資源簡介

(共35張PPT)
8.2 三角恒等變換
8.2.1 兩角和與差的余弦
探究點一 利用兩角和與差的余弦公式化
簡與求值
探究點二 給值求值
探究點三 已知三角函數值求角
【學習目標】
靈活掌握兩角和與差的余弦公式,并有能力利用公式進行三角函
數式的求值、化簡和證明.
知識點 兩角差與和的余弦公式
1.兩角差的余弦公式:
_____________________.(簡記為
2.兩角和的余弦公式:
_____________________.(簡記為
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）兩角和與差的余弦公式中角 ， 是任意的．( )
√
（2）存在角 ， ，使 .( )
√
（3） .( )
√
（4） .( )
√
探究點一 利用兩角和與差的余弦公式化簡與求值
例1（1） [2024·江蘇南京六校聯合體高一期中]
( )
A. B. C. D.
[解析] .故選B.
√
（2）[2024·貴陽清華中學、安順一中等高一期中]已知銳角 的終邊
過點，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 根據題意可得, ，則
.故選B.
√
變式 [2024·江蘇揚州中學高一期中]已知
，則 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因為 ，
所以 ，
所以 ，
所以
.故選D.
［素養小結］
兩角和與差的余弦公式常見題型及解法
（1）求兩特殊角和與差的余弦值，利用兩角和與差的余弦公式直接
展開求解．
（2）化簡含有常數的式子，先將系數轉化為特殊角的三角函數值，
再利用兩角和與差的余弦公式求解．
（3）求非特殊角的三角函數值，把非特殊角轉化為兩個特殊角的和
與差，然后利用兩角和與差的余弦公式求解．
探究點二 給值求值
［探索］ 常見的配角變換有:___ ________
________,________ _______
___等.
例2（1） 已知,，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因為, ，
所以 ，
則 .故選D.
√
（2）[2024·河南鄭州高一期末]已知 ,，若 ,
，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由誘導公式得，
因為 , ，,，
所以 , ，
所以 .故選A.
√
變式 （多選題）已知 為第一象限角， 為第三象限角，且
，，則 的值可能為
( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 因為 為第一象限角，所以, ，
所以,，
又因為 ，且，所以是第二象限角，所以 .
因為 為第三象限角，所以, ，所以
,，
又因為 ，所以是第二象限角或第三象限角.
當 是第二象限角時，，此時 ；
當是第三象限角時， ，此時
.故選 .
［素養小結］
應用兩角差與和的余弦公式求值的一般思路
（1）把未知角轉化為已知角的差或和,用公式直接求值;
（2）在轉化過程中,充分利用誘導公式,構造兩角差或和的余弦公式
的形式,然后用公式求值;
（3）角的變換是給值求值問題中最重要的一種方法,求三角函數的值
時,往往把待求式中的角用已知的角進行轉化.
探究點三 已知三角函數值求角
例3 [2024·江蘇海門中學高一月考]已知 ，
，，，則 ( )
A. B. C. D.或
√
[解析] 因為，所以 ，
所以.
因為 ，，所以 ，所以
，
，
又 ，所以 .故選B.
變式 [2024·江西九江高一期末]已知 ,， ，
，則 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因為， ，
所以解得
所以，
又 , ，所以，所以 .故選A.
［素養小結］
已知三角函數值求角的關鍵環節有兩個：
（1）求出所求角的某種三角函數值；
（2）確定角的范圍.
1. 的值為( )
A.3 B. C.1 D.
[解析] .故選D.
√
2.滿足 的一組值是( )
A. B. ,
C. , D. ,
[解析] 由 可得 ，
因此 ， .
對于A， ，故A錯誤；
對于B， ，故B錯誤；
對于C， ，故C正確；
對于D， ，故D錯誤.故選C.
√
3. 的值是( )
A. B. C. D.
[解析] .故選B.
√
4.[2024·安徽淮北高二期中]已知 ， 均為銳角，且 ，
，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因為 ， 均為銳角，且， ，
所以， ，
所以 .
故選C.
