高上，所以是的垂心，故D錯誤.
故選 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
利用向量法解決幾何問題的方法技巧
（1）利用向量表示幾何關(guān)系，如位置關(guān)系、長度關(guān)系、角度關(guān)系.
（2）進行向量計算，如向量的線性運算、數(shù)量積運算.
（3）將向量問題還原成幾何問題，如向量共線與三點共線或者直線
平行、向量的夾角與直線的夾角等.
1.[2024·寧夏銀川唐徠中學高一月考]若向量,,中， 是一個單位向
量，，與的夾角為，，則 ( )
A.2 B.1 C.0 D.
[解析] 因為是一個單位向量，，與的夾角為 ，
所以 ，
所以 .故選D.
√
2.已知向量,滿足，，，則在 上
的投影的數(shù)量為( )
A.5 B. C.10 D.
[解析] 因為 ，所以
，所以 ，所以，
則在 上的投影的數(shù)量為 .故選A.
√
3.給出下列三個說法：
①若，且，則 ；
②若非零向量，滿足，則與的夾角為 ;
③在中，若，則 是銳角三角形.
其中說法正確的個數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 對于①，若，則, ,
，因為，即，所以,, ，故①錯誤；
對于②，由非零向量，滿足 ，得
，
所以,，又因為,，所以 , ，
即以與為鄰邊的平行四邊形為菱形，且, ，
所以與的夾角為 ,故②正確；
對于③，，
所以 ，則，即為鈍角，
所以 是鈍角三角形，故③錯誤.故選B.
4.[2023·安徽六安一中高一月考]已知向量，滿足 ，
，，則與 的夾角為( )
A. B. C. D.
[解析] 因為，所以 ，
又，，所以，所以, ，
又,，所以, ．故選C.
√
5.已知向量滿足，向量與的夾角為，且 ，
則 ____.
[解析] ，與的夾角為，
，解得 ，
.
1.平面向量數(shù)量積的運算不滿足結(jié)合律,即對于向量,, ,
一般不成立,這是因為表示一個與 共
線的向量,而表示一個與共線的向量,而與 不一定共線,所
以 一般不成立.
2.向量數(shù)量積運算的常用公式
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
1.向量的數(shù)量積與實數(shù)乘積的運算性質(zhì)的比較
滿足乘法結(jié)合律 不滿足乘法結(jié)合律
例1 已知向量與的夾角為 ，且 ，那么
的值為____.
[解析] .
2.已知非零向量,,若,則 ,反之也成立.根據(jù)這一結(jié)論我
們可以解決兩類問題:①由垂直條件求參數(shù)的值;②利用題設條件證明
向量垂直或直線垂直.
例2 已知，，且與的夾角為 .若
，求實數(shù) 的值.
解：因為 ，
所以 ，
即 ，
即，解得 .8.1.2　向量數(shù)量積的運算律
【課前預習】
知識點
(1)b·a　(2)λ(a·b)　(3)a·c+b·c
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
【課中探究】
探究點一
例1　B　[解析] 對于①,由向量數(shù)量積的運算律知①正確;對于②,由向量數(shù)量積的運算律可得②正確;對于③,若a·b=a·c,則a·b-a·c=a·(b-c)=0,所以a⊥(b-c),無法說明b=c,故③錯誤;對于④,若a·b=0,則a⊥b,無法說明一定滿足a=0或b=0,故④錯誤.綜上,正確的為①②,故選B.
變式　①③④　[解析] 根據(jù)向量數(shù)量積的分配律知①正確;因為[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,所以(b·c)·a-(c·a)·b與c垂直,②錯誤;因為a,b不共線,所以|a|,|b|,|a-b|構(gòu)成三角形的三條邊,所以|a|-|b|<|a-b|成立,③正確;④顯然正確.
探究點二
例2　(1)A　(2)　[解析] (1)因為|2a-b|=2|b|=4|a|=4,所以|2a-b|2=16,即4a2-4a·b+b2=4-4a·b+4=16,則a·b=-2,故cos===-1.故選A.
(2)因為|a|=2,|b|=1,=120°,所以a·b=|a||b|cos=2×1×=-1,則|a+b|===.
變式　(1)　(2)　[解析] (1)由|2a-b|=2,可得4a2-4a·b+b2=12,則a·b=-1,所以(3a+b)·a=3a2+a·b=3-1=2,|3a+b|====,所以cos<3a+b,a>===.