√
5.[2024·陜西銅川高一期末] 已知銳角 , 滿足 ，
，則 _ ___.
[解析] , 均為銳角， ，
，
故 .
1.兩角和與差的余弦公式的結構特征
即公式的左邊是和（差）角的余弦，右邊的式子是含有同名三角函
數之積的差（和）式，可用口訣“余余正正號相反”記憶公式．
2.公式的適用條件
公式中的 ， 不僅可以是任意具體的角，也可以是一個“團體”，
如中的“”相當于公式中的“ ”，“ ”相當于公式
中的“ ”.因此對公式的理解要注意結構形式，而不要局限于具體的角．
1.解決“給角求值”“給值求值”問題的注意點
“給角求值”“給值求值”問題求解的關鍵在于“變角”，使其角相同或具
有某種關系，借助角之間的聯系尋找轉化方法．
例 已知 ，則
( )
A. B. C. D.
[解析] 因為 ，
，
所以 ，又，
所以 .故選B.
√
2.解決“給值求角”問題的注意點
“給值求角”的實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一三角函
數值，再求角的范圍，最后確定角．遵照以下原則：
（1）已知正切函數值，選正切函數；
（2）已知正、余弦函數值，選正弦或余弦函數；
（3）若角的范圍是 ，選正、余弦函數皆可；若角的范圍
是，選余弦函數較好；若角的范圍為 ，選正弦函數較好．
3.公式的推導
公式的推導方法有很多，為了開闊視野，除了教材上的推導方
法，這里再給出另一種證明方法，試比較學習.
如圖，設角 ， 為銳角，且 .角 的終邊
與單位圓的交點為,點在單位圓上， ，
則 .
過點作垂直于軸，垂足為，那么 .
過點作垂直于，垂足為A.過點作垂直于 軸，垂足為 B.
過點作垂直于,垂足為C.則 ， ，
并且 . 于是 .
以上結果是在 ， , 都是銳角，
且 的情況下得到的，經驗證，
角 ， ， 為任意角時上述結論也成立.
于是，對任意角 , 都有 .8.2　三角恒等變換
8.2.1　兩角和與差的余弦
【課前預習】
知識點
1.cos αcos β+sin αsin β　2.cos αcos β-sin αsin β
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
【課中探究】
探究點一
例1　(1)B　(2)B　[解析] (1)cos 24°cos 69°+sin 24°sin 111°=cos 24°cos 69°+sin 24°sin(180°-69°)=cos 24°cos 69°+sin 24°sin 69°=cos(69°-24°)=cos 45°=.故選B.
(2)根據題意可得sin θ=,cos θ=,則cos=(cos θ-sin θ)=×=.故選B.
變式　D　[解析] 因為cos(θ+20°)=cos(θ+40°)+cos(θ-40°),所以cos θcos 20°-sin θsin 20°=cos θcos 40°-sin θsin 40°+cos θcos 40°+sin θsin 40°,所以cos θcos 20°-2cos θcos 40°=sin θsin 20°,所以tan θ====
===-.故選D.
探究點二
探索 β　(β-α)　(α-β)　(α-β)　(β-α)
例2　(1)D　(2)A　[解析] (1)因為cos α=,α∈,所以sin α=-=-,則cos=cos α+sin α=×+×=.故選D.
(2)由誘導公式得sin=cos α=,因為α,β∈,cos α=,cos β=,所以sin α==,sin β==,所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.故選A.
變式　CD　[解析] 因為α為第一象限角,所以α∈,k∈Z,所以α+∈,k∈Z,又因為sin=,且<=sin,所以α+是第二象限角,所以cos=-.因為β為第三象限角,所以β∈,k∈Z,所以β-∈,k∈Z,又因為cos=-,所以β-是第二象限角或第三象限角.當β-是第二象限角時,sin=,此時cos(α+β)=cos=coscos-sinsin=×-×=;當β-是第三象限角時,sin=-,此時cos(α+β)=cos=coscos-sinsin=×-×=.故選CD.
探究點三
例3　B　[解析] 因為α∈,所以2α∈[0,π],所以sin 2α===.因為α∈,β∈,所以α+β∈,所以cos(α+β)===,則cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=×+×=-,又α-β∈[0,π],所以α-β=.故選B.