(2)因為a⊥b,所以a·b=0,所以|a+b+c|2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+a·c+b·c)=1+4+9+2×=14+2×=17+6,故|a+b+c|=.
探究點三
探索 等腰　[解析] 因為(+-2)·(-)=(-+-)·(-)=(+)·(-)=||2-||2=0,所以||=||,所以△ABC是等腰三角形.
例3　(1)C　(2)1　 　[解析] (1)由題意得=·(+)+·,故·=0,則⊥,所以△ABC是直角三角形.故選C.
(2)因為=-,所以||===
=
=1.(-)·=·=||·||cos∠ABM=||cos∠ABM,顯然||cos∠ABM是向量在向量上的投影的數(shù)量,則當∠ABM為銳角時,||cos∠ABM取得最大值.如圖,當過BA延長線上一點D,且垂直BA的直線與圓O相切時,設切點為M,連接OM,AB,此時在向量上的投影的數(shù)量最大,等于線段BD的長度.由MD與圓O相切,且MD⊥AB得OM∥AB,又||=||=||=1,所以四邊形OMAB是菱形.又∠AMB=∠ACB=30°,所以菱形OMAB中,∠ABM=30°,則||=2||cos 30°=,所以直角三角形BDM中,BD=BM·cos 30°=,故(-)·的最大值為.
變式　(1)A　(2)AC　[解析] (1)由·=-得·(+)=0,即·=0,則AB⊥AC.由+=0得·=0,而,分別為與,方向相同的單位向量,則∠BAC的角平分線與BC垂直,可得AB=AC,則△ABC為等腰直角三角形.故選A.
(2)對于A,設邊BC,AC,AB的中點分別為D,E,F,則+=2,即+2=0,所以=-2,所以A,O,D三點共線,即點O在中線AD上,同理點O在中線BE,CF上,則O是△ABC的重心,故A正確;對于B,若==,則==,所以||=||=||,所以O為△ABC的外心,故B錯誤;對于C,因為(+)·=2·=0,所以OF為線段AB的中垂線,同理可得,OD,OE分別為線段BC,AC的中垂線,所以O是△ABC的外心,故C正確;對于D,·-·=·(-)=·=0,即OB垂直于CA,則點O在邊AC的高上,同理可得,點O也在邊AB,BC的高上,所以O是△ABC的垂心,故D錯誤.故選AC.
【課堂評價】
1.D　[解析] 因為a是一個單位向量,|b|=,a與b的夾角為,所以a·b=1××cos=1,所以c·a=(b-2a)·a=b·a-2a2=1-2=-1.故選D.
2.A　[解析] 因為|a+b|=3,所以|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+|b|2=9,所以|b|2=4,所以|b|=2,則a+2b在b上的投影的數(shù)量為===5.故選A.
3.B　[解析] 對于①,若a·b=a·c,則|a|·|b|cos=|a|·|c|cos,因為a≠0,即|a|≠0,所以|b|cos=|c|cos,故①錯誤;對于②,由非零向量a,b滿足|a|=|b|=|a+b|,得|a+b|===|a|,所以cos=-,又因為∈[0,π],所以=,即以a與b為鄰邊的平行四邊形為菱形,且=,所以a與a+b的夾角為,故②正確;對于③,·=||·||cos(π-∠ABC)>0,所以cos(π-∠ABC)>0,則cos∠ABC<0,即∠ABC為鈍角,所以△ABC是鈍角三角形,故③錯誤.故選B.
4.C　[解析] 因為|a+b|=,所以a2+2a·b+b2=14,又|b|=,a·b=2,所以|a|=2,所以cos==,又∈[0,π],所以=.故選C.
5.　[解析] ∵|a|=,a與b的夾角為,∴a·b=|a|·|b|cos=-1,解得|b|=1,∴|a-b|====.8.1.2　向量數(shù)量積的運算律
【學習目標】
　　掌握向量數(shù)量積的運算律,并會利用其解決有關(guān)長度、夾角、垂直等問題.
◆ 知識點　兩個向量數(shù)量積的運算律
(1)交換律:a·b=　　　　.
(2)(λa)·b=　　　　(λ∈R).
(3)分配律:(a+b)·c=　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1) (a·b)·c=a·(b·c). (　 )
(2)(a·b)2=a2·b2. (　 )
(3)(a+b)·(a-b)=a2-b2. (　 )
(4)若a·b=a·c,則b=c. (　 )
◆ 探究點一　向量數(shù)量積運算律的理解
例1 下列各式中正確的個數(shù)是 (　 )
①(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);
②(a+b)·c=a·c+b·c;
③若a·b=a·c,則b=c;
④若a·b=0,則a=0或b=0.
A.1 B.2
C.3 D.4
變式 設a,b,c是任意的非零向量,且它們相互不共線,給出下列結(jié)論:
①a·c-b·c=(a-b)·c;
②(b·c)·a-(c·a)·b不與c垂直;
③|a|-|b|<|a-b|;
④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.
其中正確結(jié)論的序號是　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
向量的數(shù)量積a·b與實數(shù)a,b的乘積ab有聯(lián)系,同時也有許多不同之處.例如,由a·b=0不能得出a=0或b=0.特別是向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即一般情況下(a·b)·c≠a·(b·c).
◆ 探究點二　利用向量數(shù)量積運算律求夾角、模
例2 (1)[2024·福建廈門外國語學校高一月考] 已知|2a-b|=2|b|=4|a|=4,則a與b的夾角的余弦值為 (　 )
A.-1 B.-
C.0 D.1
(2)[2024·貴州仁懷四中高一月考] 如圖,已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,a與b的夾角為120°,則|a+b|=　　　　.
變式 (1)[2024·安徽合肥中科大附中高一月考] 已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,|2a-b|=2,則向量3a+b與a的夾角的余弦值為　　　　.
(2)已知a⊥b,=,=,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則|a+b+c|=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
利用向量數(shù)量積的運算律解決有關(guān)夾角和模的問題的關(guān)鍵是將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a·b和|a||b|的值.
◆ 探究點三　利用向量數(shù)量積運算律解決幾何問題
[探索] 設平面上有四個互異的點A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,則△ABC是　　　　三角形(填“等腰”或“等邊”或“直角”).
例3 (1)已知△ABC滿足=·+·+·,則△ABC是 (　 )
A.等邊三角形 B.銳角三角形
C.直角三角形 D.鈍角三角形
(2)[2024·遼寧沈陽同澤中學高一月考] 已知點M為△ABC外接圓O上的任意一點,∠ACB=30°,AC=2,BC=,則||=　　　　,(-)·的最大值為　　　　.
變式 (1)[2023·海口高一期末] 已知在△ABC中,向量,,滿足·=-且+=0,則△ABC為 (　 )
A.等腰直角三角形
B.非等腰的直角三角形
C.等腰非等邊三角形
D.等邊三角形
(2)(多選題)[2023·蘇州高一期中] 點O在△ABC所在的平面內(nèi),則以下說法正確的有(　 )
A.若++=0,則點O為△ABC的重心
B.若==,則點O為△ABC的垂心
C.若(+)·=(+)·=(+)·=0,則點O為△ABC的外心
D.若·=·=·,則點O為△ABC的內(nèi)心
[素養(yǎng)小結(jié)]
利用向量法解決幾何問題的方法技巧
(1)利用向量表示幾何關(guān)系,如位置關(guān)系、長度關(guān)系、角度關(guān)系.
(2)進行向量計算,如向量的線性運算、數(shù)量積運算.
(3)將向量問題還原成幾何問題,如向量共線與三點共線或者直線平行、向量的夾角與直線的夾角等.
1.[2024·寧夏銀川唐徠中學高一月考] 若向量a,b,c中,a是一個單位向量,|b|=,a與b的夾角為,c=b-2a,則c·a= (　 )
A.2 B.1 C.0 D.-1
2.已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=2,|a+b|=3,則a+2b在b上的投影的數(shù)量為 (　 )
A.5 B. C.10 D.
3.給出下列三個說法:
①若a·b=a·c,且a≠0,則b=c;
②若非零向量a,b滿足|a|=|b|=|a+b|,則a與a+b的夾角為;
③在△ABC中,若·>0,則△ABC是銳角三角形.
其中說法正確的個數(shù)是 (　 )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.[2023·安徽六安一中高一月考] 已知向量a,b滿足|b|=,a·b=2,|a+b|=,則a與b的夾角為 (　 )
A. B. C. D.
5.已知向量a滿足|a|=,向量a與b的夾角為,且a·b=-1,則|a-b|=　　　　. 8.1.2　向量數(shù)量積的運算律
1.A　[解析] 由題意可得向量a在向量b上的投影的數(shù)量為|a|cos=,又|b|=1,所以a·b=|a||b|cos=,所以|a-2b|===,故選A.