變式　A　[解析] 因為cos(α-β)=,tan α·tan β=,所以解得所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,又α,β∈,所以α+β∈(0,π),所以α+β=.故選A.
【課堂評價】
1.D　[解析] ====.故選D.
2.C　[解析] 由 sin αsin β=-cos αcos β 可得 cos(α-β)=0,因此 α-β=k·180°+90°, k∈Z .對于A,α-β=0°,故A錯誤;對于B,α-β=-54°,故B錯誤;對于C,α-β=90°,故C正確;對于D,α-β=100°,故D錯誤.故選C.
3.B　[解析] cos 105°=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°=×-×=.故選B.
4.C　[解析] 因為α,β均為銳角,且cos α=,sin β=,所以sin α==,cos β==,所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.故選C.
5.　[解析] ∵α,β均為銳角,∴cos α==,sin β==,故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.8.2　三角恒等變換
8.2.1　兩角和與差的余弦
【學習目標】
　　靈活掌握兩角和與差的余弦公式,并有能力利用公式進行三角函數式的求值、化簡和證明.
◆ 知識點　兩角差與和的余弦公式
1.兩角差的余弦公式:
cos(α-β)=　　　　　　　　　　.(簡記為Cα-β)
2.兩角和的余弦公式:
cos(α+β)= 　　　　　　　　　　.(簡記為Cα+β)
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩角和與差的余弦公式中角α,β是任意的. (　 )
(2)存在角α,β,使cos(α-β)=cos α-cos β. (　 )
(3)cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos α. (　 )
(4)cos 22°cos 38°-sin 22°sin 38°=. (　 )
◆ 探究點一　利用兩角和與差的余弦公式化簡與求值
例1 (1)[2024·江蘇南京六校聯合體高一期中] cos 24°cos 69°+sin 24°sin 111°= (　 )
A.- B. C.- D.
(2)[2024·貴陽清華中學、安順一中等高一期中] 已知銳角θ的終邊過點(2,1),則 cos= (　 )
A.- B.
C.- D.
變式 [2024·江蘇揚州中學高一期中] 已知cos(θ+20°)=cos(θ+40°)+cos(θ-40°),則tan θ= (　 )
A. B.-
C. D.-
[素養小結]
兩角和與差的余弦公式常見題型及解法
(1)求兩特殊角和與差的余弦值,利用兩角和與差的余弦公式直接展開求解.
(2)化簡含有常數的式子,先將系數轉化為特殊角的三角函數值,再利用兩角和與差的余弦公式求解.
(3)求非特殊角的三角函數值,把非特殊角轉化為兩個特殊角的和與差,然后利用兩角和與差的余弦公式求解.
◆ 探究點二　給值求值
[探索] 常見的配角變換有:α=(α+β)-　　　=β-　　　　=(2α-β)-　　　　,2α=(α+β)+　　　=(β+α)-　　　　等.
例2 (1)已知cos α=,α∈,則cos= (　 )
A. B.
C. D.
(2)[2024·河南鄭州高一期末] 已知α,β∈,若sin=,cos β=,則cos(α+β)=(　 )
A.- B.
C. D.-
變式 (多選題)已知α為第一象限角,β為第三象限角,且sin=,cos=-,則cos(α+β)的值可能為 (　 )
A.- B.-
C. D.
[素養小結]
應用兩角差與和的余弦公式求值的一般思路
(1)把未知角轉化為已知角的差或和,用公式直接求值;
(2)在轉化過程中,充分利用誘導公式,構造兩角差或和的余弦公式的形式,然后用公式求值;
(3)角的變換是給值求值問題中最重要的一種方法,求三角函數的值時,往往把待求式中的角用已知的角進行轉化.
◆ 探究點三　已知三角函數值求角
例3 [2024·江蘇海門中學高一月考] 已知cos 2α=-,sin(α+β)=-,α∈,β∈,則α-β= (　 )
A. B.
C. D.或
變式 [2024·江西九江高一期末] 已知α,β∈,cos(α-β)=,tan α·tan β=,則α+β= (　 )
A. B.
C. D.
[素養小結]
已知三角函數值求角的關鍵環節有兩個:
(1)求出所求角的某種三角函數值;
(2)確定角的范圍.