2.D　[解析] 由·=·=·,得(-)·=0,即·=0,所以AC⊥PB,同理可得AB⊥PC,所以點P為△ABC的垂心.故選D.
3.B　[解析] 設=λ,則=-=λ-,+=-2,所以·(+)=(λ-)·(-2)=λ-(2λ+1)·+2.因為AB=2,BC=2,∠B=30°,所以·=2×2×=6,所以·(+)=12λ-6(2λ+1)+8=2.故選B.
4.D　[解析] 由|a-b|=2可得(a-b)2=a2+b2-2a·b=8,即4+1-2a·b=8,所以a·b=-,故a在b上的投影為·=-b.故選D.
5.B　[解析] 由題得e1·e2=2×1×cos 60°=1,由題意知(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,即2t2+15t+7<0,解得-76.A　[解析] (+)·- =(+-)· =(++)· =2· =0,∴BA⊥AC,∴△ABC一定是直角三角形,故選A.
7.C　[解析] 作出示意圖,如圖所示.因為=,所以=.因為點N為AB的中點,所以=,則=-=-,+=-+-=-2=-2,所以·(+)=·=-·+2=-||·||cos+2=×82-×8×4×+2×42=24.故選C.
8.ACD　[解析] 對于A,由已知得|a|===
==,故A正確;對于B,a·b=(e1+2e2)·(e1-e2)=|e1|2-2|e2|2+|e1|·|e2|cos=1-2+1×=-,故B錯誤;對于C,|b|=====,則cos===-,又∈[0,π],所以=,故C正確;對于D,e1在e2上的投影為·=|e1|cos·=-e2,故D正確.故選ACD.
9.BCD　[解析] 連接AB,OM.·=(+)·(+)=||2+·+·+
·=||2+·(+)-1=||2-1.當點M位于正六邊形各邊的中點時,MO有最小值,此時||2-1=2;當點M位于正六邊形的頂點時,MO有最大值2,此時||2-1=3,故2≤·≤3.故選BCD.
10.　[解析] 因為向量|a|=2,|b|=,a與b的夾角為,所以|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4×22+4×2××cos+()2=31,所以|2a+b|=.
11.1　[解析] 因為|a|=4,|b|=6且a與c的夾角是,b與c的夾角是,所以a·c=|a|·|c|·cos=4×|c|×=-2|c|,b·c=|b|·|c|·cos=6×|c|×=3|c|,所以a+b在c上的投影的數(shù)量為====1.
12.120°　[解析] 由題知e1·e2=|e1|·|e2|cos 60°=,所以a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6+e1·e2+2=-6++2=-,|a|===
=,|b|==
==,所以cos==-,又0°≤≤180°,所以=120°.
13.解:(1)因為(a+b)2=a2+b2+2a·b=16+4+2×4×2×=12,所以|a+b|=2.
(2)(a+2b)·(a+b)=a2+3a·b+2b2=16+3×4×2×+2×4=12.
(3)a·(a+b)=a2+a·b=16+4×2×=12,所以cos θ===,所以θ=.
14.解:(1)因為△ABC為等邊三角形,且AD∥BC,所以∠DAB=120°.
又AD=2AB,所以AD=2BC,因為E是邊CD的中點,所以=(++)=+.
又=-,所以·=·(-)=--·=×16-×4-×4×2×=11.
(2)因為AB=AC,AB=2,所以AC=2.因為·=,所以·(-)=,所以·-·=.
又·=||||cos∠CAB=4×=,
所以·=+·=,所以||2=|-|2=4+16-2×=,故||=.
15.ABD　[解析] 因為b為單位向量,且a+2b和a-2b相互垂直,所以(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2=0,可得|a|=2.對于選項A,如圖,設=a,=b,=λb,則|a-b|=||,|a-λb|=||,又對任意λ∈R不等式|a-λb|≥|a-b|恒成立,所以(a-b)⊥b,故選項A正確;對于選項B,由(a-b)·b=0,得a·b=b2=1,所以cos==,又∈[0,π],所以=,故選項B正確;因為c=a+b,a·b=1,|a|=2,|b|=1,所以|c|2=a2+b2+a·b=,當u=-時,|c=,即|c|min=,故選項C錯誤,選項D正確.故選ABD.
16.解:(1)設游船的實際速度為v,則v=v1+v2.由AA'=1 km,6 min=0.1 h,得|v|=10 km/h.