1. 的值為 (　 )
A. 3 B.
C. 1 D.
2.滿足 sin αsin β=-cos αcos β 的一組值是 (　 )
A. α=β=90°
B. α=18°,β=72°
C. α=130°,β=40°
D. α=140°,β=40°
3.cos 105°的值是 (　 )
A. B.
C. D.
4.[2024·安徽淮北高二期中] 已知α,β均為銳角,且cos α=,sin β=,則cos(α+β)=(　 )
A. B.-
C.- D.
5.[2024·陜西銅川高一期末] 已知銳角α,β滿足sin α=,cos β=,則cos(α-β)=　　　　　. 8.2　三角恒等變換
8.2.1　兩角和與差的余弦
1.B　[解析] 原式=sin(90°+50°)cos 70°-sin 50°sin 70°=cos 50°cos 70°-sin 50°sin 70°=cos(50°+70°)=cos 120°=-.故選B.
2.C　[解析] 由題得cos αcos β+sin αsin β=3cos αcos β-3sin αsin β,整理得cos αcos β=2sin αsin β.若cos αcos β=0,則cos α=0或cos β=0,此時α,β的正切值不存在,不符合題意,所以cos αcos β≠0,故tan αtan β=.故選C.
3.D　[解析] 因為2sin Bsin C=1+cos A=1-cos(B+C)=1-cos Bcos C+sin Bsin C,所以sin Bsin C+cos Bcos C=cos(B-C)=1.由04.C　[解析] 因為0<α<,0<β<,所以0<α+β<π,所以sin(α+β)==.又-<β-<,所以cos==,所以cos=cos=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin=×+×=.故選C.
[點撥] 已知函數值求值問題,關鍵是用已知角和特殊角表示所求角,進而得到已知角和所求角之間用特殊角構建起來的聯系.
5.A　[解析] 由0<α<,0<β<π,得0<α+β<,因為sin(α+β)=-<0,所以π<α+β<,<β<π,則cos(α+β)=-=-,又cos α=,所以sin α==,則cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×-×=-.
6.A　[解析] 由cos(α+β)=得cos αcos β-sin αsin β=,兩邊同時除以cos β得,cos α-sin αtan β=,∴cos αsin α=(sin2α+2)tan β,∵α為銳角,∴tan α>0,∴tan β====
≤=,當且僅當3tan α=,即tan α=時取等號,∴tan β的最大值為.故選A.
7.A　[解析] 由sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,得sin α-sin β=-sin γ,cos α-cos β=cos γ,∴(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2=(-sin γ)2+cos2γ=1,即2-2sin αsin β-2cos αcos β=1,∴2-2cos(α-β)=1,得cos(α-β)=.又α,β,γ∈,∴sin α-sin β=-sin γ<0,∴sin α8.BC　[解析] 對于A,cos 30°=,故A錯誤;對于B,sin 150°=sin 30°=,故B正確;對于C,cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)=cos 60°=,故C正確;對于D,cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°=cos(75°+15°)=cos 90°=0,故D錯誤.故選BC.
9.AD　[解析] 令α=β=0,則cos(α+β)=1,cos αcos β+sin αsin β=1,此時cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β,故A正確;令α=β=2kπ(k∈Z),則cos(α+β)=1,cos αcos β+sin αsin β=1,此時cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β,故B錯誤;由兩角和的余弦公式可知,對于任意的α,β,都有cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,故C錯誤;若存在α和β的值,使cos(α+β)≠cos αcos β-sin αsin β,則與兩角和的余弦公式矛盾,故D正確.故選AD.
10.　　[解析] 因為α,θ為銳角,sin α=,sin θ=,所以cos α==,cos θ==,所以cos(α+θ)=cos αcos θ-sin αsin θ=×-×=.又0<α+θ<π,所以α+θ=.
11.1　[解析] ====1.
[點撥] 此類求值問題要應用轉化思想,非特殊角越少越好,角越特殊越好.
12.　[解析] μ===
==.
13.解:(1)cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=×-×=.
(2)cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=×+×=.
(3)cos 105°=cos(45°+60°)=cos 45°cos 60°-sin 45°sin 60°=×-×=.
14.解:(1)由sin2α+cos2α=1,cos α=,α∈,可得sin α=-,
∴cos=cos αcos+sin αsin=×+×=.
(2)由α∈,β∈,可得α+β∈,
又sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,sin(α+β)=-,
∴cos(α+β)=,∴cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=,
又β∈,∴β=.
15.D　[解析] 令f(x)=5sin=0,016.解:作QA⊥OM于點A,QB⊥ON于點B,則QA=2,QB=11,設OQ=x(x>0),如圖,在Rt△AOQ中,sin ∠AOQ=,cos ∠AOQ=,在Rt△BOQ中,sin ∠BOQ=,cos ∠BOQ=.
因為Q在∠MON內,所以∠AOQ+∠BOQ=60°,
即cos(∠AOQ+∠BOQ)=cos ∠AOQcos ∠BOQ-sin ∠AOQsin ∠BOQ=,則·-·=,即=,可得x=14,所以OQ的長是14.8.2　三角恒等變換
8.2.1　兩角和與差的余弦
一、選擇題
1.[2024·江蘇常州高一期中] sin 140°cos 70°-sin 50°sin 70°= (　 )
A.- B.-
C. D.
2.[2024·湖北十四校協作體高一期中] 已知cos(α-β)=3cos(α+β),則tan α·tan β的值為 (　 )
A. B. C. D.
3.[2024·四川巴中平昌中學高一月考] 在△ABC中,已知2sin Bsin C=1+cos A,則△ABC的形狀是 (　 )
A.等邊三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形
★4.[2023·廣東佛山順德區樂從中學高一月考] 已知0<α<,0<β<,且cos(α+β)=,sin=,則cos= (　 )
A. B. C. D.
5.[2024·上海向明中學高一期中] 已知0<α<,0<β<π,sin(α+β)=-,cos α=,則cos β= (　 )
A.- B.
C. D.-
6.已知α,β為銳角,且cos(α+β)=,則tan β的最大值為 (　 )
A. B. C. D.
7.[2024·四川百師聯盟高一期中] 已知α,β,γ∈,若sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,則α-β= (　 )
A.- B.
C.- D.
8.(多選題)下列各式中值為的是 (　 )
A.cos 30°
B.sin 150°
C.cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°
D.cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°
9.(多選題)[2023·江西南昌二中高一期中] 下列說法中正確的是 (　 )
A.存在α,β的值,使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
B.不存在無窮多個α,β的值,使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
C.對于任意的α,β,都有cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
D.不存在α,β的值,使cos(α+β)≠cos αcos β-sin αsin β
二、填空題
10.若α,θ為銳角,且sin α=,sin θ=,則cos(α+θ)=　　　　,α+θ=　　　　.
★11.[2023·廣東深圳中學高一期中] =　　　　.
12.對于角的集合{θ1,θ2,…,θn}和角α,定義μ=×[cos2(θ1-α)+cos2(θ2-α)+…+cos2(θn-α)]為集合{θ1,θ2,…,θn}相對角α的“余弦方差”,則集合相對角α的“余弦方差”為　　　　.
三、解答題
13.求以下三角函數值:
(1)cos 75°;(2)cos 15°;(3)cos 105°.
14.[2024·江蘇南京六校聯合體高一期中] 已知cos α=,α∈.
(1)求cos的值;
(2)若sin(α+β)=-,β∈,求β的值.
15.[2024·廣東深圳實驗學校高一月考] 已知函數f(x)=5sin,若存在α,β,滿足0<α<β<2π,且f(α)=f(β)=1,則cos(β-α)= (　 )
A. B.-
C. D.-
16.如圖所示,已知∠MON=60°,Q是∠MON內一點,它到MO,ON的距離分別為2和11,求OQ的長.

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