如圖所示,作出示意圖,由|v1|2=|v|2+|v2|2=102+42=116,得|v1|=2 km/h,則cos θ=-=-,
所以v1的大小為2 km/h,cos θ的值為-.
(2)設游船實際到達北岸點B所用時間為t h,作出示意圖,如圖所示,
則AB2=|tv|2=t2(v1+v2)2=t2(102+42+2×10×4×cos 60°)=156t2,則AB=2t km.
在Rt△AA'C中,t|v1|cos 30°=1,從而t= h,因此AB=×2= km,
故游船的實際航程為 km.8.1.2　向量數(shù)量積的運算律
一、選擇題
1.[2024·山東德州高一期末] 已知平面內(nèi)的向量a在向量b上的投影的數(shù)量為,且|a|=|b|=1,則|a-2b|的值為 (　 )
A. B.1 C. D.
2.[2024·新疆烏魯木齊高一期中] 已知點P在△ABC所在平面內(nèi),且·=·=·,則點P是△ABC的 (　 )
A.重心 B.外心
C.內(nèi)心 D.垂心
3.[2024·江蘇南通高一期中] 已知△ABC中,AB=2,BC=2,∠B=30°,若P為邊BC上的動點,則·(+)= (　 )
A.1 B.2 C.2 D.4
4.[2024·湖北部分學校高一期中] 已知向量a,b滿足|a|=2|b|=2,且|a-b|=2,則a在b上的投影為 (　 )
A.-b B.-b
C.-b D.-b
5.設兩個向量e1,e2滿足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夾角為60°.若2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角,則實數(shù)t的取值范圍是 (　 )
A. B.∪
C. D.
6.在△ABC中,(+)·=||2,則△ABC一定是 (　 )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
7.[2023·山東德州高一期中] 已知平行四邊形ABCD中,||=8,||=4,∠A=.若點M滿足=,點N為AB的中點,則·(+)= (　 )
A.6 B.12
C.24 D.30
8.(多選題)已知e1,e2是夾角為的單位向量,且a=e1+2e2,b=e1-e2,則下列說法正確的是(　 )
A.|a|=
B.a·b=-
C.a與b的夾角為
D.e1在e2上的投影為-e2
9.(多選題)已知圖中正六邊形的邊長為2,圓O的圓心為正六邊形的中心,半徑為1.若點M在正六邊形的邊上運動,動點A,B在圓O上運動且關(guān)于圓心O對稱,則·的值可以是 (　 )
A. B.2 C. D.3
二、填空題
10.[2023·北京一六一中高一期中] 已知向量|a|=2,|b|=,a與b的夾角為,則|2a+b|=　　　　.
11.已知向量a,b,c中,|a|=4,|b|=6且a與c的夾角是,b與c的夾角是,則a+b在c上的投影的數(shù)量為　　　　.
12.已知e1,e2均為單位向量,且e1與e2的夾角為60°,則a=2e1+e2與b=-3e1+2e2的夾角為　　　　.
三、解答題
13.[2024·黑龍江齊齊哈爾恒昌中學高一月考] 已知向量a,b的夾角為120°,且|a|=4,|b|=2,求:
(1)|a+b|;
(2)(a+2b)·(a+b);
(3)a與a+b的夾角θ.
14.如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,AB=2.
(1)若△ABC為等邊三角形,且AD∥BC,E是邊CD的中點,求·;
(2)若AC=AB,cos∠CAB=,·=,求||.
15.(多選題)[2024·四川成都高一期中] 已知向量a,b,c滿足:b為單位向量,且a+2b和a-2b相互垂直,對任意λ∈R不等式|a-λb|≥|a-b|恒成立.若c=a+b(u∈R),則 (　 )
A.(a-b)⊥b
B.=
C.當u=時,|c|最小
D.|c|的最小值為
16.[2024·山東百師聯(lián)盟高一期末] 一條河南北兩岸平行.如圖所示,河面寬度d=1 km,一艘游船從南岸碼頭A點出發(fā)航行到北岸.游船在靜水中的航行速度是v1,水流速度v2的大小為|v2|=4 km/h.設v1和v2的夾角為θ(0°<θ<180°),北岸上的點A'在點A的正北方向.
(1)若游船沿AA'到達北岸A'點所需時間為6 min,求v1的大小和cos θ的值;
(2)當θ=60°,|v1|=10 km/h時,游船航行到北岸的實際航程是多少

展開更多......

收起↑